方差 -数学教案
方差
称 D( X ) 为 标 准 差 或 均 方 差 , 记 为σ ( X ).
3. 方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量 X 取 值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果
D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以
E(X) 作为随机变量的代表性好.
2
D( X ) D(Y ). 显然 D（X C） D（X） .
推广: 若 X1 , X 2 ,, X n 相互独立, 则有
D( X 1 X 2 X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) D( X n ).
D( a i X i ) a D( X i )
2
2
1 2σ 2 ( x μ) e d x. 2 πσ ( x μ )2 2 x x 2 2σ 2 ( )e d( ). 2π
( x μ )2
σ 2π 2
2
t2 2 2
t e
σ dt 2π 2π
2
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
(教材P317附表8)
分 布 参数
0 p1 n 1,
数学期望
方差
p(1 p ) np (1 p )
两点分布
二项分布 泊松分布 均匀分布
p
np
0 p1
0
ab
0
1/
1 / 2
(a b) 2 (b a )2 12
第二节 方
差
一、随机变量方差的概念及性质
二、重要概率分布的方差
三、例题讲解 四、小结
15讲方差
图示, 图示, 方差大和方差小的情况 f1(x) 方差大
f2(x)
方差小
x
方差越大,随机变量的取值越分散;反之, 方差越大,随机变量的取值越分散;反之,越 集中在期望的附近. 集中在期望的附近.方差有非常重要和直观的 实际意义,如某些地区年温差较大, 实际意义,如某些地区年温差较大,即气温方 差较大,而有些地区四季如春,气温方差较小. 差较大,而有些地区四季如春,气温方差较小. 2010-7-6
2010-7-6 12
∞
方差实际上就是随机变量的函数 g(X)=(X-E(X))2的数学期望,如果 是离散 的数学期望,如果X是离散 型随机变量, 并且P{X=xk}=pk (k=1,2,...), 则 型随机变量 并且 ∞
D( X ) = ∑[xk E( X )] pk
2 k =1 +∞
如果X是连续型随机变量 有概率密度f (x), 则 , D( X ) = ∫[x E( X )] f (x)dx
概率论与数理统计 15讲 第15讲
2010-7-6
1
方差
2010-7-6
2
两封信随机投向1,2,3,4四个信箱 四个信箱, 例1 两封信随机投向 四个信箱 X1,X2代表头两个信箱里的信数目 求在第 代表头两个信箱里的信数目, 求在第2 个邮箱里有1封信条件下第一个邮箱内信数 个邮箱里有 封信条件下第一个邮箱内信数 平均数 的平均数. 解 因已经计算出 2×2 2×3 2 P{X1 = 0 | X2 =1 = } / = 16 16 3 2 2×3 1 } P{X1 =1| X2 =1 = / = 16 16 3 因此 在X2 =1条 下 X1的平 , 件 , 均值 为 应 2 1 1 E{X1 | X2 =1 = 0× +1× = } 3 3 3
方差
4.5.2方差教学设计作者：高学芝学校：新泰市翟镇初级中学创建时间：2014-07-2515:04 浏览数：48质量评价结果：优秀指导教师赵航优秀 2014-07-25 15:56教学设计很有特色，问题设计导学性强，设计说明便于体现意图，新知探究学生参与充分，学生训练量大。
值得学习4.5.2方差教学设计一、教与学目标：1.知识与技能：(1)理解方差、标准差的意义，(2)计算一组简单数据的方差与标准差2.过程与方法：(1)经历数据的处理过程，发展学生的统计意识和数据处理能力(2)掌握用方差、标准差分析数据离散程度的方法，能结合具体情境体会二者的区别；(3)能根据结果作出简单判断，从而帮助决策者作出恰当决策。
3.情感态度与价值观：(1)解决实际情景中的问题，增强学生的统计意识，(2)通过小组活动培养学生的合作交流意识二、教与学重点难点：掌握用方差、标准差分析数据离散程度的方法，能结合具体情境体会二者的区别。
三、教学方法：问题教学法，分组讨论法，自主学习自主探究，互动学习，合作探究。
学生通过自主探究、合作学习体会方差、标准差在实际问题中的应用。
四、教与学过程：（一）、情境导入：（利用幻灯片出示下列问题）[预设问题一]：反映一组数据集中趋势的统计量有。
[预设问题二]：一组数据的离散程度，就是通常所指的这组数据的稳定性，离散程度越，稳定性越；反映一组数据离散程度的统计量有。
[预设问题三]：甲、乙两名同学10次数学测试的平均成绩均为93，要选一人参加数学竞赛，你认为应从哪个角度来分析，让谁去更合适。
目的：通过多媒体手段，向学生出示有关考查数据的问题，一方面让学生感受数学与现实生活的联系，增强学生数学学习的应用意识；另一方面让学生进一步建立利用方差，标准差来分析问题的模型。
（二）、探究新知：1、预设问题导读：（1）、若你是工厂的老板，想对你的车床工人的技术进行测试，你将用什么办法？请说说你的想法？（2）、结合P101---- P102完成下列问题：a.例2.要从甲、乙两位车工中选拔一名车工参加比赛，从他们加工的零件中任意抽取5个进行检验，测得它们的直径（单位：毫米）如下：甲加工的零件：15.05，15.02，14.97，14.96，15.00乙加工的零件：15.00，15.01，15.02，14.97，15.00①分别求两个样本的平均数和方差②应推荐谁参加技术比赛，说明理由。
方差
一、方差的概念 二、方差的计算 三、方差的性质 四、切比雪夫不等式 五、课堂练习
一、方差的概念 1.概念的引入
引例 设两个班的成绩X,Y 分布律分别为 A班 B班 X p Y p 60 0.2 70 0.7 80 0.1 90 100 0.2 0.05
40 50 60 70 80 0.1 0.2 0.15 0.1 0.2
D(CX ) C 2 D( X ).
证明 D(CX ) E {[CX E (CX )]2 }
C 2 E {[ X E ( X )]2 } C 2 D( X ).
(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y )=D(X )+D(Y );
证明: D ( X Y ) E{( X Y ) 2 } [ E ( X Y )]2
2
1
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
x
,
2 2
E ( X ) x f ( x) d x 0 x e 用两次分部积分 2 2.
dx
D( X ) E ( X ) E ( X )
2 2
A班 B班
X p Y p
60 0.2
70 0.7
80 0.1 90 100 0.2 0.05
40 50 60 70 80 0.1 0.2 0.15 0.1 0.2
E(X )=69. E(Y )=69.
D( X ) [ xk E ( X )]2 pk
k 1
(60 69) 0.2 (70 69) 0.7 (80 69) 0.1 29. D(Y ) [ yk E (Y )]2 pk
随机变量乘积的方差
随机变量乘积的方差随机变量乘积的方差随机变量是统计学和概率论中的重要概念之一，它描述了实验或事件的不确定性。
在现实生活中，我们经常会遇到多个随机变量相乘的情况，如投掷骰子的结果相乘、抛硬币的正反面相乘等。
而了解这些随机变量乘积的方差对于我们理解和分析这些随机事件的不确定性至关重要。
本文将从简单的情况入手，逐渐深入探讨随机变量乘积的方差，并展示其在实际应用中的潜力和重要性。
1. 随机变量乘积的方差初探让我们考虑两个独立随机变量的乘积的方差。
设随机变量X和Y分别表示两个独立的事件或实验的结果，它们的方差分别为σX^2和σY^2。
那么，它们的乘积Z = XY的方差如何计算呢？在这种简单情况下，我们可以使用方差的性质来计算Z的方差。
根据方差的性质，如果X和Y是独立的，那么Z的方差为σZ^2 =E[(XY)^2] - (E[XY])^2。
由于X和Y是独立的，所以E[XY] =E[X]E[Y]。
Z的方差可以表示为σZ^2 = E[X^2Y^2] - (E[X]E[Y])^2。
2. 两个特殊情况的方差计算接下来，我们考虑两个特殊情况的方差计算。
首先是当X和Y相等时，即Z = X^2的方差。
在这种情况下，我们可以将Z的方差表示为σZ^2 = E[X^4] - (E[X^2])^2。
通过计算X的四阶、二阶和一阶矩，我们可以得到Z的方差的具体数值。
其次是当X和Y互为倒数时，即Z = 1/X的方差。
这种情况下，我们可以将Z的方差表示为σZ^2 = E[1/X^2] - (E[1/X])^2。
同样地，通过计算X的二阶和一阶矩，我们可以得到Z的方差的具体数值。
3. 随机变量乘积方差的实际应用随机变量乘积的方差在实际应用中有着广泛的应用。
在金融领域，投资组合的回报率往往是多个随机变量的乘积。
了解投资组合回报率的方差可以帮助我们评估投资的风险和潜在收益。
在工程领域，随机变量乘积的方差经常用于衡量系统的稳定性和可靠性。
当我们考虑多个失效率相乘来评估系统的可靠性时，了解这些随机变量乘积的方差可以帮助我们确定系统的稳定性和寿命。
方差
必修三第二章第2节2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)制作人：凌飞 徐丽恒 审核人： 适范围：高一用 使用日期：3.28-4.3【教学目标】1.理解一组数据的平均数、方差、标准差的概念并会求平均数、方差、标准差.2.会用方差、标准差估计总体的数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识. 【教学重难点】通过实例理解样本标准差的意义和作用，学会计算样本标准差.【课前小练】一个班组共有20名工人，他们的月工资情况如下，则该班组工人月工资的平均数为__________．【新课导航】1.数据的变化的程度可以用________、________或________来描述，样本方差描述了一组数据围绕________波动的大小．2.一般地设样本元素为n x x x ,,,21 样本平均数：描述数据的平均水平x =______________________________.样本方差：描述一组数据围绕平均数波动大小s 2＝________________________ ，标准差s ＝____________________ . 3.()()()nx x x x x x s n 222212-++-+-=标准差：()()()nx x x x x x s n 22221-++-+-=【典例分析】例1. 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中随机抽取6件进行测量，测得数据如下：(单位：mm)：甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100. (1) 分别计算上述两组数据的平均数和方差(2) 通过计算，请你说明哪一台机床加工的零件更符合要求.变式一.从甲､乙两种玉米苗中各抽10株,分别测得它们的株高如下(单位;cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问:(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?例2 如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为5,方差为4， 则数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2，…，3x n －2的平均数和方差为多少？变式2. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（） （A ）x ，22s 100+（B ）100x +，22s 100+（C ）x ，2s （D ）100x +，2s【课堂练习】1已知5个数据3、5、7、4、6，则该样本的标准差为( )A1 B ．2 C 3 D ．22.某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，平均分和方差为甲x ＝82分，乙x ＝82分，s 2甲＝245，s 2乙＝190，那么成绩较为整齐的是( )A ．甲班B ．乙班C ．两班一样齐D ．无法确定3.如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为10，方差为2，则数据7x 1－2,7x 2－2,7x 3－2，…，7x n －2的平均数为________，方差为________．4.随机调查某校50个学生在学校的午餐费如表所示，这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是（ ）A ．7.2，0.56 B ．7.2，C ．7，0.6D ．7，5.某校篮球队进行定点投篮测试，共进行五轮，每轮每人投篮10次．甲，乙两位同学五轮投篮命中的次数如下：甲：7 6 7 8 6 乙：9 5 7 9 4 则成绩比较稳定的是 ． 【课堂小结】标准差（方差）反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差（方差）越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散. 【课后作业】1、有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机是随机抽取了16台，记录上午8：00～11：00间各自的销售情况（单位：元），用茎叶图表示：设甲、乙的平均数分别为，标准差分别为s 1，s 2，则（ ）A ．，s 1＞s B ．＞，s 1＜s 2 C ．＜，s 1＜s 2 D ．＜，s 1＞s 22.如果数据x 1，x 2，…x n 的平均数是 2，方差是3，则2x 1+3，2x 2+3…，2x n +3的平均数和方差分别是（ ） A ．4与3B ．7和3C ．7和12D ．4和 123.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A ．92,2B ．92,2.8C ．93,2D ．93,2.84.已知一个样本x ，1，y ，5，其中x ，y 是方程组的解，则这个样本的标准差是（ ）A ．B ．2C ．D ．5.对划艇运动员甲､乙二人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们最大速度(m/s)数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36. 画出茎叶图并求均值，标准差.选作题：若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是 ．选做题：若x1，x2，…，x n和y1，y2，…，y n的平均数分别是x和y，试求出下列几组数据的平均数．(1)3x1,3x2，…，3x n；(2)x1－y1，x2－y2，…，x n－y n；(3)2x1＋m,2x2＋m，…，2x n＋m.6.某市对上下班交通情况做抽样调查，上下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速如下：上班时间：30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20；下班时间：27 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30；（1）用茎叶图表示上面的样本数据（2）求样本数据的极差、方差。
方差PPT课件
47 72
10
28 72
9 72
1.2.
由于s2甲＜s2乙，所以乙的射击成绩比甲的波动小，乙 的成绩更稳定些.
感悟新知
知1－讲
1. 定义：设n个数据x1， x2， …，xn的平均数为 x,
2
各个数据与平均数偏差的平方分别是 x1 x ,
2
2
x2 x , , xn x . 偏差平方的平均数叫
波动大小的关系.
感悟新知
知1－练
2 对于一组数据－1，－1，4，2，下列结论不正确 的是( ) A．平均数是1 B．众数是－1 C．中位数是0.5 D．方差是3.5
感悟新知
知1－练
3 设数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差为s2， 若s2＝0，则( ) A． x ＝0 B．x1＋x2＋…＋xn＝0 C．x1＝x2＝…＝xn＝0 D．x1＝x2＝…＝xn
感悟新知
知2－练
解：经计算知，甲、乙两个品牌手表日走时误差的平均数均为0.
两组数据的方差分别为
s甲2
1 50
22
5
12
11
02
17
12
13
22
4
1.2.
s乙2
1 50
32
2
22
6
12
11
02
14
12
8+22
6+32
3
2.24.
感悟新知
知2－练
由于 s乙2 ＞s甲2，所以从日走时误差方差的角度看，甲品牌优于
89 30 59
1 课堂探究点
两位数加、减整十数
2 课时流程
探索 新知
课堂 小结
当堂 检测
第6章方差分析
• 结果解读5
➢ S-N-K检验结果将无统计学意义的比较组列在同 一列中。即样本均数显示在同一列时，表示两组 总体均数差别无统计学意义。
➢单因素方差分析 完全随机设计的单因素方差分析 多个样本均数间的多重比较 ➢多因素方差分析 随机区组设计的方差分析 交叉设计的方差分析 拉丁方设计的方差分析 析因设计的方差分析 正交设计的方差分析 重复测量资料的方差分析 协方差分析
区组 I组
II组
III组
1
3.6
3.0
0.4
2
4.5
2.3
1.7
3
4.2
2.4
2.3
4
4.4
1.1
4.5
5
3.7
4.0
3.6
6
5.6
3.7
1.3
7
7.0
2.7
3.2
8
4.1
1.9
3.0
9
5.0
2.6
2.1
10
4.5
1.3
2.5
IV组 3.3 1.2 0.0
2.7 3.0 3.2 0.6 1.4 1.2 2.1
• 第五步：点击模型。在单变量：模型对话框中，选 定“设定”后，将“患者编号”、“阶段”、“药 物”移入右模型框。
第六步：设置两两比较。将“药物”选入两两 比较检验。勾上LSD、S-N-K、Dunnett。
• 第七步：设置选项。勾上“描述统计”。
第八步：完成，解读结果 • 结果解读1
阶段F=0.313， p=0.583；（药物顺序与疗效无关） 药物间F=0.522， p=0.479；（功效相当） 患者间F=2.537，p=0.027。
第六章 方差分析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方差 -数学教案
教学设计示例1
第一课时
素质教育目标
（一）知识教学点
使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差.
（二）能力训练点
1．培养学生的计算能力.
2．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力.
（三）德育渗透点
1．培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.
2．渗透数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点.
（四）美育渗透点
通过本节课的教学，渗透了数学知识的抽象美及反映在图像上的形象美，激发学生对美好事物的追求，提高学生对数学美的鉴赏力.
重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：方差概念.
2．教学难点：方差概念.
3．教学疑点：学生不易理解为什么要用方差去描述一组数据的波动大小，为什么不可以用各数据与其平均数的差的来和来衡量这组数据的波动大小呢？为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？对这些问题教师在剖析方差定义时要讲清楚.
4．解决办法：教师要讲清方差，标准差的意义，即它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况.
教学步骤
（一）明确目标
前面我们学习了平均数、众数及中位数，它们都是描述一组数据的集中趋势的量，这节课我们将进一步学习衡量样本（或一组数据）和总体的另一类特征数——方差、标准差及其计算.
这种开门见山式引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课讲解.
（二）整体感知
对于一组数据来说，我们除了关心它的集中趋势以外，还关心它的波动大小.衡量这个波动大小的最常用的特征数，就是方差和标准差.
（三）教学过程
1．请同学们看下面的问题：（用幻灯出示）
两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下（单位：毫米）
class=Normal width=40>
机床甲class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
39．8 class=Normal width=39>
40．1 class=Normal width=39>
40．2 class=Normal width=39>
39．9 class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
40．2
class=Normal width=39>
39．8 class=Normal width=39>
40．2 class=Normal width=39>
39．8 class=Normal width=40>
机床乙class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
39．9 class=Normal width=39>
40
class=Normal width=39>
39．9 class=Normal width=39>
40．2 class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
40．1 class=Normal width=39>
40 class=Normal width=39>
39．9上面表中的数据如图所示
教师引导学生观察表格中的数据和图，提出问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，哪个机床做得好呢？
对于这个问题，学生会马上想到计算它们的平均数．教师可把学生分成两级分别计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板计算）
计算的结果说明两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米．这时教师引导学生思考，这能说明两个机床做的一样好吗？不能！我们再观察上图（给学生充分的时间观察，找出左右两图的区别）从图中看到，机床甲生产的零件的直径与规定尺寸偏差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．这
说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．
教师说明：从上面看到，对于一组数据，除需要了解它们的平均水平外，还常常需要了解它们的波动大小（即偏离平均数的大小）．
通过引例的学习，使学生理解为什么要研究数据波动的大小，为提出方差概念做好了准
备．
2．方差概念
教师讲解，为了描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法，例如，可以先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小，通常，采用的是下面的做法：
设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么我们用它们的平均数，即用
③
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．
在学生理解方差概念时，可能会提出疑问：为什么要这样定义方差？（教师说明，在表示各数据与其平均数的倔离程度时，为了防止正偏差与负偏差的相互抵消）为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而要将它们平方？（教师说明，这主要是因为在很多问题里，含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些）为什么要除以数据个数n？（是为了消除数据个数的影响）．
在学生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通过计算机床甲、乙两组数据的方差，再根据理论说明哪个机床做得更好．
教师范解
从知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.
这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.
3．例1 （用幻灯出示）已知两组数据：
甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分别计算这两组数据的方差.
让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算，找一名好学生到黑板计算.
解：根据公式②（取），有
从知道，乙组数据比甲组数据波动大. 4．标准差概念
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根。