2018年天津市红桥区中考数学二模试卷(含答案解析)【精品试卷】
三、解答题（66 分） 19． （8 分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式（1） ，得 （II）解不等式（2） ，得 ； ；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ．
20． （8 分）为了了解初一年级学生每学期参加综合实践活动的情况，某区教育行 政部门随机抽样调查了部分初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用 得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
2
） C．1.72×10
4
B．17.2×10
3
D．0.172×10
5
5．如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（
）
A．
B．
C． 6．计算 A．1
2
D． ﹣ 的结果是（ B．﹣1 ） C．1﹣x ） D．
7．方程 2x ﹣x﹣3=0 的两个根为（
A．x1= ，x2=﹣1 C．x1= ，x2=﹣3 8．已知 a= （
2 3 5 2 3
17． 【解答】解：y=x ﹣x+3=（x﹣ ） + ∴N 点坐标为： （ ， 令 x=0，则 y=3， ∴M 点的坐标是（0，3） ． ） ，
2
2
，
∵平移该抛物线，使点 M 平移后的对应点 M′与点 N 重合， ∴抛物线向下平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度即可， ∴平移后的解析式为：y=（x﹣1） + ． 故答案是：y=（x﹣1） + ． 18． 【解答】解： （1）AC= 故答案为 ． = ．
12． 【解答】解：依题意得： 当 x=0 时，函数 y=ax +2x﹣5=﹣5； 当 x=1 时，函数 y=a+2﹣5=a﹣3． 又关于 x 的一元二次方程 ax +2x﹣5=0 的两根 中有且仅有一根在 0 和 1 之间 （不含 0 和 1） ， 所以当 x=1 时，函数图象必在 x 轴的上方， 所以 y=a﹣3＞0， 即 a＞3． 故选：B．
4
，
所以 x1= ，x2=﹣1． 故选：A． 8． 【解答】解：a= ×（7+1+2 ∵2＜ ∴6＜4+ ＜3， ＜7， ）=4+ ，
∴a 的值在 6 和 7 之间， 故选：D． 9． 【解答】解：∵圆内接正六边形的边长是 2， ∴圆的半径为 2． 那么直径为 4． 圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于 4． ∴圆的内接正方形的边长是 2 故选：B． 10． 【解答】解：∵点 P（m，n） ，为是反比例函数 y=﹣ 图象上一点， ∴当﹣3≤n＜﹣1 时， ∴n=﹣3 时，m=1，n=﹣1 时，m=3， 则 m 的取值范围是：1≤m＜3． 故选：A． 11． 【解答】解：连接 AE， ∵AC=3，cos∠CAB= ， ∴AB=3AC=9， 由勾股定理得，BC= =6 ， ．
2 2
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13． 【解答】解：a ÷a =a ． 故答案为：a ． 14． 【解答】解：∵袋子中共有 5 个球，有 2 个黑球， ∴从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为 ； 故答案为： ． 15． 【解答】解：把点（1，2）代入解析式 y=﹣x+b，可得：2=﹣1+b， 解得：b=3， 故答案为：3 16． 【解答】解：∵四边形 ABC D 是平行四边形， ∴BC∥AD、BC=AD， 而 CE=2EB， ∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为 2：1， ∴S△AFD：S△EFC=（ ） ， 而 S△AFD=9， ∴S△EFC=4． 故答案为：4．
2 3． （10 分）为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位 分段计费办法收费．若用户的月用水量不超过 15 吨，每吨收水费 4 元；用户的 月用水量超过 15 吨，超过 15 吨的部分，按每吨 6 元收费． （I）根据题意，填写下表： 月用水量（吨/户） 应收水费（元/户） 4 10 40 16 …… ……
∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°； （II）如图②，连接 OB，BO 的延长线交 AC 于 H， ∵BF 为⊙O 的切线， ∴OB⊥BF， ∵AC∥BF， ∴BH⊥AC， 与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°， ∵OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB= （180°﹣144°）=18°， ∵∠AOB=∠OHA+∠OAH， ∴∠OAH=144°﹣90°=54°， ∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°， ∴∠BDG=∠ BAC=72°．
2018 年天津市红桥区中考数学二模试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1．计算 15÷（﹣3）的结果等于（ A．﹣5 B．5 ） C． D． ） D． ） C．﹣ D．
以看作中心对称图形的是（ A． B． C．
4．2017 年 “智慧天津” 建设成效显著， 互联网出口带宽达到 17200 吉比特每秒． 将 17200 用科学记数法表示应为（ A．172×10
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13．计算 a ÷a 的结果等于
5 2
．
14．一个不透明的袋子中装有 5 个球，其中 3 个红球、2 个黑球，这些球除颜色外 无其它差别，现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是 ．
15．若一次函数 y=﹣x+b（b 为常数）的图象经过点（1，2） ，则 b 的值为
2
B．x1=﹣ ，x2=1 D．x1=﹣ ，x2=3 ）
+1） ，估计 a 的值在（
A．3 和 4 之间 B．4 和 5 之间
C．5 和 6 之间 D．6 和 7 之间 ）
9．一个圆的内接正六边形的边长为 2，则该圆的内接正方形的边长为（ A． B．2 C．2 D．4
10．已知点 P（m，n） ，为是反比例函数 y=﹣ 图象上一点，当﹣3≤n＜﹣1 时，m 的取值范围是（ A．1≤m＜3 ） D．﹣3＜m≤﹣1
2
18．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、点 B、点 C 均 落在格点上． （I）计算△ABC 的边 AC 的长为 ．
（II）点 P、Q 分别为边 AB 、AC 上的动点，连接 PQ、QB．当 PQ+QB 取得最小值时， 请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 PQ、QB，并简要说明点 P、 Q 的位置是如何找到的 （不要求证明） ．
=4 天，
（III）估计该区初一年级这个学期参加综合实践活动的天数大于 4 天的学生有 2500×（18%+10%）=700 人． 21． 【解答】解： （I）如图①，连接 OB， ∵BF 为⊙O 的切线， ∴OB⊥BF， ∴∠OBF=90°，[来源:学科网 ZXXK] ∵OA⊥CD， ∴∠OED=90°， ∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°， ∵ OA=OB， ∴∠1=∠A= （180°﹣130°）=25°， ∴∠2=90°﹣∠1=65°，
∠ACB=90°，点 D 为 AB 的中点，
∴CD= AB= ， S△ABC= ×3×6 =9 ，
∵点 D 为 AB 的中点， ∴S△ACD= S△ABC= ， ，AE⊥CD，
由翻转变换的性质可知，S 四边形 ACED=9 则 ×CD×AE=9 解得，AE=4 ∴AF=2 ， = ， ， ，
由勾股定理得，DF= ∵AF=FE，AD=DB， ∴BE=2DF=7， 故选：C．
（I）本次随机抽样调查的学生人数为
，图①中的 m 的值为
；
（II）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （III）若该区初一年级共有学生 2500 人，请估计该区初一年级这个学期参加综合 实践活动的天数大于 4 天的学生人数．[来源:学_科_网] 21． （10 分）在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OA⊥CD 于点 E，过点 B 作⊙O 的 切线 BF 交 CD 的延长线于点 F． （I）如图①，若∠F=50°，求∠BGF 的大小； （II）如图②，连接 BD，AC，若∠F=36°，AC∥BF，求∠BDG 的大小．
2 2
（2）作线段 AB 关于 AC 的对称线段 AB′，作 BQ′⊥AB′于 Q′交 AC 于 P，作 PQ ⊥AB 于 Q，此时 PQ+QB 的值最小．
故答案为：作线段 AB 关于 AC 的对称线段 AB′，作 BQ′⊥AB′于 Q′交 AC 于 P， 作 PQ⊥AB 于 Q，此时 PQ+QB 的值最小． [来源:学科网 ZXXK] 三、解答题（66 分） 19． 【解答】解： （I）解不等式（1） ，得 x≥ ； （II）解不等式（2） ，得 x≤2；[来源:] （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（I）如图①，连接 BD′，当 BD′∥OA 时，求点 D′的坐标；
（II）如图②，当α=60°时，求点 C′的坐标； （III）当点 B，D′，C′共线时，求点 C 的坐标（直接写出结果即可） ． 25． （10 分）如图，经过原点的抛物线 y=﹣x +2mx（m＞0）与 x 轴的另一个交点为 A，过点 P（1，m）作直线 PA⊥x 轴于点 M，交抛物线于点 B．记点 B 关于抛物线 对称轴的对称点为 C（点 B、C 不重合） ，连接 CB、CP． （I）当 m=3 时，求点 A 的坐标及 BC 的长； （II）当 m＞1 时，连接 CA，若 CA⊥CP，求 m 的值； （III）过点 P 作 PE⊥PC，且 PE=PC，当点 E 落在坐标轴上时，求 m 的值，并确定 相对应的点 E 的坐标．
．
16． 如图， 在平行四边形 ABCD 中， E 为边 BC 上一点， AC 与 DE 相交于点 F， 若 CE=2EB， S△AFD=9，则 S△EFC 等于 ．
17．已知抛物线 y=x ﹣x+3 与 y 轴相交于点 M，其顶点为 N，平移该抛物线，使点 M 平移后的对应点 M′与点 N 重合，则平移后的抛物线的解析式为 ．
精品天津市红桥区2018年精品中考数学复习试题及答案(Word版)
天津市红桥区普通中学2018届初三数学中考复习 综合检测题(满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．－2的倒数是( D )A ．－ 2 B.22 C. 2 D ．－222．下列几何体的三视图相同的是( B )A ．圆柱B ．球C ．圆锥D ．长方体 3．下列命题是真命题的是( B )A ．必然事件发生的概率等于0.5B ．5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是 98，众数是95C ．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则 乙较甲稳定D ．要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法 4．下列运算正确的是( D )A ．a 2＋4a －4＝(a ＋2)2B ．a 2＋a 2＝a 4C ．(－2ab )2＝－4a 2b 2D ．a 4÷a ＝a 35．如图，直线l 1∥l 2，CD ⊥AB 于点D ，∠1＝50°，则∠BCD 的度数为( C )A ．50°B ．45°C ．40°D ．30°6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤1，－12x<1的整数解的个数为( C )A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个7．(2016·深圳)施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是( A )A.2000x －2000x ＋50＝2B.2000x ＋50－2000x ＝2C.2000x －2000x －50＝2D.2000x －50－2000x＝28．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠BAC ＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为( C )A ．π－4 B. 23π－1 C ．π－2 D.2π3－29．已知二次函数的图象如图，则下列结论中正确的有( B )①a ＋b ＋c ＞0；②a －b ＋c ＜0；③b ＞0；④b ＝2a ；⑤abc ＜0. A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个10．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C＝36°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点H ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，交AC 于点G ，连接AD ，AE ，则下列结论错误的是( A )A.BD BC ＝5－12B ．AD ，AE 将∠BAC 三等分 C ．△ABE ≌△ACD D ．S △ADH ＝S △CEG二、填空题(每小题3分，共24分) 11．红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077 m ，将0.0000077用科学记数法表示为__7.7×10－6__． 12．点A(3，－2)关于x 轴对称的点的坐标是__(3，2)__．13．函数y ＝11－x中，自变量x 的取值范围是__x<1__．14．如图，把平行四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，这时点D 落在D 1，折痕为EF ，若∠BAE＝55°，则∠D 1AD ＝__55°__．15.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为__2.9__米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)16．如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝__40°__．17．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种__10__棵橘子树，橘子总个数最多．18．(2016·包头)如图，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝CE ，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝AE ，连接AF ，CF ，连接BE 并延长交CF 于点G.下列结论：①△ABE≌△ACF；②BC＝DF ；③S △ABC ＝S △ACF ＋S △DCF ；④若BD ＝2DC ，则GF ＝2EG.其中正确的结论是__①②③④__．(填写所有正确结论的序号)三、解答题(共66分)19．(6分)先化简，再求值：(a ＋1－4a －5a －1)÷(1a －1a 2－a)，其中a ＝2＋ 3.解：原式＝a(a －2)，当a ＝2＋3时，原式＝(2＋3)(2＋3－2)＝3＋2 320．(7分)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，AE ∥BC ，CE ⊥AE ，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连接DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．解：(1)∵AB＝AC ，∴∠B ＝∠ACB，又∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB，∴∠B ＝∠EAC，∵CE ⊥AE ，∴∠CEA ＝90°，∴∠CEA ＝∠ADB，又∵AB＝AC ，∴△ABD ≌△CAE(2)由△ABD≌△CAE 可得AE ＝BD ，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB∥DE 且AB ＝DE21．(7分)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx(n 为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b≤nx的解集．解：(1)∵OB＝2OA ＝3OD ＝6，∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2，∵CD ⊥OA ，∴DC ∥OB ，∴OBCD＝AO AD ，∴6CD ＝35，∴CD ＝10，∴C(－2，10)，B(0，6)，A(3，0)，可求一次函数为y ＝－2x ＋6，反比例函数解析式为y ＝－20x(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， 故另一个交点坐标为(5，－4) (3)－2≤x＜0或x≥522．(7分)一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数；(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率．解：(1)按规定得到所有可能的两位数为：11，14，17，18，41，44，47，48，71，74，77，78，81.84，87，88 (2)这些两位数共有16个，其中算术平方根大于4且小于7的共有6个，分别为17，18，41，44，47，48，则所求概率P ＝616＝3823．(7分)某高校学生会向全校2900名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为__50__，图①中m 的值是__32__； (2)求本次你调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．解：(2)平均数是4×5＋16×10＋12×15＋10×20＋8×3050＝16(元)，众数是10元，中位数是15元 (3)该校本次活动捐款金额为10元的学生人数是2900×32%＝928(人) 24．(8分)某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元． (1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．(参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4) 解：(1)设增长率为x ，根据题意得2900(1＋x)2＝3509，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)， 则这两年投入教育经费的平均增长率为10%(2)2018年该地区投入的教育经费是3509×(1＋10%)2＝4245.89(万元)，∵4245.89＜4250，∴不能达到25．(12分)如图1，在正方形ABCD 内作∠EAF＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，过点A 作AH⊥EF，垂足为H.(1)如图2，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG.①求证：△AGE≌△AFE；②若BE ＝2，DF ＝3，求AH 的长．(2)如图3，连接BD 交AE 于点M ，交AF 于点N.请探究并猜想：线段BM ，MN ，ND 之间有什么数量关系？并说明理由．解：(1)①由旋转的性质可知：AF ＝AG ，∠DAF ＝∠BAG.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD ＝90°.又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF＝45°，∴∠BAG ＋∠BAE＝45°，∴∠GAE ＝∠FAE，由SAS 可证△GAE≌△FAE②∵△GAE ≌△FAE ，AB ⊥GE ，AH ⊥EF ，∴AB ＝AH ，GE ＝EF ＝5.设正方形的边长为x ，则EC ＝x －2，FC ＝x －3，在Rt △EFC 中，由勾股定理得EF 2＝FC 2＋EC 2，即(x －2)2＋(x －3)2＝25，解得x 1＝6，x 2＝－1(不符合题意，舍去)，∴AB ＝6.∴AH＝6 (2)将△ABM 逆时针旋转90°得△ADM′.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°.由旋转的性质可知∠ABM＝∠ADM′＝45°，BM ＝DM′，∴∠NDM ′＝90°，∴NM ′2＝ND 2＋DM′2.∵∠EAM ′＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠EAF ＝∠FAM′＝45°.由SAS 可证△AMN≌△ANM′，∴MN ＝NM′.又∵BM＝DM′，∴MN 2＝ND 2＋BM 226．(12分)在直角坐标系xOy 中，A(0，2)，B(－1，0)，将△ABO 经过旋转、轴对称变化后得到如图1所示的△BCD.(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(2)连接AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将△ABC 的面积分成1∶3两部分，求此时点P 的坐标；(3)现将△ABO，△BCD 分别向下、向左以1∶2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值．解：(1)y ＝－32x 2＋12x ＋2(2)如图1，设直线PC 与AB 交于点E.∵直线PC 将△ABC 的面积分成1∶3两部分，∴AE BE ＝13或AEBE＝3. 过E 作EF⊥OB 于点F ，则EF∥OA，∴△BEF ∽△BAO ，∴EF AO ＝BE BA ＝BF BO ，∴当AEBE＝13时，EF 2＝34＝BF 1，∴EF ＝32，BF ＝34，∴E(－14，32)，∴直线PC 解析式为y ＝－25x ＋75，∴－32x 2＋12x ＋2＝－25x ＋75，∴x 1＝－25，x 2＝1(舍去)，∴P 1(－25，3925)；当AE BE ＝3时，同理可得P 2(－67，2349) (3)设△ABO 平移的距离为t ，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分的面积为S.由平移得，A 1B 1的解析式为y ＝2x ＋2－t ，A 1B 1与x 轴交点坐标为(t －22，0)．C 1B 2的解析式为y ＝12x＋t ＋12，C 1B 2与y 轴交点坐标为(0，t ＋12)．①如图2，当0＜t ＜35时，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分为四边形．设A 1B 1与x 轴交于点M ，C 1B 2与y 轴交于点N ，A 1B 1与C 1B 2交于点Q ，连接OQ ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2－t ，y ＝12x ＋12＋t 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t －33，y ＝5t 3，∴Q(4t －33，5t 3)，∴S ＝S △QMO ＋S △QON ＝12×2－t 2×5t 3＋12×(t＋12)×3－4t 3＝－1312t 2＋t ＋14＝－1312(t－613)2＋2552，∴当t ＝613时，S 的最大值为2552； ②如图3，当35≤t＜45时，△A 1B 1O 1与△B 2C 1D 1重叠部分为直角三角形．设A 1B 1与x 轴交于点H ，A 1B 1与C 1D 1交于点G ，∴G(1－2t ，4－5t)，∴D 1H ＝2－t 2＋1－2t ＝4－5t2，D 1G ＝4－5t ，∴S ＝12D 1H ×D 1G ＝12×4－5t 2×(4－5t)＝14(5t －4)2.∴当35≤t<45时，S 的最大值为14.综上所述，在此运动过程中△ABO 与△BCD 重叠部分面积的最大值为错误!。
天津市2018年天津五区联考初三二模数学试题及答案
2 372018 年天津市农村五区初中毕业生学业考试第二次模拟练习数学参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）（1）B （2）C （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D（8）A（9）B（10）D（11）C（12）D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）（13） a 2； （14）2； （15） 5 8； （16）2（只要是正数即可）；（17） ；（18）（Ⅰ） ；（Ⅱ） 如图，AB 与网格相交得点 D 、F ，BC 与网格相交得点 N ；取格点 M ，连接 CM,，与网格相交得点 E ；连接 DE ，FN ，DE 与 FN 相交于点 P ，点 P 即为所求．（注：第（Ⅰ）问 1 分；第（Ⅱ）问 2 分）第（Ⅱ）问理由：由作图可知S PBC = 1S A B C 6S P CA =3 S ABC6∴S P AB =2 S ABC6∴S △PAB ：S △PBC ：S △PCA =2：1：3．三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分）（19）解：（Ⅰ） x > 1……………... ………….. 2 分（Ⅱ）……………... …………..4 分（Ⅲ）（Ⅳ） 1 < x≤ 2 20. 解：……………... …………..6 分……………... …………..8 分（Ⅰ）该校的班级数是：2÷12.5%=16（个）．……………...………1分则人数是8名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．补全条形统计图为：……………... …………..2 分（Ⅱ）观察条形统计图，∵x =1⨯ 6 + 2 ⨯ 7 + 5⨯ 8 + 6 ⨯10 +12 ⨯ 2= 916∴每班的留守儿童人数数据的平均数是9 ；……………... …………..4分∵在留守儿童人数这组数据中，10 出现了 6 次，出现的次数最多，∴每班留守儿童人数这组数据的众数是10 ；……………... …………..5分∵将每班留守儿童人数这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置两个数是第8+108 个与第9 个，分别是8 与10，所以中位数为=9 ，2∴每班的留守儿童人数这组数据的中位数是9．……………... …………..7 分（Ⅲ）该镇小学生中，共有留守儿童60×9=540（名）．答：该镇小学生中共有留守儿童540 名．……………... …………..8分21.解：(Ⅰ)∵CD 为⊙O 的切线，OC 为半径∴OC⊥DC ……………... ………….. 1分∵AD⊥CD微信订阅号：初中英语资源库，获取全套试卷 42 - 22 3 ∴∠ADC+∠OCD=180°∴AD ∥OC∴∠DAC=∠ACO……………... …………..2 分∵O A=OC∴∠CAO=∠ACO……………...……..3 分∴∠DAC=∠CAO∴AC 平分∠DAO ……………...……..4 分（Ⅱ）①∵∠DAO=105°，AD ∥OC∴∠AOC=180º-105°=75º ……...……..5 分∴∠OCP=∠AOC-∠P=75º-30°=45º ……...……..6 分②作 OG ⊥CP 于 G ，则 CG=GE……………...……..7 分第（21）题图在 RtΔCGO 中，OC= 2 ，∠OCG=45º∴CG=OG=2……………...……..8 分∴GE=2在 RtΔPGO 中，OG=2，∠P=30°∴OP=4∴PG= = = 2 ……………...……..9 分∴PE=PG-GE= 2 - 2∴线段 PE 的长为 2 22. 解：- 2 ……………...……..10 分如图，作 CD ⊥AB 于 D ……………...…..1 分由题意∠A=36º，∠CBD=45 º，BC=4在Rt BCD 中，sin ∠CBD =CD BC∴CD=BCsin ∠CBD= 2 ∵∠CBD=45 º…………..….3 分∴BD=CD= 2 ……………...……..4 分在 Rt △ACD 中, sin A = CD AC ， tan A = CD AD第（22）题图2 OP 2 - OG 23 3 2 2∴AC =CDsin A≈2 2≈ 4.8……………..6 分0.59AD = CD =tan A2 2tan 360……………...……..7 分∴AB=AD-BD=2 2- 2 tan 360≈2 ⨯1.414- 2⨯1.414 0.73≈ 3.87 - 2.83= 1.04 ≈ 1.0答：新传送带AC 的长约为4.8 米，新、原传送带触地点之间AB 的长约为1.0 米.……………...……..10 分23.解：（Ⅰ）100﹣x；30x；50（100﹣x）；……………...…………..3分根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500，…………...…………..4分解得x=75，所以，100﹣75=25，答：应购进A 型台灯75 盏，B 型台灯25 盏. ……………... ………….5 分（Ⅱ）设商场销售完这批台灯可获利y 元，则y=（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x），=15x+2000﹣20x，=﹣5x+2000，……………... …………..7分∵B 型台灯的进货数量不超过A 型台灯数量的3 倍，∴100﹣x≤3x，∴x≥25，……………... …………..8分∵k=﹣5＜0，∴y 随x 的增大而减小……………... …………..9 分∴x=25 时，y 取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）答：商场购进A 型台灯25 盏，B 型台灯75 盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875 元．……………... …………..10分232 + 42 3 3 23 图① ' ， ， 24. 解：（Ⅰ）如图①，∵点 A （3，0），点 B （0，4），∴OA=3，OB=4，∴ AB = = 5 ，……………... ……..1 分∵△ABO 绕点 A 顺时针旋转 90°，得△AB′O′，∴BA=B′A ，∠BAB′=90°，∴△ABB′为等腰直角三角形，∴BB′ = 2 A B = 5 ；……………... ……..3 分（Ⅱ）作 O′H ⊥x 轴于 H ，如图②，∵△ABO 绕点 A 顺时针旋转 120°，得△AB′O′，∴AO′=AO=3，∠OAO′=120°，∴∠HAO′=60°，……………... …………4 分在 Rt △AHO′中，∵∠AO′H=90°﹣∠HAO′=30°，∴ AH = 1 AO = 32 2O ' H = 3AH = ，……………...……6 分 ∴ OH = OA + AH = 3+ 3 = 9，…….. ….7 分2 2∴ 点O '的坐标为（ 9 3）；……. …..8 分 2 2（Ⅲ） P '点的坐标为（27 6 3 ）………………..10 分 5 5〔附：解答：∵△ABO 绕点 A 顺时针旋转 120°，得△AB′O′，点 P 的对应点为 P′， ∴AP=AP′，∴O′P+AP′=O′P+AP ，作 A 点关于 y 轴的对称点 C ，连结 O′C 交 y 轴于 P 点，如图③，23 3 3 3 3 3 9 则 O'P+AP=O′P+CP=O′C ，此时 O′P+AP 的值最小，∵点 C 与点 A 关于 y 轴对称，∴C （﹣3，0），设直线 O′C 的解析式为 y=kx+b ，O '( 9 , ) 2 2，C （﹣3，0）代入 ，解得 ，∴直线 O′C 的解析式为当 x = 0 时，y = ，则 ， P (0, )5 5 ∴O 'P ' ，= OP =5 作 P′D ⊥O′H 于 D ，∵∠B′O′A=∠BOA=90°，∠AO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，' = 1' ' ， P 'D = 3O 'D = 9 ，O D O P = 2 10 10∴ DH = ' ' ， OH + P 'D = + = 27 O H - O D = - = 2 10 52 10 5 ∴ P '点的坐标为(27 , 6 3 ). 〕5 5 3 3 3 3 3 3 3 36 3 把∴ 93 + 33 2 25.解：（1）∵抛物线 y = x 2 + bx + c 经过点A （﹣1，0），C (0，-3)∴ 解得 b=﹣2，c=－3∴抛物线解析式为 y=x 2﹣2x ﹣3， ……………... …………..2 分 ∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； ……………... …………..4 分（2）①由 P （m ，t ）在抛物线上可得 t=m 2﹣2m ﹣3，∵点 P′与 P 关于原点对称，∴P ′（﹣m ，﹣t ），令解析式 y=x 2﹣2x ﹣3，y=0，得 x 2﹣2x ﹣3=0，解得 x=-1 或 x=3 由已知可得点 B 坐标为（3 ，0）又 C (0，-3)，易得直线 BC 的解析式为 y=x-3……………... ………….5 分 ∵点 P′落在直线 BC 上，∴﹣t=﹣m ﹣3，即 t=m+3，∴m 2﹣2m ﹣3=m+3， ……………... …………..6 分解得 m =或 ； ……………... …………..7 分 ②由题意可知 P′（﹣m ，﹣t ）在第一象限，∴﹣m ＞0，﹣t ＞0，即 m ＜0，t ＜0，∵二次函数的最小值是﹣4，∴﹣4≤t ＜0， ……………... …………..8 分∵P 在抛物线上，∴t=m 2﹣2m ﹣3，∴m 2﹣2m=t+3，过点 P′作 P′H ⊥x 轴，H 为垂足，有 H （﹣m ，0）.又 A （﹣1，0），则 P ′H 2=t 2，AH 2=（﹣m+1）2在 Rt ΔP′AH 中，P′A 2=AH 2+P′H 2∴P′A 2=（﹣m+1）2+t 2=m 2﹣2m+1+t 2=t 2+t+4=（t+ ）2+ ； 3 - 33 2∴当t=﹣时，P′A2 有最小值，……………... …………..9分∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得或，由m＜0，可知m= 不合题意，舍去，2 14∴m 的值为，P′A2 的最小值为……………... …………..10分2。
2018年天津市红桥区高三数学二模(理) 试题
红桥区2017－2018学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{3},{1,2},{2,1,2}U x x x Z A B =<<∈==---3，，则集合()R A C B =（ ）(A) {1} (B) {12}， (C) {012}，， (D) {1012}-，，， （2）命题:",sin 1"p x R x ∀∈≤则（ ）(A) :,sin 1p x R x ⌝∀∈≥ (B) :,sin 1p x R x ⌝∀∈> (C) 00:,sin 1p x R x ⌝∃∈≥ (D) 00:,sin 1p x R x ⌝∃∈>（3）不等式组02030x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，所表示平面区域的面积为（ ）(A)12 (B) 32(C) 1 (D) 3 （4）执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） (A) 3 (B) 10 (C) 6- (D) 15- （5）设21ln3,log 3,3ea b c -===，则（ ）(A) a b c >> (B)b a c >> (C) a c b >> (D)c b a >>（6）设函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移8π个单位得函数()y g x =的图象，则（ ）(A)()g x 在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 (B) ()g x 在344ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 (C) ()g x 在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 (D) ()g x 在344ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 （7）点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>，与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的一个交点，若点A 到抛物线1C 的焦点的距离为P ，则双曲线2C 的离心率等（ ） (A)(B)(C)（8）已知定义在[1,)+∞上的函数在区间[1,3)上的解析式为当(11)()33|2|(13)22x f x x x -≤≤=⎨--≤≤⎪⎩，当3x ≥时，函数满足()(4)1f x f x =-+，若函数()()g x f x kx k =--有5个零点，则实数k 为（ ） (A)415 (B) 15 (C) 13 (D)512第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类(8)——三角形(含答案)
2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（8）——三角形一．选择题（共11小题）1．（2020•南开区一模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点A ，B 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）A ．√10−1B ．√10C ．√5−1D ．√52．（2020•北辰区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是AB 的中点，点D ，E 是AC ，BC 边上的动点，且AD ＝CE ，连接DE ．有下列结论：①∠DPE ＝90°；②四边形PDCE 面积为1；③点C 到DE 距离的最大值为√22． 其中，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2019•河北区二模）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k =12，则该等腰三角形的顶角为（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°4．（2019•河西区模拟）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，∠A ＝30°，则AC 的长度为（ ）A ．8B ．12C ．10√2D ．10√35．（2019•滨海新区模拟）如图，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ，连接BC ，交AD 于点E ，下列说法正确的有（ ） ①∠BAC ＝∠ACB ；②S 四边形ABDC ＝AD •CE ；③AB 2+CD 2＝AC 2+BD 2；④AB ﹣BD ＝AC ﹣CD ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2018•天津一模）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A ′B ′C ′拼在一起，其中点A ′与点A 重合，点C ′落在边AB 上，连接B ′C ．若∠ACB ＝∠AC ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝4，则B ′C 的长为（ ）A．4√3B．8 C．4√2D．√307．（2018•津南区一模）如图，△ABC纸片中，∠A＝56°，∠C＝88°．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD、则∠EDB的度数为（）A．76°B．74°C．72°D．70°8．（2018•东丽区一模）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，BA＝BC，DB＝DA，若∠BAC＝m，∠ADB ＝n，则m与n之间的关系是（）A．3m+n＝180°B．4m﹣n＝180°C．3m﹣n＝180°D．2m+n＝180°9．（2018•河西区一模）等边三角形的边心距为√3，则该等边三角形的边长是（）A．3√3B．6 C．2√3D．210．（2018•东丽区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，若∠A＝40°，则∠EDF的度数为（）A．75°B．70°C．65°D．60°11．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD=12CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A ．23√3B ．34√3C ．56√3D ．√3二．填空题（共15小题）12．（2020•红桥区二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D ，E 分别是边CA ，CB 的中点，∠CAB 的平分线与DE 交于点F ，则CF 的长为 ．13．（2019•北辰区二模）如图，在等边△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，CD =12BC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，若AB ＝2，则线段EF 的长是 ．14．（2019•滨海新区一模）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB =4√2，∠BAD ＝∠ADE ＝60°，AD ＝5，CE 平分∠ACB ，DE 与CE 相交于点E ，则DE 的长等于 ．15．（2019•滨海新区模拟）已知等边三角形ABC 的边长为12，D 是AB 上的动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，当点G 与点D 重合时，AD 的长是 ．16．（2019•滨海新区模拟）如图，圆柱形玻璃杯高为24cm 、底面周长为36cm ，在杯内离杯底8cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．17．（2019•红桥区模拟）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边AC 上两点，且∠DAE ＝45°，若BE＝4，CD＝3，则AB的长为．18．（2018•红桥区模拟）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于G，AB＝6，则AG＝．19．（2020•滨海新区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，F为AB的中点，则EF的长等于．20．（2020•红桥区一模）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则sinθ的值为．21．（2020•河北区模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．22．（2019•和平区模拟）如图，在△ABC中，BA＝BC＝4，∠A＝30°，D是AC上一动点，（Ⅰ）AC的长＝；（Ⅱ）BD+12DC的最小值是．23．（2019•西青区二模）如图，△ABC 中，AC 、BC 上的中线交于点O ，且BE ⊥AD ．若BD ＝10，BO ＝8，则AO 的长为 ．24．（2019•南开区三模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60°，若BE ＝9cm ，DE ＝3cm ，则BC ＝ cm ．25．（2019•河东区一模）如图，△ABC 是等边三角形．P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为 ．26．（2018•南开区三模）在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知∠A ＝∠A ′，AC ＝A ′C ′，请你添加一个条件，使△ABC ≌△A ′B ′C ′，你添加的条件是 ．三．解答题（共11小题）27．（2019•红桥区模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．（1）若tan A =34，b ＝8，求a 和c ；（2）若tan A ＝2，c ＝2√5，求b 和sin B ．28．（2018•河北区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0），点B （0，3√3），点O 为原点．动点C 、D 分别在直线AB 、OB 上，将△BCD 沿着CD 折叠，得△B 'CD ．（Ⅰ）如图1，若CD ⊥AB ，点B '恰好落在点A 处，求此时点D 的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD ＝AC ，点B '恰好落在y 轴上，求此时点C 的坐标；（Ⅲ）若点C 的横坐标为2，点B '落在x 轴上，求点B '的坐标（直接写出结果即可）．29．（2020•河东区一模）平面直角坐标系中，△OAB 是等边三角形，点O （0，0），点A （8，0），点P 是OB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△OAB 沿直线l 折叠，点O 的对应点是O '．（I ）如图①，当OP ＝5时，若直线l ∥AB ．求点O '的坐标；（II ）如图②，当点P 在OB 边上运动时，若直线l ⊥AB ，求ABO ′的面积；（III）当OP＝6时，在直线l变化过程中，求△ABO'面积的最大值（直接写出结果即可）．30．（2020•和平区二模）在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，点O （0，0），点A（1，0），点B（﹣1，0），点C在第二象限，点P（﹣2，√3）．（I）如图①，求C点坐标及∠PCB的大小；（II）将△ABC绕C点逆时针旋转得到△MNC，点A，B的对应点分别为点M，N，S为△PMN的面积．①如图②，当点N落在边CA上时，求S的值；②求S的取值范围（直接写出结果即可）．31．（2019•红桥区二模）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，4），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点B的对应点B′．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点B′的坐标；（Ⅱ）如图②，当点B′落在x轴上时，求点P的坐标；（Ⅲ）当PB′与坐标轴平行时，求点B′的坐标（直接写出结果即可）．32．（2020•和平区三模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣3，0），点B（0，√3）．以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第二象限．（Ⅰ）如图①，求点C的坐标；（Ⅱ）将△AOB绕点B顺时针旋转得△A′O′B，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．①如图②，当旋转角为30°时，A′B，A′O′与AC分别交于点E，F，A′O′与AB交于点G，求△A′O′B与△ABC公共部分面积S的值；②若P为线段CO′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．33．（2020•红桥区二模）在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（2，2）．将△OAB绕点B顺时针旋转，得△O'A'B，点A，O旋转后的对应点为A'，O'．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α＝45°时，求点A'的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝60°时，求点A的坐标；（Ⅲ）连接OA′，设线段OA′的中点为M，连接O'M，求线段O'M的长的最小值（直接写出结果即可）．34．（2019•红桥区一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点A 顺时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O′．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB′的长；（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O′的坐标；（Ⅲ）记K为AB的中点，S为△KO′B′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．35．（2018•红桥区二模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0）、点B（0，4），点C、D分别是边OA、AB的中点．将△ACD绕点A顺时针方向旋转，得△AC′D′，记旋转角为α．（I）如图①，连接BD′，当BD′∥OA时，求点D′的坐标；（II）如图②，当α＝60°时，求点C′的坐标；（III）当点B，D′，C′共线时，求点C′的坐标（直接写出结果即可）．36．（2018•滨海新区一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣3，0），C（2，0）．（Ⅰ）如图①，△AOB绕点O逆时针旋转30°，得到△A1OB1；（i）直接写出点B1的坐标；（ii）连接CA1交OA于点D，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，点E（0，3），△AOB绕点O顺时针旋转得到△A2OB2，A2恰好落在EC上，求EB2的长．37．（2018•河西区模拟）在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，连接AM，作AM的垂直平分线l1．过点M作x轴的垂线l2，l1与l2交于点P．设P点的坐标为（x，y）．（Ⅰ）当M的坐标取（3，0）时，点P的坐标为；（Ⅱ）求x，y满足的关系式；（Ⅲ）是否存在点M，使得△MP A恰为等边三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（8）——三角形参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．【解答】解：AC=√AA2+AA2=√12+32=√10，则AM=√10，∵A点表示﹣1，∴M点表示√10−1，故选：A．2．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝CB＝4，P是AB边上的中点，∴CP＝AP＝BP，CP⊥AB，∴∠A＝∠B＝∠ACP＝∠BCP＝45°．在△ADP和△CEP中，{AA=AAAA=AAAA AA=AA，∴△ADP≌△CEP∴PD＝PE，∠APD＝∠CPE，∴∠DPE＝∠APC＝90°，故（1）正确；（2）当PD⊥AC时，∵∠DCE＝∠CDP＝∠DPE＝90°，∴四边形CEDP是矩形．∵PD＝PE，∴矩形CEDP是正方形．∵△ADP≌△CEP，∴S△ADP＝S△CEP，∴S四边形CEDP＝S△APC=12S△ABC=12×12×2×2＝1．故（2）正确；（3）如图，连接CP交DE于F，由（1）知，∠DPE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴点C，D，P，E是以DE为直径的圆上，∴当DE⊥CP时，点C到线段DE的距离最大，为12 CP，在Rt△ABC中，CP=12AB=12×2√2=√2即12CP=12×√2=√22故（3）正确．综上所述：（1）（2）（3）正确．故选：D．3．【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k =12， ∴∠A ：∠B ＝1：2，即5∠A ＝180°，∴∠A ＝36°，故选：B ．4．【解答】解：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝2×10＝20，由勾股定理得：AC =√AA 2−AA 2=√202−102=10√3，故选：D ．5．【解答】解：∵AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，CE ＝BE ，∴S 四边形ABDC ＝S △ABD +S △ACD =12AD ×BE +12AD ×CE =12AD （BE +CE ）＝AD ×CE ，故②正确；∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，在△ABD 与△ACD 中，{AA =AA AAAA =AAAA AA =AA ，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴BD ＝CD ，∴③AB 2+CD 2＝AC 2+BD 2；④AB ﹣BD ＝AC ﹣CD ，故③④正确；△ABC 不一定是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ACB 不一定成立，故①不一定正确．所以正确的有②③④共3个．故选：C ．6．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AC ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝4，∴AB =√AA 2+AA 2=√42+42=4√2，∠CAB ＝45°，∵△ABC 和△A ′B ′C ′大小、形状完全相同，∴∠C ′AB ′＝∠CAB ＝45°，AB ′＝AB ＝4√2，∴∠CAB ′＝90°，∴B ′C =√AA 2+AA′2=√42+(4√2)2=4√3，故选：A ．7．【解答】解：∵∠A ＝56°，∠C ＝88°，∴∠ABC ＝180°﹣56°﹣88°＝36°，∵沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ， ∴∠CBD ＝∠DBE ＝18°，∠C ＝∠DEB ＝88°，∴∠EDB ＝180°﹣18°﹣88°＝74°．故选：B ．8．【解答】解：∵BA ＝BC ，∴∠BAC＝∠BCA＝m，∠B＝180°﹣2m，∵DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝180°﹣2m，∴∠DAC＝180°﹣2m﹣180°﹣3m，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴m＝180°﹣3m+n，∴4m﹣n＝180°，故选：B．9．【解答】解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，边心距OD=√3，∴∠OBD＝30°，∴BD=AAAAA30°=√3√33=3．∵OD⊥BC，∴BC＝2BD＝6．故选：B．10．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°∴∠B＝∠C＝70°，∵△BED和△CDF中，{AA=AA AA=AA AA=AA∴△BED≌△CDF（SAS）∴∠BDE＝∠CFD，∠BED＝∠CDF∵∠EDF＝180°﹣∠CDF﹣∠BDE＝180°﹣（∠CDF+∠BDE）∵∠B＝70°∴∠BDE+∠BED＝110°即∠CDF+∠BDE＝110°∴∠EDF＝180°﹣110°＝70°．故选：B．11．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD=12CD，∴BD=23，CD=43，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE=12BD=13，DE=√33，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM=12EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF=4 3，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN ＝30°，DN ＝FN ，∴Rt △CDN 中，DN =23，CN =2√33， ∵M 为EF 的中点，∴MN =12DE =√36， ∴CM ＝CN +MN =2√33+√36=5√36，故选：C ．二．填空题（共15小题）12．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∵点D ，E 分别是边CA ，CB 的中点，∴DE ∥AB ，AD ＝CD ，∴∠AFD ＝∠F AG ，∵AF 是∠CAB 的平分线，∴∠CAF ＝∠GAF ，∴∠DAF ＝∠AFD ，∴AD ＝DF ，∴AD ＝DF ＝CD ，∴∠AFC ＝90°，延长CF 交AB 于G ，∵∠AFC ＝∠AFG ，AF ＝AF ，∴△ACF ≌△AGF （ASA ），∴AG ＝AC ＝3，CF ＝GF ，∴BG ＝2，过G 作GH ⊥BC 于H ，∴AC ∥GH ，∴△BGH ∽△BAC ，∴AA AA =AA AA =AA AA ， ∴25=AA 3=AA 4，∴GH =65，BH =85，∴CH ＝4−85=125， ∴CG =√AA 2+AA 2=√(65)2+(125)2=6√55，∴CF =12CG =3√55， 故答案为：3√55．13．【解答】解：连接AE ．∵△ABC 是等边三角形，BE ＝EC ＝CD ＝1，∴AE ⊥BC ，∠B ＝60°，∴AE ＝AB •sin60°=√3，∴DE ＝2，∴AD =√AA 2+AA 2=√22+(√3)2=√7，∵∠AED ＝90°，AF ＝DF ，∴EF =12AD =√72， 故答案为√72． 14．【解答】解：延长DE 交AB 于F ，延长CE 交AB 于G ，如图所示：∵∠BAD ＝∠ADE ＝60°，∴AF ＝DF ，∴△ADF 是等边三角形，∴AF ＝DF ＝AD ＝5，∠AFD ＝60°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4√2，CE 平分∠ACB ，∴AB =√2AC ＝8，CG ⊥AB ，CG =12AB ＝AG ＝4，∴GF ＝AF ﹣AG ＝5﹣4＝1，∠GEF ＝30°，∴EF ＝2GF ＝2，∴DE ＝DF ﹣EF ＝5﹣2＝3；故答案为：3．15．【解答】解：如图，设BD ＝x ．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，∴∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，∴BF＝2x，∴CF＝12﹣2x，∴CE＝2CF＝24﹣4x，∴AE＝12﹣CE＝4x﹣12，∴AD＝2AE＝8x﹣24，∵AD+BD＝AB，∴8x﹣24+x＝12，∴x＝4，∴AD＝8x﹣24＝32﹣24＝8．故答案为8．16．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2＝A′D2+CD2＝182+242＝900，∴A′C＝30（cm）．答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是30cm．17．【解答】解：如图过B作BC的垂线，垂足为B，并截取BF＝CD，连接FE，AF．∵∠FBE＝90°，FB＝3，BE＝4∴在Rt△FBE中FE2＝FB2+BE2＝32+42＝52∴FE＝5又∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴Rt△ABC是等腰直角三角形∴∠ABC＝∠ACB＝45°∴∠FBA＝∠FBC﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°∴在△AFB与△ADC中{AA=AA AAAA=AAAA AA=AA∴△AFB≌△ADC（SAS）∴∠2＝∠3，AF＝AD又∵∠1+∠EAD+∠2＝90°∴∠1+∠2＝45°∴∠F AE＝∠1+∠3＝45°∴∠F AE＝∠DAE∴在△AFE与△ADE中{AA=AA AAAA=AAAA AA=AA∴△△AFE≌△ADE（SAS）∴FE＝DE＝5∴BC＝BE+ED+DC＝4+5+3＝12又∵在Rt△ABC中AB＝cos∠ABC•BC即AB＝cos45°×12=√22•12＝6√218．【解答】解：过E作EM∥AB与GC交于点M，∴△EMF≌△DGF，∴EM＝GD，∵DE是中位线，∴CE=12AC，又∵EM∥AG，∴△CME∽△CGA，∴EM：AG＝CE：AC＝1：2，又∵EM＝GD，∴AG：GD＝2：1．∵AB＝6，∴AD＝3，∴AG=22+1×3=2，故答案为：219．【解答】解：延长BE、CA交于点G，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴由勾股定理可知：BC＝2√2，∵CD平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵BE⊥CD，∴∠BEC ＝∠CEG ．∴△BCG 是等腰三角形，∴BE ＝GE ，CG ＝CB ＝2√2，∵AC ＝2，∴AG ＝CG ﹣AC ＝2√2−2，∵F 是AB 的中点，∴BE ＝GE ，∴EF =12AG =12（2√2−2）=√2−1，故答案为：√2−1．20．【解答】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5，设直角三角形中θ所对的直角边为x ，则x 2+（x +5）2＝（5√5）2，解得x 1＝5，x 2＝﹣10（舍去），∴sin θ=5√5=√55． 故答案为：√55． 21．【解答】解：将△ACN 绕点A 逆时针旋转，得到△ABE ，如图：由旋转得：∠NAE ＝90°，AN ＝AE ，∠ABE ＝∠ACD ，∠EAB ＝∠CAN ，∵∠BAC ＝∠D ＝90°，∴∠ABD +∠ACD ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD +∠ABE ＝180°，∴E ，B ，M 三点共线，∵∠MAN ＝45°，∠BAC ＝90°，∴∠EAM ＝∠EAB +∠BAM ＝∠CAN +∠BAM ＝∠BAC ﹣∠MAN ＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM ＝∠MAN ，在△AEM 和△ANM 中，{AA =AA AAAA =AAAA AA =AA ，∴△AEM ≌△ANM （SAS ），∴MN ＝ME ，∴MN ＝CN +BM ，∵在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，BC ＝4， ∴CD =12BC ＝2，BD =√AA 2−AA 2=√42−22=2√3，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2√3+2，故答案为：2√3+2．22．【解答】解：（Ⅰ）如图，过B作BE⊥AC于E，∵BA＝BC＝4，∴AE＝CE，∵∠A＝30°，∴AE=√32AB＝2√3，∴AC＝2AE＝4√3；（Ⅱ）如图，作BC的垂直平分线交AC于D，则BD＝CD，此时BD+12DC的值最小，∵BF＝CF＝2，∴BD＝CD=4√3 3，∴BD+12DC的最小值＝2√3，故答案为：4√3，2√3．23．【解答】解：∵BE⊥AD，BD＝10，BO＝8，∴OD=√102−82=6，∵AC、BC上的中线交于点O，∴AO＝2OD＝12．故答案为：12．24．【解答】解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．∵EF⊥BC，∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF=12AA=12×9=4.5，∵∠BED＝60°，∠BEF＝30°，∴∠DEG＝30°．又∵DG⊥EF，∴GD=12AA=12×3=1.5，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，且BH＝CH．∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，∴四边形DGFH是矩形．∴FH＝GD＝1.5．∴BC＝2BH＝2×（4.5+1.5）＝12．解法二：延长ED 交BC 于M ，证明△BEM 是等边三角形，推出BM ＝BE ＝9cm ，证明HM ＝3cm 可得结论．故答案为：12．25．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形．P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，∴∠FBQ ＝∠EBP ＝30°，∴在直角△BFQ 中，BQ ＝BF •cos ∠FBQ ＝2×√32=√3， 又∵QF 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2√3．∵直角△BPE 中，∠EBP ＝30°，∴PE =12BP =√3．故答案是：√3．26．【解答】解：添加的条件是AB ＝A ′B ′，理由是：∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中{AA =A ′A ′AA =AA′AA =A′A′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SAS ），故答案为：AB ＝A ′B ′三．解答题（共11小题）27．【解答】解：（1）由tan A =34，b ＝8得到：A A =A 8=34， a ＝6． 根据勾股定理得到：c =√A 2+A 2=√82+62=10．（2）由tan A =A A =2得到：a ＝2b ．由勾股定理得到：c 2＝a 2+b 2，即（2√5）2＝5b 2，b ＝2．所以sin B =A A =2√5=√55．28．【解答】解：（Ⅰ）∵点A （3，0），点B （0，3√3），∴AO ＝3，BO ＝3√3∴AB ＝6∵折叠∴BD ＝DA在Rt △ADO 中，OA 2+OD 2＝DA 2．∴9+OD 2＝（3√3−OD ）2． ∴OD =√3∴D （0，√3）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC ＝∠CDO ＝90°∴CD ∥OA∴AA AA =AAAA 且BD ＝AC∴3√3=6−AA6∴BD＝12√3−18∴OD＝3√3−（12√3−18）＝18﹣9√3∵tan∠ABO=AAAA=√33∴∠ABC＝30°，即∠BAO＝60°∵tan∠ABO=AAAA=√33∴CD＝12﹣6√3∴C（12﹣6√3，18﹣9√3）（Ⅲ）如图：过点C作CE⊥AO于E∵CE⊥AO∴OE＝2，且AO＝3∴AE＝1，∵CE⊥AO，∠CAE＝60°∴∠ACE＝30°且CE⊥AO∴AC＝2，CE=√3∵BC＝AB﹣AC∴BC＝6﹣2＝4若点B'落在原点右边，∵折叠∴BC＝B'C＝4，CE=√3，CE⊥OA∴B'E=√A′A2−AA2=√13∴OB'＝2+√13∴B'（2+√13，0）若点B'落在原点左边，∵折叠∴BC＝B'C＝4，CE=√3，CE⊥OA∴B'E=√A′A2−AA2=√13∴OB'=√13−2∴B'（2−√13，0）综上所述：B'（2+√13，0），（2−√13，0）29．【解答】解：（Ⅰ）如图①，记OO'与AB的交点为D，连接O'P并延长交y轴于点C，由折叠得，CP＝PO'，l⊥OO'，∵直线l∥AB，∴OO'⊥AB，∵△OAB是等边三角形，∴∠POO'＝∠AOD=12∠AOB＝30°，∵PO＝PO'，∴∠POO'＝∠OO'P＝30°，∴∠OO'P＝∠AOD，∴O'P∥OA，∴O'P⊥y轴，在Rt△OCP中，∠COP＝90°﹣∠AOB＝30°，∴CP=12OP=52，∴OC=√3CP=5√3 2，在Rt△OCO'中，O'C=√3OC=√3×5√32=152，∴O'（152，5√32）；（Ⅱ）如图②，连接OO'，由折叠知，OO'⊥l，∵l⊥AB，∴OO'∥AB，∴S△AO'B＝S△ABO，过点B作BE⊥OA于E，∵A（8，0），∴OA＝8，∵△AOB是等边三角形，∴BE=12OA＝4，∴BE=√3OE＝4√3，∴S△AOB=12OA•BE=12×8×4√3=16√3，∴S△AO'B＝16√3；（Ⅲ）如图③，∵A（8，0），∴OA＝8，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝8，过点O'作O'F⊥AB交AB的延长线于F，∴S△AO'B=12AB•O'F＝4O'F，当O'F最大时，△AO'B的面积最大，由折叠知，PO'＝PO，∴点O'是以点P为圆心，OP＝6为半径的圆上的点，∴O'F过圆心点P时，O'F最大，即点O'在点O''位置时，△AO'B的面积最大，过点O''作O''H⊥AB于H，在Rt△PHB中，∠PBH＝60°，BP＝OB﹣OP＝2，∴PH=√3，∴O'F最大＝O''P+PH＝6+√3，∴S△AO'B最大＝4O'F＝4（6+√3）．30．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（1，0），点B（﹣1，0），∴OA＝1，OB＝1，∴AB＝2，在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，∵tan∠CAB=AA AA，∴BC＝AB•tan60°＝2×√3=2√3，∴C（﹣1，2√3）．如图1，过点P作PE⊥CB，垂足为点E，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，∴∠PFB＝∠PEB＝90°，∵∠ABC＝∠FBC＝90°，∴四边形PFBE为矩形，∵P（﹣2，√3），∴OF＝2，PF=√3，∴FB＝OF﹣OB＝1，∴BE＝PF=√3，PE＝FB＝1，∴CE＝CB﹣BE＝2√3−√3=√3．在Rt△CPE中，∵tan∠PCE=AAAA=√33，∴∠PCB＝30°．（Ⅱ）①如图2，过点P作PH⊥直线MN，垂足为点H，过点P作PG⊥AC，垂足为点G，则四边形PHNG为矩形，∴PH＝GN，∵△MNC是由△ABC旋转得到的，∴CN＝CB＝2√3，MN＝AB＝2，∵∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，∴∠BCA＝30°，由（Ⅰ）可知∠PCB＝30°，PE＝1，∴PC＝2，∠PCG＝∠PCB+∠BCA＝60°．在Rt△PCG中，∠CPG＝30°，∴CG=12PC＝1．∴PH＝GN＝CN﹣CG＝CB﹣CG＝2√3−1．∴S=12MN•PH=12×2×PH＝PH＝2√3−1．②S的取值范围为2√3−2≤A≤2√3+2．如图3，当点N在PC的延长线上时，S△PMN最大．此时PN＝PC+CN＝2+2√3，∴S=12×2×(2√3+2)=2√3+2．如图4，当点N在CP的延长线上时，S△PMN最小．此时PN＝CN﹣CP＝2√3−2，∴S=12×2×(2√3−2)=2√3−2．∴2√3−2≤A≤2√3+2．即S的取值范围为2√3−2≤A≤2√3+2．31．【解答】解：（Ⅰ）过点B′作B′C⊥x轴于点C，∵∠BOP＝∠B′OP＝30°，∠AOB＝90°，∴∠COB′＝30°，又∵OB＝OB′＝4，∴B ′C =12OB ′＝2，OC ＝OB ′cos30°＝4×√32=2√3，∴B ′（2√3，2）；（Ⅱ）如图2，过点P 作PQ ⊥OA 于点Q ，∵∠BOP ＝∠B ′OP ，∠AOB ＝90°，∴∠POQ ＝45°，设OQ ＝a ，则PQ ＝OQ ＝a ，AQ ＝3﹣a ，∵PQ ∥BO ，∴△APQ ∽△ABO ，∴AA AA =AA AA ，即A 4=3−A 3， 解得a =127，则P （127，127）；（Ⅲ）若PB ′∥x 轴，如图3，过点B ′F ⊥x 轴于点F ，OB ′与AB 交于点E ，则∠AOE ＝∠B ′＝∠ABO ，∵∠ABO +∠BAO ＝90°，∴∠AOE +∠BAO ＝90°，则∠AEO ＝90°，∵OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝5，∴OE =AA ⋅AA AA =125， 则AE =95， ∵△AOE ∽△B ′OF ，∴AA AA =AA AA′=AA A′A ，即125AA =34=95A′A ， 解得OF =165，B ′F =125，∴B ′（165，125）；若PB ′∥y 轴，如图4，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，则∠B ′PO ＝∠BOP ，∵∠BOP ＝∠B ′OP ，∠BPO ＝∠B ′PO ，∴∠BOP ＝∠B ′OP ＝∠BPO ＝∠B ′PO ，∴OB ＝OB ′＝PB ′＝PB ＝4，∵△PBQ ∽△ABO ，∴AA AA =AA AA =AA AA ，即AA 4=45=AA 3， 解得BQ =165，PQ =125，则OQ =45， ∴B ′（125，−165）； 综上，点B ′的坐标为（165，125）或（125，−165）． 32．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，∵点A （﹣3，0），点B （0，√3），∴OA ＝3，OB =√3，∴tan ∠BAO =AA AA =√33， ∴∠BAO ＝30°，∴AB ＝2OB ＝2√3，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AC ＝AB ＝2√3，∴∠CAO ＝90°，∴C （﹣3，2√3）．（Ⅱ）①如图②中，过点G 作GH ⊥BC 于H ，设AC 交O ′A ′于F ．∵△AOB绕点B顺时针旋转30°得到△A′BO′，∴A′B＝AB＝2√3，∠A′＝∠BAO＝30°，∠A′BA＝30°，∴∠A′＝∠A′BA＝30°，∴GA′＝GB，∵GH⊥BA′，∴A′H＝BH=√3，在Rt△A′HG中，∵tan∠BA′G=AA A′A，∴GH=√3•tan30°＝1，∴S△A′BG=12•BA′•GH=√3，∵∠CAB＝60°，∠A′BG＝30°，∴∠A′EA＝90°，∴BE＝AB•sin60°＝2√3×√32=3，∴A′E＝A′B﹣EB＝2√3−3，∴EF＝A′E•tan30°＝2−√3，∴S△A′EF=12•A′E•EF=7√32−6，∴S＝S△A′BG﹣S△A′EF＝6−5√3 2．②如图③中，取BC的中点N，连接PN，AN．∵PC＝PO′，CN＝NB，∴PN=12BO′=√32，∵△ABC是等边三角形，CN＝BN，∴AN⊥BC，∴CN＝BN=√3，AN=√3BN＝3，∵AN﹣PN≤P A≤AN+PN，∴3−√32≤AP≤3+√32．33．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点A′作A′C⊥OA于C．∵A（2，0），B（2，2），∴OA＝OB＝2，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，OB=√2AB＝2√2，∵△A′A′B是由△OAB绕B旋转得到，α＝45°，∴A′B＝AB＝2，点A′落在线段OB上，∴OA′＝OB﹣A′B＝2√2−2，∴OC＝CA′=√22（2√2−2）＝2−√2，∴A′（2−√2，2−√2）．（Ⅱ）如图②中，连接AA′，过点A′作A′D⊥OA于D．∵A′B＝AB＝2，∠ABA′＝α＝60°，∴∠A′AB＝∠AA′B＝60°，AA′＝AB＝A′B＝2，∴∠A′AO＝90°﹣60°＝30°，在Rt△A′AD中，A′D=12AA′＝1，AD=√32AA′=√3，∴OD＝OA﹣AD＝2−√3，∴A′（2−√3，1）．（Ⅲ）如图③中，延长O′A′到D，使得A′D＝A′O′，在OA的延长线上取一点C，使得AC＝OA，取AB的中点H，AD的中点P，连接PH，CH，PC，BC，BD，CD，OO′．∵∠OBC＝∠O′BD，∴∠O′BO＝∠DBC，∵BO′＝BO＝BD＝BC，∴△O′BO≌△DBC（SAS），∴OO′＝CD，∠BO′O＝∠BCD，∵∠BCA＝∠BO′A′＝45°，∴∠OO′A′＝∠ACD，∵A′O′＝CA，∴△O′A′O≌△CAD（SAS），∵OM＝MA′，DP＝P A，∴O′M＝PC，∵AP＝PD，AH＝HB，∴PH=12BD=√2，∵CH=√AA2+AA2=√12+22=√5，∴PC≥CH﹣PH，∴PC≥√5−√2，∴PC的最小值为√5−√2，∴O′M的最小值为√5−√2．34．【解答】解：（I）如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA＝4，OB＝3．在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5．根据题意△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，由旋转的性质可得：∠BAB'＝90°，A′B＝AB＝5，∴BB′＝5√2．（II）如图②，过O'作O'D⊥x轴于D，则∠O′DA＝90°．由旋转的性质可得：∠O′AO＝120°，O′A＝OA＝4，在Rt△O′AD中，由∠O′AD＝60°，∠AO′D＝30°．∴AD=12O′A＝2．由勾股定理O′D=√42−22=2√3，∴OD＝OA+OD＝4+2＝6．∴点O′的坐标为（6，2√3）；（III）如图所示，当点O′在AB上时，△KB′O′的面积最小，最小面积S=12×AA′×A′A′=12×3×（4﹣2.5）=9 4，当点O′在BA的延长线上时，△KB′O′的面积最大，最大面积S=12×KO′×BO′=12×(4+2.5)×3=394，综上所述，94≤S ≤394．35．【解答】解：（I ）如图①，∵A （8，0），B （0，4），∴OB ＝4，OA ＝8，∵AC ＝OC ＝AC ′＝4，∴当OB ∥AC ′，四边形OBC ′A 是平行四边形，∵∠AOB ＝90°，∴四边形OBC ′A 是矩形，∴∠AC ′B ＝90°，∵∠AC ′D ′＝90°，∴B 、C ′、D ′共线，∴BD ′∥OA ，∵AC ＝CO ，BD ＝AD ，∴CD ＝C ′D ′=12OB ＝2，∴D′（10，4），根据对称性可知，点D″在线段BC′上时，D″（6，4）也满足条件．综上所述，满足条件的点D坐标（10，4）或（6，4）．（II）如图②，当α＝60°时，作C′K⊥AC于K．在Rt△AC′K中，∵∠KAC′＝60°，AC′＝4，∴AK＝2，C′K＝2√3，∴OK＝6，∴C′（6，2√3）．（III）①如图③中，当B、C′、D′共线时，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．②如图④中，当B、C′、D′共线时，BD′交OA于F，易证△BOF≌△AC′F，∴OF ＝FC ′，设OF ＝FC ′＝x ，在Rt △ABC ′中，BC ′=√AA 2−AA′2=8，在RT △BOF 中，OB ＝4，OF ＝x ，BF ＝8﹣x ， ∴（8﹣x ）2＝42+x 2，解得x ＝3，∴OF ＝FC ′＝3，BF ＝5，作C ′K ⊥OA 于K ， ∵OB ∥KC ′，∴AA′AA =AA AA =AA′AA ，∴AA′4=AA 3=35，∴KC ′=125，KF =95， ∴OK =245，∴C ′（245，−125）． 36．【解答】解：（Ⅰ）（i ）如图①，过B 1作B 1G ⊥x 轴于G ， 依题意得，∠BOB 1＝30°，B 1O ＝BO ＝3，∴BB 1=12B 1O =32，GO =√3B 1G =32√3，∴B 1（−32√3，−32）；（ii ）如图①，过A 1作A 1H ⊥OB 于H ，依题意得∠A 1OH ＝60°，在Rt △A 1OH 中，OH ＝OA 1•cos60°＝1，A 1H ＝OA 1sin60°=√3，∵tan ∠OCD =AA AA =A 1A AA ， ∴OD ＝OC •A 1A AA =2√33， ∴点D 的坐标为（0，2√33）；（Ⅱ）如图②，取点F （﹣4.5，0），连接B 2F ， ∵∠A 2OE ＝∠B 2OF ，AA 2AA 2=AA AA =23， ∴△A 2OE ∽△B 2OF ，∴∠OA 2E ＝∠OB 2F ，∵OB 2＝OE ＝3，OA 2＝OC ＝2，∠B 2OE ＝∠A 2OC ， ∴∠OB 2E ＝∠OA 2C ，又∵∠OA 2C +∠OA 2E ＝180°，∴∠OB 2E +∠OB 2F ＝180°，即E ，B 2，F 三点共线，由E （0，3），F （﹣4.5，0），可得直线EF 的解析式为y =23x +3， 设点B 2的坐标为（3n ，2n +3），则OB 2=√(3A )2+(2A +3)2=3， 解得n =−1213，∴B 2（−3613，1513）， ∴EB 2=√(−3613)2+(3−1513)2=√1872169=1213√13．37．【解答】解：（Ⅰ）作AN ⊥PM 于N ，则四边形AOMN 是矩形，∴AN ＝OM ＝3，MN ＝OA ＝2，∵l 1是AM 的垂直平分线，∴P A ＝PM ，在Rt △APN 中，AN 2+PN 2＝AP 2，即32+（y ﹣2）2＝y 2， 解得，y =134，∴点P 的坐标为（3，134）， 故答案为：（3，134）；（Ⅱ）当点M 在x 轴的正半轴上时，在Rt △APN 中，AN 2+PN 2＝AP 2，即x 2+（y ﹣2）2＝y 2， 解得，y =14x 2+1，同理，当点M 在x 轴的负半轴上时，x ，y 满足的关系式是y =14x 2+1， ∴x ，y 满足的关系式是y =14x 2+1；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，P A ＝PM ，要使△MP A 为等边三角形，只需MA ＝MP 即可， ∵点A 的坐标为（0，2），点M 的坐标为（0，x ）， ∴AM =√22+A 2，则14x 2+1=√22+A 2， 解得，x ＝±2√3，∴△MP A 为等边三角形时，点M 的坐标为（2√3，0）或（﹣2√3，0）．。
2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类(2)——分式与二次根式(含答案)
2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（2）——分式与二次根式一．选择题（共22小题） 1．（2020•津南区一模）计算2a (a+1)2+2(a+1)2的结果为（ ） A ．1B ．2C ．1a+1D ．2a+12．（2020•和平区三模）计算a (a+b)2+b (a+b)2的结果为（ ） A ．1B ．1a+1bC ．a +bD ．1a+b3．（2020•红桥区三模）计算2−x x−1+2x−3x−1的结果为（ ）A ．2x−1x−1B ．1C ．1x−1D ．24．（2020•河北区二模）化简x 2x−2+42−x的结果是（ ）A ．x +2B ．x +4C ．x ﹣2D ．2﹣x5．（2020•滨海新区二模）计算3x−1x−1+2−3x x−1的结果为（ ） A ．3x−1B ．x ﹣1C ．1x−1D ．−1x−16．（2020•西青区二模）化简a 2a−1+1−2a a−1结果为（ ）A ．a+1a−1B ．a ﹣1C ．aD ．17．（2020•天津二模）计算x−2x−1+1x−1的结果为（ ）A ．1B ．1x−1C ．12D ．xx−18．（2020•滨海新区一模）计算3x(x−1)2−3(x−1)2的结果是（ ）A ．3B ．3x ﹣3C ．xx−1D ．3x−19．（2020•红桥区一模）计算2a−1a−1−1a−1的结果是（ ）A ．2B ．2a ﹣2C ．1D ．2aa−110．（2020•南开区二模）化简x 2+2xy+y 2x 2−y 2−y x−y的结果是（ ）A ．xx−yB ．y x+yC ．xx+yD ．yx−y11．（2020•和平区一模）计算22a+b+b 2a+b的结果为（ ）A ．1B ．2+bC ．2−b2a+bD ．2+b2a+b12．（2020•红桥区模拟）计算x+2x+1−x x+1的结果为（ ）A ．1B ．2C ．2x+1D ．2xx+113．（2020•西青区一模）化简x 2x−1+x 1−x的结果是（ ）A ．xB ．x ﹣1C ．﹣xD ．x +114．（2019•津南区二模）计算a a 2−b 2−1a−b的结果为（ ）A ．bB ．﹣bC ．ba−bD ．−b a 2−b215．（2019•西青区二模）计算m 2m−n+n 2n−m的结果为（ ）A ．m 2+n 2B ．m +nC ．m ﹣nD ．n ﹣m16．（2019•天津二模）化简m 2m−4+164−m的结果是（ ）A ．m ﹣4B ．m +4C ．m+4m−4D ．m−4m+417．（2019•河北区二模）计算x 2−2x−1+1x−1的结果为（ ）A ．x +1B ．x ﹣1C ．1x+1D ．1x−118．（2019•和平区一模）计算xx−2+2x−2的结果为（ ）A ．0B ．1C ．2−xx−2D ．x+2x−219．（2019•红桥区一模）计算2x+13x−1−2−x3x−1的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．33x−1D ．x+33x−120．（2019•天津模拟）计算2a a 2−1−1a+1的结果为（ ）A ．1a+1B ．1a−1C ．aa+1D ．aa−121．（2019•河西区模拟）计算2x5x−3÷325x 2−9⋅x5x+3的结果为（ ）A ．2x 23B ．(5x+3)23 C ．2x5x−3D ．2x15x−922．（2019•东丽区二模）计算a(a+1)2+1(a+1)2的结果为（ ） A ．1B ．1aC ．a +1D ．1a+1二．填空题（共28小题）23．（2020•津南区一模）计算（√3+√5）2的结果等于 ． 24．（2020•西青区二模）计算（√5−2）（√5+2）的结果等于 ． 25．（2020•滨海新区二模）计算(√3−1)2的结果等于 ． 26．（2020•河北区二模）化简(√5−1)2= ．27．（2020•红桥区二模）计算（√11+2）（√11−2）的结果等于 ． 28．（2020•南开区二模）计算（3+√6）2的结果等于 ． 29．（2020•河东区一模）计算（√5+6）•（√5−6）＝ ． 30．（2020•和平区二模）计算（2√2−3）（3+2√2）的结果等于 ． 31．（2020•和平区一模）计算(√6+2)(√6−2)的结果等于 ． 32．（2020•南开区一模）计算（√5+√2）2的结果是 ． 33．（2020•天津二模）计算（√3+2）（√3−2）的结果是 ． 34．（2020•河西区模拟）使式子√a −1有意义的a 的取值范围是 ． 35．（2020•西青区一模）计算（2√5−√2）2的结果等于 ．36．（2020•滨海新区一模）已知x =√3+1，y =√3−1，则x 2+2xy +y 2的值为 ． 37．（2019•宝坻区模拟）将√423化为最简二次根式的结果为 ．38．（2019•北辰区二模）当x =√10−1时，多项式x 2+2x +6的值等于 ． 39．（2019•津南区二模）计算（√5−√2）2的结果等 ． 40．（2019•天津二模）计算（√3−√2）2的结果等于 ．41．（2019•红桥区二模）计算：（√5+√2）（√5−√2）的结果等于 ． 42．（2019•红桥区一模）计算(√7+2)(√7−2)的结果等于 ． 43．（2019•和平区二模）计算（2√2−3）2的结果等于 ． 44．（2019•滨海新区模拟）计算（√5−√3）2的结果等于 ． 45．（2019•东丽区一模）计算：（√3−√2）2＝ ． 46．（2019•大港区模拟）计算√24−√18×√13−√19= ．47．（2018•和平区二模）计算(2+√3)(√3−2)的结果等于．48．（2018•北辰区二模）计算（√10+√2）（√10−√2）的结果等于．49．（2018•天津二模）计算（√7+√5）（√7−√5）的结果等于．50．（2018•南开区二模）计算√2×（√6−2√12）的结果等于．2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（2）——分式与二次根式参考答案与试题解析一．选择题（共22小题） 1．【解答】解：2a (a+1)2+2(a+1)2=2(a +1)(a +1)2=2a+1． 故选：D ． 2．【解答】解：原式=a+b (a+b)2=1a+b ． 故选：D ． 3．【解答】解：2−x x−1+2x−3x−1=2−x+2x−3x−1=x−1x−1=1．故选：B ． 4．【解答】解：x 2x−2+42−x=x 2x −2−4x −2 =x 2−4x −2 =(x −2)(x +2)x −2＝x +2． 故选：A ． 5．【解答】解：3x−1x−1+2−3x x−1=3x −1+2−3xx −1=1x−1． 故选：C ．6．【解答】解：原式=a 2+1−2aa−1=(a −1)2a −1＝a ﹣1． 故选：B ． 7．【解答】解：x−2x−1+1x−1=x −2+1x −1＝1． 故选：A ． 8．【解答】解：3x (x−1)2−3(x−1)2=3x−3(x−1)2=3(x−1)(x−1)2=3x−1；故选：D ． 9．【解答】解：2a−1a−1−1a−1=2a −1−1a −1=2a −2a −1 =2(a −1)a −1＝2， 故选：A ．10．【解答】解：原式=(x+y)2(x+y)(x−y)−yx−y=x +y x −y −yx −y=xx−y ， 故选：A ．11．【解答】解：原式=2+b2a+b ， 故选：D ． 12．【解答】解：x+2x+1−x x+1=x+2−x x+1=2x+1，故选：C ．13．【解答】解：原式=x 2x−1−x x−1=x(x−1)x−1=x ，故选：A．14．【解答】解：aa2−b2−1a−b=a(a+b)(a−b)−a+b(a+b)(a−b)=−ba2−b2，故选：D．15．【解答】解：原式=m2−n2 m−n＝m+n，故选：B．16．【解答】解：原式=m2m−4−16m−4=m2−16m−4=(m+4)(m−4)m−4=m+4，故选：B．17．【解答】解：原式=x2−1 x−1＝x+1，故选：A．18．【解答】解：xx−2+2 x−2=x+2x−2，故选：D．19．【解答】解：原式=2x+1−2+x3x−1=3x−13x−1＝1，故选：A．20．【解答】解：2aa2−1−1a+1=2a(a+1)(a−1)−a−1(a+1)(a−1)=2a−(a−1)(a+1)(a−1)=a+1(a+1)(a−1)=1a−1， 故选：B ．21．【解答】解：原式=2x 5x−3•(5x+3)(5x−3)3•x5x+3=2x 23， 故选：A ． 22．【解答】解：a (a+1)2+1(a+1)2=1a+1，故选：D ．二．填空题（共28小题） 23．【解答】解：原式＝3+2√15+5 ＝8+2√15． 故答案为8+2√15．24．【解答】解：原式＝（√5）2﹣22 ＝5﹣4 ＝1． 故答案为1．25．【解答】解：原式＝3﹣2√3+1 ＝4﹣2√3． 故答案为4﹣2√3．26．【解答】解：原式＝5﹣2√5+1 ＝6﹣2√5． 故答案为6﹣2√5．27．【解答】解：原式＝（√11）2﹣22 ＝11﹣4 ＝7． 故答案为728．【解答】解：原式＝9+6√6+6 ＝15+6√6． 故答案为15+6√6．29．【解答】解：原式＝（√5）2﹣62＝5﹣36＝﹣31．故答案为：﹣31．30．【解答】解：（2√2−3）（3+2√2）＝（2√2）2﹣32＝8﹣9＝﹣1，故答案为：﹣1．31．【解答】解：原式＝（√6）2﹣22＝6﹣4＝2．故答案为2．32．【解答】解：原式＝（√5）2+2√10+（√2）2＝5+2√10+2＝7+2√10．故答案为7+2√10．33．【解答】解：原式＝（√3）2﹣22＝3﹣4＝﹣1，故答案为：﹣1．34．【解答】解：使式子√a−1有意义，则a﹣1≥0，解得：a≥1．故答案为：a≥1．35．【解答】解：原式＝20﹣4√10+2＝22﹣4√10．故答案为22﹣4√10．36．【解答】解：∵x=√3+1，y=√3−1，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（√3+1+√3−1）2＝（2√3）2＝12；故答案为：12．37．【解答】解：原式=√143=√423， 故答案为：√423； 38．【解答】解：解法一：当x =√10−1时， x 2+2x +6＝（√10−1）2+2（√10−1）+6 ＝10﹣2√10+1+2√10−2+6 ＝15， 故答案为15；解法二：x 2+2x +6＝（x +1）2+5 ＝（√10−1+1）2+5 ＝10+5 ＝15， 故答案为15．39．【解答】解：原式＝5﹣2√10+2 ＝7﹣2√10． 故答案为7﹣2√10．40．【解答】解：原式＝3﹣2√6+2 ＝5﹣2√6． 故答案为5﹣2√6． 41．【解答】解：原式＝5﹣2 ＝3． 故答案为3．42．【解答】解：原式＝7﹣4＝3． 故答案为3．43．【解答】解：原式＝（2√2）2﹣2×2√2×3+32 ＝8﹣12√2+9 ＝17﹣12√2， 故答案为：17﹣12√2．44．【解答】解：原式＝5﹣2√15+3＝8﹣2√15．故答案为8﹣2√15．45．【解答】解：原式=(√3)2+(√2)2−2√3×√2＝3+2﹣2√3×2＝5﹣2√6．故答案为：5﹣2√6．46．【解答】解：原式＝2√6−√18×13−13＝2√6−√6−1 3=√6−13．故答案为√6−1 3．47．【解答】解：(2+√3)(√3−2)＝（√3）2﹣22＝3﹣4＝﹣1．故答案为：﹣1．48．【解答】解：原式＝10﹣2＝8．故答案为8．49．【解答】解：原式＝7﹣5＝2．故答案为2．50．【解答】解：原式=√2×6−2√2×1 2＝2√3−2．故答案为2√3−2．。
天津市红桥区2018届九年级下学期第二次模拟考试数学试题(无答案)
2019年红桥区初三二模数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.计算 15÷(-3)的结果等于 A.-5 B.5 C.51- D.512.sin45°的值等于 A.21 B.1 C.22 D.23 3.下列图形中，可以看作中心对称图形的是A B C D4.2019 年“智慧天津”建设成效显著，互联网出口带宽达到 17200 吉比特每秒。
将 17200 用科学记数法表示应为A.172×102B.17.2×103C.1.72×104D.0.172×1055.下图是一个由 5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是A B C D6.计算1211---+x x x x 的结果是 A.1 B.-1 C.x -1 D.113-+x x 7.方程0322=--x x 的两个根为 A.12321-==x x ， B.12321=-=x x ， C.32121-==x x ， D.32121=-=x x ， 8.已知()21721+=a ，估计a 的值在 A.3 和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间9.一个圆的内接正六边形的边长为 2，则该圆的内接正方形的边长为 A.2 B.22 C.32 D.410.已知点 P （m ，n ），为是反比例函数xy 3-=图象上一点，当-3≤n ＜-1 时，m 的取值范围是 A.1≤m ＜3 B.-3≤m ＜-1 C.1＜m ≤3 D.-3＜m ≤-111.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 为 AB 的中点，AC=3，31cos =A ，将△DAC 沿着 CD 折叠后，点 A 落在点 E 处，则 BE 的长为 A.5 B.24 C.7 D.25 12.若关于x 的一元二次方程0522=-+x ax 的两个根中有且仅有一个根在 0和 1之间（不含 0 和 1），则a 的取值范围是A.3-＞aB.3＞aC.3-＜aD.3＜a二、填空题（每小题3分，共18分）13.计算25a a ÷的结果等于_________.14.一个不透明的袋子中装有 5 个球，其中 3 个红球、2 个黑球，这些球除颜色外无其它差别，现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是_________.15.若一次函数 y=-x+b （b 为常数）的图象经过点（1，2），则 b 的值为_________.16.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，AC 与 DE 相交于点 F ，若 CE=2EB ，9=AFD S △，则EFC S △等于___________.第16题 第18题17.已知抛物线3x x y 2+-=与 y 轴相交于点 M ，其顶点为 N ，平移该抛物线，使点 M 平移后的对应点'M 与点N 重合，则平移后的抛物线的解析式为___________.18.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 、点 B 、点 C 均落在格点上。
天津市红桥区2018届数学中考模拟试卷及解析与答案
天津市红桥区2018届数学中考模拟试卷一、单选题1.cos30°的值为（）A. 1B.C.D.【答案】D【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】cos30°= ．故答案为：D．【分析】由30°的余弦函数值可得.2.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故不符合题意；B、不是中心对称图形，故不符合题意；C、不是中心对称图形，故不符合题意；D、是中心对称图形，故符合题意．故答案为：D．【分析】根据中心对称图形的概念可得.在平面内，一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.3.用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】根据主视图的定义，找到从正面看所得到的图形即可．从物体正面看，右边1列、左边1列上下各一个正方形，且左右正方形中间是虚线.故答案为：B【分析】根据主视图是从正面看到的图形可求出答案.4.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其它均相同，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在25%附近摆动，则口袋中的白球可能有（）A. 12个B. 13个C. 15个D. 16个【答案】A【考点】频数与频率【解析】【解答】设口袋中的白球可能有x个，根据题意得=25%，解得x=12，即口袋中的白球可能有12个．故答案为：A．【分析】设口袋中的白球可能有x个，根据频率公式=出现的次数÷总次数的百分比来列方程求解.5.已知反比例函数y＝的图象经过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于( )A. 第二、三象B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限【答案】C【考点】反比例函数的图象【解析】【解答】根据y= 的图像经过点P（-1,2），代入可求的k=-2，因此可知k＜0，即图像经过二四象限.故答案为：C【分析】将P点的坐标代入反比例函数求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的比例系数与图像的关系得答案。
2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类(10)——圆(含答案)
2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（10）——圆一．选择题（共2小题）1．（2020•南开区二模）如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF 的度数是（ ）A ．18°B ．36°C ．54°D ．72°2．（2019•滨海新区模拟）一个圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的边长为（ ）A ．2√2B ．4√2C ．4√3D ．8二．填空题（共2小题）3．（2020•天津一模）如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S 1，平行四边形的面积记为S 2，则S 1S 2的值为 ．4．（2018•红桥区模拟）如图，AB ，AC 分别为⊙O 的内接正六边形，内接正方形的一边，BC 是圆内接n 边形的一边，则n 等于 ．三．解答题（共33小题）5．（2020•北辰区一模）已知四边形ABCD 是平行四边形，且以AB 为直径的⊙O 经过点D ．（Ⅰ）如图（1），若∠BAD＝45°，求证：CD与⊙O相切；（Ⅱ）如图（2），若AD＝6，AB＝10，⊙O交CD边于点F，交CB边延长线于点E，求BE，DF的长．6．（2020•天津模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）连结OC，如果PD＝2√3，∠ABC＝60°，求OC的长．7．（2019•滨海新区一模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O为AB上一点．⊙O经过点A，与AC交于点E，与AB交于点F，连接EF．（Ⅰ）如图1，若∠B＝30°，AE＝2，求AF的长；（Ⅱ）如图2，DA平分∠CAB，交CB于点D，⊙O经过点D；①求证：BC为⊙O的切线：②若AE＝3，CD＝2，求AF的长．8．（2019•和平区二模）如图，已知⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）图①，当BC为⊙O的直径时，求BD的长．（2）图②，当BD＝5时，求∠CDB的度数．9．（2018•西青区二模）已知OA，OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，垂足为O，P是射线OA 上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．（I）如图①，点P在线段OA上，若∠OBQ＝15°，求∠AQE的大小；（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠OBQ＝65°，求∠AQE的大小．10．（2018•东丽区二模）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；（Ⅱ）若⊙O半径为2，TC=√3，求AD的长．11．（2018•河西区一模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上的一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC，若∠DAO＝105°，∠E＝30°．（Ⅰ）求∠OCE的度数；（Ⅱ）若⊙O的半径为2√2，求线段EF的长．12．（2020•红桥区三模）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；̂上一点，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，连接AD，（Ⅱ）如图②，D为AC若AD＝CD，∠P＝30°，求∠CAP的大小．13．（2020•和平区三模）已知在△ABC中，BC⊥AB．AB是⊙O的弦，AC交⊙O于点D，且D为AC的中点，延长CB交⊙O于点E，连接AE．（I）如图①，若∠E＝50°，求∠EAC的大小；（1）如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF＝2CD，求∠CAB的大小．14．（2020•滨海新区二模）如图①，在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点，∠A＝30°，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作CP的垂线，垂足为点E，与AC的延长线交于点F，①求∠F的大小；②若⊙O的半径为2，求AF的长．15．（2020•西青区二模）已知⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，与CO的延长线交于点P，CP与⊙O交于点D．（I）如图①，若△ABC为等边三角形，求∠P的大小；（II）如图②，连接AD，若PD＝AD，求∠ABC的大小．16．（2020•红桥区二模）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝52°．̂的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；（Ⅰ）如图①，若D为AB（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．17．（2020•南开区二模）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于G，过C点的切线与射线DO相交于点E，直线DB与CE交于点H，OG＝BG，BH＝1．（Ⅰ）求⊙O的半径；（Ⅱ）将射线DO绕D点逆时针旋转，得射线DM（如图2），DM与AB交于点M，与⊙O及切线CF分别相交于点N，F，当GM＝GD时，求切线CF的长．18．（2020•滨海新区一模）如图，△ABC内接于⊙O．（Ⅰ）如图①，连接OA，OC，若∠B＝28°，求∠OAC的度数；（Ⅱ）如图②，直径CD的延长线与过点A的切线相交于点P．若∠B＝60°，⊙O的半径为2，求AD，PD的长．19．（2020•和平区一模）已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．（Ⅰ）如图①，点D在⊙O上，且AC＝CD，若∠CDA＝20°，求∠BOD的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若⊙O的直径为2√3，AC=√3，求EA的长．20．（2020•河北区模拟）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．21．（2020•和平区模拟）已知，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，过点D的直线EF 与⊙O相切，分别交BA，BC的延长线于点E，F，BF⊥EF（I）如图①，若∠ABC＝50°，求∠DBC的大小；（Ⅱ）如图②，若BC＝2，AB＝4，求DE的长．22．（2019•北辰区二模）已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC ＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．23．（2019•津南区二模）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝75°，D是⊙O上的点．（Ⅰ）如图①，求∠ADC和∠BDC的大小；（Ⅱ）如图②，OD⊥AC，垂足为E，求∠ODC的大小．24．（2019•红桥区二模）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点O作AB的垂线，与AC相交于点E，与过点C的⊙O的切线相交于点D．（Ⅰ）如图①，若∠ABC＝67°，求∠D的大小；（Ⅱ）如图②，若EO＝EC，AB＝2，求CD的长．25．（2019•西青区二模）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，OC＝4，∠OAC＝60°．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小及P A的长；（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小及P A的长．26．（2019•滨海新区二模）已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，连接BD．（Ⅰ）如图1，若点D是弧AB的中点，求∠C的大小；（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝CP，求∠D的大小．27．（2019•河北区二模）已知，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O与C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于C、D、O的一个动点，直线AM交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN．（Ⅰ）如图1，点M在⊙O的内部，求证：PN是⊙O的切线；（Ⅱ）如图2，点M在⊙O的外部，且∠AMO＝30°，求OP的长．28．（2019•和平区一模）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A＝50°，∠B ＝70°，连接DO，CO，DC（1）如图①，求∠OCD的大小：（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．29．（2019•河西区模拟）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C（Ⅰ）若∠ADE＝25°，求∠C的度数（Ⅱ）若AB＝AC，求∠D的度数．30．（2018•河西区二模）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；（II）如图②，若∠CAB＝60°，求BD、BC的长．31．（2018•津南区一模）已知P A与⊙O相切于点A，B、C是⊙O上的两点．（Ⅰ）如图①，PB与⊙O相切于点B，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°；求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，PB与⊙O相交于点D，且PD＝DB，若∠ACB＝90°，求∠P的大小．32．（2018•滨海新区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若C为半圆的中点，求∠CAB的度数．（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝20°，D为AC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，过点C的切线CF与AE的延长线交于点F，求∠ECF的度数．33．（2018•西青区一模）已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC 相切于点D，与AB、AC分别交于点E、F（Ⅰ）如图①，若∠AEF＝52°，求∠C的度数．（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF＝35°，求∠B的度数．34．（2018•河北区一模）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点．（I）如图1，过P作⊙O的切线PC，切点为C．作AD⊥PC于点D，求证：∠P AC＝∠DAC；（II）如图2，过P作⊙O的割线，交点为M、N，作AD⊥PN于点D，求证：∠P AM＝∠DAN．35．（2018•红桥区模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC交于点E，交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠F．（Ⅰ）求证：FD与⊙O的相切；（Ⅱ）若AB＝10，AC＝8，求FD的长．36．（2018•和平区模拟）已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小．37．（2018•河北区二模）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．2018-2020年天津中考数学复习各地区模拟试题分类（10）——圆参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．【解答】解：∵AF 是⊙O 的直径，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴CF̂=DF ̂，BC ̂=DE ̂，∠BAE ＝108°， ∴BF̂=EF ̂， ∴∠BAF =12∠BAE ＝54°，∴∠BDF ＝∠BAF ＝54°，故选：C ．2．【解答】解：∵圆内接正六边形的边长是4，∴圆的半径为4．那么直径为8．圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于8．∴圆的内接正方形的边长是4√2．故选：B ．二．填空题（共2小题）3．【解答】解：如图，则S 阴影＝2（S △BEF +S 四边形FGMN ），设正六边形的边长为a ，由于正六边形的存在，所以∠BEF ＝60°，则可得BE ＝EF ＝2a ，BC ＝4a ，AB ＝3a ，则在Rt △BEF 中可得其高EP =√3a ，同理可得FQ =√32a ，∴S 1＝2（S △BEF +S FGMN ）＝2（12•BF •EP +FG •FQ ） ＝2（12•2a •√3a +√32a •a ） ＝3√3a 2，而S 2＝BC •h ＝4a •3√32a ＝6√3a 2， ∴S 1S 2=12， 故答案为：12．4．【解答】解：连接AO ，BO ，CO ．∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正六边形、内接正方形的一边， ∴∠AOB =360°6=60°，∠AOC =360°4=90°，∴∠BOC ＝30°，∴n =360°30°=12，故答案为：12三．解答题（共33小题）5．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD ．∵∠A ＝45°，OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ADO ＝45°，∴∠BOD ＝90°．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ．∴∠CDO +∠BOD ＝180°．∴∠CDO ＝∠BOD ＝90°．∴OD ⊥DC ，∴CD 与⊙O 相切．（Ⅱ）如图2中，连接DE ，EF ，BD ．∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBD＝90°．∴DE是⊙O直径．∴DE＝AB＝CD＝10．∴BE＝BC＝AD＝6．在Rt△DEF和Rt△CEF中，EF2＝DE2﹣DF2，EF2＝CE2﹣CF2∴DE2﹣DF2＝CE2﹣CF2．设DF＝x，则CF＝10﹣x．∴102﹣x2＝122﹣（10﹣x）2．解得x=145．即DF=145．6．【解答】（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴ADO＝∠E，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴AB ＝BE ；（2）解：∵OD ∥BE ，∠ABC ＝60°， ∴∠DOP ＝∠ABC ＝60°，∵PD ⊥OD ，∴tan ∠DOP =DP OD ， ∴2√3OD =√3，∴OD ＝2，∴OP ＝4，∴PB ＝6，∴sin ∠ABC =PC PB ，∴√32=PC 6， ∴PC ＝3√3，∴DC =√3，∴DC 2+OD 2＝OC 2，∴（√3）2+22＝OC 2，∴OC =√7．7．【解答】（Ⅰ）解：∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠AEF ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠AEF ＝∠ACB ，∴EF ∥AB ，∴∠AFE ＝∠B ＝30°，（Ⅱ）①证明：连接OD，如图2所示：∵DA平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAO，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠DAC＝∠ADO，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴BD⊥OD，∵⊙O经过点D，∴BC为⊙O的切线；②解：连接DE，如图3所示：∵BC为⊙O的切线，∴∠CDE＝∠CAD，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD：CA＝CE：CD，∴CD2＝CE×CA，即22＝CE（CE+3），解得：CE＝1，或CE＝﹣4（舍去），∴CA＝4，设⊙O的半径为r，∵EF∥BC，∴AFBF =AECE=31=3，∴AF＝3BF＝2r，∴BF=23r，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴OD AC =OB AB，即r 4=r+23r 2r+23r ， 解得：r =52，∴AF ＝2r ＝5．8．【解答】解：（1）如图1中，连接CD ． ∵BC 为⊙O 直径，∴∠CDB ＝90°，∴∠CAB ＝90°，∵AD 是∠CAB 的角平分线，∴∠DAB =12∠CAB =45°，∴∠DCB ＝∠DAB ＝45°∴△CDB 为等腰直角三角形，∵BC ＝10，∴BD =5√2．（2）连接OD 、OB ，∵⊙O 直径为10，∴OB ＝OD ＝5，∴BD ＝5，∴OB ＝OD ＝BD ，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵CD̂=DB̂，∴∠ACD＝∠BAD＝30°，∴∠BAC＝60°，∵四边形CABD是圆内接四边形，∴∠CDB+∠BAC＝180°，∴∠CDB＝120°．9．【解答】解：（I）如图①中，连接OQ．∵EQ是切线，∴OQ⊥EQ，∴∠OQE＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠AQB=12∠AOB＝45°，∵OB＝OQ，∴∠OBQ＝∠OQB＝15°，∴∠AQE＝90°﹣15°﹣45°＝30°．（Ⅱ）如图②中，连接OQ．∵OB＝OQ，∴∠B＝∠OQB＝65°，∴∠BOQ＝50°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOQ＝40°，∵OQ＝OA，∴∠OQA＝∠OAQ＝70°，∵EQ是切线，∴∠OQE＝90°，∴∠AQE＝90°﹣70°＝20°．10．【解答】解：（Ⅰ）连接OT，如图1：∵TC⊥AD，⊙O的切线TC，∴∠ACT＝∠OTC＝90°，∴∠CAT+∠CTA＝∠CTA+∠ATO，∴∠CAT＝∠ATO，∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠ATO，∴∠DAB＝2∠CAT＝50°，∴∠CAT＝25°，∴∠ATC＝90°﹣25°＝65°；（Ⅱ）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，如图2：∵AC⊥CT，CT切⊙O于T，∴∠OEC＝∠ECT＝∠OTC＝90°，∴四边形OECT是矩形，∴OT＝CE＝OD＝2，∵OE⊥AC，OE过圆心O，∴AE＝DE=12AD，∵CT＝OE=√3，在Rt△OED中，由勾股定理得：ED=2−OE2=√22−(√3)2=1，∴AD＝2．11．【解答】解：（Ⅰ）∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠COE＝∠DAO＝105°，∴∠OCE＝180°﹣∠COE﹣∠E＝45°；（Ⅱ）作OM⊥CE于M，则CM＝MF，∵∠OCE＝45°，∴OM＝CM＝2＝MF，在Rt△MOE中，ME=OMtanE=2√3，∴EF＝ME﹣MF＝2√3−2．12．【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠COP＝36°；（Ⅱ）连接OC，OD，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠COD，∵OA＝OD＝OC，∴∠OAD＝∠ADO＝∠ODC＝∠DCO，∵∠P＝30°，∴∠P AD+∠ADP＝150°，∴∠COP＝∠DCO﹣∠P＝20°，∵∠CAP=12∠COP，∴∠CAP＝10°．13．【解答】解：（1）连接ED，如图1，∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AE是⊙O的直径，∴ED⊥AC，∵AD＝DC，∴AE＝CE，∴∠AED＝∠CED=12∠AEC=12×50°=25°，∴∠EAC＝90°﹣∠AED＝90°﹣25°＝65°；（2）连接ED，如图2，∵D为AC的中点，∴∠ABE＝90°，∴AE是直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF＝90°，∵D为AC的中点，∴AC＝2CD，∵CF＝2CD，∴AC＝CF，∴CE=12AF=AC，由（1）得AE＝CE，∴AE＝CE＝AC，∴∠EAC＝60°，∵AB⊥EC，∴∠CAB=12∠EAC=30°14．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，连接OC．∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OPC中，∠POC+∠P＝90°，∴∠P＝90°﹣60°＝30°．（Ⅱ）如图②中，①由（Ⅰ）∠OCP＝90°，又∵BF⊥PC，即∠PEB＝90°，∴OC∥BF，∴∠F＝∠ACO＝∠A＝30°，②由①∠F＝∠A，∴AB＝BF，连接BC，则∠BCA＝90°，即BC⊥AF，∴AC＝CF，∵∠BOC＝60°，OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2，∴AC=√AB2−BC2=√42−22=2√3，∴AF=4√3．15．【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接AO，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵∠AOC+∠AOF＝180°，∴∠AOP＝60°，∵P A是⊙O的切线，∴P A⊥AO，∴∠P AO＝90°，∴∠P+∠AOP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣60°＝30°；（Ⅱ）如图②，∵PD＝AD，∴∠P＝∠P AD，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD，∵∠ADO＝∠P+∠P AD＝2∠P AD，∴∠OAD＝2∠P AD，∵P A是⊙O的切线，∴P A⊥AO，∴∠P AO＝90°，∴∠P AD+∠OAD＝90°，∴∠P AD+2∠P AD＝90°，∴∠P AD＝30°，∴∠ADO＝2∠P AD＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°．16．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝52°，∴∠ABC＝90°﹣52°＝38°，∵D为AB̂的中点，∴AD̂=BD̂，∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝45°，∴∠ABD＝∠ACD＝45°；（2）如图，连接OD，OC，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝64°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝52°，∴∠OCD＝∠ACE﹣ACO＝12°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝12°，∴∠POD＝∠AEC﹣∠ODC＝52°，∵DP是⊙O的切线，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠POD＝38°．17．【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OC，∵OG＝BG，且OB⊥CG，∴OC＝BC，又∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠BCH＝30°，∠4＝60°，∴∠H＝90°，∵BH＝1，∴OC＝BC＝2BH＝2，即圆O的半径为2；（Ⅱ）如图2，过点F作FE⊥DC．交DC延长线于点E，∴∠CFE+∠FCE＝90°，∵OC⊥FC，∴∠OCG+∠FCE＝90°，∴∠CFE＝∠OCG，∴tan∠CFE＝tan∠OCG，即CEEF=√33，设CE＝x，则EF=√3x，∵GM＝GD，MG⊥CD，∴∠MDG＝45°，∵FE⊥ED，∴∠DFE＝90°﹣∠MDG＝45°＝∠MDG，∴EF＝ED＝EC+CD，又∵CD＝2CG＝2×√22−12=2√3，∴√3x＝x+2√3，解得x＝3+√3，∴FC＝2EC＝6+2√3．18．【解答】解：（Ⅰ）∵∠AOC＝2∠ABC，∠B＝28°，∴∠AOC＝56°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC=180°−56°2=62°；（Ⅱ）如图②，连接OA．∵P A与⊙O相切于点A，∴P A⊥OA，∵∠AOC＝2∠ABC，∠B＝60°，∴∠AOC＝120°．∴∠POA＝60°，又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝2，∵∠P AO＝90°，∴∠P＝30°．在Rt△P AO中，PO＝2OA＝4，∴PD＝PO﹣OD＝2．19．【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵AC＝CD，∠CDA＝20°，̂=CD̂，∴∠CAD＝∠CDA＝20°，AC∴∠COD＝∠AOC＝2×20°＝40°，∴∠AOD＝80°，∴∠BOD＝180°﹣80°＝100°；（Ⅱ）如图②，连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝2√3AC=√3，∴∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠ECA＝30°，∴∠E＝∠CAO﹣∠ACE＝30°，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC=√3．20．【解答】解：（I）如图①，∵OA＝OC，∠OAC＝58°，∴∠OCA＝58°∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝90°﹣64°＝26°；（II）∵∠AOC＝64°，∴∠Q=12∠AOC＝32°，∵AQ＝CQ，∴∠QAC＝∠QCA＝74°，∵∠OCA＝58°，∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．21．【解答】解（1）如图1，连接OD，BD，∵EF与⊙O相切，∴OD⊥EF，∵BF⊥EF，∴OD∥BF，∴∠AOD＝∠B＝50°，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB=12∠AOD＝25°；（2）如图2，连接AC，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝2，AB＝4，∴∠CAB＝30°，∴AC＝AB•cos30°＝4×√32=2√3，∵∠ODF＝∠F＝∠HCO＝90°，∴∠DHC＝90°，∴AH＝AO•cos30°＝2×√32=√3，∵∠HAO＝30°，∴OH=12OA=12OD，∵AC∥EF，∴DE＝2AH＝2√3．22．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠ABC＝65°，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD=12∠AOD=12×90°=45°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝70°；（Ⅱ）连接OC，∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠COE＝2∠BAC＝50°，∴∠OEC＝40°，∵OD∥CE，∴∠AOD＝∠COE＝40°，∴∠ACD=12∠AOD＝20°．23．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝75°，∴∠ADC＝105°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BD，∵OD⊥AC，∴AD̂=CD̂，∴∠ABD＝∠CBD=12×75°＝37.5°，∴∠ACD＝∠ABD＝37.5°，∵∠DEC＝90°，∴∠ODC＝90°﹣37.5°＝52.5°．24．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝67°，∴∠BOC＝46°，∵OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∴∠DOC＝44°，∴∠D＝90°﹣44°＝46°；（Ⅱ）连接OC，如图所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠2+∠CDE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A+∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A，∵EO＝EC，∴∠1＝∠2，∴∠D＝∠DCE，∵∠DCE+∠1＝∠BCO+∠1＝90°，∴∠DCE＝∠BCO＝∠ABC＝∠D，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，∴∠1＝∠2＝30°，∵AB＝2，∴OA＝1，∴OE=√3 2，∴OD=√3，∴CD=√3 3．25．【解答】解：（1）∵OA＝OC，∠OAC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OC＝4，∠AOC＝60°，∵过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴P A＝AC＝4；（2）作CD⊥AB于D，∵∠AOC＝60°，∴∠Q＝30°，∵AQ＝CQ，∴∠QAC＝∠QCA＝75°，∵∠OAC＝∠OCA＝60°，∴∠QAO＝∠QCO＝15°，∵∠AOC＝∠POC+∠APC，∴∠APC＝60°﹣15°＝45°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD＝CD，∵CD=√32AC＝2√3，AD=12AC＝2，∴PD＝2√3∴P A＝AD+PD＝2+2√3．26．【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵D是弧AB的中点，̂=BD̂，∴AD∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，又∵∠C＝∠ABD，∴∠C＝45°；（Ⅱ）如图2，连接OC，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵AC＝CP，∴∠A＝∠P，∵∠COP＝2∠A，∴∠COP＝2∠P，∴在Rt△OPC中，∠COP+∠P＝90°，∴2∠P+∠P＝90°，∴∠P＝30°，∴∠A＝30°，∴∠D＝∠A＝30°．27．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，如图1，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN，∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO，∴∠PNO＝∠PNM+∠ONA＝∠AMO+∠ONA＝90°，即PN与⊙O相切．（Ⅱ）解：连接ON，如图2，∵∠AMO＝30°，PM＝PN，∴∠PNM＝∠AMO＝30°，∠OAN＝60°，∴∠NPO＝60°，∴OA＝ON，∴△AON是等边三角形，∴∠AON＝60°，∴∠NOP＝30°，∴∠PNO＝90°，∴OP=ONcos30°=132=2√33．28．【解答】解：（1）∵OA＝OD，OB＝OC，∴∠A＝∠ODA＝50°，∠B＝∠OCB＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°；（2）∵PD⊥OD，PC⊥OC，∴∠PDO＝∠PCO＝90°，∴∠PDC＝∠PCD＝30°，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴OP垂直平分CD，∴∠DOP＝30°，∵OD＝2，∴OM=√32OD=√3，OP=4√33．29．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，∵∠ADE＝25°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝50°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣50°﹣90°＝40°；（Ⅱ）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AÊ=AÊ，∴∠AOC＝2∠B．∴∠AOC＝2∠C．∵∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°．∴3∠C＝90°．∴∠AOC＝2∠C＝60°．∴∠D=12∠AOC＝30°．30．【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵AD平分∠CAB，∴DĈ=BD̂，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴BD＝CD＝5√2，（2）如图②，连接OB，OD，OC．∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB=12∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5，∵AD平分∠CAB，∴DĈ=BD̂，∴OD⊥BC，设垂足为E，∴BE＝EC＝OB•sin60°=5√3 2，∴BC＝5√3．31．【解答】解：（Ⅰ）连接OB，∵P A，PB与⊙O相切于点A，B，∴P A＝PB，∠P AO＝∠PBO＝90°，∴∠P AB＝∠PBA，∵∠BAC＝25°，∴∠PBA＝90°﹣∠BAC＝65°，∴∠P＝180°﹣65°×2＝50°；（Ⅱ）连接AB、AD，∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵PD＝DB，∵P A与⊙O相切于点A，∴BA⊥AP，∴∠P＝∠ABP＝45°．32．【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵C为半圆的中点，∴AĈ=BĈ，∴AC＝BC，而AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°；（Ⅱ）如图②，∵D为AC的中点，∴OE⊥AC，而OA＝OC，∴OD平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOD＝90°﹣20°＝70°，∵OC＝OD，∴∠OCE＝∠OEC=12（180°﹣70°）＝55°，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠ECF＝90°﹣55°＝35°．33．【解答】解：（I）如图①，连接DF，∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴∠F AD+∠C＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴∠F AD+∠ADF＝90°，∴∠C＝∠ADF，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠C＝∠AEF＝52°；（II）如图②，∵AD和AF都是直径，∴OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEF＝35°，∵BC与⊙O相切于点D，∴BC⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠OAE＝90°﹣35°＝55°．34．【解答】证明：（Ⅰ）如图1，连接OC，∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵AD⊥PC，∴AD∥OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，即∠P AM＝∠DAN；（Ⅱ）如图2，连接BM，∵AB是⊙O的直径，∴∠1+∠2＝90°，∵AD⊥PN，∴∠AND+∠3＝90°，∵ABMN时⊙O的内接四边形，∴∠AND＝∠2，∴∠1＝∠3，即∠P AM＝∠DAN．35．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠CDB＝∠CAB，∠CDB＝∠BFD，∴∠CAB＝∠BFD，∴FD∥AC（同位角相等，两直线平行），∵∠AEO＝90°，∴∠FDO＝90°，∴FD是⊙O的一条切线；（Ⅱ）由垂径定理可知，E是弦AC的中点，∵AB是直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC =√102−82=6，∵OA ＝OB ，∴OE =12BC ＝3，∵AE ∥DF ，∴AE DF =OE OD ， ∴4DF =35，∴DF =20336．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形， ∴∠A +∠DEB ＝180°，∵∠CED +∠DEB ＝180°，∴∠CED ＝∠A ，∵∠A ＝68°，∴∠CED ＝68°．（Ⅱ）连接AE ．∵DE ＝BE ，∴DE ̂=BE ，̂∴∠DAE ＝∠EAB =12∠CAB ＝34°，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠AEC ＝90°，∴∠C ＝90°﹣∠DAE ＝90°﹣34°＝56°37．【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO＝90°，∴∠3+∠2＝90°，∵AB是直径，∴∠1+∠B＝90°，∴∠3＝∠B．（2）解：①∵∠CEF＝∠ECD+∠CDE，∠CFE＝∠B+∠FDB，∵∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠ECF＝90°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°．。
天津市红桥区2018届高三数学二模试卷(理科)Word版含解析
天津市红桥区2018届高三二模试卷（理科数学）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x 2﹣1≥0，x ∈R}，B={x|0≤x ＜3，x ∈R}，则A∩B=（ ）A ．{x|1＜x ＜3，x ∈R}B ．{x|1≤x ≤3，x ∈R}C ．{x|1≤x ＜3，x ∈R}D ．{x|0＜x ＜3，x ∈R}2．若实数x ，y 满足，则目标函数z=4x+3y 的最大值为（ ）A ．0B ．C ．12D ．203．某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（ ）A ．k ＞3？B ．k ＞4？C ．k ＞5？D ．k ＞6？4．下列结论中，正确的是（ ）A ．“x＞2”是“x 2﹣2x ＞0”成立的必要条件B ．已知向量，，则“∥”是“+=”的充要条件C ．命题“p：∀x ∈R ，x 2≥0”的否定形式为“￢p ：∃x 0∈R ，x 02≥0”D ．命题“若x 2=1，则x=1”的逆否命题为假命题5．已知双曲线C ： =1（a ＞0，b ＞0），以C 的右焦点F （c ，0）为圆心，以a 为半径的圆与C的一条渐近线交于A ，B 两点，若|AB|=c ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在钝角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，c=5，sinC=，则△ABC 的面积等于（ ）A．B．C．D．7．若函数f（x）=e x﹣3﹣x+2a（a＞0）有且只有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（0，1） C．[1，+∞）D．（0，+∞）8．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（2+i）（1﹣bi）=a+i，则a+b= ．10．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=0运动到x=6，已知F（x）=x2+1且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为J（x的单位：m；力的单位：N）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（l为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点．则线段AB的长为．12．如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为．13．如图，已知圆内接四边形ABCD，边AD延长线交BC延长线于点P，连结AC，BD，若AB=AC=6，PD=9，则AD= ．14．已知等腰△ABC，点D为腰AC上一点，满足+=2，且||=3，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（2016红桥区二模）已知f （x ）=sin2x+cos 2x ﹣，x ∈R ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及在区间的最大值；（Ⅱ）若f （x 0）=，，求sin2x 0的值．16．（13分）（2016红桥区二模）甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率； （Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．17．（13分）（2016红桥区二模）已知数列{a n }是递增等差数列，a 1=2，其前n 项为S n （n ∈N *）．且a 1，a 4，S 5+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 及前n 项和S n ；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =+1，计算{b n }的前n 项和T n ，并用数学归纳法证明：当n ≥5时，n ∈N *，T n ＞S n ．18．（13分）（2016红桥区二模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，侧面PBC 是边长为2的等边三角形，点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值；（Ⅱ）若点F 在PC 边上移动，是否存在点F 使平面BFD 与平面APC 所成的角为90°？若存在，则求出点F 坐标，否则说明理由．19．（14分）（2016红桥区二模）设椭圆C ： =1（a ＞b ＞0），过点Q （，1），右焦点F （，0），（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=k （x ﹣1）分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，且与椭圆C 交于M ，N 两点，若，求k 值；（Ⅲ）自椭圆C 上异于其顶点的任意一点P ，作圆O ：x 2+y 2=2的两条切线切点分别为P 1，P 2，若直线P 1P 2在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明： =1．20．（14分）（2016红桥区二模）已知函数f （x ）=alnx++x ，（a ，b ∈R ）（Ⅰ）若函数f （x ）在x 1=1，x 2=2处取得极值，求a ，b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值； （Ⅱ）若函数f （x ）在（1，f （1））处的切线的斜率为1，存在x ∈[1，e]，使得f （x ）﹣x ≤（a+2）（﹣x 2+x ）成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ） 若h （x ）+x=f （x ）+（1﹣）x 2，求h （x ）在[1，e]上的最小值及相应的x 值．天津市红桥区2018届高三数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣1≥0，x∈R}，B={x|0≤x＜3，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3，x∈R} B．{x|1≤x≤3，x∈R} C．{x|1≤x＜3，x∈R} D．{x|0＜x＜3，x∈R} 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥1，即A={x|x≤﹣1或x≥1，x∈R}，∵B={x|0≤x＜3，x∈R}，∴A∩B={x|1≤x＜3，x∈R}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若实数x，y满足，则目标函数z=4x+3y的最大值为（）A．0 B．C．12 D．20【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），平移直线z=4x+3y，由图象可知当直线z=4x+3y经过点C时，目标函数z=4x+3y取得最大值，由，解得，即C（，﹣），即z=4×﹣×3=，故z的最大值为．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．3．某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，结合流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S 的值，由条件框内的语句决定是否结束循环体并输出S，由此给出表格模拟执行程序即可得到本题答案．【解答】解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：可得，当k=4时，S=26．此时应该结束循环体并输出S的值为26所以判断框应该填入的条件为：k＞3？故选：A【点评】本题给出程序框图，求判断框应该填入的条件，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，结合表格加以理解，从而使问题得以解决．4．下列结论中，正确的是（ ）A ．“x＞2”是“x 2﹣2x ＞0”成立的必要条件B ．已知向量，，则“∥”是“+=”的充要条件C ．命题“p：∀x ∈R ，x 2≥0”的否定形式为“￢p ：∃x 0∈R ，x 02≥0”D ．命题“若x 2=1，则x=1”的逆否命题为假命题【分析】A ．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B ．根据向量共线的等价条件进行判断，C ．根据全称命题的否定是特称命题进行判断，D ．根据逆否命题的等价性进行判断．【解答】解：A ．由x 2﹣2x ＞0得x ＞2或x ＜0，则“x＞2”是“x 2﹣2x ＞0”成立的充分不必要条件，故A 错误，B ．若∥，则=λ，则+=不一定成立，若+=，则=﹣，则∥成立，即“∥”是“+=”的必要不充分条件，故B 错误，C ．命题“p：∀x ∈R ，x 2≥0”的否定形式为“￢p ：∃x 0∈R ，x 02＜0”，故C 错误，D ．∵由x 2=1得x=1或x=﹣1，∴命题“若x 2=1，则x=1”为假命题，则命题的逆否命题也为假命题，故D 正确，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．5．已知双曲线C ： =1（a ＞0，b ＞0），以C 的右焦点F （c ，0）为圆心，以a 为半径的圆与C的一条渐近线交于A ，B 两点，若|AB|=c ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，∴焦点到渐近线的距离d=，∵|AF|=|BF|=a，∴|AD|==，则|AB|=2|AD|=2=c，平方得4（a2﹣b2）=c2，即a2﹣c2+a2=c2，则2a2=c2，则c2=a2，则c=a，即离心率e=，故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．6．在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，c=5，sinC=，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【分析】由条件和平方关系求出cosC，由余弦定理列出方程求出b的值，利用条件和余弦定理确定b的值，利用三角形面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：在钝角△ABC中，∵a=7，c=5，sinC=，∴A＞C，C是锐角，且cosC==，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，∴25=49+，则b2﹣11b+24=0，解得b=3或8，∵△ABC是钝角三角形，∴当b=8时，角B是钝角，∵cosB===0，则b=8舍去，同理验证b=3符合条件，∴△ABC的面积S===，故选：C．【点评】本题考查余弦定理，以及利用余弦定理判断是否是钝角的综合应用，考查化简、计算能力，属于中档题．7．若函数f（x）=e x﹣3﹣x+2a（a＞0）有且只有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（0，1） C．[1，+∞）D．（0，+∞）【分析】可求导数f′（x）=e x﹣3﹣1，然后根据导数的符号便可求出函数f（x）的最小值及函数f（x）的单调性，根据函数只有两个零点便可得出关于a的不等式，从而可求出实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=e x﹣3﹣1；∴x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；∴x=3时，f（x）取最小值2a﹣2；f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增；又f（x）有且只有两个零点；∴2a﹣2＜0；∴a＜1；∴0＜a＜1．故选B．【点评】考查基本初等函数和复合函数的导数的计算公式，根据导数符号判断函数的单调性及求函数最值的方法和过程，函数零点的定义．8．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】确定函数是周期为2的周期函数，f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5），即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），∴函数是周期为2的周期函数；∵f（x）为偶函数，f（x）在[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5）．∵0＜1＜20.5，∴b＜c＜a．故选：B．【点评】考查偶函数的定义，函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，1]上，根据单调性去比较函数值大小．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（2+i）（1﹣bi）=a+i，则a+b= 2 ．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简（2+i）（1﹣bi），再由复数相等的条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2+i）（1﹣bi）=（2+b）+（1﹣2b）i=a+i，则，解得a=2，b=0．则a+b=2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．10．设变力F （x ）作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x=0运动到x=6，已知F （x ）=x 2+1且方向和x 轴正向相同，则变力F （x ）对质点M 所做的功为 78 J （x 的单位：m ；力的单位：N ）．【分析】由功的意义转化为定积分来求即可．【解答】解：=78；故答案为：78．【点评】本题考查了定积分在物理中的应用；关键是利用定积分表示．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（l 为参数），直线l 与抛物线y 2=4x相交于A ，B 两点．则线段AB 的长为 4 ．【分析】将直线参数方程代入抛物线方程，求出参数的两根之和与两根之积，根据参数的几何意义求出|AB|．【解答】解：将直线l 的参数方程代入抛物线方程得1++=，即t 2﹣6t+5=0，∴t 1+t 2=6，t 1t 2=5．∴|AB|=|t 1﹣t 2|===4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题．12．如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为 3π ．【分析】由已知得到几何体是平放的三棱柱，底面是等腰直角三角形，高为1，得到其外接球直径，计算表面积．【解答】解：由已知得到几何体是平放的三棱柱，底面是等腰直角三角形，高为1，所以其外接球的直径为，所以表面积为4π×=3π；故答案为：3π．【点评】本题考查了由三视图求具体的外接球的表面积；前提是正确还原几何体，得到其外接球的半径．13．如图，已知圆内接四边形ABCD，边AD延长线交BC延长线于点P，连结AC，BD，若AB=AC=6，PD=9，则AD= 3 ．【分析】利用相似三角形的判定与性质得出△ADC∽△ACP，则可求AC2=AD×AP=AD×（AD+DP），进而得出答案．【解答】解：∵∠PDC+∠ADC=180°，∠PCA+∠ACB=180°，∠ACB=∠PDC=∠ABC，∴∠ADC=∠PCA，又∵∠CAD=∠PAC，∴△ADC∽△ACP，∴=，∴AC2=AD×AP=AD×（AD+DP），∵AB=AC=6，PD=9，∴36=AD×（AD+9），解得：AD=3或﹣12（舍）．故答案为：3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，得出△ADC∽△ACP是解题关键，属于中档题．14．已知等腰△ABC，点D为腰AC上一点，满足+=2，且||=3，则△ABC面积的最大值为 6 ．【分析】由已知可得C为AC中点，先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，进而求得sinA的表达式，然后代入三角形面积公式转化为二次函数求解．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一点，满足+=2，故D为等腰三角形ABC腰AC上的中点，又由||=3，故cosA=，△ABC 面积S=b 2=，故答案为：6．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（2016红桥区二模）已知f （x ）=sin2x+cos 2x ﹣，x ∈R ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及在区间的最大值；（Ⅱ）若f （x 0）=，，求sin2x 0的值．【分析】（Ⅰ）借助二倍角公式和辅助角公式化简，得到最小正周期，由x 的范围结合正弦函数图象得到f （x ）的范围．（Ⅱ）由f （x 0）=，，可以得到cos （2x 0+）=﹣，【解答】解 （Ⅰ）∵f （x ）=sin2x+cos 2x ﹣=sin 2x+﹣=sin 2x+cos 2x=sin（2x+），∴f （x ）=sin （2x+）， ∴函数f （x ）的最小正周期为π，∵x ∈，∴sin （2x+）∈[，1]，所以f （x ）在区间的最大值是1．（Ⅱ）∵f （x ）=sin （2x+），∴f （x 0）=，∴sin （2x 0+）=，又∵，∴2x 0+∈[，π]，∴cos （2x 0+）=﹣，∴sin2x 0=sin （2x 0+﹣）=sin （2x 0+）cos ﹣cos （2x 0+）sin=×﹣（﹣）×=． 【点评】本题考查三角函数解析式的化简，以及由x 的范围，得到解析式的范围，需结合图象得到．16．（13分）（2016红桥区二模）甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率； （Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．【分析】（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有种结果，由此能求出从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B （3，），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）用B 表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A 1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．用A 2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，由P （B ）=P （A 1）+P （A 2），能求出两队得分之和大于4的概率．【解答】解：（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有=15种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：=6种结果， 用A 表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”P （A ）==．故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B （3，），P （ξ=0）=，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，P （ξ=3）=（）3=． ∴ξ的分布列为：ξ的数学期望E （ξ）=0×+1×+2×+3×=2． （Ⅲ）用B 表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A 1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．P （A 1）=（++）+=，用A 2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，则P （A 2）==，P （B ）=P （A 1）+P （A 2）==．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、二项分布性质、互斥事件概率计算公式的合理运用．17．（13分）（2016红桥区二模）已知数列{a n }是递增等差数列，a 1=2，其前n 项为S n （n ∈N *）．且a 1，a 4，S 5+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 及前n 项和S n ；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =+1，计算{b n }的前n 项和T n ，并用数学归纳法证明：当n ≥5时，n ∈N *，T n ＞S n ．【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ＞0，由a 1，a 4，S 5+2成等比数列．可得=a 1（S 5+2），即（2+3d ）2=2，解出d ，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．（Ⅱ）b n =+1=2n ﹣1+1，可得{b n }的前n 项和T n =2n +n ﹣1．当n ≥5时，n ∈N *，T n ＞S n ．即证明：2n ＞n 2+1．利用数学归纳法证明即可得出．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ＞0，∵a 1，a 4，S 5+2成等比数列．∴=a 1（S 5+2），即（2+3d ）2=2，化为：9d 2﹣8d ﹣20=0，d ＞0．解得d=2，∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ．S n ==n 2+n ．（Ⅱ）b n =+1=2n ﹣1+1，∴{b n }的前n 项和T n =+n=2n +n ﹣1．当n ≥5时，n ∈N *，T n ＞S n ．即证明：2n ＞n 2+1．下面利用数学归纳法证明：当n ≥5时，n ∈N *，T n ＞S n ．①当n=5时，25=32＞26=52+1，即n=1时成立．②假设当n=k ∈N *（k ≥5）时，2k ＞k 2+1成立，则n=k+1时，2k+1=2×2k ＞2k 2+2，∵2k 2+2﹣[（k+1）2+1]=k 2﹣2k=k （k ﹣2）＞0，∴2k 2+2＞（k+1）2+1，即2k+1＞（k+1）2+1，n=k+1时不等式成立．综上得当n ≥5时，T n ＞S n ，n ∈N *．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（13分）（2016红桥区二模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，侧面PBC 是边长为2的等边三角形，点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值；（Ⅱ）若点F 在PC 边上移动，是否存在点F 使平面BFD 与平面APC 所成的角为90°？若存在，则求出点F 坐标，否则说明理由．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法即可求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面的法向量，根据平面BFD 与平面APC 所成的角为90°，建立方程关系进行求解判断即可．【解答】解：（Ⅰ） 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，故AB=BC=AC=PC=PB=2，取BC 中点O ，则AO ⊥BC ，PO ⊥BC ，PO ⊥AO以O 为坐标原点，OP 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系，O （0，0，0），A （0，0，），B （0，﹣1，0），C （0，1，0），P （，0，0），D （0，2，），E（，，0），则=（﹣，2，），=（0，1，），则||=，||=2，则=2﹣3=﹣1，设异面直线PD 与AC 所成角为θ，则cos θ==||=，所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为．（Ⅱ）设存在点F，使平面BFD与平面APC所成的角为90°，设F（a，b，0），因为P，C，F三点共线， =（a﹣，b，0），=（﹣，1，0），设=λ，则（a﹣，b，0）=λ（﹣，1，0），所以a=（1﹣λ），b=λ，则F（（1﹣λ），λ，0），设平面BFD的一个法向量为=（x，y，z），则得令y=，则=（，，﹣3），||=，设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则则，令x=1，则=（1，，1），||=，又=（1，，1）（，，﹣3）=，若平面BFD与平面APC所成的角为90°，则cos90°===0，故=0，即λ=﹣1，此时E（2，﹣1，0），点F在CP延长线上，所以，在PC边上不存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°【点评】本题主要考查异面直线所成的角以及二面角的计算，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．19．（14分）（2016红桥区二模）设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），过点Q （，1），右焦点F （，0），（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=k （x ﹣1）分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，且与椭圆C 交于M ，N 两点，若，求k 值； （Ⅲ）自椭圆C 上异于其顶点的任意一点P ，作圆O ：x 2+y 2=2的两条切线切点分别为P 1，P 2，若直线P 1P 2在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明： =1．【分析】（Ⅰ）将Q 的坐标代入椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）求出直线l 与x ，y 轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k 的值；（Ⅲ）由切线的性质，结合四点共圆判断可得P ，P 1，O ，P 2四点共圆，可得其圆心O'（，），求得圆方程，由两圆方程相减可得相交弦方程，由题意可得P 1P 2的方程为+=1，求得P 的坐标，代入椭圆方程即可得证．【解答】解：（Ⅰ）椭圆过点Q （，1），可得+=1，由题意可得c=，即a 2﹣b 2=2，解得a=2，b=，即有椭圆C 的方程为+=1； （Ⅱ）直线l ：y=k （x ﹣1）与x 轴交点C （1，0），y 轴交点D （0，﹣k ），联立，消y 得，（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣4=0，①设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=，=（x 2﹣1，y 2），=（﹣x 1，﹣k ﹣y 1），由，得：x 1+x 2==1，解得k=±；（Ⅲ）证明：因为P 1，P 2为切点，所以OP 1⊥PP 1，OP 2⊥PP 2，所以P ，P 1，O ，P 2四点共圆，其圆心O'（，），方程为（x ﹣）2+（y ﹣）2=，整理得x 2+y 2﹣xx P ﹣yy P =0，P 1，P 2是圆O 与圆O'的交点，联立得xx P +yy P =2，直线P 1P 2在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，可得直线P 1P 2的方程为+=1，得x P =，y P =，因为P （x P ，y P ）在椭圆x 2+2y 2=4上，则（）2+2（）2=4， 整理得=1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量相等的条件，同时考查圆方程的求法，以及两圆相交弦的问题，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）（2016红桥区二模）已知函数f （x ）=alnx++x ，（a ，b ∈R ）（Ⅰ）若函数f （x ）在x 1=1，x 2=2处取得极值，求a ，b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值； （Ⅱ）若函数f （x ）在（1，f （1））处的切线的斜率为1，存在x ∈[1，e]，使得f （x ）﹣x ≤（a+2）（﹣x 2+x ）成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ） 若h （x ）+x=f （x ）+（1﹣）x 2，求h （x ）在[1，e]上的最小值及相应的x 值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，计算f′（1），f′（2）的值，求出a ，b ，列出表格，求出函数的单调区间，求出极值点；（Ⅱ）求出a=﹣b ，问题转化为a ≥（x ∈[1，e]），根据函数的单调性求出a 的范围即可；（Ⅲ）求出h （x ）=alnx+x 2，通过讨论a 的范围，求出函数的最小值，从而得到对应的x 的值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x ）=+bx+1，f′（1）=a+b+1=0①，f′（2）=a+2b+1=0②．由①②解得：a=﹣，b=﹣．此时f （x ）=﹣lnx ﹣x 2+x ，f′（x ）=，所以，在x=1取得极小值，在x=2取得极大值；（Ⅱ）若函数f （x ）在（1，f （1））处的切线的斜率为1，则f′（1）=a+b+1=1，则a=﹣b ， 故f （x ）=alnx ﹣x 2+x ，若f （x ）﹣x=alnx ﹣x 2≤（a+2）（﹣x 2+x ）成立，则a （x ﹣lnx ）≥x 2﹣2x 成立，∵x ∈[1，e]，∴lnx ≤1≤x 且等号不能同时取，所以lnx ＜x ，即x ﹣lnx ＞0．因而a ≥（x ∈[1，e]）．令g （x ）=（x ∈[1，e]），又g′（x ）=，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g′（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数．故g （x ）的最大值为g （e ）=，所以实数a 的取值范围是[，+∞）．（Ⅲ）h （x ）+x=f （x ）+（1﹣）x 2⇒h （x ）=alnx+x 2，h′（x ）=（x ＞0），当x ∈[1，e]，2x 2+a ∈[a+2，a+2e 2]，若a ≥﹣2，h′（x ）在[，1e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，h′（x ）=0），故函数h （x ）在[1，e]上是增函数，此时[h （x ）]min =f （1）=1，若﹣2e 2＜a ＜﹣2，当x=时，h′（x ）=0；当1≤x ＜时，h′（x ）＜0，此时h （x ）是减函数；当＜x≤e时，h′（x）＞0，此时h（x）是增函数．=f（）=ln（﹣）﹣，故[h（x）]min若a≤﹣2e2，h′（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），故函数h（x）在[1，e]上是减函数，此时[h（x）]=h（e）=a+e2，min综上可知，当a≥﹣2时，h（x）的最小值为1，相应的x值为1；为；。
2018年天津市红桥区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．￢p：∀x∈R，sin x≥1B．￢p：∀x∈R，sin x＞1C．￢p：∃x0∈R，sin x0≥1D．￢p：∃x0∈R，sin x0＞13．（5分）不等式组，所表示平面区域的面积为（）A．B．C．1D．34．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．10C．﹣6D．﹣155．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 6．（5分）设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象向左平移个单位得函数y＝g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递增B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递减D．g（x）在（，π）上单调递增7．（5分）点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0），与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个交点，若点A到抛物线C1的焦点的距离为P，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知定义在[﹣1，+∞）上的函数在区间[﹣1，3）上的解析式为f（x）＝当x≥3时，函数满足f（x）＝f（x﹣4）+1，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有5个零点，则实数k为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．10．（5分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方体的表面积为．11．（5分）曲线C：f（x）＝sin x+e x+2在x＝0处的切线方程为．12．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则•＝．13．（5分）若直线ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0截得的弦长为4，则的最小值为．14．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＝2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）2018年全国“两会”于3月5日在北京召开，参会代表积极参政议政，议大事谋良策，取得了一系列重要成果，某网站就网友对会议的了解情况随机调查了1000名网友，结果如下：若从这1000名网友中随机抽取一名，抽到50名以下“不很了解”的概率为0.1，（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）若y≥193，z≥193，求“非常了解”的网友中，50岁以下的人数不少于50岁以上的人数的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2，B＝2A．（Ⅰ）求cos A及边c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣）的值．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA＝AB，求直线PQ与平面ABCD所成角．18．（13分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）数列{b n}满足b n＝（3n﹣1）•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b ＞0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a+1于点E、F．（Ⅰ）若点B（），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．20．（14分）已知函数f（x）＝a2x2+ax﹣lnx（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝a2x2﹣f（x），且函数g（x）在点x＝1处的切线为l，直线l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，求证：无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方；（Ⅲ）已知点A（1，g（1）），Q（x0，g（x0）），且当x0＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．2018年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}；∴∁U B＝{0，1}；∴A∩（∁U B）＝{1}．故选：A．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．￢p：∀x∈R，sin x≥1B．￢p：∀x∈R，sin x＞1C．￢p：∃x0∈R，sin x0≥1D．￢p：∃x0∈R，sin x0＞1【解答】解：∵命题p：∀x∈R，sin x≤1，∴￢p：∃x0∈R，sin x0＞1．故选：D．3．（5分）不等式组，所表示平面区域的面积为（）A．B．C．1D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的区域为△ABC，其中B（0，3），A（0，0），由，解得，即C（﹣1，2），则△ABC的面积S＝×3×1＝，故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．10C．﹣6D．﹣15【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值，可得：S＝﹣12+22﹣32+42＝10．故选：B．5．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．6．（5分）设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象向左平移个单位得函数y＝g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递增B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递减D．g（x）在（，π）上单调递增【解答】解：∵f（x）＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+），∵T＝＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+），∴将y＝f（x）的图象向左平移个单位得函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）＝sin[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：k，k∈Z，当k＝0时，x∈[0，]，即g（x）在（0，）上单调递减．故选：C．7．（5分）点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0），与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个交点，若点A到抛物线C1的焦点的距离为P，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y＝x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+＝p；∴＝．∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．故选：A．8．（5分）已知定义在[﹣1，+∞）上的函数在区间[﹣1，3）上的解析式为f（x）＝当x≥3时，函数满足f（x）＝f（x﹣4）+1，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有5个零点，则实数k为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）＝0得f（x）＝k（x+1）．作出y＝f（x）与y＝k（x+1）的函数图象，由图象可知M（﹣1，0）为两函数图象的一个交点．当直线y＝k（x+1）与f（x）在[3，4）上的函数图象相切时，两函数图象有恰好有5个交点，由f（x）＝f（x﹣4）+1，可将f（x）在（﹣1，1）的图象向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得f（x）在（3，4）的图象，设此时直线斜率为k1，A（4，1），则tan∠AMx＝，∴k＝tan2∠AMx＝＝．故选：D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．【解答】解：＝＝，又已知复数为纯虚数，∴，解得a＝．故答案为：．10．（5分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方体的表面积为24．【解答】解：设球的半径为R，由得，所以a＝2，表面积为6a2＝24．故答案为：2411．（5分）曲线C：f（x）＝sin x+e x+2在x＝0处的切线方程为y＝2x+3．【解答】解：∵f（x）＝sin x+e x+2，∴f（x）′＝cos x+e x，∴曲线f（x）＝sin x+e x+2在点P（0，3）处的切线的斜率为：k＝cos0+e0＝2，∴曲线f（x）＝sin x+e x+2在点P（0，3）处的切线的方程为：y＝2x+3，故答案为y＝2x+3．12．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则•＝．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC＝sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC＝|BC|sin B，，＝|BC|sin B＝＝，故答案为．13．（5分）若直线ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0截得的弦长为4，则的最小值为．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0是以（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，又∵直线ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0所截得的弦长为4，故圆心（﹣1，2）在直线ax﹣by+2＝0上即：+b＝1则＝＝（）+（）≥故的最小值为故答案为：．14．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＝2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n＝4﹣．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＝2f（x+2），∴f（x+2）＝f（x），∴f（x+4）＝f（x+2）＝f（x），f（x+6）＝f（x+4）＝f（x），…f（x+2n）＝f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]＝﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴f（x）＝﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）＝21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x＝2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n＝22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n＝＝4﹣．故答案为：4﹣．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）2018年全国“两会”于3月5日在北京召开，参会代表积极参政议政，议大事谋良策，取得了一系列重要成果，某网站就网友对会议的了解情况随机调查了1000名网友，结果如下：若从这1000名网友中随机抽取一名，抽到50名以下“不很了解”的概率为0.1，（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）若y≥193，z≥193，求“非常了解”的网友中，50岁以下的人数不少于50岁以上的人数的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：＝0.1，解得：x＝100；（Ⅱ）由题意得：y+z＝400且y≥193，z≥193，满足条件的（y，z）有：（193，207），（194，206），（195，205），（196，204），（197，203），（198，202），（199，201），（200，200），（201，199），（202，198），（203，197），（204，196），（205，195），（206，194），（207，193）共15组，设事件A：“非常了解的网友中，50岁以下的人数不少于50岁以上的人数”，即z≥y，则事件A包含的基本事件（y，z）有（193，207），（194，206），（195，205），（196，204），（197，203），（198，202），（199，201），（200，200）共8组，∴P（A）＝，故“非常了解的网友中，50岁以下的人数不少于50岁以上的人数”的概率为．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2，B＝2A．（Ⅰ）求cos A及边c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，a＝3，b＝2，∴＝，又B＝2A，∴＝，＝，解得cos A＝；又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，9＝24+c2﹣2•2•c•，c2﹣8c+15＝0，解得c＝3或c＝5；（Ⅱ）∵B＝2A，∴cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin B＝；∴cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝×+×＝．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA＝AB，求直线PQ与平面ABCD所成角．【解答】证明：（Ⅰ）取SD中点F，连结AF，PF，∵P、F分别是棱SC，SD的中点，∴FP∥CD，且FP＝CD，又∵菱形ABCD中，Q是AB的中点，∴AQ∥CD，且AQ＝CD，∴FP∥CD，且FP＝AQ，∴AQPF是平行四边形，∴PQ∥AF，又∵PQ⊄平面SAD，AF⊂平面SAD，∴PQ∥平面SAD．（Ⅱ）连结BD，∵△SAD中，SA＝SD，点E是AD中点，∴SE⊥AD，又SE⊥平面ABCD，∴SE⊥AC，∵底面ABCD为菱形，E、Q分别是AD、AB的中点，∴BD⊥AC，EQ∥BD，∴EQ⊥AC，∵SE∩EQ＝E，∴AC⊥平面SEQ．解：（Ⅲ）∵PQ∥AF，∴直线PQ与平面ABCD所成角等于直线AF与平面ABCD所成角，取ED中点M，连结FM，∴FM SE，∵SE⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴∠F AM是直线PQ与平面ABCD所成角．∵SA＝AD＝SD，∴△SAD是等边三角形，∴∠F AM＝30°，∴直线PQ与平面ABCD所成角为30°．18．（13分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）数列{b n}满足b n＝（3n﹣1）•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）（2）由得即…（4分）又所以是以为首项，3为公比的等比数列．…（6分）所以即…（8分）（3）…（9分）＝两式相减得，∴…（11分）∴若n为偶数，则若n为奇数，则，∴﹣2＜λ＜3…（14分）19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b ＞0）的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x＝a+1于点E、F．（Ⅰ）若点B（），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1，k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．【解答】解：（I）由题意可得：＝，＝1，a2＝b2+c2，联立解得a2＝8，b＝2＝c，∴椭圆C的方程为：+＝1．（II）①k1•k2为定值．设B（x0，y0），C（﹣x0，﹣y0）.+＝1．由＝，a2＝b2+c2，可得a2＝2b2．则k1•k2＝•＝＝＝﹣＝﹣．②设直线AB的方程为：y＝k1（x﹣a），直线AC的方程为：y＝k2（x﹣a），令x＝a+1，则y E＝k1，y F＝k2，S△AEF＝|EF|×1＝|k2﹣k1|，由图形可得：k1＜0，k2＞0，k1•k2＝﹣．＝（k2﹣k1）×＝，当且仅当k2＝﹣k1＝时取等号．∴S△AEF∴△AEF的面积的最小值为．20．（14分）已知函数f（x）＝a2x2+ax﹣lnx（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝a2x2﹣f（x），且函数g（x）在点x＝1处的切线为l，直线l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，求证：无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方；（Ⅲ）已知点A（1，g（1）），Q（x0，g（x0）），且当x0＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．【解答】（I）解：a＝1时，f（x）＝x2+x﹣lnx，f′（x）＝2ax+1﹣＝（x＞0），x，f（x）与f′（x）的变化情况如下：，，因此，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．（II）证明：g（x）＝a2x2﹣f（x）＝lnx﹣ax，g′（x）＝﹣a，所以g′（1）＝1﹣a，所以l的斜率k l＝1﹣a．因为l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，所以直线l′的方程为y＝（1﹣a）x+1，令h（x）＝g（x）﹣[（1﹣a）x+1]＝lnx﹣x﹣1（x＞0），则无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方可化为：h（x）＜0（∀a∈R，∀x＞0），而h′（x）＝﹣1＝，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以函数h（x）的（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而当x＝1时，h（x）取得极大值h（1）＝﹣2，即在（0，+∞）上，h（x）取得最大值h（1）＝﹣2，所以h（x）≤﹣2＜0（∀a∈R，∀x＞0），因此，无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方；（III）因为A（1，﹣a），Q（x0，lnx0﹣ax0），所以k QA＝＝﹣a，所以当x0＞1时，﹣a＜2，即lnx0﹣（a+2）（x0﹣1）＜0恒成立，令r（x）＝lnx﹣（a+2）（x﹣1）（x＞1），则r′（x）＝﹣（a+2），因为x＞1，所以0＜＜1．（i）当a≤﹣2时，a+2≤0，此时r′（x）＞0，所以r（x）在（1，+∞）上单调递增，有r（x）＞r（1）＝0不满足题意；（ii）当﹣2＜a＜﹣1时，0＜a+2＜1，所以当x∈（1，）时，r′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，r′（x）＜0，所以至少存在t∈（1，），使得r（t）＞r（1）＝0不满足题意；（iii）当a≥﹣1时，a+2≥1，此时r′（x）＜0，所以r（x）在（1，+∞）上单调递减，r（x）＜r（1）＝0，满足题意．综上可得a≥﹣1，故所求实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．。