湖北省黄冈市2017届高三数学一轮复习备考数列的通项与求和 武穴中学 (共28张PPT)
六、学法分析
根据新课标理念，学生是学习的主体，教师只是学习的 帮助者、引导者以及课堂组织者，所以在本节课的教学中， 我主要是通过学生自主体验，结合教师的点拨提问等活动， 学生灵活地运用知识去研究问题，在潜移默化中领会学习方 法．有利于学生从“学会”到“会学”，最后到“乐学”．
七· 教学过程之知识方法归纳
七· 教学过程之对点训练
1 1 a , q s 6． (2011· 课标卷Ⅰ)已知等比数列{an}中 1 3 3 ， n 为 {an }
的前 n 项和
1 an s （I）证明： n 2
（II） bn log3 a1 log3 a2 ... log3 an 求 {bn } 通项公式
七· 教学过程之高考真题感悟
【标准解答】 （1）由题可得： a1b2 b2 b1, 又因为 b1 1, b2
1 3
解得 a1 2, an 3n 1
1 b （ II ）由（1）可知 n 1 3 bn
1 n 1 bn 1 ( ) 3
1 n 3 1 3 sn (1 n ) 1 2 3 1 3 1
an n＋2 n 项和为 Sn，由(1)知2n＝ n 1 ， 2＋
n＋1 n＋2 3 4 5 则：Sn＝22＋23＋24＋„＋ 2n ＋ n 1 2＋
n＋1 n＋2 1 3 4 5 S ＝ ＋ ＋ ＋„＋ n＋1 ＋ n＋2 两式相减得 2 n 23 24 25 2 2 1 1 1 3 1 n＋2 S ＝ ＋ 23＋24＋„＋2n＋1－ n＋2 2 n 4 2 1 3 1 n＋2 1 － ＝4＋4 － n ＋2 2n＋1 2 n＋4 所以Sn＝2－ n＋1 . 2
数列的通项与求和
从全国卷浅谈数列一轮复习 湖北省武穴中学 於小英
说课流程
在高考中的 地位和作用 学情分析 教学目标
学法分析
教法分析
教学重难点
教学过程
一·数列在高考中的地位与分量
考点分布 数列的概念与简 单表示法 考点分频 5年17考 考纲内容 1．数列的概念及其简单表现法： （1）了解数列的概念和几种简单的表示方 法（列表，图像，通项公式）。 （2）了解数列是自变量为正整数的一类函 数。 2．等差数列，等比数列： （1）理解等差数列，等比数列的概念。 （2）掌握等差数列，等比数列的通项公式 与前n项和公式。 （3）能在具体的问情境中识别数列的等差 关系与等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题。 （4）了解等差数列与一次函数，等比数列 与指数函数的关系。 命题趋势 内容探究： 1. 等差，等比 数列在高考中主 要考查定义，通 项公式，前n项和 公式及其性质， 等差等比常一起 考查。 2. 数列求和是 高考重点，特别 是错位相减求和 与裂项求和。
四· 教学重难点
教学重点： 等差、等比数列的概念、通项公式、前n项 和公式及应用 教学难点： 数列求和的方法及应用 分析：这样确定重难点,凸现了掌握知识的三个层次：识 记、理解和运用。
五· 教法分析
本节课通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，遵 循启发性教学思想，我主要采取以学生体验发现法为主， 讲练结合法为辅的教学方法，体现学生主体，教师主导．
【标准解答】(1) s3 0, s6 5
3a1 3d 0 由等差数列前 n 项和公式可得 5a1 10 d 5
解得 a1 1, d 1
2 n
1 1 1 1 1 ( ) (2)由（1）可知 a (3 2n)(1 2n) 2 2n 3 2n 1 2 n 1a2 n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 n ) 前 n 项和为 ( ... 2 1 1 1 3 2n 3 2n 1 1 2n a2 n 1a2 n 1
七· 教学过程之对点训练
8．(2012· 大纲全国卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a5＝
七· 教学过程之高考真题感悟
7．(2013· 新课标全国Ⅰ) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 s n ，满足 s3 0, s6 5, （I）求 {an } 的通项公式，
1 的前 n 项和。 （II）求 a a 2 n 1 2 n 1
七· 教学过程之高考真题感悟
1 1 1 1 1 S100＝ 1－2 ＋ 2－3 ＋„＋ 100－101
a1＝1， ⇒ d＝1
⇒an＝n.
1 100 ＝1－101＝101.
七· 教学过程之课堂小结
（1）求通项公式是高考的热点问题，它能综合考查等差 数列与等比数列的定义及有关性质以及逻辑推理和各种变形 能力，所以一直是高考的重点和热点． （2）错位相减法是数列最常见的求和方法之一，是高考 重点内容，常以解答题的形式出现，难度中等． （3）裂项法求和是近几年高考的热点，试题设计年年有 变、有创新，常与不等式综合命制解答题．
七· 教学过程之高考真题感悟
2 5．(2013· 新课标全国Ⅰ)设首项为 1，公比为3的等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn，则( A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
n
) B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an 2 1－3an 1 3 ＝3－2an.
a11－q a1－q· an 解析：Sn＝ ＝ ＝ 1－q 1－q
七· 教学过程之对点训练
【标准解答】(1)证明： an
1 1 a a1 an q 3 3 n 1 an sn 1 1 q 2 1 3
1 , 3n
n(n 1) 1 b (1 2 ... n ) (2) log3 an log3 3n n, n 2
等差数列及其前 n 项和
5年43考
等比数列及其前 n 项和
5年44考
数列求和 数列的综合问题 及应用
5年28考 5年33考
（1）上表是数列近五年在各地高考中的统计。 数列是高考考查的重点，分值12至16分，难度中等，少数偏难
一· 数列在高考中的地位与分量
（2）对比近十年全国卷对数列的考查，依然是必考题。每 年或以解答题第一题的形式出现，或以两个客观题形式出 现，或“一大一小”出现。分值10分，12分或17分，难度 中等偏易，是学生们的必得分题。
（3）显然，数列在高考中占有重要的地位，是高考出题的 重点。对比分析，我认为全国卷降低了对数列的难度要求 ，在复习中，我们要注重抓基础，不要拔高数列的难度。
二· 学情分析
（1）在完成数列这一章各小节的复习之后，学生对数列 概念、等差数列和等比数列，数列的求和有了系统的认识 ，此时，站在全国卷的角度小结“数列通项与求和”这一 专题，让学生感受数列在高考中的能力要求是很有必要地 。 （2）文科学生差生较多，在复习中，像数列这样知识点 不复杂，考查题型中等偏易，我们要把握难度，树立信心 ，尽量让每一个学生都能学好这一知识点，得到分数。
1．求数列的通项公式 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)利用前 n 项和与通项的关系
S1 n＝1， an＝ Sn－Sn－1 n≥2.
(3)在已知数列{an}中， 满足 an＋1－an＝f(n)， 且 f(1)＋f(2) ＋„＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 an. an＋1 (4)在已知数列{an}中， 满足 a ＝f(n)， 且 f(1)· f(2)· „· f(n) n 可求，则可用累积法求数列的通项 an.
七· 教学过程之高考真题感悟
1．(2016· 新课标全国Ⅰ) 已 知 {an } 是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ， 数 列 {bn } 满 足
b1 1, b3 1 , 3
anbn1 bn1 nbn
（I）求 {an } 的通项公式， （II）求 {bn } 的前 n 项和。
1 的前 5，S5＝15，则数列a · a ＋ n n 1
100 项和为(
)
100 A.101
99 B.101
99 C.100
101 D.100
七· 教学过程之对点训练
【标准解答】设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. a1＋4d＝5， ∵a5＝5，S5＝15，∴ 5×4 5a1＋ 2 d＝15 1 1 1 1 ∴ ＝ ＝n－ ， anan＋1 nn＋1 n＋1
三· 教学目标
教学目标是教学的出发点和归宿点，根据考试大纲要 求和高考中的地位和作用以及文科学生现有的知识水平， 我将教学目标设定为以下三维目标 1.知识与能力： 掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式 及常用的几种求和方法； 2.过程与方法： 通过高考真题作为典例剖析进一步提高学生研究问题、 分析问题与解决问题能力。 3.情感态度与价值观： 通过体验式学习，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试 ，敢于探索、创新的学习品质。
七· 教学过程之知识方法归纳
(3)裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后， 消去一部分从而计算 1 和的方法，适用于求通项为 的数列的前 n 项和．其中 anan＋1 1 1 1 1 {an}若为等差数列，则 ＝da －a . anan＋1 n n＋1 (4)分组求和法 一个数列即不是等差数列，也不是等比数列，若将这个 数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分， 即能分别求和，然后再合并．
七· 教学过程之知识方法归纳
2．常见的求和的方法 (1)公式法求和 适合求等差数列或等比数列的前 n 项和． 对等比数列利 用公式法求和时，一定注意公式 q 是否取 1. (2)错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法， 主要 用于求数列{an· bn}的前 n 项和，其中{an}、{bn}分别是等差 数列和等比数列．
s n 为 {a } 的前 n 项和， ．若 sn 126 ，则 n
湖北省黄冈市2017届高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案
黄冈市2017年元月高三年级调研考试文科数学2017年元月9日第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}|04,|13A x x B x N x =≤<=∈≤≤，则A B =IA. {}|13x x ≤≤B. {}|04x x ≤≤C. {}1,2,3D.{}0,1,2,32.关于x 的方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于 A. 22i - B.22i + C. 22i -+ D.22i --3.已知等比数列，则1"0"a >是2017"0"a >的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法正确的是A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B. 在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”必要不充分条件C. “若tan 3α≠3πα≠”是真命题 D.()0,0x ∃∈-∞使得0034x x <成立5.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为A. 30oB. 45oC. 60oD.90o6.已知实数0.30.120.31.7,0.9,log 5,log 1.8a b c d ====，那么它们的大小关系是A. c a b d >>>B. a b c d >>>C. c b a d >>>D. c a d b >>>7.函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则()20f x ->的解集为A. {}|04x x x <>或B. {}|04x x <<C. {}|22x x x <->或 D. {}|22x x -<<8.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：()1232100,3sin 1004y t y t πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则这两个声波合成后（即12y y y =+）的声波的振幅为 A. 62332+329.下列四个图中，可能是函数ln 11x y x +=+的图象是是 10.已知()()cos 23,cos67,2cos68,2cos 22AB BC ==o o o o u u u r u u u r ，则ABC ∆的面积为 2211.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S 为()S R r l π=+（注：圆台侧面积公式为）A. 17317ππ+B. 2017ππ+C.22πD. 17517ππ+12.已知a R ∈，若()x a f x x e x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间()0,1上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是A. 0a >B. 1a ≤C. 1a >D. 0a ≤第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知223cos ,2322πππαα⎛⎫⎛⎫+=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α= . 14.已知向量,a b r r 的夹角为45o ，且1,210a a b =-=r r r ，则b =r . 15.设实数,x y 满足22,20,2,y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则13y x -+的取值范围是 .16. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知7,7sin 3.a b B A ==+=（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙运动员得分：49,24,12，31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.（1）用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图；（2）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2,3,4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场得分大于40分的概率.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图，若5,10k k ==时，分别有510,.1121S S == （1）试求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，90ADC BAD ∠=∠=o ,1,2,AB AD CD ===平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SDC ⊥平面ABCD ,3SD =在线段SA 上取一点E （不含端点）使EC=AC,截面CDE 交SB 于点F.（1）求证：EF//CD;（2）求三棱锥S-DEF 的体积.21.（本题满分12分）已知函数()()21, 1.f x x g x a x =-=- （1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知a R ∈，函数()ln 1.f x x ax =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证：12 2.x x +>一、二、13. 14.15.16. 13417.解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．…………………（5分）（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．（10分）18.解：（Ⅰ）由题意得茎叶图如图：…………………………………………（5分）（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4的比赛中抽取一个容量为5的样本，则得分十位数为2、3、别应该抽取1，3，1场，所抽取的赛场记为A，B1，B2，B3，C，从中随机抽取2场的基本事件有：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）共10个，记“其中恰有1场的得分大于4”为事件A，则事件A中包含的基本事件有：（A，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C）共4个，∴…………………………………………………………（12分）答：其中恰有1场的得分大于4的概率为．19.解：解得：或（舍去），则..................6分（2）则...............12分20. 证明：（1）CD//AB CD //平面SAB又平面CDEF∩平面SAB=EF CD//EF……………………（6分）（2）CD AD，平面SAD平面ABCDCD平面SADCD SD，同理AD SD由（1）知EF//CDEF平面SADEC=AC，，ED=AD在中AD=1，SD=又ED=AD=1E为SA中点，的面积为三棱锥S-DEF的体积……………………（12分）21.解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…………6分（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………12分22.解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln （﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，由（1）可知，即．………………12分。
湖北省黄冈市2017届高三数学一轮复习备考：数列的通项与求和 人教课标版最新优选公开课件
四·教学重难点
教学重点： 等差、等比数列的概念、通项公式、前n项 和公式及应用
教学难点： 数列求和的方法及应用 分析：这样确定重难点,凸现了掌握知识的三个层次：识 记、理解和运用。
五·教法分析
本节课通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，遵 循启发性教学思想，我主要采取以学生体验发现法为主， 讲练结合法为辅的教学方法，体现学生主体，教师主导．
七·教学过程之课后作业
温馨 提 示
请 做：训练试卷A
数列的通项与求和
谢谢欣赏 欢迎指教
武穴中学 於小英
徐志摩曾说过：“一生中至少该有一次，为了某个人而忘记了自己，不求结果，不求同行，不求曾经拥有，甚至不求你爱我，只求在我最美的年华里，遇见你。”我不知道自己是何等的幸运能在茫茫人海中与你相遇？我也不知道你的出现是恩赐还是劫？但总归要说声“谢谢你，谢谢你曾来过……” 还记得初相识时你那拘谨的样子，话不是很多只是坐在那里听我不停地说着各种不着边际的话。可能因为紧张我也不知道自己想要表达什么？只知道乱七八糟的在说，而你只是静静地听着，偶尔插一两句。想想自己也不知道一个慢热甚至在不熟的人面前不苟言笑的我那天怎么会那么多话？后来才知道那就是你给的莫名的熟悉感和包容吧！
三·教学目标
教学目标是教学的出发点和归宿点，根据考试大纲要 求和高考中的地位和作用以及文科学生现有的知识水平， 我将教学目标设定为以下三维目标
1.知识与能力： 掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式 及常用的几种求和方法； 2.过程与方法： 通过高考真题作为典例剖析进一步提高学生研究问题、 分析问题与解决问题能力。 3.情感态度与价值观： 通过体验式学习，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试 ，敢于探索、创新的学习品质。
（1）求通项公式是高考的热点问题，它能综合考查等差 数列与等比数列的定义及有关性质以及逻辑推理和各种变形 能力，所以一直是高考的重点和热点．
2017届高考数学一轮复习 第七章 数列 课时35 数列的概念与通项学案 文
课时35 数列的概念及与通项（课前预习案）班级： 姓名：一、高考考纲要求1.掌握由观察法求数列通项公式.；2.理解数列S n 与a n 的关系式，3.了解简单的递推关系，会用简单的叠加与累乘方法获得通项公式. 二、高考考点回顾1.数列：按 排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作n a ，序号为n 的项叫第n 项，也叫通项，即n a ；数列一般简记作{}n a 。
2.通项公式：如果数列 可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
用()n a f n =表示数列的通项公式，这里要注意同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，不是每个数列都有通项公式.3.从函数观点看，数列实质上是定义域为 的函数，其图象是 .4.数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分： 递增数列， 数列， 数列， 数列。
5.递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a与 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6.n a 与n S 的关系：若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝ .三、课前检测1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 7的值为( )． A ．13 B ．14 C ．15 D ．162．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )． A ．30 B ．31 C ．32 D ．333．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )． A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0D ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列4．下列关于星星的图案个数构成一个数列，则该数列的一个通项公式是( )．A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －12C ．a n ＝n n ＋1 2D ．a n ＝n n ＋22课内探究案班级： 姓名：考点一 观察写通项【典例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）–1，7，–13，19，…；（2）,9910,638,356,154,32…；（3）,225,8,29,2,21…； （4）5，55，555，5555，…；（5）5，0，–5，0，5，0，–5，0，…；（6）1，3，7，15，31，….【变式1】数列112-⨯，123⨯，134-⨯，145⨯，…的一个通项公式是 。
黄冈中学高考数学典型例题13---数列的通项与求和(3)
黄冈中学高考数学典型例题详解数列的通项与乞降每临大事必有静气静则神明疑难冰释踊跃准备坦率面对最正确发挥舍我其谁数列是函数看法的持续和延长数列的通项公式及前n 项和公式都能够看作项数n 的函数是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲数列的问题最后究结为对数列通项的研究而数列的前n 项和 Sn 可视为数列 Sn 的通项通项及乞降是数列中最基本也是最重要的问题之一与数列极限及数学概括法有着亲密的联系是高考对数列问题考查中的热门本点的动向函数看法解决有关问题为其供给卓有成效的方法●难点磁场★★★★★设 an 是正数构成的数列其前 n 项和为 Sn而且关于全部的自然数 nan 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项1写出数列 an 的前 3 项2求数列 an 的通项公式写出推证过程3令 bn n ∈N 求 b1b2b3bn －n●事例研究〔例1〕已知数列an 是公差为 d 的等差数列数列bn 是公比为q 的q ∈Rq≠1 的等比数列若函数 f x x －1 2 且a1 f d －1 a3 且f d1 b1 f q1 b3 f q －11求数列 an 和 bn 的通项公式2设数列 cn 的前 n 项和为 Sn 对全部 n∈N都有 an1 建立求命题企图此题主要考察等差等比数列的通项公式及前n 项和公式数列的极限以及运算能力和综合剖析问题的能力属★★★★★级题目知识依靠此题利用函数思想把题设条件转变为方程问题特别明显而 2 中条件等式的左侧可视为某数列前 n 项和实质上是该数列前 n 项和与数列 an 的关系借助通项与前 n 项和的关系求解 cn 是该条件转变的打破口错解剖析此题两问环环相扣1问是基础但解方程求基本量a1b1dq 计算禁止易犯错2问中对条件的正确认识和转变是重点技巧与方法此题1问运用函数思想转变为方程问题思路较为自然 2问借鸡生蛋结构新数列dn 运用和与通项的关系求出dn 丝丝入扣解 1 ∵a1 f d －1 d －2 2a3 f d1 d2∴a3－a1 d2 － d －2 2 2d∵ d 2 ∴an a1 n －1 d 2 n －1 又 b1 f q1 q2b3 f q－1q－2 2∴q2 由 q∈R且 q≠1 得 q －2∴bn b ·qn－1 4 · －2 n －12 令 dn 则 d1d2dn an1 n ∈N∴dn an1 －an 2∴2 即 cn 2 ·bn 8 · －2 n －1∴Sn 〔1－－2 n 〕∴〔例 2〕设 An为数列 an 的前 n 项和 An an －1 数列 bn 的通项公式为 bn 4n31求数列 an 的通项公式2把数列 an 与 bn 的公共项按从小到大的次序排成一个新的数列证明数列 dn 的通项公式为 dn 32n13设数列 dn 的第 n 项是数列 bn 中的第 r 项 Br 为数列 bn 的前 r 项的和 Dn为数列 dn 的前 n 项和 Tn Br －Dn求命题企图此题考察数列的通项公式及前n 项和公式及其互相关系会合的有关看法数列极限以及逻辑推理能力知识依靠利用项与和的关系求an 是此题的先决 2 问中探访 an与 bn 的相通之处须借助于二项式定理而 3 问中利用乞降公式乞降则是最基本的知识点错解剖析待证通项 dn 32n1 与 an 的共同点易被忽略而举步维艰注意不到 r 与 n 的关系使 Tn 中既含有 n 又含有 r 会使所求的极限模糊不清技巧与方法 1 问中项与和的关系为惯例方法 2 问中把 3 拆解为 4－1 再利用二项式定理找寻数列通项在形式上相通之处可谓妙笔3 问中发掘出 n 与 r 的关系正确表示Br 问题即可水到渠成解 1 由 An an －1 可知 An1 an1 －1∴ an1－an an1 －an 即 3 而 a1 A1 a1 －1 得 a1 3 所以数列是以3 为首项公比为 3 的等比数列数列an 的通项公式an 3n 2∵32n1 3·32n 3·4 －1 2n 3·〔42nC·42n－1 －1 C·4· －1 －1 2n 〕4n3∴ 32n1∈ bn 而数 32n 4 －1 2n 42nC·42n－1· －1 C·4· －1 －1 2n 4k1∴ 32n bn 而数列 an a2n1 ∪ a2n ∴dn 32n1 3 由32n1 4 ·r3 可知 r∴Br●神机妙算1数列中数的有序性是数列定义的灵魂要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同所以在研究数列问题时既要注意函数方法的广泛性又要注意数列方法的特别性2数列 an 前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式 an3求通项常用方法①作新数列法作等差数列与等比数列②累差叠加法最基本形式是an an －an－ 1 an －1an－2 a2 －a1 a1③概括猜想法4 数列前 n 项和常用求法①重要公式12n n n11222n2 n n1 2n11323n3 12n 2 n2 n1 2②等差数列中Smn SmSnmnd等比数列中 Smn SnqnSm SmqmSn③裂项乞降将数列的通项分红两个式子的代数和即an f n1－fn而后累加时抵消中间的很多项应掌握以下常有的裂项④错项相消法⑤并项乞降法数列通项与和的方法多种多样要视详细情况采用适合方法●剿灭难点训练一填空题1★★★★★设 zn n n ∈N 记 Sn ｜z2－z1｜｜z3－z2｜｜zn1－zn｜则 Sn _________2 ★★★★★作边长为a的正三角形的内切圆在这个圆内作新的内接正三角形在新的正三角形内再作内切圆这样持续下去全部这些圆的周长之和及面积之和分别为_________二解答题3★★★★数列 an 知足 a1 2 关于随意的 n∈N 都有 an＞0 且n1 an2an ·an1－nan12 0 又知数列 bn 的通项为 bn 2n －111求数列 an 的通项 an 及它的前 n 项和 Sn2求数列 bn 的前 n 项和 Tn3猜想 Sn 与 Tn 的大小关系并说明原因4 ★★★★数列an中a1 8a4 2且知足an2 2an1－an n∈N1求数列 an 的通项公式2设 Sn ｜a1｜｜ a2｜｜ an｜求 Sn3设 bn n ∈N Tn b1b2bn n ∈N 能否存在最大的整数 m使得对随意 n∈N均有 Tn＞建立若存在求出 m的值若不存在说明原因5★★★★★设数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn m1 －man对随意正整数 n 都建立此中 m为常数且 m＜－ 11 求证 an 是等比数列2设数列 an 的公比 q f m 数列 bn 知足 b1 a1bn f bn －1 n≥2n∈N 试问当 m为什么值时建立6 ★★★★★已知数列bn是等差数列b1 1b1b2b10 1451求数列 bn 的通项 bn2设数列an 的通项 an loga 1 此中a＞0 且a≠1 记 Sn 是数列an 的前n 项和试比较Sn与 logabn1 的大小并证明你的结论7★★★★★设数列 an 的首项 a1 1 前 n 项和 Sn 知足关系式3tSn－ 2t3 Sn －1 3t t＞0n 2341求证数列 an 是等比数列2 设数列 an 的公比为 f t 作数列 bn 使 b1 1bn f n 234 求数列 bn 的通项 bn3乞降b1b2－b2b3b3b4－b2n－1b2n－b2nb2n1参照答案难点磁场分析 1由题意当n 1时有S1 a1∴解得 a1 2 当 n 2 时有 S2 a1a2 将 a1 2 代入整理得 a2 －2 2 16 由 a2＞0 解得 a2 6 当 n 3 时有 S3 a1a2a3 将 a1 2a2 6 代入整理得 a3 －2 2 64 由 a3＞0 解得 a3 10 故该数列的前 3 项为 26102 解法一由 1 猜想数列 an 有通项公式 an 4n－2 下边用数学概括法证明 an 的通项公式是 an 4n －2 n ∈N①当 n 1 时因为 4×1－2 2 又在 1中已求出a1 2所以上述结论建立②假定当 n k 时结论建立刻有 ak 4k －2 由题意有将 ak 4k －2 代入上式解得2k 得Sk 2k2 由题意有Sk1 Skak1 将Sk 2k2 代入得 2 2 ak12k2 整理得 ak12－4ak14－16k2 0 由 ak1＞0 解得 ak1 24k 所以 ak1 24k 4 k1 －2 即当 n k1 时上述结论建立依据①②上述结论对所有的自然数 n∈N建立解法二由题意知n ∈N 整理得 Sn an2 2由此得Sn1 an12 2∴an1 Sn1－Sn 〔an12 2 －an2 2 〕整理得an1an an1 －an－4 0 由题意知an1an≠0∴an1－an 4 即数列an 为等差数列此中a1 2 公差d 4 ∴an a1 n －1 d 24 n －1 即通项公式为an 4n －2解法三由已知得n ∈N ①所以有②由②式得整理得Sn1－2·2－Sn 0 解得因为数列an 为正项数列而因此即Sn 是认为首项认为公差的等差数列所以n －1 nSn 2n2故 an 即 an 4n －2 n ∈N3 令 cn bn －1 则 cn剿灭难点训练一答案12 分析由题意全部正三角形的边长构成等比数列an 可得an 正三角形的内切圆构成等比数列rn 可得rn a∴这些圆的周长之和 c 2 πr1r2rn a2面积之和S π n2r22rn2 a2答案周长之和πa 面积之和a2二 3 解1 可解得进而an 2n 有Sn n2n2 Tn 2nn －13 Tn －Sn 2n －n2－1 考证可知 n 1 时 T1 S1n 2 时 T2＜S2n 3 时T3＜S3n4 时 T4＜S4n5 时 T5＞S5n6 时 T6＞S6 猜想当 n≥5 时Tn＞Sn 即 2n＞n21可用数学概括法证明略4 解 1 由 an2 2an1 －anan2－an1 an1－an 可知 an 成等差数列d －2∴an 10 －2n2由an 10－2n≥0可得n≤5当n≤5时Sn－n29n当n＞5时Sn n2－9n40 故 Sn3 bn要使 Tn＞总建立需＜ T1 建立刻 m＜8 且 m∈Z 故适合条件的 m的最大值为 75 解 1 由已知 Sn1 m1 －man1Sn m1 －man②由①－②得an1 man－man1即 m1 an1 man 对随意正整数n 都建立∵ m为常数且 m＜－ 1∴即为等比数列2当n 1 时 a1 m1－ma1∴a1 1 进而b1由1 知q f m ∴bn f bn －1 n∈N且n≥2∴即∴为等差数列∴ 3 n －1 n2n ∈N6 解1 设数列bn 的公差为 d 由题意得解得b1 1d 3∴bn 3n －22由bn 3n－2知Sn loga 11 loga 1 loga 1loga 〔1111 〕logabn1 loga所以要比较Sn 与logabn1 的大小可先比较1111 与的大小取 n 1 时有 11 ＞取n 2 时有111 ＞由此推断1111 ＞①若①式建立则由对数函数性质可判断当 a＞1 时 Sn＞logabn1当 0＜a＜1 时 Sn＜logabn1 下边用数学概括法证明①式②③ⅰ当 n 1 时已考证①式建立ⅱ假定当 n k 时 k ≥1①式建立刻那么当 n k1 时这就是说①式当 n k1 时也建立由 ⅰⅱ可知①式对任何正整数 n 都建立由此证得当 a ＞1 时 Sn ＞logabn1 当 0＜a ＜ 1 时 Sn ＜logabn17 解 1 由 S1 a1 1S2 1a2 得 3t 1a2 － 2t3 3t∴ a2又 3tSn － 2t3 Sn －1 3t①3tSn －1－ 2t3 Sn －2 3t②①－②得3tan －2t3 an－1 0∴ n 2342 由 f t所以an 得 是一个首项为bn f bn－11 公比为的等比数列 可见bn是一个首项为1 公差为的等差数列于是 bn 1 n －13 由 bn 可知 b2n －1 和 b2n 是首项分别为 1 和公差均为的等差数列于是 b2n∴ b1b2－b2b3b3b4－b4b5b2n －1b2n －b2nb2n1b2 b1 －b3 b4 b3 －b5 b2n b2n －1－b2n1－ b2b4b2n －· n － 2n23n第1页共11页。
2017届高三数学文理通用一轮复习课件：6.4 数列求和
第六章
考点一 考点二 考点三
6.4
数列求和
知识梳理 核心考点 规律总结
考情概览
-11-
2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和 1 为 . 2������ + -2+n2
解析:Sn=(2+22+23+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]
2(1-2������ ) ������(1+2������-1) = + 2 1-2
3(1-3������ ) 为偶数时,Sn=n+ 1-3
=
3������+1 3 +n- ; 2 2
3(1-3������ ) 为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+ 1-3 3������+1 3 + ������- ,������为偶数, 2 2 3������+1 7 -������- ,������为奇数. 2 2
������-1
.
������+2 2
*. , n ∈ N ������-1
所以,数列{bn}的前 n 项和为 4-
第六章
考点一 考点二 考点三
6.4
数列求和
=2������ + -2+n2.
1
第六章
考点一 考点二 考点三
6.4
数列求和
知识梳理 核心考点 规律总结
考情概览
-12-
3.在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.
【教育学习文章】高考数学(理科)一轮复习数列的通项与求和学案附答案
高考数学（理科）一轮复习数列的通项与求和学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com 学案31 数列的通项与求和导学目标：1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理．求数列的通项数列前n项和Sn与通项an的关系：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f，且f＋f＋…＋f可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋＋＋…＋．当已知数列{an}中，满足an＋1an＝f，且f•f•…•f可求，则可用__________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1•a2a1•a3a2•…•anan－1.作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．归纳、猜想、证明法．2．求数列的前n项的和公式法①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n项和Sn＝，q＝1，＝，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．③常见数列的前n项和：a．1＋2＋3＋…＋n＝__________；b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________；c．1＋3＋5＋…＋＝______；d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________；e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．裂项法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式有：①1nn＋1＝1n－1n＋1；②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；③1n＋n＋1＝n＋1－n.错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．自我检测．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2，则数列{an}的前n项的A.32B.92c.38D.982．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，若{Sn}是等差数列，则q为A．－1B．1c．±1D．03．已知等比数列{an}的公比为4，且a1＋a2＝20，设bn＝log2an，则b2＋b4＋b6＋…＋b2n等于A．n2＋nB．2c．2n2＋nD．44．已知数列{an}的通项公式an＝log2n＋1n＋2，设{an}的前n项的和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数nA．有最大值63B．有最小值63c．有最大值31D．有最小值315．设关于x的不等式x2－x<2nx的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．6．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________.探究点一求通项公式例1 已知数列{an}满足an＋1＝2n＋1•anan＋2n＋1，a1＝2，求数列{an}的通项公式．变式迁移1 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；求数列{an}的通项公式．探究点二裂项相消法求和例2 已知数列{an}，Sn是其前n项和，且an＝7Sn－1＋2，a1＝2.求数列{an}的通项公式；设bn＝1log2an•log2an＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n项和．探究点三错位相减法求和例3 已知数列{an}是首项、公比都为q的等比数列，bn＝anlog4an．当q＝5时，求数列{bn}的前n项和Sn；当q＝1415时，若bn<bn＋1，求n的最小值．变式迁移3 求和Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.分类讨论思想的应用例二次函数f＝x2＋x，当x∈[n，n＋1]时，f的函数值中所有整数值的个数为g，an＝2n3＋3n2gn，则Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋n －1an＝A．n－1nn＋12B．nnn＋12c.nn＋12D．－nn＋12【答题模板】答案 A解析本题考查二次函数的性质以及并项转化法求和．当x∈[n，n＋1]时，函数f＝x2＋x的值随x的增大而增大，则f的值域为[n2＋n，n2＋3n＋2]，∴g＝2n＋3，于是an＝2n3＋3n2gn＝n2.方法一当n为偶数时，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an －1－an＝＋＋…＋[2－n2]＝－[3＋7＋…＋]＝－3＋2n－12•n2＝－nn＋12；当n为奇数时，Sn＝＋＋…＋＋an＝Sn－1＋an＝－nn－12＋n2＝nn＋12，∴Sn＝n－1nn＋12.方法二a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1，S2＝a1－a2＝－3，检验选择项，可确定A正确．【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．．求数列的通项：公式法：例如等差数列、等比数列的通项；观察法：例如由数列的前几项来求通项；可化归为使用累加法、累积法；可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法；求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．求和时应注意的问题：直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．一、选择题．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3＝2a1且a4与2a7的等差中项为54，则S5等于B．33c．31D．292．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝A.6512B.378c.7213D.943．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1且an－1－ananan －1＝an－an＋1anan＋1，则此数列的第10项A.1210B.129c.110D.154．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于B.56c.16D.1305．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是A．7B．8c．9D．10题号2345答案二、填空题6．数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn，则log4S10＝__________.7．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－1an，则该数列前26项的和为________．8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝____________.三、解答题9．已知函数f＝x2－2x＋n2＋5n－7．若函数f的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，试证明数列{an}是等差数列；设函数f的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Sn.0．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝12nan＋an－c，a2＝6.求c的值及数列{an}的通项公式；证明1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1<18.1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋．求数列{an}的通项公式an；求数列{bn}的通项公式bn；若cn＝an•bnn，求数列{cn}的前n项和Tn.答案自主梳理．累加法累积法 2.①n2 na1＋n2d 倒序相加法②na1 a11－q a1－anq1－q③n2 n2＋n n2 n6 n22自我检测．c 2.B 3.B 4.B5．10100 6.145511512课堂活动区例1 解题导引已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an＝＋＋…＋＋a1；累乘：an ＝anan－1•an－1an－2•…•a2a1•a1等方法．解已知递推可化为an＋1－1an＝12n＋1，∴1a2－1a1＝122，1a3－1a2＝123，1a4－1a3＝124，…，1an－1an－1＝12n.将以上个式子相加得an－1a1＝122＋123＋124＋…＋12n，∴1an＝121－12n1－12＝1－12n.∴an＝2n2n－1.变式迁移1 证明由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－＝4an＋1－4an；于是an＋2－2an＋1＝2，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．解由知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是an＋12n＋1－an2n＝34，因此数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列，an2n＝12＋×34＝34n－14，所以an＝•2n－2.例2 解题导引 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．2．一般情况如下，若{an}是等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1，1anan＋2＝12d1an－1an ＋2.此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．解∵n≥2时，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，两式相减，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an．又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，∴an＋1＝8an．∴{an}是一个以2为首项，8为公比的等比数列，∴an＝2•8n－1＝23n－2.∵bn＝1log2an•log2an＋1＝1＝13，∴Tn＝13＝13<13.∴m20≥13，∴最小正整数m＝7.变式迁移2 解an＝2n＝21n－1n＋1，∴Sn＝2•[1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1]＝2•1－1n＋1＝2nn＋1.例3 解题导引 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an•bn}的前n项和时，可采用错位相减法．2．用乘公比错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．解由题意得an＝qn，∴bn＝an•log4an＝qn•log4qn＝n•5n•log45，∴Sn＝log45，设Tn＝1×5＋2×52＋…＋n×5n，①则5Tn＝1×52＋2×53＋…＋×5n＋n×5n＋1，②①－②得－4Tn＝5＋52＋53＋…＋5n－n×5n＋1 ＝54－n×5n＋1，∴Tn＝516，Sn＝516log45.∵bn＝anlog4an＝n1415nlog41415，∴bn＋1－bn＝1415n＋1log41415－n1415nlog41415＝1415n1415－n15log41415>0，∵1415n>0，log41415<0，∴1415－n15<0，∴n>14，即n≥15时，bn<bn＋1.故所求的n的最小值是15.变式迁移3 解当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n2，当a≠1时，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，①∴1aSn＝1a2＋2a3＋3a4＋…＋nan＋1，②①－②，得1－1a•Sn＝1a＋1a2＋1a3＋…＋1an－nan＋1，－1aSn＝1a1－1an1－1a－nan＋1＝1－1ana－1－nan＋1，∴Sn＝a1－1an2－n•an.∴Sn＝n2，a＝1，a1－1an2－n•an，a≠1.课后练习区．c 2.A 3.D 4.B 5.D6．9解析∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1．两式相减得an＋1－an＝3＝3an，∴an＋1＝4an，即an＋1an＝4.∴{an}为以a2为首项，公比为4的等比数列．当n＝1时，a2＝3S1＝3，∴n≥2时，an＝3•4n－2，S10＝a1＋a2＋…＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3×＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.7．－10解析依题意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝12，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝12，所以数列周期为4，S26＝6×＋1－2＝－10.8．2n＋1－2解析依题意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，所有的代数式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.9．解f＝x2－2x＋n2＋5n－7＝[x－]2＋3n－8.…………………………………………………………………由题意，an＝n＋1，故an＋1－an＝＋1－＝1，故数列{an}是以1为公差，2为首项的等差数列．……………………………………由题意，bn＝|3n－8|.……………………………………………………………………当1≤n≤2时，bn＝－3n＋8，数列{bn}为等差数列，b1＝5，∴Sn＝n2＝－3n2＋13n2；………………………………………………………当n≥3时，bn＝3n－8，数列{bn}是等差数列，b3＝1.∴Sn＝S2＋2＝3n2－13n＋282.…………………………………………∴Sn＝－3n2＋13n2，1≤n≤2，3n2－13n＋282，n≥3.……………………………………………0．解因为Sn＝12nan＋an－c，所以当n＝1时，S1＝12a1＋a1－c，解得a1＝2c，………………………………………………………………………………当n＝2时，S2＝a2＋a2－c，即a1＋a2＝2a2－c，解得a2＝3c，………………………………………………………所以3c＝6，解得c＝2；…………………………………………………………………则a1＝4，数列{an}的公差d＝a2－a1＝2，所以an＝a1＋d＝2n＋2.……………………………………………………………证明因为1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝14×6＋16×8＋…＋1＝12＋12＋…＋12＝12[＋＋…＋]……………………………………………＝12＝18－14.……………………………………………………………因为n∈N*，所以1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1<18.…………………………………………1．解∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n－1．∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1．……………………………………………当n＝1时，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3，…………………………………………………∴an＝3，n＝1，2×3n－1，n≥2，n∈N*……………………………………………………∵bn＋1＝bn＋，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，bn－bn－1＝2n－3.以上各式相加得bn－b1＝1＋3＋5＋…＋＝2＝2.∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.………………………………………………………………由题意得cn＝－3，n＝1，2×3n－1，n≥2，n∈N*.……………………………………………………当n≥2时，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2×3n－1，∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2×3n，相减得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2×3n.∴Tn＝×3n－＝×3n－3n－32＝3n＋32.…………………………………………………T1＝－3也适合．∴Tn＝3n＋32．…………………………………………………………www.5ykj.com。
高三数学一轮复习-求数列通项公式的方法课件
纳、猜想、证明方法求出数
列通项公式 。
使用条件：已知
+1
=
2
解题思路： = 1
1
3
= 2
2
⋯
= −1
−1
− 1个式子相乘，得到
2 3
· · ⋯·
= 1 · 2 · ⋯· − 1
1 2
−1
化简得
1
= 1 · 2 · ⋯· − 1
例三
在数列 an 中，a1 =
解：由题意，设 an+1 + k = 3 an + k
即 an+1 = 3 ⋅ an + 2k
对照原式，得 2k = 1 解得k =
∴ an +
1
2
1
an +
2
故an =
3n
2
3
2
为首项为 ，公比为3的等比数列
3
2
= ⋅3
-
1
2
1
2
n⋅1
=
3n
2
四、待定系数法
②形如+1 = ⋅ + ⋅ + （ 为常数）
1
an+1
=
∴{ }为首项为 3，公差为3的等差数列
1
=3n
an
故an =
1
3n
1
+3
an
五、取倒数法
②形如+1 =
·
· +
解题思路：两边同取倒数，运用整体思想，转化为待定系数法
具体步骤： 两边同取倒数，得
1
全国版2017版高考数学一轮复习第五章数列5.4数列求和课件理
1 1 1 1 1 1 2 2 3 5 6 5 . 6
2.(必修5P61习题2.5A组T4(3)改编)1+2x+3x2+…+nxn-1 = (x≠0且x≠1).
【解析】设Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1, ①
则xSn=x+2x2+3x3+…+nxn,
3.一些常见数列的前n项和公式
n n 1 (1)1+2+3+4+…+n=______. 2 (2)1+3+5+7+…+2n-1=__. n2 (3)2+4+6+8+…+2n=____.
(4)12+22+…+n2= n2+n .
(5)13+23+…+n3=(1+2+…+n)2.
n(n 1)(2n 1) 6
数列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.
(ii)方法:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn(*), 则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1(**),
(*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,就转 化为根据公式可求的和.
例如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
第四节
数列求和
【知识梳理】 1.等差数列的前n项和公式
n n 1 d n a1 a n na1 S _____________. 2 n 2. 等比数列的前 n 项和公式 2
湖北省黄冈市2017届高三数学一轮复习备考数列求和说课 团风中学 (共38张PPT)
2014 2013
17（解答） 7(5) 12(5)
14(5)
2012
5(5) 16
考查等比数列的概念和通项公式 考查数列的递推关系的理解，考查学生前n项和
2011 2010
17（解答） 17（解答）
考查等比数列的概念和性质以及等比数列的通项公式，考查对数的运算性质，考查数 列的求和方法 考查等比数列的求和公式以及累加法求前n项和，以及错位相减求和
2.学情分析
我教学对象是高三理科平行班的学生，基础知识储 备比较丰富，但系统性、条理性不足，知识还没有有效 地转化为能力。高三学生一轮复习的目的是为了完善他 们自身的知识体系，以点带面，促进学生构建知识网络， 根据已知通项关系，准确、熟练地运用有关知识及方法 对数列进行求和。
3.教学目标
（一）知识与技能目标 （1）能够利用“错位相减法”、“分组求和法”、“公式法” 等通项化归求和的常用方法。 （2）通过研究数列前 项和问题使学生更好地掌握通过数列的 特征来研究数列求和的方法。 （3）开拓思想、探索捷径，掌握解题规律，培养灵活处理问题 的能力，培养学生自主学习能力。 （二）过程与方法目标 本节课采用学案导学的教学模式，采用学生为主体，教师为 主导的方法，将复习、听课、巩固三者有机的结合起来，从而调 动学生学习数学的积极性。 （三）情感与价值目标 培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好习惯；由 适合的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动 性，激发学生学习兴趣，培养学生可持续发展的能力。
四.训练题目设计
（1）确定题源,贴近学生,重组原创 （2）强化基础,突出方法,分级达标 （3）抓纲务本,落实通法,熟练应用
说课：数列一轮复习
1.教材分析 2.学情分析
高考数学一轮总复习 5.4 数列的通项与求和课件(含高考真题)文 新人教版
-1
,
-1
-
当 a=1 时,T1=n;当 a≠1 时,T1=
(3-1)
.
2
(3-1) (3+1)
∴当 a=1 时,Sn=T1+T2=n+
=
;
2
2
T2=1+4+7+…+(3n-2)=
-1
(3-1)
当 a≠1 时,Sn=T1+T2= -1 +
.
2
-
等比
数列的前
n 项和公式就是用此法推导的.
4.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从
而求得其和.
第四页，共27页。
梳理(shūlǐ)
自测
5
想一想你能举出几种常见的拆项公式吗?
答案:裂项相消法的核心是将一个式子拆成两个式子的差的形式,
常见的拆项公式有:
1
1
1
(1)(+1) = − +1;
自测
10
4.(2013 辽宁高考)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若
a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6==0 的两根为 1 和 4,又数列{an}是递增数列,
所以 a1=1,a3=4,所以 q=2.
1·(1-26 )
63
41 + 6d = 81 + 4d,
1 + (2n-1)d = 21 + 2(n-1)d + 1.
解得 a1=1,d=2.
因此 an=2n-1,n∈N*.
考点(kǎo diǎn)二