圆周角PPT教学课件人教版1
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人教版九年级数学上册《圆周角》优秀PPT课件
∠ ABC = ∠ADC=∠ AEC
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一 个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一 个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、
人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理课件(第一课时18张)
1
= 2∠AOD,∠CBD
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
A C
●O B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半.
活动三：学以致用
1. 如图1,在圆O中, ∠BOC=50°,则∠BAC = 25°;
2.变式1:如图2,已知∠BCD=120°,则∠AOB= 120; °
3.变式2:如图3,已知圆心角∠AOB=100°，则
⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角
是∠BOC,
则∠
BAC=
1 2
∠BOC
O
A
C
B
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径
∠AOB=2∠BOC. ∠ACB=40°，求∠BAC的度数.
证明：∵
∠ACB=
1 2
∠AOB=40
°
∴ ∠AOB= 80 °
∵ ∠AOB=2∠BOC
O
∴ ∠BOC=40 °
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都和圆相交 （即两边是圆的两条弦）
判别下列各图形中的角是不是圆周角。
×
√
×
√
×
×
×
当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A C
●O
B
E
D
圆周角: ∠ABC,
∠ADC, ∠AEC.
新人教版九年级上册数学
24.1.4圆周角（第1课时）
问题：请同学们想一想，球员射中球门的难易 与什么有关？
总结：如图所示，球员射中球门的难易与他所在的位置B对球门
2第4课时圆周角PPT课件(人教版)
• 课后作业：“学生用书”的“课后作业”部 分．
第4课时 圆周角
学习目标
• 1. 学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆 周角定理及推论.
• 2. 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能 用分类讨论的思想证明圆周角定理.
• 3. 会用圆周角定理及推论进行证明和计算.
一、概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D
【针对训练】
(1)(3)(4)
120
25
C 60°
探究点二 圆周角定理及其推论的 应用
针对训练】
1.两个概念：圆周角，圆内接四边形． 2.圆周角定理及其推论． 3.圆内接四边形的性质． 4.分类讨论的数学思想方法．
C C
C
C 40
课后作业
• 上交作业： 教科书第89页习题24.1第4，5，6题 ．
A
试找出图中的圆周角 C
O·
E
BB
探究点一 圆周角定理及其推论的推导 1.圆周角定理的推导
D A
C
O·
E
B
2.
思考：
半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角 所对的弦是什么？
在半径不等的圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的 弧相等吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧 一定相等吗？为什么？圆内接四边形的两组对角分别有 怎样的关系？
第4课时 圆周角
学习目标
• 1. 学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆 周角定理及推论.
• 2. 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能 用分类讨论的思想证明圆周角定理.
• 3. 会用圆周角定理及推论进行证明和计算.
一、概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D
【针对训练】
(1)(3)(4)
120
25
C 60°
探究点二 圆周角定理及其推论的 应用
针对训练】
1.两个概念：圆周角，圆内接四边形． 2.圆周角定理及其推论． 3.圆内接四边形的性质． 4.分类讨论的数学思想方法．
C C
C
C 40
课后作业
• 上交作业： 教科书第89页习题24.1第4，5，6题 ．
A
试找出图中的圆周角 C
O·
E
BB
探究点一 圆周角定理及其推论的推导 1.圆周角定理的推导
D A
C
O·
E
B
2.
思考：
半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角 所对的弦是什么？
在半径不等的圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的 弧相等吗？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧 一定相等吗？为什么？圆内接四边形的两组对角分别有 怎样的关系？
课件《圆周角》优秀课件完美版_人教版1
圆心角定义
❖ 定义：顶点在圆心，并且两边都与圆相 交的角叫做圆心角。
如图所示：∠AOB 为圆周角
圆周角定义
❖ 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相 交的角叫做圆周角。
如图所示：∠ACB 为圆周角
圆周角定理
❖圆周角定理：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角的度 数是圆心角度数的一半。也可 以说成：一条弧所对的圆周角 等于圆心角的一半。
❖ 2.如图，在⊙O中，弦AB、CD垂直相交于点 E，求证：∠BOC＋∠AOD＝ 180度
∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3 ＝2∠2+2∠ABD ＝2（∠2+∠ABD）
＝2 ×900 ＝1800
❖ 3.如图，在梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=135°， 以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD，BC于E， F两点，并交BA延长线与G，求弧BF的度数
推论3
❖如果三角形一条边上的中线等 于这条边的一半，那么这个三 角形是直角三角形
推论4
❖圆内接四边形的对角互补
练习
❖ 1 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动 点（不与A、B重合），CD⊥AB于D， ∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上 运动时，点P的位置（ B ）
A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧 上 D．无法判断
❖直径（半圆）所对的圆周角是 ∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3
得∠ADB=90°．再由DE⊥ 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所对的弧一定相等。 直径（半圆）所对的圆周角是直角
直角 5．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F，DB交AC于G．求证：AF=FG．
如图所示：∠AOB 为圆周角 ∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3
人教版九年级数学上册《圆周角》ppt课件
相等的圆周角所对的弧也相等。
如图：则有
∠ACB= ∠ADB=
1 12
AOB AOB
； ；
∠ ACB =∠2 ADB.
图 2 3 .1 .1 0
思考1
在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，它们所对弧一定相 等吗？为什么？
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等
思考2
如图23.1.9， 线段AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，
的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相 等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
D
8 7
3
4
B
6 5
C
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：同圆圆周或角等相圆等中 ，同弧或等弧所对的
等于该 弧所对的圆心角的一半；
(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.
24.14圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和
圆相交的角叫做圆周角．
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图9
证明你的猜想:
（1）圆心在∠BAC的一边上.
A 由于OA=OC
O
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
B
《圆周角》_精品教学PPT人教版1
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2 (cm)
2
2
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说说收获 《圆周角》优品教学PPT人教版1-精品课件ppt(实用版)
一个概念和定理: 圆周角, 圆周角定理
两个推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；
70° x 350
.600
O X
A
B
A 1200
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思思考考探探究究 《圆周角》优品教学PPT人教版1-精品课件ppt(实用版)
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1，∠C2，∠C3的度数是 90°.
C1 C2
问题2： 若∠C1，∠C2，∠C3是 C3 直角，那么∠AOB是 180°.
A
O
B 推论2：半圆（或直径）所对 的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径.
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运用提升 《圆周角》优品教学PPT人教版1-精品课件ppt(实用版)
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． C
对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
∠1 = ∠4， ∠2 = ∠7，
∠3 = ∠6， ∠5 = ∠8.
A1
2.(A)如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O 2
C
8 7
上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径
是
.
3 4
3.(AA)求证：如果三角形一边上的中线等于这 B
人教版《圆周角》精美课件PPT1
同理 BAD BCD 180.
1
A
C
D
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个外角等 于它的内对角.
E
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ 相等或互补.
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆.
一个圆内接四边形；
O 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
求证：
是矩形.
2.测量：一组对角的度数；
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
则 则
3.猜想：圆内接四边形的对角有
什么数量关系. A C 弦AC所对的圆周角相等吗？
例1 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=
ACD 60；
A
(1)求证:
B
O
(2)求四边形ABCD的面积.
C
D
例2 如图,在圆内接四边形ABCD中,
AB AD，BAD 60，AC a.
ACD 60；
A
(1)证求明证：:连接BD. B AB AD，BAD 60，
O
△ABD是等边三角形. ABD 60.
C
D
ACD ABD 60.
B
O
又 AD AB，DE BC，
△ADE≌△ABC.
E
C
D
S四边形ABCD S△ABC S△ACD S△ADE S△ACD S△ACE .
△ADE≌△ABC.
AE AC.
又 ACD 60， △ACE是等边三角形.
1
A
C
D
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个外角等 于它的内对角.
E
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ 相等或互补.
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆.
一个圆内接四边形；
O 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
求证：
是矩形.
2.测量：一组对角的度数；
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
则 则
3.猜想：圆内接四边形的对角有
什么数量关系. A C 弦AC所对的圆周角相等吗？
例1 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=
ACD 60；
A
(1)求证:
B
O
(2)求四边形ABCD的面积.
C
D
例2 如图,在圆内接四边形ABCD中,
AB AD，BAD 60，AC a.
ACD 60；
A
(1)证求明证：:连接BD. B AB AD，BAD 60，
O
△ABD是等边三角形. ABD 60.
C
D
ACD ABD 60.
B
O
又 AD AB，DE BC，
△ADE≌△ABC.
E
C
D
S四边形ABCD S△ABC S△ACD S△ADE S△ACD S△ACE .
△ADE≌△ABC.
AE AC.
又 ACD 60， △ACE是等边三角形.
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人教版《数学》义务教育九年级上册
24.1.4 圆 周 角(1)
人教版圆周角_精品课件1
人教版圆周角_精品课件1
辩一辩：
判别下列各图形中的角是不是圆周角，并 说明理由。
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找一找：
例:如图,点A、B、C、D在同一个圆上,说
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关键词
知识、方法、思想、 收获、喜悦、困惑、 成功······
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作业:
A层（基础题）
教科书第 88 页 练习第 3，4 题． 教科书第 90 页 习题第 3、13 题．
B层（拓展题）
1、已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数 2、练习册第100--101页第 3题、第 5--7 题． 3、已知：如图，⊙O是等边△ ABC的外接 圆，E是BC上的一点，AE交BC于点D.求证： AE=BE+CE
C
哪些角相等？
拓展：若∠1=∠2=60°，你 能判断△BCD的形状吗？
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如图，在⊙O中，半径OA⊥BC，
∠AOB=50°，则圆周角
∠ADC=
．
人教版圆周角_精品课件1
人教版圆周角_精品课件1 人教版圆周角_精品课件1
人教版圆周角_精品课件1
这就是我们一开始看到的梅西带球 过人，传球射门的示意图，仅从射门角 度考虑你能说说P处还是Q处射门的角度 好呢？
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圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
24.1.4 圆 周 角(1)
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辩一辩：
判别下列各图形中的角是不是圆周角，并 说明理由。
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找一找：
例:如图,点A、B、C、D在同一个圆上,说
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关键词
知识、方法、思想、 收获、喜悦、困惑、 成功······
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作业:
A层（基础题）
教科书第 88 页 练习第 3，4 题． 教科书第 90 页 习题第 3、13 题．
B层（拓展题）
1、已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数 2、练习册第100--101页第 3题、第 5--7 题． 3、已知：如图，⊙O是等边△ ABC的外接 圆，E是BC上的一点，AE交BC于点D.求证： AE=BE+CE
C
哪些角相等？
拓展：若∠1=∠2=60°，你 能判断△BCD的形状吗？
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如图，在⊙O中，半径OA⊥BC，
∠AOB=50°，则圆周角
∠ADC=
．
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这就是我们一开始看到的梅西带球 过人，传球射门的示意图，仅从射门角 度考虑你能说说P处还是Q处射门的角度 好呢？
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圆心O在∠BAC的内部
A
A
O
B
D
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在完成探讨圆周角概念、定理和推理任务
过程中，你们或许对其“概念、定理、推 理”的理解感到困难重重，这节课将对这部分
内容进行重点讲解，希望能够给处于困惑中的 你们提供帮助，也希望你能更喜欢数学这位 “朋友’.
1、复习提问:
(1)什么是圆心角？ (2)圆心角，弧，弦，弦心
距关系定理是什么？
1．圆心角的定义 (1)定义：我们把___顶__点___在____圆__心__的角叫做圆心角． (2)特征：顶点在__圆__心____
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
根据这三种情况， 同关弧系（? 或等弧）所对我圆的们心圆分角周别的角探关和究系圆圆？心周角角有与怎样的数量
A C
●O
B 圆心在圆周 角边上
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
A C
A C
●O
●O
B
B 圆心在圆周 角内部
圆心在圆周 角外部
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
探究一 圆周角与圆心角的关系
（1）圆心在圆周角的一条边上．
∵OA=OC，
A ∴∠A=∠C．
O·
又∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B
C 即 A 1 BOC
2
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角
的一半.
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
×
×
×
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
随堂练习2 圆中有多少个圆周角？
A
顶点A：
E ∠BAC、 ∠BAE、 ∠CAE
B
·O
顶点B： ∠ABD、 ∠ABE、 ∠DBE
顶点C：∠ACD
C
顶点D：∠BDC
D
顶点E： ∠AEB
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
举一反三
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆心 周角 相等． 结论是否成立？
类比圆心角推导圆周角的性 质
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
五、推理
1、如下，两等圆中，
⌒⌒ AB=A′B′
2、在同弧中成立吗？即 ∠C=∠D吗?
C′ C
B O
B′ O′
A
A′
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
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五、推理
圆周角定理推理1
（同圆或等圆中），同弧或等弧所 对圆周角相等
条件“在 同圆或等 圆中”可以 省略吗？
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
以上逆命题 “同圆或等圆 中，相等圆周 角所对的弧相 等”吗？
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
五、推理2
圆周角定理推理2
同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等
条件“在 同圆或等 圆中”可以 省略吗？
C′
C
B' O′
B O
A'
A
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
知识要点 圆周角定理的推理
条件“在同圆或 等圆中”可以省略 吗？
圆周角P PT 教学课件人教 版1 （精品课 件）
C
B O A
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练一练
随堂练习3
．说说下图∠AOB、∠C、∠D的数量关系:
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1、（在同圆或等圆中），同弧或等弧所 对的圆周角相等．
2、 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
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探究 圆周角与圆心角的关系
（2）圆心在圆周角的内部． A
作直径AD，
利用（1）的结果，有
BAD 1 BOD 2
BAD DAC
DAC
1 (BOD
1 DOC 2
DOC)
B
3O1·24
56 D
C
BAC
1
2 BOC
2
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角
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五、定理
C
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O A
⌒⌒ AB=A′B′
C′
B A′
B′ O′
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五、定理
圆周角定 理
在同圆或等圆中，一条弧(同弧或等弧)
所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
4、在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角_相___等_，所对的弦相__等__，所
对的弧_相___等， 知一推三
弧
相等
圆心角 相等
在同圆或等圆中，
有一组关系相等，那
么所对应的其它各组
关系均分别相等．
弦心距
弦
相等
相等
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24.1.4 圆周角及其定理和推理
2．弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系（如下：）
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相__等_， 所对的弦_相__等_，所对的 弦心距__相__ 等；
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_相__等__， 所对的弦__相__等，所对的 弦心距__相__等；
3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角_相__等__，所对的弧_相__等__，所对的 弦心距__相__等．
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回顾旧知
A
O·
顶点在圆心的角叫圆心角．
B
如果角的顶点在圆
上，是什么角？
A
A
A
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B
C
B
C
BC
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∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？ 你知道∠ACB这一类的角名字吗？
的一半.
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探究 圆周角与圆心角的关系
（3）圆心在圆周角的外部．
作直径AD，利用（1）的结果，
有
A
O·
D
C B
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角
的一半.
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Hale Waihona Puke P85圆周角的概念 ：C顶点在圆上，两边 与圆相交的角,叫圆 周角。
B O
归纳：
A
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
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随堂练习1
下列圆中的是圆周角吗?+P88-1
√
√
√
×
×
×
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过程中，你们或许对其“概念、定理、推 理”的理解感到困难重重，这节课将对这部分
内容进行重点讲解，希望能够给处于困惑中的 你们提供帮助，也希望你能更喜欢数学这位 “朋友’.
1、复习提问:
(1)什么是圆心角？ (2)圆心角，弧，弦，弦心
距关系定理是什么？
1．圆心角的定义 (1)定义：我们把___顶__点___在____圆__心__的角叫做圆心角． (2)特征：顶点在__圆__心____
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根据这三种情况， 同关弧系（? 或等弧）所对我圆的们心圆分角周别的角探关和究系圆圆？心周角角有与怎样的数量
A C
●O
B 圆心在圆周 角边上
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A C
A C
●O
●O
B
B 圆心在圆周 角内部
圆心在圆周 角外部
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探究一 圆周角与圆心角的关系
（1）圆心在圆周角的一条边上．
∵OA=OC，
A ∴∠A=∠C．
O·
又∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B
C 即 A 1 BOC
2
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角
的一半.
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×
×
×
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圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
随堂练习2 圆中有多少个圆周角？
A
顶点A：
E ∠BAC、 ∠BAE、 ∠CAE
B
·O
顶点B： ∠ABD、 ∠ABE、 ∠DBE
顶点C：∠ACD
C
顶点D：∠BDC
D
顶点E： ∠AEB
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举一反三
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆心 周角 相等． 结论是否成立？
类比圆心角推导圆周角的性 质
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五、推理
1、如下，两等圆中，
⌒⌒ AB=A′B′
2、在同弧中成立吗？即 ∠C=∠D吗?
C′ C
B O
B′ O′
A
A′
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五、推理
圆周角定理推理1
（同圆或等圆中），同弧或等弧所 对圆周角相等
条件“在 同圆或等 圆中”可以 省略吗？
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以上逆命题 “同圆或等圆 中，相等圆周 角所对的弧相 等”吗？
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五、推理2
圆周角定理推理2
同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的弧相等
条件“在 同圆或等 圆中”可以 省略吗？
C′
C
B' O′
B O
A'
A
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知识要点 圆周角定理的推理
条件“在同圆或 等圆中”可以省略 吗？
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C
B O A
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练一练
随堂练习3
．说说下图∠AOB、∠C、∠D的数量关系:
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1、（在同圆或等圆中），同弧或等弧所 对的圆周角相等．
2、 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
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探究 圆周角与圆心角的关系
（2）圆心在圆周角的内部． A
作直径AD，
利用（1）的结果，有
BAD 1 BOD 2
BAD DAC
DAC
1 (BOD
1 DOC 2
DOC)
B
3O1·24
56 D
C
BAC
1
2 BOC
2
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角
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五、定理
C
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O A
⌒⌒ AB=A′B′
C′
B A′
B′ O′
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五、定理
圆周角定 理
在同圆或等圆中，一条弧(同弧或等弧)
所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
4、在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角_相___等_，所对的弦相__等__，所
对的弧_相___等， 知一推三
弧
相等
圆心角 相等
在同圆或等圆中，
有一组关系相等，那
么所对应的其它各组
关系均分别相等．
弦心距
弦
相等
相等
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24.1.4 圆周角及其定理和推理
2．弧、弦、圆心角、弦心距之间的相等关系（如下：）
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相__等_， 所对的弦_相__等_，所对的 弦心距__相__ 等；
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_相__等__， 所对的弦__相__等，所对的 弦心距__相__等；
3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角_相__等__，所对的弧_相__等__，所对的 弦心距__相__等．
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B
如果角的顶点在圆
上，是什么角？
A
A
A
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B
C
BC
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∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？ 你知道∠ACB这一类的角名字吗？
的一半.
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探究 圆周角与圆心角的关系
（3）圆心在圆周角的外部．
作直径AD，利用（1）的结果，
有
A
O·
D
C B
结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角
的一半.
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B O
归纳：
A
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
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下列圆中的是圆周角吗?+P88-1
√
√
√
×
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