北京理工大学珠海学院线性代数历届真题1及参考答案
理工大学线性代数考试试卷及参考答案(B)
11．设 ，求
四、证明题（16分＝8分×2）：
12．设 为 维列向量，且 ，证明： 是对称的正交阵．
13．设 可逆，证明其伴随矩阵 也可逆，且 ．
五、计算题（14分）：
14．解矩阵方程 。
六、计算题（10分）：
15．设 ，求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵，并求 ．
七、 ( ) ．
3．当 时， 都是线性方程组 的解．
( ) ；（ ） ；
（ ） ；（ ） ．
4．向量 线性无关，而 线性相关，则__________.
( ) 必可由 线性表出；（ ） 必不可由 线性表出；
（ ） 必可由 线性表出；（ ） 必不可由 线性表出．
５．已知 阶方阵 的每行元素之和均为 ，则（）是 的特征值．
( ) ； （ ） ； （ ） ； （ ） ．
二、填空题（20分＝4分 ）：
6． _______．
7．设 为三阶方阵，若 ＝5，则 =_______．
8．若4阶方阵 的秩为2，则 的伴随矩阵 的秩等于_______．
9．设 则 ＝________．
10． 阶矩阵 有 个不同的特征值是 与对角矩阵相似的_______条件．
16．设 阶方阵 ，且 可逆，证明
2005级线性代数期末考试参考答案（B卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
1、 2、 3、 4、 5、
二、填空题（20分＝4分 ）：
6、 ，7、 ，8、0，9、 ，10、充分不必要
三、计算行列式（14分）：
11．解：因为 7’
所以 7’
四、证明（16分＝8分×2）：
2005级线性代数期末考试试卷（B卷）
课程名称：线性代数适用专业年级：
线性代数 北京理工大学出版社 习题解答
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线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
2019-北京理工大学-线性代数-模拟题1(2)
［试题分类］:线性代数 1 •下列排列中（）是偶排列A. 54312B. 51432C. 45312D. 654321答案：C题型：单选题知识点：1.2 n 阶排列难度：1A.B.a bC. g hD.答案：B题型：单选题知识点：1.6行列式的运算难度：111〕 1 013.已知矩阵AS -」峯1」，则AB —BA =（）A. a b行列式d e g h f 中元素f 的代数余子式是（k5.B. C.1111B.]o-1101C.191001D.io0答案：A题型：单选题知识点：3.1矩阵的运算难度：14.设A, B,为n阶可逆矩阵，则必有（）A. A+B可逆B. AB可逆C. A-B可逆D. AB+BA可逆答案：B题型：单选题知识点：3.3矩阵的逆难度：1已知向量2一：匚心=1,- 2, -2,-1 ,3> 2 = 1，-4，-3,0 ，贝U 一：匚■ ■.-■ =(0, -2 , -1,1 )(-2,0 , -1,1 ) (1, -1 , -2,0 )D(2, -6 , -5,-1 )答案：A题型：单选题知识点：2.4 n维向量空间难度：16设向量口1= (1,1,2 ), a2= (1,2 , -1 )，贝V a 1 +2^= _______答案：(3,5,0 )题型：填空题知识点：2.4 n 维向量空间难度：17.已知A 为2阶方阵A =3,则2A = ________ 答案：12题型：填空题知识点：3.1 难度：1矩阵的运算题型：填空题知识点：3.1 矩阵的运算 难度：29.方阵A 为可逆矩阵很的充分必要条件是 答案：A 式0题型：填空题知识点：3.3 矩阵的逆难度：110.若 a i = (0,2, x 与2= (1,-2,1 )正交，则 x= _____ 答案：4题型：填空题知识点：3.5 正交矩阵难度：28.设矩阵 A= 1 -3 1-2 4- ,B= 1 一0 「则 AB 3=—。
线性代数历年考试试题与答案
线性代数历年考试试题与答案2003～2004年度第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A ）本试卷共九大题一．填空题：（每题4分，共20分）1．()=-01121 。
2．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=+-*14A A 。
3．向量组()()()2,6,2,4,0,2,1,3,1,3,1,2321-=-=-=ααα线性关。
4．线性方程组04321=+++x x x x 的基础解系中含有个向量。
5．设????? ??-=????? ??=????? ??=121,110,011321ξξξ为3R 的一个基，且=00t α在该基下的坐标为()111-，则t = 。
二．选择题：（每题4分，共20分）1．设n 阶矩阵A 的每行元素之和为1，则A 必有一个特征值[ ] A. –1 B. 1 C. 0 D. n 2．设矩阵()n m ij a A ?=，0=Ax 仅有零解的充分必要条件是[ ]A. A 的行向量组线性相关B. A 的行向量组线性无关C. A 的列向量组线性相关D. A 的列向量组线性无关 3．设321,,ααα为0=Ax 的一个基础解系，则下列[ ]也是该方程的一个基础解系。
A. 与321,,ααα等价的一个向量组B. 与321,,ααα等秩的一个向量组C. 321211,,αααααα+++D.133221,,αααααα--- 4．下列结论正确的是[ ]A. 若存在可逆的P 使PA=B ，则A 与B 应有相同的标准形B. 若21,αα为A 的两个不同的特征值对应的特征向量，则21,αα是正交的C. 若21,αα同为实对称阵A 的某个特征值的两个特征向量，则21,αα必线性无关D. 矩阵A 能对角化的充要条件为A 有个n 互不相同的特征值5．设三阶矩阵A 的特征值为0，-1，1，其对应的特征向量分别为321,,ξξξ，令()132,,ξξξ=P ，则=-AP P 1[ ]A. diag (0,-1,1)B. diag (-1, 0,1)C. diag (-1,1,0)D. diag (1,0,-1)三．（7分）求行列式().0,1111111112121≠+++nna a a a a a四．（7分）利用初等变换求---=111123321A 的逆矩阵. 五．（8分）设-=100020001A ，且EBA BA A 82*-=，求B.六．（10分）求向量组()()()9,2,2,1,6,6,1,1,3,4,1,2321---=--==ααα,()7,2,1,14-=α的一个最大无关组，并把其余的向量用最大无关组线性表示.七．（10分）问k 为何值时，线性方程组+=+++=++=+324622432132131k x x x k x x x kx x 有解，并求出其全部解.八．（12分）设矩阵A 与B 相似，其中-==10000002,10100002y B x A ，①求x,y ; ②求正交阵P ，使得B AP P T=.九．（6分）证明：设A 为m ×n 阵，方程n E YA =有解的充分必要条件是()n A R =.2004－2005学年第1学期考试试题（A ）卷一、选择题（1）方阵A ，B 满足r(A)=r(B)，则（答案填在卷首答题处）（A ）A －B=O （B ）r(A －B)=0 （C ）r(A ，B)≤r(A)+r(B) （D ）r(A+B)=2r(A) （2）向量组12,,...n ααα线性相关，则（答案填在卷首答题处）（A ）1α可由其余向量线性表示；（B ）12,,...n ααα至少有一个零向量；（C ）12,,...n ααα中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；（D ）12,,...n ααα任两个向量成比例.（3）设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（答案填在卷首答题处）（A ）r=n （B ）rn（4）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（答案填在卷首答题处）（A ）充分必要条件（B ）充分而非必要条件（C ）必要而非充分条件（D ）既非充分也非必要条件（5）矩阵20A =，则（答案填在卷首答题处）（A ）A=O （B ）det(A)＝0 （C ）r(A)=0 （D ）A=A T二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分。
2014北京理工大学珠海学院数学竞赛试卷及答案
1 x2
= e2
1
2014 年北京理工大学珠海学院 数学竞赛试卷，第 1 页，共 7 页
……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………… 装订线内答题无效 装订线内答题无效 装订线内答题无效 装订线内答题无效 座位号：
得分
二、解答下列各题（本题满分共 30 分）
x y
cos( xy ) 0 所确定，求 d y x= 0 =-dx
过程略
2. （10 分）求 lim
x® 0
x2 1
(2 - cos x)
x 0
x2
1
.
x2 1
lim ( 2 - cos x ) = lim ( 1 + 1 - cos x ) = e x® 0
x 0
lim (1- cos x )
1 1 0 0 命x 1 t 命u t 1 1 1 0 2 2 arctan t d ( t ) arctan udu 1 2 1 2 0 1 1 1 u 1 1 1 1 1 u arctan u du ln(1 u 2 ) ln 2 2 0 2 0 1 u 0 8 4 2 2 4 4
2014 年北京理工大学珠海学院 数学竞赛试卷，第 4页，共 7页
……………………………………………装………………………………订…………………………线………………………………………………… 装订线内答题无效 装订线内答题无效 装订线内答题无效 装订线内答题无效 座位号 ：
确定常数 a 的值，使 f x 在 x = 0 点处可导，并求此导数。 解：首先写出 f x 在 x < 0 附近的表达式：当 1 x 0 时， 0 x 1 1 。由
2012～2013学年第一学期《线性代数》期末试卷(B)
第1页 共5页北京理工大学珠海学院2012 ～ 2013学年第一学期《线性代数》期末试卷（B ）标准答案及评分标准适用年级专业: 2011级信息学院、化工与材料学院、计算机学院 （除计算机科学与技术专业）及机械与车辆学院(除机械工程及自动化专业和热能与动力工程)各专业 试卷说明：闭卷，考试时间120分钟．一、选择填空题（每小题3分，共18分）【得分： 】1.设2.34,,,,a b x x x 均为4维列向量，且2.342.34(,,,),(,,,)A B a x x x b x x x ==为4阶方阵.若行列式4,1A B ==，则 .A B +=2．设1225A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则1A - =3.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t = 4．设a 是齐次线性方程组0A x =的解，而b 是非齐次线性方程组A x b =的解，则(32)A αβ+=_________．5．设方阵A 有一个特征值为2，则22A A E +-有一个特征值为 ___．6. 设二次型2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则参第2页共6页写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写………………………………装………………………………订…………………………线……………………………………………………二、计算题（每小题12分，共36分）【得分：】1.设111123111124111051A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=--⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，求2TA A B-2.计算行列式1112 1141 2461 1242-----3.设矩阵423110123A⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求矩阵B使其满足矩阵方程2A B A B=+.三、解答题（每小题12分，共36分）【得分：】1．当λ为何值时，齐次方程组1231231232202030x x xx x xx x xλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解？并求其通解.第4页 共6页写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写………………………………装………………………………订…………………………线……………………………………………………2．设向量组A ：1234511214,,,,4622436979ααααα- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求向量组A 的秩，并说明其线性相关性. (2)求向量组A 的一个最大线性无关组，并将A 的其余向量用该最大线性无关组线性表示.3．已知二次型()22212312323,,2+3+3+4f x x x x x x x x =． (1)写出二次型f 的系数矩阵；(2)用正交线性变换把二次型f 化为标准形，并写出相应的正交方阵.四、解答题（每小题5分，共10分）【得分： 】1．设123,,ααα线性无关，证明11213,2,3ααααα++也线性无关.2.已知二次型()22212312312,,(1)+(1)2+2(1)f x x x a x a x x a x x =--++的秩为 2.求a。
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4
⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 10 ⎟ = ⎜ . − 7⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 7⎟ ⎝ ⎠
（2）向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的一个最大无关组； （3）将最大无关组之外的其余向量用此最大无关组线性表示.
⎧ − x1 − 4 x2 + x3 = 1 ⎪ ax2 − 3x3 = 3 三． （13 分）当 a 为何值时， ⎨ 无解、有唯一解、有无穷多解？并 ⎪ x + 3 x + (a + 1) x = 0 2 3 ⎩ 1
4. 设
α1
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜4⎟ = ⎜ ⎟, α 1 ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
2
1 1 1．计算行列式 1 1
求： （1）向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的秩；
⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 9 ⎟ = ⎜ , α −1⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 3⎟ ⎝ ⎠
3
⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ , α − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
ξ1 与 ξ 2 正交。
2
【参考答案】注意：请对自己的解答（如方程的解、逆矩阵、特征向量等） 作必要的验证后再对答案！ 一、1. 6; 2. -1/3,9; 3. |t|<1; 4. D; 5. B; 6. A; 7.B; 8. B. 二、1. 12（提示：范德蒙行列式） ； ⎛ 0 2 0⎞ ⎛ 12 16 ⎞ 1⎜ ⎟ −1 2. ( E − A) = − ⎜ 12 3 2 ⎟ ; 3. ⎜ ⎟ 4⎜ ⎝ −4 −8 ⎠ ⎟ ⎝ 4 0 0⎠ 4. (1) R=3; (2) α1 ,α 2 ,α 3 ; （3） α 4 = −2α1 + 2α 2 + α 3 . 三、当 a=1 时，该方程组无解； 当 a=-3 时，原方程有无穷多解： xT = k (5, −1,1)T + (3, −1,0)T , k ∈ R. 1 当 a ≠ 1 且 a ≠ −3 时，原方程有唯一解： xT = (a + 10, −3, −1)T . 1− a 四、特征多项式|A-λE|=(1-λ)（3-λ）(4-λ)【计算过程:① r1 − r2 − r3 ；②
8. 设 α1 , α 2 ,", α r 为 n 维列向量，下列命题不正确的是【 A. 若对任意的不全为零的数 k1 , k2 ,", kr ，都有 无关.
】
i
∑k α1 , α 2 ,",α r 线性
B. 若 α1 , α 2 ,", α r 线 性 相 关 ， 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k1 , k2 ,", kr ， 都 有
3
( )
.
，则 Ax = 0 仅有零解的充分必要条件是【 】
m×n
(A) A 的行向量组线性相关 (B) A 的行向量组线性无关 (C) A 的列向量组线性相关 (D) A 的列向量组线性无关 】 5. 设 A, B 为可逆矩阵，则下列说法中不正确的是【 (A) (C)
(A )
( λ A)
−1 −1
−1
=A
= 1
(B)
( A + B) ( AB )
−1
= A −1 + B −1
λ
A −1 ( λ ≠ 0 )
(D)
−1
= B −1 A −1
⎛1 ⎞ ⎜3 ⎟ ⎜ ⎟ 1 −1 ⎜ ⎟ ,则 B = 6．设三阶方阵 A, B 满足 A BA = 6 A + BA, 且 A = ⎜ ( ) ⎟ 4 ⎜ ⎟ 1⎟ ⎜ ⎜ 7⎟ ⎝ ⎠ 3 3 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ 4 ⎟ (A) ⎜ 2 ⎟ (B) ⎜ 4 ⎟ (C) ⎜ 2 ⎟ (D) ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1⎟ 7⎟ 3⎟ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7.设 A、B 都为 n 阶非零矩阵，且 AB=0,则 A 和 B 的秩【 】 A. 必有一个等于零. B. 都小于 n. C. 一个小于 n,一个等于 n. D. 都等于 n.
《线性代数》检测题（1）
一. 填空、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 已知α，β，γ为三维列向量，行列式 D=|α β γ|=2, 则行列式 |3β γ α+β|= ___________。 2. 设三阶方阵 A 的特征值为-1,1,3，则 A
−1
=
, A* =
.
3. 实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + x2 2 + x3 2 − 2tx1 x2 + 2 x1 x3 正定时， t 应满足的 条件是 4. 设矩阵 A = aij
c2 + c1 , c3 − c1 . 】； 特 征 值 ： λ =1,3,4 ； 对 应 的 特 征 向 量 ：
ξ1T = (1, 2,1)T , ξ 2T = (1, 0, −1)T , ξ3T = (1, −1,1)T .
2 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ T 0 − 2 ⎟ ， P AP = ⎜ 3 ⎟. ⎟ ⎜ 4⎟ 3 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ 0 0 " 1⎞ ⎜ ⎟ # # #⎟ , 记为 B=AK, 则|K|≠0, K 可 五、(1) (b1 , b2 ," , bs ) = (a1 , a2 ," , as ) ⎜ ⎜ 0 1 " 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 " 1⎠ 逆，所以 R(B)=R(A)=s,从而 B 组向量线性无关. (2) （见教材）. 3 ⎛1 1 ⎜ 正交相似变换矩阵 P = ⎜2 6⎜ ⎜1 ⎝
在有解时求其所有解。
⎛ 3 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 四．(13 分)求一个正交相似变换矩阵，将对称阵 A = −1 2 −1 化为对角阵。 ⎟ ⎜ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠ 五． （10 分） （1） 设 b1 = as , b2 = as −1 + as , " , bs = a1 + a2 + " + as , 且向量组 a1 , a2 ," , as 线性无关,证明向量组 b1 , b2 , " , bs 线性无关. （2）设实对称阵 A 的两个不同的特征值为 λ1 , λ2 ，对应的特征向量为 ξ1 , ξ 2 ，证明：
∑kα
i =1 i
r
i
= 0.
C.
α1 ,α 2 ,",α r 线性无关的充要条件是矩阵（ α1 ,α 2 ,",α r ）的秩等于 r. D. 若 α1 , α 2 ,", α r 线性无关，则其中任意两个向量都线性无关.
二．解答题（每小题 10 分，共 40 分）
1
1 1 1 ⎛1 0 1⎞ 2 3 4 −1 ⎜ ⎟ 2．已知 A = 2 1 0 , 求 ( E − A ) . ⎜ ⎟ 4 9 16 ⎜ −3 2 −5 ⎟ ⎝ ⎠ 8 27 64 ⎛ −1 −4 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ 3 −1 3. 设 P AP = Λ, 其中 P = ⎜ ⎟ , 求 ϕ ( A ) = A + A − 2 E. ⎟,Λ = ⎜ ⎝1 1⎠ ⎝ 0 2⎠