1990考研数一真题答案及详细解析
(A) n![ f (x)]n1 (B) n[ f (x)]n1 (C) [ f (x)]2n (D) n![ f (x)]2n
【答案】A. 【解析】本题考查高阶导数的求法.
为方便记 y f (x) .由 y ' y2 ，逐次求导得
y '' 2 yy ' 2 y3, y ''' 3! y2 y ' 3! y4, ，
2
dy
y e y2 dx
2 ye y2 dy
0
0
0
1 ey2
2
1 (1 e4 ).
2 02
（5）已知向量组1 (1, 2, 3, 4),2 (2, 3, 4,5),3 (3, 4,5, 6),4 (4,5, 6, 7) ，则该向量的秩是_______。
【答案】 2.
【解析】经过初等变换后向量组的秩不变.
n 1
n 1
n 1
n 1
（3） 当 A 时，若 vn 收敛，则 un 收敛；若 un 发散，则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
sin n
sin n
所以
收敛，所以级数
绝对收敛.
n2
n 1
n2
n1
由收敛级数与发散级数之和为发散级数，可得
sin n 1
级数 (
) 发散.
n2
(A) ex f (ex ) f (x) (B) ex f (ex ) f (x)
(C) ex f (ex ) f (x) (D) ex f (ex ) f (x)
【答案】A. 【解析】对积分上限的函数的求导公式：
(t)
若 F (t) f (x)dx ， (t) ， (t) 均一阶可导， (t)
( )
2 x 1 x 3 2 x 1 x
11 1 1
所以，原式 ln 2 ( )dx
3 0 2 x 1 x
ln
2
1 [ ln(2
x)
1 0
ln(1
x)
1 0
]
1
ln
2
.
3
3
（2）【答案】
2
f ''
11
(2 sin
x
y
cos
x)
f ''
12
y
sin
x
cos
xf
'' 22
cos
xf
' 2
.
当| x | 1时，有 f (x) 0. 代入 f [ f (x)] ，又 f (0) 1, 即当| x | 1时，也有 f [ f (x)] 1.
因此，对任意的 x (, ) ，有 f [ f (x)] 1.
（4）积分
2
dx
2 e y2 dy 的值等于 _______。
0
x
【答案】 1 (1 e4 ). 2
则 F '(t) '(t) f (t) '(t) f (t) .
复合函数求导法则，
如果 u g(x) 在点 x 可导，而 y f (x) 在点 u g(x) 可导，则复合函数
y f g(x)在点 x 可导，且其导数为
dy f '(u) g '(x)
dx
所以两边求导数,
dy dy du
式为 k11 k22 , 其中1,2 是 Ax 0 的基础解系， 是 Ax b 的一个特解. 由解的性质：如果1,2 是 Ax 0 的两个解，则其线性组合 k11 k22 仍是 Ax 0 的解；如果 是 Ax b 的一个解，
是 Ax 0 的一个解，则 仍是 Ax b 的解.
k1, k2 为任意常数，则方程组 Ax b 的通解（一般解）必是
(A) k11 k2 (1 2 ) 1 2 2
(C) k11 k2 (1 2 ) 1 2 2
【答案】B
(B) k11 k2 (1 2 ) 1 2 2
(D) k11 k2 (1 2 ) 1 2 2
【解析】本题考查解的性质和解的结构.从1 、2 是对应齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系，知 Ax b 的通解形
由第一归纳法，可归纳证明 y(n) n! yn1
假设 n k 成立，即 y(k ) k ! yk1 ，
则
y(k 1)
y
(k
)
'
k
!
y
k
1
'
k 1 !yk y'
k 1 ! yk11
所以 n k 1 亦成立，原假设成立.
sin n 1
（3）设 为常数，则级数 (
)
n2
n 1
n
(A) 绝对收敛
(B) 条件收敛
(C) 发散
(D) 收敛性与 的取值有关
【答案】C .
【解析】本题可利用分解法判别级数的敛散性（收敛级数与发散级数之和为发散级数）.
1
1
发散.因为此为 p 级数：
当 p 1时收敛；当 p 1时发散.
n1 n
np
n1
sin n
sin n 1
1
收敛.因为由三角函数的有界性
，而 p 级数：
1 cos x
由1 cos x 0 ，有 f (x) 0 f (0) ，即 f (x) 在 x 0 取极小值，应选(D)
本题还可特殊选取满足题中条件的 f (x) 2 1 cos x. 显然，它在 x 0 取得极小值，其余的都不正确，这样本题仍选
(D)
（5）已知 1 、2 是非齐次线性方程组 Ax b 的两个不同的解，1 、2 是对应齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系，
设 lim f (x) A. 若 A 0 0, 当 0 x x0 时， f (x) 0 . x x0
若 0, 当 0 x x0 时有 f (x) 0 ，则 A 0 .
f (x)
f (x)
所以，有 lim
20
0 （在 x 0 的某空心领域）
x0 1 cos x
【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的.
z
z
由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求 ，再求 ( ) ，如方法 1;
x
y x
z
z
也可以先求 ，再求 ( ) ，如方法 2.
y
x y
由复合函数求偏导的链式法则：如果函数 u (x, y), v (x, y) 都在点 (x, y) 具有对 x 及对 y 的偏导数，函数
或
dx du dx
F (x) f (ex )(ex )' f (x)(x)'
ex f (ex ) f (x).
故本题选 A.
（2）已知函数 f (x) 具有任意阶导数，且 f ' (x) [ f (x)]2 ，则当 n 为大于 2 的正整数时， f (x) 的 n 阶导数 f n (x) 是
所求平面的法向量 n 平行于所给直线的方向向量 l (1,3,1) ，取 n l ，又平面过已知点 M (1, 2, 1) .已知平面
的法向量和过已知点可唯一确定这个平面，所求平面的方程为 (x 1) 3( y 2) (z 1) 0, 化简即是
x 3y z 4 0.
（2）设 a 为非零常数，则 lim( x a )x = _______。 x x a
【解析】这是一个二重积分的累次积分，因 e y2 的原函数不是初等函数，先对 y 积分积不出来，所以应该改换积分
次序，先表成：
原式 e y2 dxdy. 由累次积分的内外层积分限确定积分区域 D ：
D
0 x 2, x y 2, 如图所示，然后交换积分次序.
y 2
D yx
O
x
2
原式
e2a .
x x a x x a
1, （3）设函数 f (x)
0,
| x | 1, 则 f [ f (x)] = _______。
| x | 1,
【答案】1.
【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后函数的所有可能的解析式.
根据 f (x) 的定义知，当| x | 1时，有 f (x) 1. 代入 f [ f (x)] ，又 f (1) 1.于是当| x | 1时，复合函数 f [ f (x)] 1；
再看(B)， 1 2 是 Ax b 的一个特解，1 ，1 2 是 Ax 0 的线性无关的解，是基础解系，故本题选(B). 2
三、（本题满分 15 分，每小题 5 分。）
1 ln(1 x)
（1）求
dx
0 (2 x)2
2z （2）设 z f (2x y, y sin x) ，其中 f (u, v) 具有连续的二阶偏导数，求 。
z f (u, v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数，则复合函数
z f ((x, y), (x, y)) 在点 (x, y) 的两个偏导数存在，且有
z x
z u
u x
z v
v x
f1'
u x
f 2'
v x
；
z
z
u
z
v
f1'
u
f
' 2
v
.
y u y v y y y
z
方法 1：先求 ，
x
z x
1990 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分。）
x t 2
（1）过点 M (1, 2, 1) 且与直线 y 3t 4 垂直的平面方程是 _______。
考研数学二真题33套：1985年至2018年
u v , . x x
3 0 1 (2)设矩阵 A 和 B 满足关系式 A B = 2 B , 其中 A 1 1 0 , 求矩阵 B. 0 1 4
四、(本题满分 8 分) 求微分方程 y 6 y (9 a 2 ) y 1 的通解,其中常数 a 0.
L
(2 xy 2 y )dx ( x 2 4 x)dy =
_____________. (5) 已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为 α1 (1,1, 0), α 2 (1, 0,1), α 3 (0,1,1), 则 向 量
β ( 2 , 0 , 0 ) 在此基底下的坐标是_____________.
五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(a ) (1)设 lim f ( x ) f 2 1, 则在 x a 处
xa
( x a)
( (B) (D)
f (x) f (x)
) 取得极大值 的导数不存在 的值( )
为人服务-2018
(含 33 年共 33 套研究生《数学一》历年真 题)1985 年—2018 年全国硕士研究生入学统一考 试《数学一》真题试卷及参考答案(含 33 年历年 真题 33 套)
温馨提示：已排版编辑好，可直接打印，省力、省时！祝你应考成功！ 全国硕士研究生入学统一考试《数学一》真题试卷目录（33 套）
y 1 t z 2 t y ln x
与两直线
y e 1 x
及
y0
所围成的平面图形的面积是
及 x 1 y 2 z 1 都平行且过原点的平面方
1990年考研数学一试卷及答案
1990年考研数学一试卷及答案一、填空题（本题满分15分,每小题3分,只要求直接填写结果）（1）过点(1,2,1)M -且与直线2,34,1,x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是____________．【答案】34x y z -+-=．【解析】据题可知所求平面的法向量为(1,3,1)--,并且过点(1,2,1)M -．所以平面方程为(1)3(2)(1)0x y z --+--+=,化简得34x y z -+-=．（2）设a 为非零常数,则极限lim xx x a x a →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭=____________． 【答案】2a e【解析】2222lim lim 1+x axa a aa x x x a a e x a x a -⋅+→∞→∞+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（3）设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 则[()]f f x =____________． 【答案】1【解析】()1,[()]1f x f f x ≤≡． （4）积分222d d y xx e y -⎰⎰的值等于____________．【答案】41122e --+ 【解析】22222222240111d d d d d 222yy y y y x x ey y ex yey e e -----===-=-+⎰⎰⎰⎰⎰．（5）已知向量组1(1,2,3,4)α=,2(2,3,4,5)α=,3(3,4,5,6)α=,4(4,5,6,7)α=,则该向量组的秩是____________．【答案】2【解析】123412341234234511113456000045670000αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 二、选择题（本题满分15分,每小题3分） （1）设()f x 是连续函数,且()()d xe xF x f t t -=⎰,则()F x '等于（A ）()()xx e f e f x ---- （B ）()()x x e f e f x ---+（C ）()()xx ef e f x --- （D ）()()x x e f e f x --+[]【答案】[ A ] 【解析】对积分()()d xe xF x f t t -=⎰,两边关于x 求导得()()()x x F x e f e f x -'=--．（2）已知函数()f x 具有任意阶导数,且[]2()()f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n fx 是（A ）1![()]n n f x + （B ）1[()]n n f x + （C ） 2[()]n f x （D ）2![()]nn f x[]【答案】[ A ] 【解析】22324()11+1()[()]()2()()2()[()]2[()]()32[()]()3![()]()(1)![()]()![()]()![()]n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x n n f x f x n f x f x n f x --'='''===''''=⨯=''=⨯-==（3）设α为常数,则级数21sin n n n α∞=⎡⎢⎣∑（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与α的取值有关[ ]【答案】[ C ] 【解析】2211sin()sin()[n n n n n n n αα∞∞∞====-∑∑其中21sin()n n n α∞=∑绝对收敛,1n ∞=发散．可知21sin()[n n n α∞=∑发散． （4）已知()f x 在0x =的某个领域内连续,且(0)0f =,0()lim21cos x f x x→=-,则在点0x =处()f x（A ）不可导 （B ）可导,且(0)0f '≠ （C ）取得极大值 （D ）取得极小值[]【答案】[ D ] 【解析】0002()(0)()()0lim lim 2lim 211cos 2x x x f x f f x f x x x x x→→→--===-． 可知()f x '和x 是等价无穷小而且0lim ()(0)0x f x f →'==．进一步可知0()(0)0lim (0)100x f x f x f x →--''==>-,()f x 在0x =处取得极小值．（5）已知22,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线性方程组0AX =的基础解系,$k 1,k 2$为任意常数,则方程组AX b =的通解（一般解）必是（A ）1211212()2k k ββααα-+++（B ）1211212()2k k ββααα++-+（C ）1211212()2k k ββαββ-+++ （D ）1211212()2k k ββαββ++-+[]【答案】[ B ]【解析】12112121211212()2()20+0+2A k k A A k A k A A b bbββαααββααα+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+=+-++== 三．（本题满分15分,每小题5分） （1）求120ln(1)d .(2)x x x +-⎰【答案】120ln(1)d ln 2(2)x x x +=-⎰【解析】1112000101100ln(1)ln(1)1d d (2)2(2)(1)111ln 2d 32111ln 2ln(2)ln(1)331ln 23x x x x x x x x x x x x x ++=----+⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+--+=⎰⎰⎰（2）设(2,)z f x y ysinx =-,其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y ∂∂∂ 【答案】211122222(2sin cos )cos sin cos zf x y x f f x yf x x x y∂'''''''=-+-++∂∂ 【解析】12sin zf f x y∂''=-+∂211122122211122222cos 2sin cos sin cos 2(2sin cos )cos sin cos .zf yf x f x f x yf x x x y f x y x f f x yf x x ∂'''''''''=--+++∂∂'''''''=-+-++（3）求微分方程244xy y y e -'''++=的通解（一般解）．【答案】222212312xx x y x e C xe C e C ---=+++,其中1C ,2C 和3C 为任意常数．【解析】直接判断,这个方程的解为()x y p x e λ=型．直接令2()=p x ax bx c ++,进而有2222()()(2)()2(2)2xx xx x xy ax bx c e y ax bx c e ax b e y ax bx c e ax b e ae λλλλλλλλλ=++'=++++''=+++++带入方程得22222()2(2)24[()(2)]4()1ax bx c ax b aax bx c ax b ax bx c λλλλ=-⎧⎪+++++⎪⎨+++++⎪⎪+++=⎩解得2,1,2a λ=-⎧⎪⎨=⎪⎩,b c 为任意常数．即21()=2p x x bx c ++,其中,b c 为任意常数．所以方程的通解为222212312xx x y x e C xe C e C ---=+++, 其中1C ,2C 和3C 为任意常数． 四．（本题满分6分）求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数．【答案】(1,1)-,21(11)(1)(21)nn n xxx x ∞=+=-<<-+∑ 【解析】直接计算可得123limlim 121n x x na n a n ρ+→∞→∞+===+,可知幂级数的收敛半径11R ρ==．对于1x =,级数(21)n n ∞=+∑发散；对于1x =-,级数0(1)(21)nn n ∞=-+∑条件收敛．幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域为(1,1)-．对级数做处理(21)(1)nnnn n n n x n x nx∞∞∞===+=++∑∑∑,其中21211(11)(1),1(1)1(11),1(1)nn nn x x x n x n x x x x x x ∞=∞=+'⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭'⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭∑∑所以21(11)(1)(21)nn n xxx x ∞=+=-<<-+∑． 五．（本题满分8分）求曲面积分d d 2d d ,SI yz z x x y =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分．【答案】4I π=-．【解析】令V 为球面S 和221:4S x y +≤,在0z ≥上围成的上半球体,由高斯-斯托克斯公式可得12/2230/20d d 2d d d d cos sin d d 4S S Vyz z x x y z Vr r πππθϕϕϕπ+-+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中sin cos ,02sin sin ,02cos ,22x r r y r z r ϕθϕθθπππϕϕ⎧⎪=≤≤⎪=≤≤⎨⎪⎪=-≤≤⎩而2214d d 2d d d d 2d d 8S x y yz z x x y yz z x x y π+≤+=+=⎰⎰⎰⎰．可知 484I πππ=-=-．六．（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()()f a f b =．证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0.f ξ'>【解析】假使对所有的(,)x a b ∈都有()0f x '≤,则f 在[,]a b 上单调递减,所以必定有()()f a f b ≥,又因为f 不是常数函数,所以必有()()f a f b >与()()f a f b =矛盾．七．（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,,0011002100010002B C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且矩阵A 满足关系式 1(),A E C B C E -''-=其中E 为四阶单矩阵,1C -表示C 的逆矩阵,C '表示C 的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵A ．【解析】由1()A E C B C E -''-=得,1()()A E B C C A C B E -'''''-=-=,进而有1()A C B -''=-．12341000012321000012321000014321C B '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪''-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则1121()121121A C B -⎛⎫ ⎪-⎪''=-= ⎪- ⎪-⎝⎭． 八．（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准形．【答案】2f y =其中12322y x x x =-+． 【解析】直接因式分解得222123121323212344448(22)f x x x x x x x x x x x x =++-+-=-+令12322y x x x =-+,则2f y =． 九．（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于2π．求变力F 对质点P 所作的功． 【答案】2(1)π-【解析】记曲线为L ,根据变力F 沿着曲线做功的公式可知,d d LW P x Q y =+⎰,其中F P Q =+i j ．根据对F 的大小的描述可知2F x =+,再根据其方向的描述(,)F y x =-． 于是d d 2d d d d 2(1)DBAABW y x x y x y y x x y π=-+=--+=-⎰⎰⎰⎰其中D 是曲线L 和直线BA 围成的平面图形． 十、填空题（本题满分6分,每小题2分,只要求直接填写结果）（1）已知随机变量X 的概率密度函数1(),2xf x e x -=-∞<<+∞,则X 的概率分布函数()F x = ．【答案】1,021(),0211,02xxe x F x x e x ⎧-∞≤<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪-<<+∞⎪⎩【解析】据题X 的概率分布函数转化为分段函数1,02()1,02xx e x f x e x -⎧≤<+∞⎪⎪=⎨⎪-∞≤<⎪⎩则X 的分布函数为1,0,21()()d ,0,211,0.2xxe x F xf x x x e x +∞-∞⎧-∞≤<⎪⎪⎪===⎨⎪⎪-<<+∞⎪⎩⎰（2）设随机事件A ,B 及其和事件A ∪B 的概率分别是0．4,0．3和0．6．若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB = ． 【答案】0．3 【解析】()()()()[()()()]()()0.60.30.3P AB P A P AB P A P A P B P A B P A B P B =-=-+-⋃=⋃-=-=（3）已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布,即22{}!k e P X k k -==,0,1,2,k =,则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = ．【答案】4【解析】首先可知212()2!k n e E X k k -∞===∑,对于32Z X =-可知, ()(32)3()24E Z E X E X =-=-=．十一．（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,||D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差()D Z ． 【答案】X 的边缘密度为(,)2,01X f x y x x =<<,2()9D Z =． 【解析】据题可知(,)X Y 的密度函数为1,01,||,(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其他.则关于X 的边缘概率密度为(,)(,)d d 2,01xX xf x y f x y y y x x +∞-∞-===<<⎰⎰．可以直接求得X12201()(,)d 2d 2X E X f x y x x x x +∞-∞==⋅=⎰⎰,102()(,)d 2d 3X E X f x y x x x x +∞-∞==⋅=⎰⎰,221()()[()]18D X E X E X =-=,当随机变量21Z X =+时,可知2()4()9D Z D X ==．。
历年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)已知 则 = _____________.
(2)设 是连续函数,且 则 =_____________.
(3)设平面曲线 为下半圆周 则曲线积分 =_____________.
(4)向量场 在点 处的散度 =_____________.
六、（本题满分10分）
求幂级数 的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分）
求曲面积分
其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于
八、（本题满分10分）
设函数 在闭区间 上可微,对于 上的每一个 函数 的值都在开区间 内,且 1,证明在 内有且仅有一个 使得
九、（本题满分8分）
(2)设矩阵 和 满足关系式 其中 求矩阵
四、(本题满分8分)
求微分方程 的通解,其中常数
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设 则在 处
(A) 的导数存在,且 (B) 取得极大值
(C) 取得极小值(D) 的导数不存在
(1)过点 且与直线 垂直的平面方程是_____________.
(2)设 为非零常数,则 =_____________.
(3)设函数 ,则 =_____________.
(4)积分 的值等于_____________.
(5)已知向量组
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1991年考研数学一试题及完全解析（Word版）
1991年考研数学⼀试题及完全解析（Word版）1991年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学⼀试题⼀、填空题(本题满分15分,每⼩题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________.(2)由⽅程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的⽅程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平⾏于2L 的平⾯⽅程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价⽆穷⼩,则常数a =__________.(5) 设4阶⽅阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ?= -,则A 的逆阵1A -=__________.⼆、选择题(本题满分15分,每⼩题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有⽔平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有⽔平渐近线⼜有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满⾜关系式20()ln 22xt f x f dt ??=+,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平⾯上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三⾓形区域,1D 是D 在第⼀象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +??等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ?? (B) 12D xydxdy ??(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0(5) 设n 阶⽅阵A 、B 、C 满⾜关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每⼩题5分.)(1)求0lim x x π+→. (2) 设n 是曲⾯222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿⽅向n 的⽅向导数. (3) 22()x y z dV Ω++,其中Ω是由曲线22,0y z x ?=?=?绕z 轴旋转⼀周⽽成的曲⾯与平⾯4z =所围成的⽴体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求⼀条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++?的值最⼩.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅⽴叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =?,证明在(0,1)内存在⼀点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表⽰成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯⼀的线性表⽰式？并写出该表⽰式.⼋、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的⾏列式⼤于1.九、(本题满分8分)在上半平⾯求⼀条向上凹的曲线,其上任⼀点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平⾏.⼗、填空题(本题满分6分,每⼩题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,⽅差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷⼀点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的⾯积成正⽐,则原点和该点的连线与x 轴的夹⾓⼩于4π的概率为_______.⼗⼀、(本题满分6分)设⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+?>>=??其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学⼀试题解析⼀、填空题(本题满分15分,每⼩题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数⽅程,满⾜参数⽅程所确定函数的微分法,即如果 ()()x t y t φ?=?? =?, 则 ()()dy t dx t ?φ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=?=? 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t t=. (2)【答案】dx【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这⾥点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将⽅程两边求全微分,由⼀阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平⾯∏过直线1L ,因⽽过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平⾏于2L ,于是∏平⾏于1L 和2L 的⽅向向量,即∏平⾏于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平⾯∏的⽅程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--所以 12233lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---.因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价⽆穷⼩,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-??--. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可⽤伴随,可⽤初等⾏变换,也可⽤分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---=,111000A B B A---??= ? ?. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ??=,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-== ? ?-.如果0A ≠,这样a b d b d b c d c a c a A ad bc---== ? ?---. 再利⽤分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---??=,易见 112002500120033110033A --??- =-.⼆、选择题(本题共5个⼩题,每⼩题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,2211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为⽔平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0 lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的⼀条铅直渐近线；⽔平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的⽔平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22xx t f x f dt f u du ??=+=+,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是⼀个变量可分离的微分⽅程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.⼜因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=?,代⼊2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =?.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+ 21 2212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.⽽12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个⼦区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ?==,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==??.⽽cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==??,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有⼀些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取⾏列式,据⾏列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每⼩题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.0lim(1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以1lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim(1lim x x x e→++→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--===-,故02x x x e eππ→+-→==.(2)【解析】先求⽅向n 的⽅向余弦,再求,,u u ux y z,最后按⽅向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y z αβγ=++求出⽅向导数. 曲⾯222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=== ⼜P P P u x u y u z ?=========????, 所以⽅向导数cos cos cos u u u un x y z αβγ=++ 117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ?=?=?绕z 轴旋转⼀周⽽围成的旋转⾯⽅程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物⾯221()2z x y =+与平⾯4z =所围成.曲⾯与平⾯的交线是 228,4x y z +==.选⽤柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤,因此 22()I x y z dV Ω=++4220)dz d r z rdr πθ=+?4240242r r r r z dz π==+ ?42025643z dz ππ==四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)L I y dx x y dy =+++?30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++??23301sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π=+++233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ??=+-+++-3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<'><<+∞.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极⼩值点,也是最⼩值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =? , 012()cos()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==?? 11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+ 122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =? ,1002(2)5a x dx =+=?.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满⾜狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin2n n n a n n f x x a x b x l lππ∞=??=+=++∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. ⼜ 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n nπ∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ?,在区间2(,1)3上存在⼀点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=?,即1233()()(0)f x dx f f ξ==?.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在⼀点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=??-+=??++++=+??++++=?.对⽅程组的增⼴矩阵作初等⾏变换:第⼀⾏分别乘以有()2-、()3-加到第三⾏和第四⾏上,再第⼆⾏乘以()1-、()2-加到第三⾏和第四⾏上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a--=→ ? ?+++ ?+-+ 1111101121001000010a b a ??- → ?+ ?+??, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,⽅程组⽆解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成⽴,β不能表⽰成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==⽅程组有唯⼀解21,,,0111Tb a b b a a a ++??- ?+++??,故β有唯⼀表达式,且1234210111b a b ba a a βαααα++=-+++?+++. 【相关知识点】⾮齐次线性⽅程组有解的判定定理：设A 是m n ?矩阵,线性⽅程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增⼴矩阵()A A b = 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ?矩阵,线性⽅程组Ax b =,则 (1) 有唯⼀解 ? ()().r A r A n == (2) 有⽆穷多解 ? ()().r A r A n =< (3) ⽆解 ? ()1().r A r A +=b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.⼋、(本题满分6分)【解析】⽅法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-?? ?==Λ= ? ?, 其中0(1,2,)i i n λ>= ,i λ是A 的特征值. 因此 ()T T T Q A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取⾏列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从⽽ ||1A E +>.⽅法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全⼤于0.由λ为A 的特征值可知,存在⾮零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++ 它们全⼤于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及⾮零的n 维列向量X 使得AX X λ=成⽴,则称λ是矩阵A 的特征值,称⾮零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线⽅程为1()Y y X x y -=--'(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从⽽122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成⽴. 因此,根据题意得微分⽅程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的⾼阶微分⽅程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,⼆阶⽅程降为⼀阶⽅程21dP yP P dy =+,即21PdP dy P y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++?ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平⾯,所以0y >,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±+=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e --====；当x 前取-时,C e =,1x y e -++ =,111x xy e e --====；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.⼗、填空题(本题满分6分,每⼩题3分.)(1)【解析】⼀般说来,若计算正态分布随机变量在某⼀范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数µ和2σ,否则应先根据题设条件求出µ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ ,所以可标准化得 2(0,1)X N σ- ,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹⾓⼩于4π”, 这是⼀个⼏何型概率的计算问题.由⼏何概率公式()DS P A S =半圆,⽽ 212S a π=半圆,22141124D OAC S S S a a π=+=+ 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.⼗⼀、(本题满分6分)【解析】⼆维连续型随机变量的概率等于对应区域的⼆重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下⽅与0,0x y >>(即第⼀象限)没有公共区域所以()0F z =.当0z >时,2xy z +=在直线20x y +=的上⽅与第⼀象限相交成⼀个三⾓形区域D ,此即为积分区间.(2)20()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--?? .0=所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0, ()1, 0. z zz F z e ze z --。
2000-2017年历年考研数学一真题(答案 解析)
历年考研数学一真题1987-2017（答案+解析）（经典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2．设21123(x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A）321,,a b c =-==-（B）321,,a b c ===-（C）321,,a b c =-==（D）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()xf x ce =的特解的形式应该为()xQ x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*xy xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nn n na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=221141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A）,a d ∉Ω∉Ω（B）,a d ∉Ω∈Ω（C）,a d ∈Ω∉Ω（D）,a d ∈Ω∈Ω【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D）．6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A）2221232y y y -+（B）2221232y y y +-（C）2221232y y y --（D）2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T TQ P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T Tf x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210001001001100010010010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝故选择（A）．7．若,A B 为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P AB P A P B ≤（B）()()()P AB P A P B ≥（C）2()()()P A P B P AB +≤（D）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（）（A）3-（B）3（C）5-（D）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )limx x x→=【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭⎰．【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos ze xyz x x +++=确定，则01(,)|dz =．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy'''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂''也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydzx y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=-．【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<=．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯=三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--='整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C =所求曲线方程为84.y x=-17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f f y x x y∂∂=+=+∂∂．(,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x = ，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y =)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-vx u x x uv ∆∆∆)()(++=xu x u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++=由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x = 1121212()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L的方程为z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()Ly z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt ππ==20．（本题满分11分）设向量组123,,ααα为向量空间3R 的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()12312321020201(,,),,k k βββααα⎛⎫⎪=⎪ ⎪+⎝⎭，因为201210224021201kk k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k k αααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数．21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．（2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1）求Y 的概率分布；（2）求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k k P Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n n n n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-．（2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).nx x x θ=--..--2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1432t z t y t x 垂直的平面方程是 x -3y -z +4=0 .(2)设a 为非零常数，则a xx e a x a x 2)(lim =-+∞→.(3)设函数11,0,1)(>≤⎩⎨⎧=x x x f , 则)]([x f f = ___1___． (4)积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于4(1)/2e --.(5)已知向量组 1α=(1,2,3,4)，2α=(2,3,4,5)，3α=(3,4,5,6)，4α=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是2二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)设()f x 是连续函数，且⎰-=x e xdt t f x F )()(则)(x F '等于(A)（A ）)()(x f e f e x x ----(B) )()(x f e f e x x +---(C))()(x f e f e x x ---(D) )()(x f e f e x x +--(2)已知函数()f x 具有任意阶导数，且[]2)()(x f x f =', 则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n 阶导数)()(x fn 是(A)(A) 1)]([!＋n x f n (B) 1)]([+n x f n (C) nx f 2)]([ (D) nx f n 2)]([!(3)设α为常数，则级数]1)sin([12nn na n -∑∞=（C ）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与α的取值有关.(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续 ，且(0)0f =,2cos 1)(lim0=-→xx f x 则在点0x =处()f x (D)(A)不可导(B)可导,且0)0(≠'f (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β和2β是非齐次线性方程组AX = b 的两个不同的解，21,αα是对应导出组AX = 0基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组AX = b 的通解（一般解）必是(B)(A) 2)(2121211ββααα-+++k k (B) 2)(2121211ββααα++-+k k (C) 2)(2121211ββββα-+++k k (D) 2)(2121211ββββα++-+k k 三、(本题满分15分，每小题5分)(1)求dx x x ⎰-+102)2()1ln(.解：11200ln(1)1ln(1)(2)2x dx x d x x +=+--⎛⎛⎜⎜⎠⎠110011ln(1)2(1)(2)x dx x x x =+--+-⎛⎜⎠……2分 101111ln 2()ln 232(1)3dx x x =-+=-+⎰.……5分 (2)设(2,sin )z f x y y x =-，其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2cos z f fy x x u v ∂∂∂=+∂∂∂.……2分 2222222(2sin cos )sin cos cos z f f f fx y x y x x x x y u u v v v∂∂∂∂∂=-+-++∂∂∂∂∂∂∂. ……5分 (3) 求微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解(一般解).解：特征方程为2440r r ++=的根为1,22r =-.对应齐次方程的通解为212()x Y C C x e -=+，其中12,C C 为任意常数. ……2分 设原方程的特解为*2()x y x Ax e 2-=，代入原方程得12A =.……4分 因此，原方程的通解为2*2212()()2xx x y x Y y C C x ee --=+=++. ……5分四、(本题满分6分) 求幂级数∑∞=+0)12(n nxn 的收敛域, 并求其和函数.解：因为123limlim 121n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，所以11R ρ==.显然幂级数(21)nn n x∞=+∑在1x =±时发散，故此幂级数的收敛域为(1,1)-.……2分又0()(21)2nnnn n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑012()1n n x x x∞='=+-∑……5分 2221111(1)1(1)x xx x x x +=+=-<<---.……6分五、(本题满分8分) 求曲面积分I=⎰⎰+sdxdy yzdzdx .2其中S 是球面4222=++z y x外侧在0≥z 的部分解：令2214x y S z ⎧+≤=⎨=⎩，其法向量与z 轴的负向相同. 设1S S 和所围成的区域为Ω，则由奥-高公式有12S I yzdzdx dxdy zdxdydz Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰. ……2分而221140,228S S x y yzdzdx dxdy dxdy π+≤==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分2222cos sin 4zdxdydz d d r r dr ππθϕϕϕπΩ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……7分 所以12I π=.……8分六、(本题满分8分)设不恒为常数的函数)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()f a f b =. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使0)(>'ξf .证：因()()()f a f b f x =且不恒为常数，故至少存在一点(,)c a b ∈，使得()()()f c f a f b ≠=.于是()()()()f c f a f c f a ><或.……2分现设()()f c f a >，则在[,]a c 上因()f x 满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点(,)(,)a c a b ξ∈⊂，使得1()[()()]0f f c f a c a ξ'=->-. ……6分对于()()f c f a <情形，类似地可证得此结果.……7分七、(本题满分8分) 设四阶矩阵=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000110001100011，=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2000120031204312且矩阵A 满足关系式E C B C E A =''--)(1, 其中E 为四阶单位矩阵, 1-C 表示C 的逆矩阵,C '表示C 的转置矩阵, 将上述关系化简并求矩阵A .解：因11()[()]()A E C B C A C E C B A C B --''''-=-=-,故()A C B E '-=……2分因此 1[()]A C B -'=-11000210032104321-⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭……4分1000210012100121⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭……6分八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型32312123222184444x x x x x x x x x f -+-++=成标准形.解：二次型的矩阵122244244-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ……1分由2122||244(9)244λλλλλλ---=---=----A E ，A 的特征值为1230,9λλλ===.……3分对于120λλ==，122122244000244000λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ，从而可取特征向量1011P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及与1P 正交的另一特征向量2411P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……5分 对于39λ=，822245254099245000λ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A E ，取特征向量3122P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. ……6分将上述相互正交的特征向量单位化，得1231032,,323ξξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， ……7分故在正交变换1122331032323x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭下，二次型239f y =. ……8分九、(本题满分8分)质点P 沿着以A,B 为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力→F 作用 （见图），→F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP 且于y 轴正向的夹角小于2π.求变力→F 对质点P 所作的功.解：按题意，变力y x =-+F i j .……3分圆弧AB的参数方程是23443x y θππθθ⎧=⎪-≤≤⎨=⎪⎩.……5分 变力F 所作的功ABW ydx xdy =-+⎰434)sin )cos ]d ππθθθθθ-=⎰()21π=-……8分十、填空题：(本题满分6分，每小题2分)(1)已知随机变量X 的概率密度函数f (x )=x e -21, +∞<<∞-x ，则X 的概率分布函数()F x =1212010xx e x ex -⎧<⎨-≥⎩.(2)设随机事件A ，B 及其事件A B 的概率分别为6.0,3.0,4.0和，若_B 表示B 的对立事件，那么积事件B A 的概率3.0)B A (P =(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = 4 .十一、(本题满分6分)设二维变量(X ,Y )在区域 x y x D <<<,10:内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z =2X +1的方差D (Z ).解：(,)X Y 的联合概率密度函数是1,01,||,(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它，因此关于X 的边缘概率密度函数是2,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞<<⎧==⎨⎩⎰其它. ……2分22D(Z)(21)4[()(())]D X E X E X =+=-()22X X 4()()x f x dx xf x dx +∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰……4分()21132001424224299x dx x dx ⎡⎤⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰.……6分数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题 】三、(本题满分15分，每小题5分)【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分，每小题6分) (1)【 同数学一 第四、(1)题 】(2)求微分方程0)ln (ln =-+dx x y xdy x 满足条件1==ex y的特解.解：将原方程化为11,(1)ln y y x x x x'+=≠.……1分 由公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰……3分 得2ln ln 111ln ln 2dx dx x x x xy e e dx C x C x x -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……4分 又由|1x e y ==，可解出12C =，所以方程的特解是11ln 2ln y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……6分(3)过点(1,0)P 作抛物线2-=x y 的切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设所作切线与抛物线相切于点0(x .因00|x x y =='==，故此切线的方程为)y x x =-.……1分又因该切线过点(1,0)P ，所以有03x =. 从而切线的方程为1(1)2y x =-. ……3分 因此，所求旋转体的体积332121(1)(2)4V x dx x dxππ=---⎰⎰……5分 6π=.……6分五、（本题满分8分）【 同数学一第五题 】 六、（本题满分7分）【 同数学一 第六题 】 七、（本题满分6分）【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分8分）【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分8分）【 同数学一 第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)曲线⎩⎨⎧==ty t x 33sin cos 上对应于6π=t 点处的法线方程是13-=x y .(2)设x e y x tg 1sin 1⋅=，则='y 1tan 221111(sec sin cos )x e x x x x-⋅+.(3)=-⎰11dx x x15/4(4)下列两个积分的大小关系是：dx e dxe x x ⎰⎰----->121233.(5)【 同数学一 第一、(3) 题 】二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中,a b 常数，则(C)(A)1,1a b ==(B)1,1a b =-=(C)1,1a b ==-(D)1,1a b =-=-(2)设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎰])([dx x f d 等于(B)(A))(x f (B)dxx f )((C)cx f +)((D)dxx f )('(3)【 同数学一 第二、(3) 题 】(4)【 同数学一 第二、(4) 题 】(5)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，其中()f x 在0x =处可导，(0)0,(0)0f f '≠=，则0x =是()F x 的 （B ）(A)连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定三、(本题满分15分，每小题3分) (1)已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求常数a . 解：因2(1)lim()lim (1)x x a x x xa x a x e ax a x→∞→∞++==--……3分 故29a e =,ln 3a =.……5分(2)求由2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy .解：对方程两边求微分2()ln()()dx dydy dx dx dy x y x y x y--=--+--, ……3分故2ln(),3ln()2x y xdy dx dy dx x y x y +-==+--或.……5分 (3)求曲线)0(112>+=x xy 的拐点. 解：22223231,2(1)(1)x x y y x x -'''=-=++. ……2分 令0y ''=,解得x =.因在x =的左右邻近"y 变号,故x =是拐点的横坐标.所以曲线的拐点是3)4.……5分 (4)计算 ⎰-dx x x2)1(ln . 解：原式1ln 1xd x =-⎰ln 11(1)x dxxx x =---⎰……2分 10ln 11()11x dxx x x =-+--⎰……4分 ln |1|ln 1x x C x x-=++-.……5分 (5)见【 数学二 第四（2）题 】四、(本题满分9分)在椭圆12222=+by a x 的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小（其中0,0a b >>）.解：设00(,)P x y 为所求之点，则此点处的切线方程为00221xx yya b+=. ……2分令0x =，得该切线在y 轴上的截距20b y .令0y =，得该切线在x 轴上的截距2a x . ……4分于是所围图形的面积为2200011,(0,)24a b S ab x a x y π=⋅-∈.……6分 求S的最小值时，不妨设00A x y ==22b A a '=. ……7分令0A '=,解得在(0,)a 内唯一驻点0x =……8分由A '在0x =右侧为负，得知0x =A 的极大点，即S 的极小点.所以0x =S 为最小，此时0y =,即为所求之点.……9分 五、(本题满分9分)证明：当0x >时，有不等式 21π>+x arctgx . 解：考虑函数1()arctan ,02f x x x x π=+->.……2分 有2211()0,01f x x x x '=-<>+. ……4分 所以()f x 在(0,)+∞上是单调减少的.……5分 又lim ()0x f x →+∞=……7分知当10,()arctan 02x f x x x π>=+->时. ……8分 即1arctan 2x x π+>. ……9分六、(本题满分9分)设dt t t x f x⎰+=11ln )(, 其中0,x >求 1()().f x f x+解：111ln ()1xt f dt xt =+⎰. 令1t y =，得11ln ()(1)x y f dy x y y =+⎰. ……3分 于是111ln ln ()()(1)(1)x x t t f x f dt dt x t t t +=+++⎰⎰111()ln (1)(1)x tdtt t t =+++⎰……5分 1111()ln 11x tdt t t t =+-++⎰……7分 21ln 1ln 2x t dt x t ==⎰. ……9分七、（本题满分9分）【 同数学二 第四、（3）题 】 八、(本题满分9分)求微分方程ax e y y y =+'+''44之通解，其中a 为实数.解：特征方程为2440r r ++=，特征根为1,22r =-.对应齐次方程的通解为212()x y C C x e -=+ .……2分 当2a ≠-时，设非齐次方程的特解为*()ax y x Ae =， ……3分代入原方程，可得21(2)A a =+,*21()(2)axy x e a =+. 当2a =-时，设非齐次方程的特解为*21()xy x A x e 2-=.代入原方程，得12A =,*21()2x y x x e 2-=.……8分故通解为212222121()2(2)()()()22x axx C C x e e a a y x x y x C C x e a --⎧++≠-⎪+⎪=⎨⎪=++=⎪⎩，当，当.……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1)极限n →∞=2(2)设函数()f x 有连续的导函数，0)0(=f 且b f =')0(，若函数00,sin )()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧+=x x A xx a x f x F 在0x =处连续，则常数A ＝ a + b .(3)曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为 4.5 .(4)若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足条件04321=+++a a a a (5)一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则射手的命中率为2/3二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)设函数x e tgx x x f sin )(⋅⋅=，则)(x f 是 （B ）（A ）偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数(2)设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x a f x +=， 且有b f =')0(,其中,a b 为非零常数，则 (D)（A ）()f x 在1x =处不可导（B ）()f x 在1x =处可导，且a f =')1(（C ）()f x 在1x =处可导,且 f (1)b '= （D ）()f x 在1x =处可导，且 f (1)ab '=. (3)向量组s ααα,,21⋅⋅⋅⋅线性无关的充分条件是(A)s ααα,,21⋅⋅⋅⋅均不为零向量(B) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中任意两个向量的分量不成比例(C) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线形表示 (D) s ααα,,21⋅⋅⋅⋅中有一部分向量线形无关(4)设A ，B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是(A)(A)P (A+B )= P (A )(B)P(AB )=P(A )(C)P (A B )= P (B )(D)P (B -A )=P (B )-P (A )(5)设随机变量X 和Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是 (C )(A )X =Y(B ){}0P X Y ==(C ){}P X Y ==21(D ){}1P X Y ==三、(本题满分20分，每小题5分) (1)求函数()I x =dt t t t xe ⎰+-12ln 2在区间[2,e e ]上的最大值.解：由222ln ln ()0,[,]21(1)x x I x x e e x x x '==>∈-+-, ……1分可知()I x 在2[,]e e 上单调增加,故222ln max ()(1)e e x e e t I x dt t ≤≤==-⎛⎜⎠21ln 1e e tdt --⎛⎜⎠22ln 1111e e e e t dt t t t =-+⋅--⎛⎜⎠……3分 22121ln11e e t e e t -=-+--11ln ln(1)11e e e e e e+=+=+-++. ……5分(2)计算2y Dxe dxdy -⎰⎰，其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.解：原式2302yy y edy xdx+∞-=⎰⎰……2分 20111()249y y y e dy +∞-=-⎰……3分 205572144y ye dy +∞-==⎰.……5分(3)求级数的∑∞=-12)3(n nn x 收敛域. 解：21n a n=,121(1)n a n +=+，212lim lim 1(1)n n n n a n a n +→∞→∞==+, ……2分 因此当131x -<-<，即24x <<级数收敛. ……3分当2x =时，得交错级数211(1)n n n ∞=-∑；当4x =时，得级数211n n∞=∑，二者都收敛，于是原级数的收敛域为[2,4].……5分(4)求微分方程x e x x y y sin )(ln cos -=+'的通解解：cos cos sin (ln )xdxxdx x y e x e e dx C --⎰⎰=⋅⋅+⎰……3分 sin (ln )x e xdx C -=+⎰……4分 sin (ln )x e x x x C -=-+.……5分四、(本题满分9分)某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入R （万 元）与电台广告费用1x (万元) 及报纸广告费用2x (万元) 之间的关系有如下经验公式：222121211028321415x x x x x x R ---++=. （1）在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5 万元, 求相应的最优广告策略.解：(1) 利润函数为22121212121514328210()x x x x x x x x π=++----+221212121513318210x x x x x x =++---……1分 由12121248130,820310x x x x x x ππ∂∂=--+==--+=∂∂……2分 解得10.75x =(万元),2 1.25x =(万元). 因利润函数12(,)x x ππ=在(0.75,1.25)处的二阶偏导数为:2222211224,8,20A B C x x x x πππ∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂. ……3分 故有26480160,40B AC A -=-=-<=-<，……4分 所以函数12(,)x x ππ=在(0.75,1.25)处达到极大值，亦即最大值.……5分(2)若广告费用为1.5万元，则只需求利润12(,)x x ππ=在12 1.5x x +=时的条件极值.拉格朗日函数为221212121212(,,)1513318210( 1.5)L x x x x x x x x x x λλ=++---++-……7分令120,0,0L L L x x λ∂∂∂===∂∂∂，有121212481308203101.50x x x x x x λλ--++=⎧⎪--++=⎨⎪+-=⎩……8分由此可得10x =，2 1.5x =，即将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.……9分五、(本题满分6分)设)(x f 在闭区间[0,c]上连续,其导数)(x f '在开区间(0,)c 内存在且单调减少.(0)0f =，试应用拉格郎日中值定理证明不等式()()()f a b f a f b +≤+，其中常 数,a b 满足条件c b a b a ≤+≤≤≤0.证：当0a =时,(0)0f =有()()()()f a b f b f a f b +==+. ……1分当0a >时，在[0,]a 和[,]b a b +上分别应用拉格朗日定理,有()11()(0)()(),0,0f a f f a f a a aξξ-'==∈-；……3分 ()22()()()()(),,()f a b f b f a b f b f b a b a b b aξξ+-+-'==∈++-.……4分 显然120a b a b c ξξ<<≤<<+≤. 因()f x '在[0,]c 上单调减少，故21()()f f ξξ''≤.从而有()()()f a b f b f a a a+-≤.……5分 故由0a >，有()()()f a b f a f b +≤+. ……6分六、(本题满分8分)已知线性方程组 1234512345234512345323022654332x x x x x ax x x x x x x x x bx x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩(1)问,a b 为何值时，方程组有解?(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时, 求出方程组的全部解.解：(1) 考虑方程组的增广矩阵1111111111321130012263012260000035433120000022a aa A bb a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭……2分当30b a -=且220a -=，即13a b ==且时，方程组的系数矩阵与增广矩阵之秩相等，故1,3a b ==时，方程组有解.……3分(2)当1,3a b ==时，有11111101152012263012263000000000000000000000000a a A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，原方程组的同解方程组为13452345522263x x x x x x x x ---=-⎧⎨+++=⎩，故导出组的基础解系为123115226,,100010001v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……6分(3)令3450x x x ===，得原方程组的特解23000u -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是原方程组的全部解为1231234521153226010000100001x x u x c c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,c c c 为任意常数.……8分 七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ，存在自然数k ，使得0=kA ，试证明矩阵E A -可逆，并写出 其逆矩阵的表达式（E 为n 阶单位阵）.解：由0kA =及1k k E A E A A E A --+++=-()() ，得1k E A E A A E--+++=()() ……3分 可知E A -可逆，且有11()k E A E A A ---=+++ .……5分八、(本题满分6)设A 为n 阶矩阵，1λ和2λ是A 的两个不同的特征值，21,x x 是分别属于1λ和2λ的特征向量，试证明：21x x +不是A 的特征向量.解：因11122212,,Ax x Ax x λλλλ==≠,故12121122()A x x Ax Ax x x λλ+=+=+……2分 设21x x +是A 的特征向量，则1212()()A x x x x λ+=+，即112212()x x x x λλλ+=+， 于是有1122()()0x x λλλλ-+-=.……4分由于12,x x 属于不同的特征值，所以12,x x 线性无关，故有120,0λλλλ-=-=，即12λλ=， 这与假设矛盾，因此21x x +不是A 的特征向量.……6分九、(本题满分4分)从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率：=1A { 三个数字中不含0和5 } ；=2A { 三个数字中含0但不含5 }解：3813107()15C P A C ==……2分 33982310214()15C C P A C -==. ……4分十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知X 和Y 的联合分布函数为：⎩⎨⎧≥≥+--=+---它其00,01),()(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x .(1)问X 和Y 是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.解 X 的分布函数1()F x 和Y 的分布函数2()F y 分别为：0.511,0;()(,)0,0x e x F x F x x -⎧-≥=+∞=⎨<⎩若若，0.521,0;()(,)0,0y e y F y F y y -⎧-≥=+∞=⎨<⎩若若……2分 显然12(,)()()F x y F x F y =，故X 和Y 独立，……3分 于是{0.1,0.1}{0.1}{0.1}P X Y P X P Y α=>>=>⋅>……4分 0.050.050.112[1(0.1)][1(0.1)]F F e e e ---=-⋅-=⋅=.……5分十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72 分，96分以上的占考生总数的2.3 %，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）解：设X 为考生的外语成绩，由题设知2~(,)X N μσ，其中72μ=. ……1分由条件知{96}0.023P X ≥=，即9672{}0.023X P μσσ--≥=，亦即24()0.977σΦ=，由()x Φ的数值表，可见242σ=.因此12σ=.这样2~(72,12)X N .……4分所求概率为60728472{6084}{}{11}1212X X P X P P μμσσ----≤≤=≤≤=-≤≤(1)(1)2(1)120.84110.682=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.……7分数 学（试卷五）一、填空题 (本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第一、(1) 题 】(2)【 同数学四 第一、(2) 题 】(3)【 同数学四 第一、(3) 题 】(4)【 同数学四 第一、(4) 题 】(5)已知随机变量(3,1),(2,1)X N Y N - ,且,X Y 相互独立，设随机变量27Z X Y =-+,则Z ～ N (0,5) .二、选择题 (本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第二、(1) 题 】(2)【 同数学四 第二、(2) 题 】(3)【 同数学四 第二、(1) 题 】(4)设A 为n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵，则*A =(A)(A) 1-n A(B) A (C) nA(D) 1-A(5)已知随机变量X 服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 (B )(A )n = 4，p = 0.6(B )n = 6，p = 0.4(C )n = 8，p = 0.3(D )n = 24，p = 0.1三、(本题满分20分，每小题5分) (1)求极限dte t x x t x x 22)1(1lim20-∞→⎰+解：原式22222202(1)(1)limlim(12)xt x x x x x t e dt x e xex e→∞→∞++==+⎰……3分22(1)1lim (12)2x x x →∞+==+. ……5分(2)求不定积分dx x x x ⎰34sin 2cos . 解 443333cos cos cos1222sin 88sin cos sin 222x x x x x x dx dx dx x x x x ==⎰⎰⎰……2分3211sin sin sin 42282x x x x d xd --==-⎛⎛⎜⎜⎠⎠……3分 22111sin 828sin 2x x dx x-=-+⎛⎜⎜⎠……4分 21cot 428sin 2x x C x -=-+211csc cot 8242x xx C =--+.……5分 (3)设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ为可微函数，求 yz∂∂.解 将原式两边同时对y 求偏导，得2112()()()z z z z z y z y y y y y yϕϕ∂∂'=+-∂∂ ……3分 解出z y ∂∂，得 ()()()()2()2()z z z z z y z zy y yy y zzyz yz y yyϕϕϕϕϕϕ''--∂==∂''--. ……5分(4)【 同数学四 第三、(2) 题 】四、（本题满分9分）【 同数学四 第四题 】五、(本题满分6分)证明不等式1ln(()x x x +≥-∞<<+∞证：记()1ln(f x x x =++()ln(ln(f x x x x '=+=.……2分 令()0f x '=，知0x =为驻点.由()0f x ''=>……4分可知0x =为极小值点，亦即最小值点.()f x 的最小值为(0)0f =，于是，对于一切(,)x ∈-∞+∞,有()0f x ≥，即1ln(()x x x +≥-∞<<+∞. ……6分六、(本题满分4分)设A 为1010⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00001010000 (0010000010)10,计算行列式E A λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数.解：1010000100().......................00011000A E λλλλλ---=--按第一列展开……1分101000100000100100010..............................................00010001101λλλλλλλ----－－－＝－……2分9101010()()1010λλλ=---=-.……4分七、(本题满分5分)设方阵A 满足条件TA A E =，其中TA 是A 的转置矩阵，E 为单位阵.试证明所对应的 特征值的绝对值等于1.证：设x 是A 的实特征向量，其所对应的特征值为λ，则Ax x λ=，即T T Tx A x λ=，于是有2T T T x A Ax x x λ=，即2T Tx x x x λ=，2(1)0T x x λ-=.……3分 因为x 为实特征向量，故0Tx x >，所以得210λ-=，即||1λ=.……5分八、（本题满分8分）【 同数学四 第六题 】九、（本题满分5分）【 同数学四 第九题 分值不同 】 十、(本题满分6分)甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求X 和Y 联合概率分布.解：X Y 和都服从二项分布，参数相应为(2,0.2)和(2,0.5).因此X Y 和的概率分布分别为：0120.640.320.04X ⎛⎫⎪⎝⎭，0120.250.50.25Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ……3分故由独立性，知X Y 和的联合分布为6分十一、(本题满分7分)【 同数学四第十一题 】。
考研数学一24年完整真题(1987-2016)
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设 可导且 则 时 在 处的微分 是
(A)与 等价的无穷小(B)与 同阶的无穷小
七、（本题满分10分）
求曲面积分
其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于
八、（本题满分10分）
设函数 在闭区间 上可微,对于 上的每一个 函数 的值都在开区间 内,且 1,证明在 内有且仅有一个 使得
九、（本题满分8分）
问 为何值时,现线性方程组
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十一、（本题满分6分）
设随机变量 与 独立,且 服从均值为1、标准差(均方差)为 的正态分布,而 服从标准正态分布.试求随机变量 的概率密度函数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)过点 且与直线 垂直的平面方程是_____________.
七、（本题满分6分）
问 为何值时,线性方程组
有解,并求出解的一般形式.
八、（本题满分8分）
假设 为 阶可逆矩阵 的一个特征值,证明
(1) 为 的特征值.
(2) 为 的伴随矩阵 的特征值.
九、（本题满分9分）
设半径为 的球面 的球心在定球面 上,问当 为何值时,球面 在定球面内部的那部分的面积最大?
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
历年考研数学一真题及答案
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)设 其中函数 二阶可导 具有连续二阶偏导数,求
(2)设曲线积分 与路径无关,其中 具有连续的导数,且 计算
的值.
(3)计算三重积分 其中 是由曲面 与 所围成的区域.
四、(本题满分6分)
(1)过点 且与直线 垂直的平面方程是_____________.
(2)设 为非零常数,则 =_____________.
(3)设函数 ,则 =_____________.
(4)积分 的值等于_____________.
(5)已知向量组
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(3)与两直线
及 都平行且过原点的平面方程为_____________.
(4)设 为取正向的圆周 则曲线积分 = _____________.
(5)已知三维向量空间的基底为 则向量 在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
求正的常数 与 使等式 成立.
三、(本题满分7分)
(1)设 、 为连续可微函数 求
(1)设 是连续函数,且 则 等于
(A) (B)
(C) (D)
(2)已知函数 具有任意阶导数,且 则当 为大于2的正整数时 的 阶导数 是
(A) (B)
(C) (D)
(3)设 为常数,则级数
(A)绝对收敛(B)条件收敛
(C)发散(D)收敛性与 的取值有关
(4)已知 在 的某个邻域内连续,且 则在点 处
考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
历年考研数学一真题及答案
历年考研数学一真题及答案考研数学一是众多考生备战研究生考试中最重要的科目之一。
历年的真题是备考过程中不可或缺的资源，通过对历年考题的分析和解答，可以帮助考生更好地了解考试形式和出题特点，提高答题技巧和应试能力。
下面将逐年为大家梳理历年考研数学一真题及答案，希望对广大考生有所帮助。
2000年考研数学一真题及答案【真题描述】题目较多，其中涉及到线性代数、概率、数学分析等多个数学学科的内容。
整体难度较大，要求考生深入理解知识点的应用和推导。
【答案解析】解答较为复杂，需要运用数学方法和技巧进行推导和计算。
考生需要熟练掌握各个知识点的公式和定理，注重数学思维的培养和计算能力的训练。
2005年考研数学一真题及答案【真题描述】该年度考题难度适中，题目涉及数学分析、概率与统计、线性代数等多个学科的内容。
部分题目要求考生进行证明和推导，在考察考生基础知识的同时也注重对考生分析解决问题的能力。
【答案解析】解答过程较为清晰，给出了详细的推导和计算步骤。
考生需要掌握数学公式的运用，并具备较强的逻辑思维能力，在解答过程中注重合理推导和推理，避免出错。
2010年考研数学一真题及答案【真题描述】该年度考题难度适中，涉及到数学分析、概率、线性代数等多个学科的内容。
部分题目要求考生进行证明和推导，注重对考生逻辑思维能力的考察。
【答案解析】解答过程清晰明了，给出了详细的证明过程和推导步骤。
考生需要熟练掌握基础知识，注重数学思维的培养和实际问题的模型建立，避免陷入困境。
2015年考研数学一真题及答案【真题描述】该年度考题难度较大，涉及到数学分析、概率、线性代数等多个学科的知识。
部分题目要求考生进行证明和推导，注重对考生实际问题的建模和解决问题的能力。
【答案解析】解答过程较为复杂，需要考生掌握扎实的基础知识和数学运算技巧。
考生需要注重数学模型的建立和实际问题的转化，培养灵活运用数学方法解决问题的能力。
总结：历年考研数学一真题及答案是备考过程中必不可少的资源。