向量组的线性相关性线性代数习题集

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线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案

线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案一、填空题1、12332βααα=−+；2、5；3、相关；4、-1；5、相关。

二、单项选择题 1、（B）；2、（C）；3、（C）三、计算题1、秩为3；123,,ααα为一个最大无关组，4123234αααα=++。

2、 0,0a b ≠=。

3、 3a =。

4、讨论对于2b =时，秩为2，1α，2α为一个最大无关组；2b ≠时，秩为3，1α，2α，3α为一个最大线性无关组。

5、 1k =±。

四、证明题 1、（略）2、设1β=1α+2α，2β=2α+3α，3β=3α+4α，4β=4α+1α，证明1β，2β，3β，4β线性相关。

证明：11223344k k k k ββββ+++=0，即()()()()112223334441k k k k αααααααα+++++++=0()()()()141212323434k k k k k k k k αααα+++++++=0无论1234,,,αααα线性相关还是线性无关，上式总成立。

令141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由于此方程组系数行列式10011100001100011=，所以此方程组必有非零解，所以存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ββββ+++=0成立，所以1β，2β，3β，4β线性相关。

另证：因为1234ββββ−+−=0，所以1β，2β，3β，4β线性相关。

3、设n 维向量β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是1α，2α，…，m α线性无关。

证明：β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，则()()1212,,,,,,,m m R R ααααααβ=""（必要性）若β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示式唯一，则有()()1212,,,,,,,m m R R m ααααααβ==""，所以1α，2α，…，m α线性无关（因为向量组的秩等于向量的个数）。

线性代数练习题四(向量组的线性相关性(1)

线性代数练习题四（向量组的线性相关性）一、填空题1、设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 .（填相关或无关）2、n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,,n ααα，则12(,,,)n R ααα= .3、设A 是45⨯矩阵，且()3R A =，则线性方程组0AX =解空间的维数为 .4、向量组123(1,0),(1,1),(0,1)T T T ααα=-==的最大无关组为 .5、设向量组123(2,1,3,0),(1,2,0,2),(0,5,3,4),T T T ααα=-=-=-4(1,3,,0)T t α=-，则t = 时，该向量组线性相关.6、设n 维单位向量组12,,,n e e e 可由向量组12,,,s a a a 线性表示，则向量个数s 与n 的关系为 .7、已知12,(1,2,3),3A αβαβ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，则()R A = . 8、设方程组0Ax =以12(1,0,2),(0,1,1)T T ξξ==-作为基础解系，则系数矩阵A = .二、选择题1、设123451*********,,,,217254214010ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则该向量组的最大无关组是（）1231241251245(),,(),,(),,(),,,A B C C ααααααααααααα2、设矩阵(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解的充分必要条件是（）()()()()的行向量组线性无关的行向量组线性相关的列向量组线性无关的列向量组线性相关A AB AC AD A3、向量组12,,,s ααα的秩为r ，则下列叙述不正确的是（）1212121212(),,,(),,,,,,(),,,(),,,1s s ss s A r B r C r D r ααααααααααααααα+中至少有个向量的部分组线性无关中任意个线性无关的部分组与可互相线性表示中个向量的部分组皆线性无关中个向量的部分组皆线性相关4、设0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则有（）()0()0()0()0若仅有零解，则有唯一解若有非零解，则有无穷多解若有无穷多解，则仅有零解若有无穷多解，则有非零解A Ax Ax bB Ax Ax bC Ax b AxD Ax b Ax ========5、设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（）()()()()必要非充分条件充分非必要条件充分必要条件无关条件A B C D6、向量组12,,,s ααα线性无关的充要条件是（）A 12,,,s ααα都是非零向量B 12,,,s ααα中任意两个向量对应分量不成比例 C 12,,,s ααα中有一部分向量线性无关D 任一向量均不可由其余向量线性表示7、若m n ⨯矩阵A 的m 个行向量线性无关，则()R A （）A mB n CmD n ><==8、下列命题中错误的是（） A 初等变换不改变矩阵的秩B 若n 阶方阵A 可逆，则A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积C 若AA O *=，且()1R A =，则()0(2)R A n *>>D 0Ax =的解向量的线性组合仍是0Ax =的解向量三、解答题与证明题1、已知向量组123412533113,,,,53111471a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求此向量组的秩和一个最大无关组2、已知向量组1231322,1,332a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问（1）c 为何值时，该向量组线性无关？（2）c 为何值时，该向量组线性相关？3、求解非齐次线性方程组1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩4、已知线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩，问（1）常数,a b 取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解.5、设A 为34⨯矩阵，()2R A =，且非齐次线性方程组Ax b =的三个解为123124115,,0132411ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求（1）齐次线性方程组0Ax =的通解；（2）非齐次线性方程组Ax b =的通解.6、求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)T T TTαααα====的最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。

题册答案,第4章向量组的线性相关性

第4章向量组的线性相关性 (作业1)一．填空题 1T )2,1,2(-=α，T )3,2,4(-=β，T )5,8,8(-=γ，若使γβα=+k 2，则k=__________.解：由γβα=+k 2，得k 4228-⨯=-，所以3=k 。

2 若齐次线性方程组AX=0只有零解，则A 的列向量组线性 . 解：0=Ax 只有零解即011=++n x x nαα 只有零解，即A 的列向量组线性无关。

3 若向量),,0(2k k =β能由向量)1,1,1(1k +=α,)1,1,1(2k +=α)1,1,1(3+=k α唯一线性表示，则k 应满足解：若向量),,0(2k k =β能由向量)1,1,1(1k +=α,)1,1,1(2k +=α)1,1,1(3+=k α唯一线性表示，即方程组()03213,2,1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x ααα有唯一解，此时系数行列式不为0，即.3,0-≠≠k k二选择题：1设n 阶方阵 A 是奇异阵，则A 中（）(A)必有一列元素为零； (B) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (C) 必有两列元素对应成比例； (D) 任意一列向量是其余列向量的线性组合。

解：n 阶方阵 A 是奇异阵，说明A 的列向量组线性相关，所以必有一列向量是其余列向量的线性组合。

选B 。

2 设n m ij a A ⨯=)(，若m<n, 则（）(A)A 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关； (C)A 的行向量组无关； (D) A 的列向量组无关。

解：因为n m <，所以m A R ≤)(，从而A 的列向量组的秩为n m A R <≤)(，所以A 的列向量组线性相关。

选B 。

三.已知3R 中的向量组321,,ααα线性无关，向量组211ααk b -=，322αα+=b , 133ααk b +=线性相关，求k 值解：由题设()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11001013,2,13,2,1k k b b b ααα。

3线性代数习题答案(向量组的线性相关性)

第三章向量组的线性相关性1.验证}0{是向量空间，其中0 为n 维零向量.证明设}0{, ∈βα，则}0{000∈=+=+βα，且R ∈∀λ，}0{00∈==λαλ，集合}0{ 对向量的加法和数乘向量封闭，所以}0{ 是向量空间. 2.验证：（1）向量空间必含有零向量；（2）若向量空间含有向量α ，则一定含有α-.证明（1）设有向量空间V ，任取向量V ∈α ，R ∈∀λ，都有V ∈αλ，取定0=λ，则V ∈==00ααλ，所以向量空间中一定含有零向量.（2）设有向量空间V ，则可知V ∈0 ，于是存在V ∈βα,，使得V ∈=+0 βα，于是V ∈-=αβ，所以若向量空间含有向量α ，则一定含有α -. 3.判定3R 的下列子集是否是3R 的子空间：（1）{}R z z W ∈=|),1,0(1；解因为1,W ∈∀βα ，设),1,0(1z =α，),1,0(2z =β ， +=+),1,0(1z βα),1,0(2z ),2,0(21z z +=1W ∉，集合1W 对加法不封闭，所以1W 不是3R 的子空间.（2）{}R y x y x W ∈=,|)0,,(2；解因为2,W ∈∀βα ，设)0,,(11y x =α，)0,,(22y x =β ， )0,,()0,,(2211y x y x +=+βα22121)0,,(W y y x x ∈++=，且R ∈∀λ， 211)0,,(W y x ∈=λλαλ ，集合2W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以2W 是3R 的子空间.（3）{}R z y x z y x z y x W ∈=+-=,,,03|),,(3；解因为3,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=+-=+-0303222111z y x z y x ⇒0)(3)()(212121=+++-+z z y y x x ，3W ∈+∴βα，且R ∈∀λ，3111),,(W z y x ∈=λλλαλ，集合3W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以3W 是3R 的子空间.（4）{}R x x x x x x x x x W ∈=++=3213213214,,,1|),,(；解因为4,W ∈∀βα ，设),,(321x x x =α，),,(321y y y =β ， ),,(),,(321321y y y x x x +=+βα),,(332211y x y x y x +++=而1321=++x x x ，1321=++y y y ，从而有2321321=+++++y y y x x x 即有2)()()(332211=+++++y x y x y x 4W ∈，对加法不封闭，故4W 不是3R 的子空间.（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==-=R z y x z y x z y x W ,,,2321|),,(5；解因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，而1112321z y x -==-，2222321z y x -==-，)(2322212121z z y y x x +-=+=-+21)(21-+≠x x 5W ∉，对加法不封闭，故5W 不是3R 的子空间.（6）{}R z y x y x z y x z y x W ∈==++=,,,,032|),,(6解因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=++=++032032222111z x x z x x ⇒0)(3)(2)(212121=+++++z z x x x x ，所以有6W ∈+βα，且R ∈∀λ，),,(111z x x λλλαλ=，032111=++z x x ⇒032111=++z x x λλλ，所以有6W ∈αλ ，该集合对加法与数乘都封闭，所以6W 是3R 的子空间.4．设)0,4,3(),1,1,0(),0,1,1(321===ααα，求21αα-及32123ααα-+.解 21αα-)1,1,0()0,1,1(-=)10,11,01(---=)1,0,1(-=32123ααα-+)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=).2,1,0(= 5．设)(5)(2)(3321αααααα +=++-，其中)3,1,5,2(1=α，)10,5,1,10(2=α ，)1,1,1,4(3-=α，求.α解由)(5)(2)(3321αααααα+=++-整理得)523(61321αααα-+=)]1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61--+=).4,3,2,1(=6．设r r αααβααβαβ+++=+==2121211,,,，且向量组r ααα,,,21线性无关，证明向量组r βββ ,,,21线性无关.证明设02211=+++r r k k k βββ，则++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(22110 =+r r k α因向量组r ααα,,,21线性无关，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= ，故方程组只有零解则021====r k k k ，所以r βββ,,,21线性无关.7．设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，证明向量组4321,,,ββββ线性相关.证明设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++ββββx x x x则 0)()()()(144433322211=+++++++ααααααααx x x x0)()()()(443332221141=+++++++ααααx x x x x x x x(1) 若4321,,,αααα线性相关，则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=，212x x k +=，323x x k +=，434x x k +=，由4321,,,k k k k 不全为零，知4321,,,x x x x 不全为零，即4321,,,ββββ线性相关.(2) 若4321,,,αααα 线性无关，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知，此齐次方程存在非零解则4321,,,ββββ线性相关. 综合得证.8.讨论向量组的线性相关性：（1）)1,1,1(1=α ，)5,2,0(2=α ，)6,3,1(3=α；解显然有312)1(ααα +-=，所以321,,ααα是线性相关的. （2）)0,1,1(1=α ，)0,2,0(2=α ，)1,0,0(3=α.解设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ，于是有 ()()())0,0,0(,0,00,2,00,,3211=++k k k k ，从而有 ())0,0,0(,2,3211=+k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧==+=00203211k k k k 0321===⇒k k k ，故321,,ααα是线性无关的.9.设T )1,1,1(1=α ，T )3,2,1(2=α ，Tt ),3,1(3=α .（1）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？（2）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？（3）当向量组321,,ααα 线性相关时，将3α 表示为1α 和2α的线性组合.解设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++000332321321321tk k k k k k k k k从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++030320321321321tk k k k k k k k k ①（1）当向量组321,,ααα线性相关时，方程组①有非零解，则031321111=t⇒5=t ，故当5=t 时，向量组321,,ααα线性相关. （2）当5≠t 时，向量组321,,ααα线性无关.（3）设矩阵),,(321TT T A ααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=531321111−−→−--1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛420210111 −−→−--2321r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210101，从最后一个矩阵看出，.2213ααα+-=10.用矩阵的秩判别下列各向量组的线性相关性：（1）T)2,0,1,3(1=α ，T)1,2,1,1(2--=α ，T)4,4,3,1(3-=α；解设矩阵),,(321ααα =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=412420311113−−→−--↔14122123r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=210420840311 −−→−--24234121r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000000840311，32)(<=A R ，所以向量组（1）线性相关. （2）T )1,0,1(1=α ，T )0,2,2(2=α ，T)3,3,0(3=α ；解设矩阵),,(321ααα=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301320021−−→−-13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-320320021−−→−+23r r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600320021，33)(==B R ，所以向量组（2）线性无关. （3）T )0,1,1,4,2(1=α ，T )1,1,0,2,1(2-=α ，T)1,0,1,3,1(3=α .解 ),,(321ααα=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011101324112−−→−↔31rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110011112324101−−→−---14131224r r r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110*********−−→−+--↔252423252r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100200200110101−−→−+-353421rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000200110101，33)(==C R ，所以向量组（3）线性无关.11.已知向量组)1,2,1,1(1=α ，)2,0,0,1(2=α ，),8,4,1(3k ---=α线性相关，求k 的值.解设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==k A T T T 21802401111),,(321ααα −−→−---1413122rr r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----110620310111k −−→−+-24232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----200000310111k −−→−↔43r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000200310111k 从最后一个矩阵可以看出，当2=k 时，32)(<=A R ，向量组321,,ααα才线性相关.12.设向量组4321,,,αααα线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存在一组全不为零的数4321,,,λλλλ，使.044332211=+++αλαλαλαλ证明由已知4321,,,αααα线性相关，所以存在一组不全为0的数4321,,,λλλλ 使得 .044332211=+++αλαλαλαλ (下证4321,,,λλλλ全不为0)假设01=λ，则0443322=++αλαλαλ，由已知4321,,,αααα其中任意三个向量都线性无关，所以432,,ααα线性无关，于是0432===λλλ，这与4321,,,λλλλ不全为0矛盾. 故01≠λ.同理可证432,,λλλ不等于0 故4321,,,λλλλ全不为0.13.设向量x 可由r ααα ,,,21线性表示，r ααα,,,21可由s βββ ,,,21线性表示，证明x可由s βββ ,,,21线性表示.证明根据题意可知存在常数r λλλ,,,21 和),2,1,(s j i x ij =，使得r r x αλαλαλ +++=2211；s is i i i x x x βββα+++=2211，r i ,,2,1 =++++++++=)()(2222121212121111s s s s x x x x x x x βββλβββλ)(2211s rs r r r x x x βββλ++++++++++++=2222212111212111)()(βλλλβλλλr r r r x x x x x xs rs r s s x x x βλλλ)(2211++++由上式可知，x可由s βββ ,,,21线性表示.14.求作一个秩为4的方阵，它的两个行向量是：)0,0,1,0,1(，)0,0,0,1,1(-. 解设)0,0,1,0,1(1=α ，)0,0,0,1,1(2-=α ，显然21,αα线性无关，因为它们都是5维的，所以所求方阵A 应该含有5个5维的向量，又因为所求的方阵A的秩为4，所以可设)0,,,,(4321T T T T T A αααα=，只要4321,,,αααα线性无关就满足条件了，所以取)0,0,1,0,0(33==εα ，)0,1,0,0,0(44==εα就能满足条件，故满足条件的一个方阵为.0000001000001010001000011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A15. 设向量组m ααα,,,21线性无关，向量1β 可用它们线性表示，向量2β 不能用它们线性表示，证明向量组2121,,,,ββλααα+m )(为常数λ线性无关.证明据题意存在常数m λλλ,,,21 ，使得m m αλαλαλβ+++=22111，设0)(2112211=++++++ββλαααm m m k k k k 将1β代入上式，得0])([2221112211=+++++++++βαλαλαλλαααm m m m m k k k k0)()()(21122121111=+++++++++++βαλλαλλαλλm m m m m m m k k k k k k k因为221,,,,βαααm 线性无关，所以有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+++++000011212111m m m mm m k k k k k k k λλλλλλ ⇒100010001000121m λλλλλλ01≠=，所以齐次方程组只有零解，故向量组2121,,,,ββλααα+m 线性无关.线性表示？能否由）（线性表示？能否由）（试讨论：线性无关，线性相关，向量组设向量组1211321m 32-1m 21,,2,,,1,,)3(,,.16--≥m m m m αααααααααααααα.,)1(321线性表示能由解ααα线性无关，，由于m 32ααα，.,,,132也线性无关其部分组-m ααα线性相关又1321,,,,-m αααα ，.,,,1321线性表示能由故-m αααα.,,,)2(-1m 21m 线性表示不能由αααα反证如下：线性表示，即能由设-1m 21m ,,αααα-1m 12211m αλαλαλα -+++=m ，由（1）的结论，1133221--++=m m αμαμαμα设，代入上式得， ,)()()(11-1m 133312221m --++++++=m m αλμλαλμλαλμλα 线性表示能由即132m ,,,-m αααα ，,,,,,m 132线性相关从而αααα-m 这与已知矛盾！.,,,-1m 21m 线性表示不能由故αααα17．设n ααα ,,,21是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量n εεε,,,21能由它们线性表示，证明n ααα,,,21线性无关.证明 n 维单位向量n εεε,,,21线性无关，不妨设: n nn n n n nn n n k k k k k k k k k αααεαααεαααε +++=+++=+++=22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121 两边取行列式，得T n T T nn n n n n T n TT k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121=由002121≠⇒≠T nTTT n T T αααεεε即n 维向量组n ααα ,,,21所构成矩阵的秩为n ，故n ααα,,,21线性无关.18．设n ααα ,,,21是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示.证明设n εεε,,,21为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k ),,,(21=α则有n n k k k εεεα+++=2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n ααα ,,,21线性无关，且n ααα,,,21能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα +++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k εεεααα 2121222211121121 两边取行列式，得T n TTnn n n n n Tn TTk k k k k k k k k εεεααα2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n nnTnTTk k k k k k k k kααα令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T T T n T T T n T T A A εεεαααεεεααα212112121 即n εεε ,,,21都能由n ααα,,,21线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n ααα,,,21线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n ααα,,,21线性表示，则单位向量组： n εεε ,,,21可由n ααα ,,,21线性表示，则n ααα,,,21线性无关.19．设向量组A :s ααα,,,21的秩为1r ，向量组B :t βββ ,,,21的秩2r向量组C : t s βββααα,,,,,,,2121的秩3r ，证明21321},ma x {r r r r r +≤≤证明设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,，含有的向量个数(秩)分别为321,,r r r ，则C B A ,,分别与C B A ''',,等价，易知B A ,均可由C 线性表示，则秩(C )≥秩(A )，秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤.设A '与B '中的向量共同构成向量组D ，则B A ,均可由D 线性表示，即C 可由D 线性表示，从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D )，D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.20.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明：设Tn a a a A ),,,(21 =T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα ,,,21 ， T s T T βββ,,,21显然，存在矩阵B A '',，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT n T TA a a a ααα 2121，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T s T TT n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T nTT TT b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此()()()B R A R B A R +≤+ 21.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来：（1）)3,1,2,1(1=α，)6,5,1,4(2---=α，)7,4,3,1(3----=α，)0,2,1,2(1=α；（2）T)0,2,3,1(1=α ，T)3,14,0,7(2=α ，T)1,0,1,2(3-=α ，T)2,6,1,5(4=α，T )1,4,1,2(5-=α；（3）)2,1,2,1(1=α ，)1,3,0,1(2=α ，)1,0,1,2(3-=α ，)2,2,1,2(4-=α，)3,4,2,2(5=α.解（1）设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2112203111022211A −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310422035202211−−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310352021102211−−→−++-2423212r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------4400770021104301−−→−--÷-÷3443)4()7(r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000110021104301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110010101001，从最后一个矩阵中看出，3)(=A R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且.3214αααα+-=（2）设矩阵),,,,(54321ααααα=B ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121304601421110325271B −−→−--131223r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1213004400714721025271 −−→−-÷)7(2r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12130044001213025271−−→−-÷-)4(324r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001213025271−−→−--12312r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001103023071−→−÷32r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001100313101023071−−→−-217r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000011003131010313201，从最后一个矩阵中看出，3)(=B R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且32143132αααα++=，.031313215αααα ++-= （3）设矩阵),,,,(54321TT T T T C ααααα =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32112420312110222211C −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310242202352022211 −−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310235201211022211−−→−++-2423212r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------04400077001211014301−−→−--÷-÷3443)4()7(rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000011001211014301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000011001101011001，从最后一个矩阵中看出，3)(=C R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα，且 3214αααα +-=，.03215αααα ++=等价的充要条件是与矩阵矩阵，证明：矩阵都是与设B A n m B A ⨯.22 ).()(B r A r =证明必要性),,,,(),,,,(2121n n B A βββααα==设),,,,,,,,(),(2121n n B A C βββααα==因为A 与B 等价，即A 的列向量与B 的列向量等价，则它们可以相互线性表示；因此A （或B ）的列向量与C 的列向量可以相互线性表示；由推论3“等价的向量组有相同的秩”，得),()()(B A r B r A r ==充分性.,,,,)2(;,,,)1(2121s s B βββααα=设s γγγ ,,,)3(21分别是A ，B ，C 的极大无关组.因为向量（1）是C 的列向量的一部分且线性无关，又(1)和(3)的秩相等，所以(1)也是C 的极大无关组. 同理(2)也是C 的极大无关组. 于是(1)与(2)是等价的. 从而矩阵A 与B 等价.23.求向量组:)1,5,1,1(1--=α ，)3,2,1,1(2-=α ，)1,8,1,3(3-=α，)7,9,3,1(4-=α的所有最大无关组.解设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7131982531111311−−→−+-+1413125r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---84401477042201311−−→−-+÷24232472r r rr r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000021101311−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000021101201，所以从而最后一个矩阵中看出所有最大无关组为：21,αα ；31,αα ；41,αα ；32,αα ；42,αα ；43,αα.24．试证:由)0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(321===ααα 所生成的向量空间就是3R .证明设TA ),,(321ααα = 011101110321==αααA 02110101011)1(1≠-=-=-于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,ααα均为三维，且秩为3，所以321,,ααα 为此三维空间的一组基，故由321,,ααα所生成的向量空间就是3R .25．由),1,1,0,1(),0,0,1,1(21==αα所生成的向量空间记作1V ，由),1,1,1,0(),3,3,1,2(21--=-=ββ所生成的向量空间记作2V ，试证：21V V =.证明设{}R k k k k x V ∈+==1122111,αα，{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量，可写成2211αα k k +，要证22211V k k ∈+αα，从而得21V V ⊆由22112211βλβλαα+=+k k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中，把21,k k 看成已知数，把21,λλ看成未知数，0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解，21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故.21V V =26．验证)2,1,3(),3,1,2(),0,1,1(321==-=ααα为3R 的一个基，并把)13,8,9(),7,0,5(21---==v v在这组基下的坐标.解由于06230111321321≠-=-=ααα即矩阵),,(321ααα的秩为3，故321,,ααα 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111αααk k k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故1v在这组基下的坐标为).1,3,2(- 设3322112αλαλαλ++=v ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故2v在这组基下的坐标为).2,3,3(--27.设有向量组)5,2,3(1=α，)7,4,2(2=α ，),6,5(3λα=，)5,3,1(=β，当λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示？解设矩阵),,,(321TT T T A βααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=57536421523λ−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---57536422121λ−−→−--131252rr r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---15517078802121λ−−→−↔-32232r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----7880111102121λ−−→−-+232182rr r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----18960011110023201λλλ−−→−--÷323)1(r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--196800085710023201λλλ，从最后一个矩阵中看出βαα ,,21是线性无关的，要使β 能由321,,ααα 线性表示，必需当321,,ααα线性无关才满足条件，即当0968≠-λ时，即12≠λ时，β 才能由321,,ααα线性表示.28.证明向量组)1,,1,1(:1 =βB ，)1,,1,0(2=β，…)1,,0,0(=n β为n R 的一组基，求向量),,(21n a a a=α在这组基下的坐标.证明设矩阵),,,(21Tn T T A βββ =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111011001 A ，因为01||≠=A ，所以向量组B 线性无关，且向量组的秩为n ，故向量组B 为nR 的一组基.设矩阵),,,,(21αβββT n T T C =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a C 21111011001−−→−------12211r r r r r r n n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1121100010001n n a a a a a C所以 ).,,,()(1121---=n n B a a a a aα 29.计算：（1）设A 为三阶矩阵),,(321A A A A =，)3,2,1(=i A i 是A 的第i 个列向量，且3||-=A ，计算3212,2,2A A A A --的值.（2）设四阶矩阵),,,(432r r r A --=α，),,,(432r r r B -=β，其中432,,,,r r r βα均为四维列向量，且已知行列式4||=A ，1||=B ，计算行列式||B A -的值.解（1）32123212,2,2,2,2A A A A A A A A --=-- |,,|2,2,2322312A A A A A A --+-= 312,,4A A A -=0+312,,4A A A -=3213,,)4()1(A A A --=||4A =.12-= （2）4322,2,2,||r r r B A ---=-βα 432,,,8r r r ---=βα432,,,8r r r --=α432,,,8r r r ---+β||8A =4324,,,8)1(r r r --+β||8||8B A +=.40832=+=。

线性代数课后习题答案第四章向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2,a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1, b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r . 证明令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1,α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解因为AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0. 解原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1; ⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T , ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T , ⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且R (B )=2.解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA ,所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T . 因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-0432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解. 解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x .取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程III :⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000021*********11110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x .取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R nA R n A R 当当当.证明当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1,η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T ,及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r. (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000013101201 ~r,方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R .因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1, 即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解.由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系. 方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1, k2,⋅⋅⋅,k s为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0},V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, λ∈∈R , 有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =0, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =0,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0, λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1, λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1. V 2不是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, 有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A ,知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=00000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a ,知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ,b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组 , 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a ,1321321*********) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a e e e ,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a ,由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P。

线性代数练习——向量组的线性相关性

线性代数练习——向量组的线性相关性一、填空题1、设1(1,0,1)T α=，2(0,1,1)T α=−−3(1,1,1)T α=，(3,5,6)T β=，则β被1α，2α，3α线性表示的表示式为。

2、若向量组1(1,2,3)T α=，2(3,1,2)T α=−，3(2,3,)T a α=线性相关，则a = 。

3、设1(1,3,1)T α=−，2(2,1,0)T α=，3(1,4,1)T α=，则1α，2α，3α线性关。

4、已知向量组1α，2α，3α线性无关，若向量组1α+2α，2α+3α，1λα+3α线性无关，则λ=________。

5、设()n m ij a A ×=，若n m <，则A 的列向量组线性__________。

二、单项选择题1、若向量组s ααα,,,21"线性相关，则一定有（）（A）121,,,−s ααα"线性相关（B）121,,,+s ααα"线性相关（C）121,,,−s ααα"线性无关（D）121,,,+s ααα"线性无关2、向量组s ααα,,,21"线性无关的充分条件是（）（A）s ααα,,,21"均不是零向量（B）s ααα,,,21"中有部分向量线性无关（C）s ααα,,,21"中任意一个向量均不能由其余1−s 个向量线性表示（D）有一组数021====s k k k "，使得11220s s k k k ααα+++="3、给定向量组)3,1,1(1−=αK ，)4,1,2(2=αK ，)7,0,3(3=αK，其最大无关组所含向量的个数为（）（A）0（B）1 （C）2 （D）3三、计算题 1、求向量组1(2,1,3,5)T α=−，2(4,3,1,3)T α=−，3(3,2,3,4)T α=−，4(4,1,15,17)Tα=−的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。

线性代数课件第四章向量组的线性相关性——习题课共79页文档

(1)加法交换律 ;
(2 )加法结 (合 ) 律 ( );
(3)对任一,个有向 O 量 ;
11.04.2020
线性代数课件
(4)对任一个 ,存向在量负 ,向有量 ()O;
(5) 1;
(6)数乘结k(合 l)律 (k)l;
(7)数乘分 k( 配 )律 kk; (8)数乘分 (k配 l)k 律 l.
(2)设aj
a1j ,bj
arj
a1j aar r1j, j
,(
j
1,2,
,m)
即向量 aj 添上一个分量后得量b到 j .若向向量
11.04.2020
线性代数课件
组 A:a1,a2,,am线性,无则关向B 量 :b1,组 b2, ,bm也线性 .反无言 ,关若之向B 量线组性,相则向A 量也组线性 . 相关
11.04.2020
线性代数课件
３线性组合
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．
定义给定向量A组:a1,a2, ,am,对于任何一组实数k1,k2, ,km,向量
k1a1k2a2 kmam 称为向量A组的一个线性组 ,k1合 ,k2, ,km称为这个线性组合的.系数
11.04.2020
线性代数课件
４线性表示
定义给定向量A组 :a1,a2,,am和向量 b,如果存在一组实 k1,数 k2,,km,使
bk1a1k2a2 kmam, 则向量 b是向量A组的线性组,这合时称向b能量由向量A组线性表.示
11.04.2020
线性代数课件
定理向量 b能由向量 A线组性表示的充分必件是矩A阵 (a1,a2,,am)的秩等于B矩阵 (a1, a2,,am,b)的秩 .

线性代数习题册(第四章向量组的线性相关性参考答案)

r4 − r2

0
5
2
0 0 2

0
0
2
8
6

r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2

1 2 r2

0 0
0 0
1 0
2
4

3 1
0
0

1

0 →

0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0

注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)

1 0
1 1
0

1

0 0 1

1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,

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线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性一．选择题1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解（D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩＜ s .2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示（B ）β必不可由δγα,,线性表示（C ）δ必可由γβα,,线性表示（D ）δ比不可由γβα,,线性表示二．填空题：1．设TT T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα则=-21αα(1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T2．设)()()(αααααα+=++-321523，其中T),,,(31521=α，T)10,5,1,10(2=αT ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T3．已知TT T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 24．设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式0abc ≠三．计算题：1．设向量()11,1,1Tαλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)Tβλλ=，试问当λ为何值时（1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？（3）β不能由321ααα,,线性表示？13212322221110111(,,,)11111111111101110,00(3)(12)r r rλλλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−−→+ ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪−−→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭解因为2221110,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭123123123(1)03,(,,,)(,,)3,,,,;R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一123123123(2)0,(,,,)(,,)13,,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一123123123(3)3,(,,,)3(,,)2,,,.R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第三节向量组的秩一．选择题：1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,, （C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示（B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示（C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示（D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关（B ）s ααα,,, 21中无零向量（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关（D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [ C ]（A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示（B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示（D ）若n s >，则n r = 二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 3 2．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为22．向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T),,(1324=α的秩为2，则a = 2 b = 5三．计算题：1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，Td ),,,(262=β（1）试求4321αααα,,,的极大无关组（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式134321313512312343(1)53215111211221122(1)(,,,)11123215543954391112111200100010012101210121000011120121r r r r r r r r r r r r r αααα↔---⨯--↔⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪−−−→−−−→ ⎪⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭−−−→解：3241434243123123121231234001000(,,)3,,,.,,,,,3212321232121126112611261112111200145430110r r r r r r r r r r R d d αααααααααααααααα-----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4因为则线性无关，且故为的一个极大无关组.(2)()123123123412312300066(,,,),,3,,,,,,32120104112610020014001400000000244.r d d R R αααβαααβαααααααβααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+只有时即可由的极大无关组表示.所以=3．已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关。

(1) 记2(,,)P x Ax A x =,求3阶矩阵B ,使AP PB =; (2)求 ||A解：20(,,)10Ax x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,220(,,)01A x x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且32203(,,)31A x Ax A x x Ax A x ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭22322000(,,)(,,)(,,)103(,,)011AP A x Ax A x Ax A x A x x Ax A x x Ax A x B ⎛⎫ ⎪∴==== ⎪ ⎪-⎝⎭又因向量组2,,x Ax A x 线性无关,故2(,,)P x Ax A x =可逆.得1000000103103011011B P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.(2) 1A PBP -=,11||||||||||||0A PBP P B P B --====.线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第五节向量空间综合练习一．选择题：1．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ B, C ] （A ）133221,,αααααα-++ （B ）122312,,2αααααα+++（C ）1332213,32,2αααααα+++ （D ）321321321553,2232,ααααααααα-++-++ 2．设矩阵A n m ⨯的秩=)(A R n m <，E m 为m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ B ] （A ）A 的任意m 个列向量必线性无关（B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m 0）的形式（C ）A 的任意m 阶子式不等于零（D ）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多组解二．填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403212221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，则a = 1- 2．从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112α到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212β的过渡矩阵为2312⎛⎫⎪--⎝⎭三．计算题：1．设()11111Tα=，()23311T α=--，()32068Tα=-试用施密特正交化方法将向量组标准正交化。

解：()111111Tβα==()2122111[,]2222[,]Tαββαβββ=-=--()313233121122[,][,]1111[,][,]Tαβαββαββββββ=--=--()11111111||||2T βεβ== ()22212222||||4Tβεβ==-- ()33311111||||2Tβεβ==-- 2．已知3R 的两个基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013a 及 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4322b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3433b求由基321,,a a a 到基321,,b b b 的过渡矩阵P 。

解：记123111(,,)100111A a a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭,123123(,,)234143B b b b ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭1234010101P A B -⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。