北师大版八年级上册数学课件 《探索勾股定理》
2
2
我总结,我获得
勾 如果直角三角形两直角边为a、b
股 斜边为c，那么
定
a2 + b2 = c2
理 即直角三角形两直角边的平方和
： 等于斜边的平方。
弦 勾
股
斜 边 称 为 弦 。
边 称 为 股 ，
较 长 的 直 角
角 边 称 为 勾 ，
中 较 短 的 直
直 角 三 角 形
我 国 古 代 把
方法三：赵爽弦图
c a
b
北 京 欢 迎 您 ！
方法四
b
ac
a2
c2
Hale Waihona Puke b2 a2 + b2 = c2
方法五
c2 = b2 + a2
④c
b
⑤
③
a
①
②
我会用,我挑战
勾股定理 直角三角形两直角边的平
方和等于斜边的平方
请说出下列直角三角形中三边之间的关系。
xx
z
(1)
(2)
(3)
勾股定理
• 直角三角形中，两直角边的平方 和等于斜边平方.
我观察,我猜想
观察所得到的数据，你有什么发现？ SA+SB=SC
B 4b c5
a3 A
32+42=52 a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
我实践,我验证
命题：如果直角三角形的两直角 边长分别为a、b，斜边长为c，那 么 a2+b2=c2.
c a
b
我实践,我验证 方法一
证明： S= a b2
我会用,我挑战 3.一个长8 米,宽6 米的矩形草地,需在相对 角的顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
别踩我,我怕疼!
6m
8m
我自信,我挑战
4、某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 楼梯已被火封住上不去，了解到着火点 距地面１0米消防队员取来9米长的云梯。 已知梯子的底部到墙基的水平距离为4米， 到地面的高度为2米，问消防队员能否进 入三楼灭火？
b S=S小正方形 S4直角三角形
c2 4 1 ab
a c
2
a b2 c2 4 1 ab
2
c
b
a2 b2 c2
a
a
b c
c a
b
我实践,我验证 方法二
a bc
c a
b
S梯形
1 2
a
b
a
b
S梯形
2
1 2
ab
1 2
c2
1 a b2 ab 1 c2
用数学式子表示：a2+b2=c2
⑴ c2 = a2 + b2 c a2 b2
股 c 弦 ⑵ a2 = c2 - b2 a c2 b2
b
⑶ b2 = c2- a2 b c2 a2
a勾
我会用,我挑战
1.求下列直角三角形中未知边的长:
比
一
5
比
看8
17
看
x
12
谁
x
算
得
快 ！
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
A
? 8
B 24 E
C 10 D
1. 课本4页，第１、２题； 2.查阅有关勾股定理的历史资料,
关注 验证勾股定理的方法.
勾 股第 定一 理章
一个直角三角形的直角边长分别是3和4，你知道它的斜边长是多少吗？
要解决这个问题，就用到了我们即将要学习的——勾股定 理.
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三多年前，周朝数学家商高就 提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么 弦就等于五.即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名的数学著 作《周髀算经》中.在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式.
在西方,相传二千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理后高兴 异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理 又叫做“百牛定理”． 因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理.
毕达哥拉斯（Pythagoras 公元前582年一前497年 ）是古希腊数学家，比 商高晚出生五百多年。
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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
北师大版八年级上册探索勾股定理课件
为股，斜边称为弦。“勾股定理
”因此而得名．（在西方文献中
股
又称为毕达哥拉斯定理）
练一练
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x 解：由勾股定理可得：
82+ x2=172 即: x2=172-82
x=15
12 5
x 解:由勾股定理可得：
52+ 122= x2 即： x2=52+122
x=13
当堂练习 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方 形的面积为 36 cm² .
讲教授学新目知
标
勾股定理：
直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边 的平方.
几何语言 表示：
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若在Rt△ABC中，∠C=90°
b
c
那么 a2+b2=c2
(AC2+BC2=AB2)
C
a
B
讲教授学新目知
标
勾股定理： 直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中，较短
弦
的边称为勾，较长的直角边称之 勾
SA=16 SB=9 SC=?
方法一：补
C
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三 角形的面积.
方法三：拼
C
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色） 可拼成一个小正方形.
方法二：割
C
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
数学知识
图为2002年在我 国北京召开的世 界数学家大会的 会标。
（3）试试猜想SA，SB，SC的数量关系？
SA=16 SB=9 SC=25
猜想：SA+SB=SC
北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件
c=
。
2.在△ABC中，∠C=90°,若c=13，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=12，则
a=
。
3.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
二、提高训练
4．一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距
地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端
滑动
m．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
视察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间 存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正 方形的面积.
分小组动手操作实践
用四张全等的等腰直角三角形纸片，拼成一个 正方形。（不能重叠，不能有间隙）
∵c2= 4×12 a2 ∴c2=2a2
（1）如果三角形的三边长分别为a,b,c，则 a2+b2=c2
( ×)
（2）如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2
( ×)
( 3) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 a+b=c
( ×)
(4) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 b2=c2-a2
2002年国际数 学家大会会标 ——弦图.
四、课堂小结 定理内容
重要的 思想方 法及数 学思想
勾股 定理
从特殊 到一般、 数形结 合思想
定理运用
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界.
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
北师大版八年级数学上册第一章第一节《探索勾股定理》ppt课件
400m
A
分析
1、根据题意画出图形,根据题中所给出的信息, 你能得到什么结论呢? 2、由题可知,∠ABC=90°,AB=400米 ,AC=500米,BC即为敌方汽车10秒所行使的距 离,故在直角三角形中求出BC的长即为解答此 题的关键; 3、求出BC的长后,根据“速度=路程÷时间” 即可解答此题了.
换一个直角三角形还依旧满足这种关系吗？
满足
C
面积
A
A 16 B9 C 25
B
C
A
B
面积
A1 B9 C 10
想一想
将直角三角形设为a，b，c，你能得到什么？
Байду номын сангаас
C
Aa c
Bb
Sa+Sb=Sc
a2+b2=c2
想一想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
结论
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
解答
B
C
解:根据题意画出图形; 根据题意可知,∠ABC=90° 400m
AB=400米,AC=500米, BC即为汽车10秒行驶的距离 A
∵ 在△ABC中,∠ABC=90°,AB=400米,AC=500米 BC AC2 AB2 5002 4002 300m
∴ 敌方汽车速度为300÷10=30米/秒
答:敌方汽车速度为30米/秒.
练习2
如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部 落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？
解：∵ＢＣ⊥ＡC，
∴在Ｒt△ＡＢＣ中，
ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５,
B
根据勾股定理，
AB2 AC2 BC2
5米
1.1探索勾股定理课件 北师大版数学八年级上册
即BC 2 =30 2 + 402，
所以 BC=50
Rt △ CDE中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2
即CE 2 =50 2 + 1202，
所以 CE=130
所以 BE=BC+CE=180 KM
180 x 100=18000 万元
即：该沿江高速的造价估计是18000 万元
探索新知
(1) 如图，在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系， 那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系 呢？
A
（2）你能发现直角三 角形三边长度之间存 在什么关系吗？与同 伴进行交流。
B
图1-3
C A
B
图1-4
A a
Bb c
C
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间 的关系
a2+b2=c2
你能验证你的猜想吗？
动手画一画
分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直 角三角形，并测量斜边的长度。以上猜想对 这个三角形仍然成立吗？
返回
C A
（2）在图1-2中，正方形A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面 积各是多少？
B C
图1-1
A
（3）你能发现图1-1、图1-2中三 个正方形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
B
图1-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
B
图1-3
C A
B
图1-4
分割成若干个直角边为 整数的三角形
（2）图1-3、图1-4
中三个正方形A，B， C的面积之间有什
A
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理课件(共30张PPT)
36
B.
特殊 △ ：直角三角形----Rt△ABC
2c
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC：AB=8：17，且AC=30， 求AB2 和AC2 +BC2的值；
C 2 B （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC：AB=8：17，且AC=30， 求AB2 和AC2 +BC2的值；
已知Rt△ABC，∠C=90°
如何解决
2.分析方法
问题: 如何验证以c为边长的正方形的面积是否为2 ？
方法2.用网格1帮助
A
1c
C1 B
A
1c
C1 B
如何解决
2.分析方法
你能用上述方法验证问题（2）的结论吗？ （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，求BC的长；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC：AB=8：17，且AC=30， 求AB2 和AC2 +BC2的值；
例3.已知直角三角形的两直角边分长别为6cm和8cm， 求以第三边为边长的正方形的面积。
例4 .强大的台风使得一根长24米的旗杆在某处折断倒下，旗杆 顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断处离地面有多高？
例4 强大的台风使得一根长24米的旗杆在某处折断倒下，旗杆 顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断处离地面有多高？
是（ D ）.
A. 4:6:7
B. 6:8:12
C. 1:2:3
D.5:12:13
3.在Ｒｔ△ABC中，∠Ｃ＝９０°，a、b、c 为其
三边.(1)若 a 6，b 8 ，则 c 10 ；
(2)若a 5，c 13 ，则 b 12 ；
4. 如图，Ｒｔ△ABC中，B 90 ，AB=3 cm，AC=5
北师版八年级数学上册1.1 探索勾股定理 课件(共17张PPT)
2b c
3
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
20C中, ∠C=90°.
a=5cm
A
b=12cm
bc
c= 13cm
CaB
a 2+b 2= 169cm2
c 2= 169cm2
a2+b2=c2
2020/6/18
9
勾股定理:(gou-gu theorem)
2
图2-1
3 1
2
图2-2
（3）你能发现两图 中三个正方形1，2， 3的面积之间有什么 关系吗？
（图202中0/6/18每个小方格代表一个单位面积）
5
探索正方形3的面积
3 2
1
图3-1
3 2
1
图3-2
2020/6/18
6
3 2
1
图2-3
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2020/6/18
7
推广:一般的直角三角形,上述 结论成立吗？ 1 a
46
c
58
2020/6/18
14
4.求斜边长为17cm、一条直角边长为15cm的直角三角形的面积.
2020/6/18
15
归纳小结
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方．如果用a,b,c分别表示直角三角形的两 直角边和斜边，那么a2+b2=c2
2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.
1 求下图中字母表示的正方形的面积.
A625 225
400
②
81 B 144
225
2020/6/18