高一数学集合讲义
高一数学：集合讲义
一、集合及其基本概念
1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。
集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。
注意：集合｛0｝与空集∅的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。
例1：下列各项中不能组成集合的是
（A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题
（C ）所有数学难题 （D ）所有无理数
2、元素与集合的关系
一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）；
要么a 不是A 中的元素，记作a A ∉（读作a 不属于A ）。
这个性质即为集合中元素的确定性。
在元素与集合之间，只能用∈或∉表示，它们之间只存在这两种关系。
例2、若A={x | x=0}，则下列各式正确的是
（A ）φ=A （B ）φ∈A
（C ）{ 0 }∈A （D ）0 ∈A
3、集合的表示方法
我们用列举法与描述法表示一个集合。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。
描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。
我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可
以用Z 表示；有理数集可以用Q 表示；实数集可以用R 表示。
例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(____________________
例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来__________________________.
二、集合与集合的关系
1、子集
对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆。
任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。
2、真子集
对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的
真子集，记作A ⊂
≠B 。
含有)N*(∈n n 个元素的有限集合的子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n
-个。
3、相等的集合
对于两个集合A 和B ，若A B ⊆且B A ⊆则称集合A 与集合B 相等，记作A B =。
也就是说，集合A 和集合B 含有完全相同的元素。
由定义可知，要证集合A 与B 相等，只需证明A B ⊆且B A ⊆。
三、集合的运算
集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解。
1、交集
(1)定义 由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作“A B ”。
即{}|A B x x A x B =∈∈且。
(2)交集的性质 ①A
B B A =；②A A A =；③A ∅=∅； ④,A B A A B B ⊆⊆；⑤若A B A =，则A B ⊆；反之亦然。
例5、设集合{}2|->=x x A ，{}3|<=x x B ，则A ∩B=______________________.
例6、设集合{}12|),(-==x y y x A ，{}3|),(+==x y y x B ，求A ∩B.
2、并集
（1）定义 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 与B 的并集，记作“A B ”。
即{}|A B x x A x B =∈∈或。
（2）并集的性质
①A B B A =；②A A A =；③A
A ∅=； ④,A A
B B A B ⊆⊆；⑤若A B B =，则A B ⊆；反之亦然。
例7、设集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，则A ∪B=_____________
3、补集
（1）定义 设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于集合A 的元素组成的集合叫做集合A 在
全集U 中的补集，记作C U A 。
即
{}C |U A x x U x A =∈∉且。
（2）补集的性质
①()C C U U A A =；②U Cu CuU =∅∅=,；③C U A
A =∅，C U A A U =；④若A
B ⊆，则
C U A B =∅；若A B ⊆，则C U B A U =
⑤若()C C C U U U A B A B =，()C C C U U U A B A
B =。
例8、设集合{}10,8,6,4,2=A ，
{}9,7,5,3,1=A C U ，{}9,8,6,4,1=B C U ，求集合B.
练习： 1、已知集合{}1|2==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆，求实数a .
2、用列举法表示集合
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∈+-∈=5,12|n N n n N n A __________________ 3、用下列符号“=⊇⊆∉∈,,,,”填空：
{a,e}___{a,b,c,d,e}
{}8|___61≤x x
{}{}1|____3|-≤≤x x x x
{菱形}____{平行四边形} {}{}++∈+=∈-=Z n n x x Z n n x x ,12|___,12|
4、已知集合A 中有10个元素，集合B 中有8个元素，集合A ∩B 中共有4个元素，则集合A ∪B 中共有（ ）个元素
（A ） 14 （B ） 16 （C ） 18 （D ）不确定
5、满足M={a ，b}⊆A ⊆{a,b,c,d}，A 集合的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
6、已知全集U={- 4，-3，-2，-1，0}，集合M={- 2，-1，0}，
N={-4，-3，0}，则=⋂N M C u )( 。
7、已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)
x a x x a -<-+。
（1）当a ＝2时，求A ∩B ； （2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围。
高一数学讲义1
高一数学讲义第一章：集合第一节：集合的概念和表示方法：知识点一：元素与集合的概念一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合。
说明：1、集合是一个整体2、构成集合的对象必须是确定的。
典型例题1：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数（2）我国的小河流巩固练习:下列各组对象中，能组成集合的有。
（1）所有的好人；（2）平面上的到原点的距离等于2的点；（3）正三角形（4）不等式x+1>0的实数解；知识点二：元素的特征与集合相等：1、元素的特征：2、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如，集合{-1，1}与集合{1，-1}是相等的。
典型例题：判断下列各组中的两个集合是否相等。
（1）{3，4}和{4,3}；（2）{7,2}和{7,2}（3）{y|y=x²，x∈R}和{x| y=x²，x∈R};知识点三：元素与集合的关系我们通常用大写拉丁字母A,B,C，…表示集合，用小写的拉丁字母a,b，c…表示集合中的元素。
知识点四：常用的数集及其记法：注意：（1）通常情况下，上面的大写英文字母不再表示其他的集合；（2）0是最小的自然数（3）对于常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范。
典型例题：1、用符号∈和∉填空；（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国A, 美国 A印度A, 英国 A(2)若A={x|x²=x},则-1 A（3）若B={x|x²+x-6=0},则3 B(3)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 C，9.1 C巩固练习：用符号∈和∉填空；（1）√2+√5{x|x≤2+√3}（2）3 {x|x=n²+1，n∈N}y=3+√2π，M={m|m=a+b√2,a∈Q，b∈Q}，（3）x=3−5√2则x M,y M知识点五：集合的表示方法：（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法；（2）列表法：把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
高一数学必修一第一章集合与函数的概念讲义(集合的关系与运算)
知识点3、集合间的基本关系知识梳理1、子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集图示(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.3、真子集的概念(1)A⊂B且B⊂C，则A⊂C；(2)A⊆B且A≠B，则A⊂B常考题型题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1B．2 C．3 D．4①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．判断集合间关系的方法(1)用定义判断．首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．变式训练能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()A. B. C. D.题型二、有限集合子集的确定例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}⊂≠M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．变式训练非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．课时小测1、给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2、已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A⊂≠B⊆C D．A＝B⊆C3、已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4、集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．5、已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．同步练习一、选择题1．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∉A2．如果{}|1A x x =>-，那么A ．0A ⊆B ．{}0A ∈C ．A ∅∈D ．{}0A ⊆ 3．下列各式中，正确的个数是（1）{0}∈{0，1，2}；（2）{0，1，2}⊆{2，1，0}；（3）∅⊆{0，1，2}. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．若集合{}|0A x x =≥，且B A ⊆，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 5．若2{|,}x x a a ⊂∅≤∈≠R ，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 6．已知全集U =R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn)图是A B C D7．设集合{1,2}M =，2{}N a =，那么 A ．若1a =，则N M ⊆B ．若N M ⊆，则1a =C ．若1a =，则N M ⊆，反之也成立D ．1a =和N M ⊆成立没有关系8．已知集合{}4,5,6P =，，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对二、填空题9．设P ={x |x <4}，Q ={x |－2<x <2}，则P Q ．10．已知集合，，则满足条件的集合C 的个数为_____.三、解答题11．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. (0,)+∞[0,)+∞(,0]-∞(,0)-∞{}1,2,3Q =2{|320,}A x x x x =-+=∈R {|05,}B x x x =<<∈N A C B ⊆⊆12．已知集合{}{}2,4,6,8,9,1,2,3,5,8A B ==,又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集;若各元素都减去2后，则变为B 的一个子集,求集合C .13．已知集合A ={x|2a −1<x <3a +1},集合B ={x|−1<x <4}.（1）若A ⊆B ,求实数a 的取值范围;（2）是否存在实数a ,使A =B ?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.知识点4、集合的并集、交集知识梳理1、并集的概念、并集的性质(1)A ∪B ＝B ∪A ，即两个集合的并集满足交换律．(2)A ∪A ＝A ，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身． (3)A ∪∅＝∅∪A ＝A ，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A ⊆(A ∪B)，B ⊆ (A ∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身． 3、交集的概念4、交集的性质(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝∅，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.常考题型题型一、并集的运算例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8} (2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}变式训练若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个题型二、交集的运算例2、(1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于()A．{1,2} B．{0,1} C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．变式训练已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．题型三、交集、并集的性质及应用例3、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∩B＝A，试求k的取值范围．课时小测1、设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}2、已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1}C．(1,1) D．{(1,1)}3、若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.4、已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．5、设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.知识点5、补集及综合应用知识梳理1、全集的定义及表示(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2、补集的概念及性质的补集，记作U＝∅，U∅U U(U(U U常考题型题型一、补集的运算例1、(1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则U A＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则U A＝________，U B＝________.变式训练设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，U A＝{5,7}，则a的值为________．题型二、集合的交、并、补的综合运算例2、已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(U A)∪B，A∩(U B)，U(A∪B)．变式训练已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求U(A∪B)，U(A∩B)，(U A)∩(U B)，(U A)∪(U B)．题型三、补集的综合应用例3、设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⊂≠U P，求实数a的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x<－1，或x>0}，若A∩(R B)＝∅，求实数a的取值范围．课时小测2、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1，或x >4}，那么集合A ∩(U B )等于( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3，或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}3、已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若A B ＝{5}，则实数m ＝________. 4、已知全集U ＝R ，M ＝{x |－1<x <1}，U N ＝{x |0<x <2}，那么集合M ∪N ＝________.5、设U ＝R ，已知集合A ＝{x|－5<x<5}，B ＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B ；(2)A ∪B ；(3)A ∪(U B)；(4)B∩(U A)；(5)(U A )∩(U B )．同步练习一、选择题1、已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则UA =A ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6} 2、已知集合{}|1A x x =>，{|1}B x x =≤，则 A ．AB ≠∅ B ．A B =RC ．B A ⊆D ．A B ⊆3、若集合{}{}1,2,3,4,2A B x x ==∈≤N ，则AB 中的元素个数是A ．4B ．6C ．2D ．34、已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q ()= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}5、设集合{},A a b =，集合{}1,5B a =+，若{}2A B =，则A B =A ．{}1,2B ．{}1,5C ．{}2,5D ．{}1,2,5 6、若集合AB BC =，则集合A,B,C 的关系下列表示正确的是。
高一数学 初升高衔接班 第八讲 集合综合复习讲义高一全册数学教案
芯衣州星海市涌泉学校第八讲集合综合复习教学目的： 1．集合的含义与表示〔1〕通过实例，理解集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系；〔2〕能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或者者描绘法〕描绘不同的详细问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的根本关系〔1〕理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 〔2〕在详细情境中，理解全集与空集的含义； 3．集合的根本运算〔1〕理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 〔2〕理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 〔3〕能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 重点、难点：集合的运算以及集合在其他知识中的应用 【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合〔1〕集合中的对象称元素，假设a 是集合A 的元素，记作A a ∈；假设b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 〔2〕集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个详细对象，那么或者者者是A 的元素，或者者者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不一样的个体〔对象〕，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；〔3〕表示一个集合可用列举法、描绘法或者者图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描绘法：把集合中的元素的公一一共属性描绘出来，写在大括号{}内。
详细方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值〔或者者变化〕范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的一一共同特征。
注意：列举法与描绘法各有优点，应该根据详细问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或者者有无限个元素时，不宜采用列举法。
〔4〕常用数集及其记法：非负整数集〔或者者自然数集〕，记作N；正整数集，记作N*或者者N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。
1.3集合的基本运算11题型分类(学生版)2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教A版必修第一册)
1.3 集合的基本运算11题型分类一、并集【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．二、交集【特别提醒】交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。
三、全集1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．2.记法：全集通常记作U.【思考】全集一定是实数集R吗？全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.四、补集自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【特别提醒】(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A 为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②ACU 表示一个集合，且(ACU)⊆U；③ACU 是U中不属于A的所有元素组成的集合，即ACU＝{x|x∈U，且x∉A}．(4)若x ∈U ，则x ∈A 或x ∈A C U ，二者必居其一．五、运算律(1) 交换律 A⋃B =B⋃A ，A⋂B =B⋂A ；(2) 结合律 (A⋃B )⋃C =A⋃(B⋃C)，(A⋂B )⋂C =A⋂(B⋂C)；(3) 分配律 (A⋂B )⋃C =(A⋂C)⋃(B⋂C)，(A⋃B )⋂C =(A⋂C)⋃(B⋂C)；(4) 德摩根律 ∁U (A ⋃B )=(∁U A)⋂(∁U B)，∁U (A ⋂B )=(∁U A)⋃(∁U B).（一）并集的运算1、求集合并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn 图写并集．(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．2、集合并集运算应注意：(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个．(3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．题型1：求两个集合的并集1-1．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知集合{}0,1,2A =，{}1,0B =-，则A B =U （ ）A ．{}1,1,2-B ．{}0,1,2C ．{}1,0-D ．{}1,0,1,2-1-2．（2024高一下·浙江·期中）设集合{}13A x x =-££，{}04B x x =<<，则A B =U （ ）A ．[]1,3-B ．(),4-¥C ．(]0,3D ．[)1,4-1-3．（2024·北京顺义·一模）已知集合{}22A x x =-<<，{}03B x x =<£，则A B =U （ ）A ．{}23x x -<£B ．{}02x x <<C ．{}20x x -<£D ．{}23x x <<题型2：利用并集运算求参数2-1．（2024高二下·江西景德镇·期中）设集合{}37M x x =-<<，{}221,R N x t x t t =-<<+Î，若M N M È=，则实数t 的取值范围为（ ）A ．13t £B ．133t <<C ．3t ≤D ．3t ³2-2．（2024高三·全国·课后作业）已知集合{}27A x x =-££，{}121B x m x m =+££-，且A B A =U ，则实数m 的取值范围是 ．2-3．（2024高一上·山西晋中·阶段练习）已知{1A =-，2}，{|10}B x mx =+=，若A B A =U ，则实数m 的取值所成的集合是( )A ．11,2ìü-íýîþB ．1,12ìü-íýîþC ．11,0,2ìü-íýîþD ．1,0,12ìü-íýîþ（二）交集的运算1、求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 2、求集合A∩B 的步骤：(1)搞清集合A ，B 的代表元素是什么；(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来；(3)把集合A ，B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅)题型3：求两个集合的交集3-1．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知集合()(){}2210A x x x =-+£，{}1B x x =＜，则A B =I （ ）A ．112x x ìü-££íýîþB ．112x x ìü-£íýîþ＜（三）补集的基本运算求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型5：求两个集合的补集5-1．（2024高一·全国·专题练习）设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}21A x U x =Î-<，则U A =ð（ ）A ．{}13x x <<B ．{}13x x <£C ．{}2D ．{}0,1,3,45-2．（2024高二下·贵州·阶段练习）已知集合{}25A x x =££，{}34B x x =£<，则A B =ð（ ）A ．{}2,4,5B ．{23x x £<或}45x ££C ．{23x x ££或}45x ££D ．{23x x £<或}45x <£5-3．（2024·安徽合肥·一模）设集合1,Z 24n M x x n ìü==+Îíýîþ，,Z 4n N x x n ìü==Îíýîþ，则N M =ð（ ）A ．ÆB ．,Z 2n x x n ìü=ÎíýîþC ．3,Z 4n x x n ìü=ÎíýîþD ．{}2,Z x x n n =Î5-4．（2024高三上·海南·期末）设全集{|||3}U x x =Î<Z ，集合3{|0}=-=A x x x ，则U A =ð（ ）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,3-C ．{}2,2-D ．{}3,2,2,3--题型6：利用补集运算求参数6-1．（2024高二下·山东滨州·阶段练习）设集合{1,3,5,7}A =，{2,4,6,8}U A =ð，{1,2,3,4}UB =ð，则集合B ＝ ．6-2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）设全集{}22,4,U a =，集合{}4,2A a =+，{}U A a =ð，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．-1C ．2D ．0或26-3．（2024·河南驻马店·一模）已知全集{|15},{|1}U x x A x x a =££=£<，若{|25}U A x x =££ð，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（四）集合交、并、补集的综合运算1、解决集合交、并、补运算的技巧（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn 图来求解.（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2、涉及“B ⊆A”或“B A 且A≠∅”的问题，一定要分B ＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B ＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到.题型7：利用集合的交并补运算求集合7-1．（2024·天津南开·二模）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,2A =-，{}0,1B =，则()()U U A B Ç=ðð（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}1,1,2,3-D ．{}1,0,1,2-7-2．（2024·天津南开）已知集合{}37A x x =£<，{}210B x x =<<，求R ()A B Èð，R ()A B I ð，(∁R A )∩B ，()R A B U ð.7-3．（2024·天津）设集合{N |08}U x x =Î<£，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则()U S T =I ðA ．{1,2,4}B ．{1,2,3,4,5,7}C ．{1,2}D ．{1,2,4,5,6,8}题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围8-1．（2024高一·全国·专题练习）已知集合{}1A x a x a =<<+，{}20B x x =-££.(1)若1a =，求A B U ；(2)已知()B A =ÆR I ð，求实数a 的取值范围.8-2．（2024高三上·山西·阶段练习）设集合{2A xx =<∣或{}4},1x B x a x a ³=££+∣，若()A B =ÆR I ð，则a 的取值范围是（ ）A ．1a £或4a >B ．1a <或4a ³C ．1a <D ．4a >8-3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合11{|}A x a x a =-££+，5|03x B x x -ìü=£íý+îþ.(1)若3a =-，求A B U ；(2)已知()R R B A È=ð，求实数a 的取值范围.（五）Venn 图的应用及集合的新定义问题1、韦恩图的应用韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．2、集合新定义问题的求解思路(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．题型9：韦恩图的应用9-1．（2024高一上·四川泸州·期末）设全集U 及集合M 与N ，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）A ．M NÇB ．M N ÈC ．U M N I ðD ．()U M N U ð9-2．（2024高一下·湖北黄冈·期中）设集合{|12}A x x =-££，{|04}B x x =££，则Venn 图阴影区域表示的集合是（ ）A ．{|02}x x ££B ．{|12}x x ££C ．{|04}x x ££D ．{|14}x x ££9-3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5M =，{1,3,5,7,9}N =，且M ，N 都是全集U 的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2,4}B ．{1,3,5}C ．{7,9}D ．{1,2,3,4,5,7,9}题型10：容斥原理10-1．（2024高一上·浙江台州·阶段练习）某高中学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有17人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1210-2．（2024高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有,,A B C 三类，那么，()card A B C =U U ()()()()card card card card card card card A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I .某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510-3．（2024高三·云南昆明·阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％题型11：集合新定义问题11-1．（2024高一上·湖南·期中）已知集合{1,3,4,6,8,9}P =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素m 都乘(1)m -再求和，例如{3,4,6}A =，则可求得和为346(1)3(1)4(1)67-´+-´+-´=，对P 所有非空子集，这些和的总和为（ ）A ．80B ．160C ．162D ．32011-2．（2024高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：()2,,2x A B x y A B y ìüÅ=ÎÎíýîþ.若集合{}14A B x x ==Î<<N ，()15,63C x y y x ìü==-+íýîþ，则()A B C ÅÇ=（ ）A ．ÆB ．(){}4,1C ．31,2ìüæöíýç÷èøîþD ．()24,1,6,3ìüæöíýç÷èøîþ11-3．（2024高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合A 和B ，我们把集合{},,xx a b a A b B =+ÎÎ∣记作A B *.若集合{}{}0,1,0,1A B ==-，则A B *中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411-4．（2024高二下·山西临汾·期末）对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”．已知集合{}7,3,1,1,2,3,4,5,6,7,13B =---，则B 的“小和数”为 ，B 的“大和数”为 ．一、单选题1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合{},5,4A a a =-，{}3,21B a =+，{}2,3,4,5A B È=，则a =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．42．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合{{}|,|31M x x N x x ==-££££，且M ，N 都是全集U 的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|1x x ££B ．{}3|1x x -££C ．{|3x x -£<D ．{|1x x <£3．（2024高二下·湖南·期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =Î<£Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-4．（2024·全国·模拟预测）已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,3,4,5U A B ===，则()()U U A B Ç=ðð（ ）A ．U B ．{}1,2,4,5C ．{}3D ．Æ5．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知{}{}1,2,3,,5A a B a =+=，若A B A =U ，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,4,6A =，{}1,2,3,6B =，则A I ()U B ð（ ）A ．{}3B ．{}6C ．{}4D ．{}2,3,4,67．（2024·浙江·模拟预测）已知实数集R ，集合{}06,{5}A xx B x x =££=>∣∣，则()B A Ç=R ð（ ）A ．{05}x x £<∣B ．{}05x x ££∣C ．{6}x x <∣D ．{}6xx £∣8．（2024高二下·天津河北·期末）设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =--，集合{}2,1,0,1B =--，则()UA B Ç=ð（ ）A ．{}2,1--B ．{}2,1,2--C ．{}0,1D ．{}2,1,0,1,2--9．（2024·山东烟台·二模）已知集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k Z ==Î，则A B =I （ ）．A ．{}2,2-B ．{}2,0,2-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--10．（2024高二下·浙江温州·学业考试）设集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}3,411．（2024高二下·北京海淀·期末）已知集合{}1,0,1A =-，{}11B x x =-£<，则A B =I （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-12．（2024·辽宁大连·三模）已知集合,M N ，满足M M N =È，则（ ）A ．M ⊆NB ．N M ÍC ．N M ÎD ．M NÎ13．（2024·天津）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A =U ð（ ）A ．{}1,3,5B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,514．（2024高二下·广西·期中）已知集合{1,0,1,2}A =-，{}12,B xx x *=-<<ÎN ∣，则A B U 中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．（2024·四川成都·模拟预测）设集合{}N 12A x x =Î-££，{}2,1,0,1B =--，则A B =I （ ）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}116．（2024高一上·江西景德镇·期中）集合A ={x |0<x <8}，B =x |12<x ≤10，则A B =U （ ）A ．x |12<x ≤8B ．{x |0<x ≤10}C ．x |12≤x <8D ．x |12<x ≤1017．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）设全集{}22,3,2=+-U m m ，集合{}{}1,2,4U A m A =+=ð，则m =（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4-18．（2024高三·全国·专题练习）如图，I 是全集，A ，B ，C 是I 的三个子集，则图中阴影部分表示（ ）A ．AB CÇÇB ．()I A C B ÇÇðC ．()I A B C ÇÇðD ．()I B C A ÇÇð19．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）设全集{}2,1,0,1,2U =--，{}210A x x =-=，()(){}120B x x x =--=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,0,2--C ．{}1D ．{}2,0-20．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设全集U =R ，若集合{}230A x x =-<，{}0,2,3B =，则()U B A Ç=ð（）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,3D ．{}321．（2024·北京房山·二模）已知集合{}13A x x =-<<，集合{}2B x x =£，则（ ）A ．{}23AB x x Ç=-£< B ．{}23A B x x È=-£<C ．{}12A B x x Ç=-<<D ．{}3A B x x È=<22．（2024·四川成都·模拟预测）若集合{}20A x x =->，{}14B x x =-<<，则集合A B =U （ ）A ．()1,4-B ．{}2x x >C ．{}1,4-D ．()1,-+¥23．（2024·四川攀枝花·三模）设集合{}13,Z M x x x =-<£Î，{}1,0,1,2N =-，则M N =I （ ）A ．{}12x x -<£B ．{}1,0,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2,3-24．（2024·浙江·二模）若集合{}23M x x =>，{}1,2,3,4N =，则M N =I （ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{}*15,N x x x <<ÎD ．{}*14,N x x x ££Î25．（2024高一上·上海嘉定·阶段练习）若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =U ，则m 的值为（ ）A ．1或0B ．1-或0C ．1或1-或0D ．1或1-或226．（2024·全国·三模）如图所示的Venn 图中，A 、B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若{}21,,4A x x n n n ==+ΣN ，{}2,3,4,5,6,7B =，则A B ⊗=（ ）A ．{}2,4,6,1B ．{}2,4,6,9C ．{}2,3,4,5,6,7D ．{}1,2,4,6,927．（2024高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名A ．7B ．8C ．9D ．1028．（2024高一上·四川绵阳·期末）如果全集*{|5}U x N x =Î<，{1,2}M =，则U M =ðA ．ÆB ．{1,2}C ．{3,4}D ．{0,3,4}29．（2024高三·全国·专题练习）已知集合|,Z 44k M x x k p p ìü==+Îíýîþ，集合,84k N x x k Z p p ìü==-Îíýîþ，则（ ）A ．M N Ç=ÆB ．M ⊆NC ．N M ÍD ．M N MÈ=30．（2024·河北沧州·模拟预测）若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =Î-<<=，则A B =U （ ）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-ÈD ．{1,0,1,2}-31．（2024·北京西城·二模）有三支股票,,,28A B C 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4二、多选题32．（2024·北京西城）已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是（ ）A ．A ∩B ＝ÆB ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪R B ð＝{x |x ≤－1或x ＞2}D ．A ∩R B ð＝{x |2＜x ≤3}33．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）非空集合G 关于运算Å满足：（1）对任意a ，b G Î，都有a b G ÅÎ；（2）存在e G Î，使得对一切a G Î，都有a e e a a Å=Å=，则称G 关于运算Å为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G 关于运算Å为“融洽集”的是（ ）A ．{}G =有理数，Å为实数的乘法B ．{}G =非负整数，Å为整数的加法C ．{}G =偶数，Å为整数的乘法D ．{}G =二次三项式，Å为多项式的加法34．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知全集R U =，集合}{}{|27|121A x x B x m x m =-££=+££-，，则使U A B Íð成立的实数m 的取值范围可能是（ ）A ．}{|610m m ££B ．}{|22m m -<<C ．1|22m m ìü-<<-íýþîD ．}{|58m m <£35．（2024高一·全国·课后作业）（多选）满足{}{}1,31,3,5A È=的集合A 可能是A ．{}5B ．{}1,5C ．{}1,3D ．{}1,3,536．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）设全集U ＝{x |x 2－8x ＋15＝0，x ∈R}．U A ð＝{x |ax －1＝0}，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．13C ．15D ．237．（2024高三上·江苏连云港·阶段练习）设集合{|}{|}{|}626532M x x k k N x x k k P x x k k ==+Î==+Î==+ÎZ Z Z ，，，，，，则 （ ）A ．M N ǹÆB ．M N P È＝C ．M P ＝D ．P M N＝ð38．（2024高一上·全国·单元测试）已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合P ={1,3,5}，Q ={1,2,4}，则下列结论正确的是（ ）A ．P Q Ç ={1}B ．P Q È ={1,2,3,4,5,6}C ．()U P Q U ð ={1,2,4,6}D ．()U P Q I ð={3,5}39．（广东省东莞市东莞高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =I ，则实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．16C ．12D ．2三、填空题40．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合A ={x|−2≤x ≤4}，B ={x|x >a }．（1）若A B ¹ÆI ，实数a 的取值范围是 ．（2）若A B A ǹ，实数a 的取值范围是 ．（3）若A B B È=，实数a 的取值范围是 ．41．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知集合{}A x x a =<，{}14B x x =<<，若R A B Íð，则实数a 的取值范围为 ．42．（2024高一上·北京海淀·期中）已知2{|10,}A x x px x R =++=Î，若A R +=ÆI ，则实数p 的取值集合是 .43．（2024高一上·宁夏·阶段练习）已知集合{|25}A x x =-££，{|121}B x m x m =+££-，若A B A =U ，则实数m 的取值范围44．（2024·上海松江·模拟预测）已知集合{1,1,3A =-}，{}1,3,5B =，则A B =U ．45．（2024高二上·上海金山·期末）已知集合(){},20A x y x ay =-+=，(){},440B x y ax y =-+=，若A B =ÆI ，则实数a 的值为 ．四、解答题46．（2024高一上·陕西渭南·期中）已知集合{}|16P x x x =<->或，{}|11Q x m x m =-££+，全集为R .(1)求集合P R ð；(2)若()P Q P =R R U ðð，求实数m 的取值范围.47．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）在①A B B È=；②A B =ÆI 这二个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}{}11,13A x a x a B x x =-££+=-££.(1)当2a =时，求A B U ；(2)若__________，求实数a 的取值范围.48．（2024高三·全国·课后作业）已知全集为R ，集合{}023A x x a =<+£，122B x x ìü=-<<íýîþ，若A B A Ç=，求实数a 的取值范围.49．（2024高一上·重庆·期末）已知a ÎR ，集合{}0A x x a =-³，{}13B x x =-££.(1)当2a =时，求A B Ç，A B U ；(2)若()R A B Íð，求a 的取值范围.50．（2024高一上·山东临沂·期末）已知集合1N 22A x x ìü=Î<£íýîþ，{}R 220B x ax =Î-³(1)当1a =时，求A B Ç；(2)若______求实数a 的取值范围.①A B B È=，②A B A Ç=③R A B Ç=Æð从这三个条件选一个填入横线处，并求a 的取值范围.51．（2024高一下·江西南昌·期中）已知全集为R ，集合{}26A x x =££，{}3782B x x x =-³-．(1)求A B Ç；(2)若{}44C x a x a =-££+，且()A B I C ，求a 的取值范围．52．（2024高一上·北京昌平·期末）已知全集U =R ，{2A x x a =£-或}x a ³，B ={x |0<x <5}.(1)当1a =时，求A B Ç，A B U ，()U A B I ð；(2)若A B B =I ，求实数a 的取值范围.53．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）设集合{}{}(){}2221,1,33,210,10A a a a B x x x C x x a x a =--+-=-+==-++=.(1)讨论集合B 与C 的关系；(2)若0a <，且A C C Ç=，求实数a 的值.54．（2024高一上·浙江·期中）已知集合143A x x ìü=Î<<íýîþN ，{}10B x ax =-³．请从①A B B È=，②A B A Ç=，③()R A B Ç=Æð这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当12a =时，求A B Ç；(2)若______，求实数a 的取值范围．55．（2024高一上·河南·阶段练习）已知集合3 2{|}2A x m x m =-££+，集合2430{|}B x x x =-+³.(1)当1m =时，求()R A B A C B I U ，；56．（2024高一上·上海杨浦·期中）已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R Î.（1）若A B A Ç=，求,m n 的值；（2）若A B A =U ，求,m n 的取值范围.57．（2024高一·全国·课后作业）设集合{}12A x x =-££，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或x >2}．(1)若A B B =I ，求实数m 的取值范围；(2)若B C Ç中只有一个整数，求实数m 的取值范围．58．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）已知集合{}332A x a x a =-££+，{}2280B x x x =--£．(1)当0a =时，求A B U ，()R A B I ð；(2)若A B B =I ，求实数a 的取值范围．59．（2024高一下·四川乐山·阶段练习）设全集R U =，集合A ={x |1≤x <4}，B ={x |2a ≤x <3−a }.(1)若2a =-，求B ∩A ，()U B A Çð(2)若A B A =U ，求实数a 的取值范围.60．（2024高一上·重庆沙坪坝·期中）已知{}2650A x x x =-+=，{}10B x ax =-=.(1)若1a =，求()Z A B Çð；(2)从①()A B =R R U ð；②A B B =I ；③()B A Ç=ÆR ð这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若 ，求实数a 的所有取值构成的集合C .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.61．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合{}220M x x x a =++=．(1)若Æ M ，求实数a 的取值范围；(2)若{}20N x x x =+=且M N ǹÆ，求实数a 的值．62．（2024高一上·陕西西安·期中）设集合{}{}220,4,2(1)10,R A B x x a x a x =-=+++-=Î.(1)若12a =-，求A B U ；63．（2024高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=.(1)若1a =，求A B Ç；(2)若A B A =U ，求a 的取值集合.64．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合{|(2)(1)0}A x x x =+-<，{|11}B x m x m =--<<-+．(1)若R ()A B =ÆI ð，求实数m 的取值范围；(2)若集合A B Ç中仅有一个整数元素，求A B U ．。
高一数学集合与函数概念讲义新人教A版必修1
高一数学集合与函数概念讲义新人教A版必修1讲义一： 集合的含义与表示（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝；∅；｛∅｝,｛0｝3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。
●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=-32▲★课堂练习：1、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。
(解：x=-1)2、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。
（解：a=0)二、集合的表示---------列举法和描述法★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n|n=2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x|x=2k,k ∈N,k ≤3｝；（3）、3A =｛x|x=4k ＋1,或x=4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。
人教版高中数学高一培优讲义第1讲集合
第1讲集合理清双基1、集合的有关概念（1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。
对象为集合的元素。
通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。
元素与集合的关系∈与∉（2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性：【例】1.设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：∅（4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系}1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C }1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（）一个（B ）二个（C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确变式：集合})0(),{(2≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（）说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
2.集合间的关系（1）子集：（2）相等关系：（3）真子集：说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
【例】4.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（）A.NM = B.NM ≠⊂ C.NM ≠⊃ D.以上都不对5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围是()A ．43≤≤-m B ．43<<-m C ．42≤<m D ．4≤m 3.集合的基本运算（1）交集（2）并集（3）补集全集【例】6.已知集合}1{2+==x y y M ，}9{2x y x N -==，则=N M ________4、集合运算中常用结论（1）等价关系B A A B A ⊆⇔= AB A B A ⊆⇔=【例】7.已知集合}{},1{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A = ，则实数a 的取值范围为____（2）反演律（德摩根定律）)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =【例】8.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合S 与T 都是U 的子集，满足}2{=T S ，}4{)(=T S C U ，}5,1{)()(=T C S C U U 则有()A ．TS ∈∈3,3B ．TC S U ∈∈3,3C ．TS C U ∈∈3,3D ．TC S C U U ∈∈3,39.由)(+∈N n n 个元素组成的集合A 的子集个数：A 的子集有n2个，非空子集有)12(-n 个，真子集有)12(-n 个，非空真子集有)22(-n 个【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈+∈∈==则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102.集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.3.数集A 满足条件：若A a ∈，则)1(11≠∈-+a A a a ．若A ∈31，求集合中的其他元素.4.已知},,2|{R k N x k x x P ∈∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.5.已知集合}023|{2=+-=x ax x A .（1）若A 是单元素集合，求集合A ；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．►归纳提升解答集合的概念问题应关注两点(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。
集合1.1.1讲义
精锐教育学科教师辅导讲义练习题2答案 1．A 2.D3.B4.B5.C6.{}1,0,1,2-7.1928.⑴()()()(){}0,3,1,2,2,1,3,0;⑵{}0,1,2,,3;9.a =32-或47-. 10.{}3,2,1,0,1,2,3A =---;{}1,0,3,8B =-;()()()()()()(){}3,8,2,3,1,0,0,1,1,0,2,3,3,8C =----状元智慧树（思维导图）：课后作业一、选择题：1.下列说法中正确的是 （ ）A ．2008年北京奥运会的所有比赛项目组成一个集合B ．某个班年龄较小的学生组成一个集合C ．1、2、3组成的集合与2、1、3组成的集合是不同的两个集合 D.{1,0,5,1,2,5}组成的集合有四个元素2.下列说法中①集合N 与集合N +是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素。
其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.下列条件中，能构成集合的是 （ ） A ．世界著名的化学家B ．在数轴上与原点非常接近的点C ．所有的等腰三角形D ．全年级成绩优秀的学生4.由实数x ，-x ，|x|，2x ，33x -所组成的集合，最多含（ ）A. 2个元素B. 3个元素C. 4个元素D. 5个元素 5.若{}x x 122+∈，，则x 的值为 （ ）A. -2B. 1C. 1或-2D. -1或26.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7. 设a 、b 、c 是非零的实数，则=+++a b c abc y |a||b||c||abc|的值所组成的集合为 （ ）A.{4}B.{4,4}-C.{4,4,0}-D.{0,4} 二、填空题： 8.用符号“∈”，“∉”填空 ① 0N ，-1N ，3N ，21N ②31-Z ，2Q ，πQ ③ 5Z ，-11Q ，5-R9.集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合？ 集合{1,2}与集合{(2,1)}是否表示同一集合？ （填“是”或“不是”）10.对于集合{2,4,6}A =，若a A ∈，则6a A -∈，那么a 的值是 三．解答题11.由0,1,4组成的集合用A 表示，由1，4，(1)x x -组成的集合用B 表示，已知集合A=B ，求x 。
高一数学同步辅导讲义(专题讲解)
高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章 集合与简易逻辑专题讲解一 、 集合的概念、运算与不等式1．在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言准确地叙述。
2．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、∉与⊆、⊆的区别，元素与集合间的从属关系用∈、∉表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用⊂、⊂、⊆、⊆、=表示.3．给定两个集合A ，B ，它们的运算意义为：A ∩B={}B x A x x ∈∈且，A ∪B={}B x A x x ∈∈或，C S A={}A x S x x ∉∈且,.这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系：C s (A ∪B)=（C s A ）∩（C sB ），C s （A ∩B ）=（C s A ）∪（C s B ），与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表1—9.4．集合M={}n a a a ,,,21 的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空子集个数为2n—1，非空真子集个数为2n －2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表1 命题 或 且 否定┐ 蕴涵⇒ 等价⇔ 集合 并集∪ 交集∩ 补集C 子集⊆ 相等=关键字词 或且非若……则……当且仅当必须且只须自反性 A ∪A=A A ∩A=A C U (C U )A=A A ⊆A 真子集无 A=A 对称性A ∪B=B ∪AA ∩B=B ∩AC B A=C A BA=A 若A=B 则B=A传递性若A ⊆B ，B ⊆C 则A ⊆C若A=B ，B=C ，A=C 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)(A ∩B) ∩C=A ∩(B ∩C)【例1】 已知集合M=R x x y y ∈+=,12，N={}R x x y y ∈+=,1，则M ∩N=（ ） A ．（0，1）（1，2） B ．{})2,1(),1,0( C ．{}21==y y y 或 D ．{}1≥y y分析 集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对（x ，y ），因此M ，N 分别表示函数y=x 2+1（x ∈R ），y=x+1（x ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集.解 M={}R x x y y ∈+=,12={}1≥y y ，N={}R x x y y ∈+=,1={}R y y ∈. ∴M ∩N={}1≥y y ∩{}R y y ∈={}1≥y y ，故选D.说明（1）本题求M ∩N.经常发生解方程组⎩⎨⎧-=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x 从而选B 错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上M ，N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{}R x xy x ∈+=,12，{}R x x y y ∈+=,12，{}R x x y y x ∈+=,1),(2这三个集合是不同的.【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）0⊂{}0；（2）0∈{}0；（3）Φ∈{}Φ；（4）a ∈{}a ；（5）Φ={}0；（6）{}0∈Φ；（7）Φ∈{}0；（8）Φ⊂{}0，其中正确的是（ ）A ．（2）（3）（4）（8）B ．（1）（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）（6）D ．（2）（3）（4）（7） 分析 依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解 （1）应为0∈{}0；（2）（3）（4）正确，排除B ，再看（6）（7）（8）哪个正确，由Φ是{}0的子集，因此（8）正确，故选A.说明 0与{}0只有一种关系：0∈{}0 ；R 与{}R ；Φ与{}0也只有一种关系：Φ⊂{}0. 【例3】 已知集合A={}R x x m x x ∈=+++,01)2(2，若A ∩R +=Φ，则实数m 的取值范围是__________.分析 从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+(m+2)x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A ∩R +=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围.解 由A ∩R +=Φ又方程x 2+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆.0)2(04)2(2m m或△=(m+2)2－4＜0.解得m ≥0或－4＜m ＜0，即m ＞－4.说明 此题容易发生的错误是由A ∩R +=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉，因此要全面正确理解和识别集合语言.【例4】 已知集合A={}0232=+-x x x ，B={}012=-+-a ax x x ，且A ∪B=A ，则a 值为__________.分析 由A ∪B=A ⇔B ⊆A 而推出B 有四种可能，进而求出a 的值. 解 ∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A ，∵A={}2,1，∴B=Φ或B={}1或B={}2或B={}2,1. 若B=Ø，则令△＜0得a ∈Ø；若B ={}1，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={}2，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.∴a ∈Ø ；若B={}2,1，则令△＞0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a=3，综上a 的值为2或3.说明 本题不能直接写出B=（），因为a （）可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.【例5】 命题甲：方程x 2+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围.分析 使命题甲成立的m 的集合为A ，使命题乙成立的m 的集合而为B ，有且只有一个命题成立是求A ∩C R B 与C R A ∩B 的并集.解 因使命题甲成立的条件是△1=m 2－4＞0，且－m ＜0，所以解得m ＞2，即集合A={}2>m m ；因使命题乙成立的条件是△2=16(m －2)2－16＜0，所以解得1＜m ＜3，即集合B={}31<<m m .若命题甲、乙有且只有一个成立，则m ∈A ∩C R B 或m ∈C R A ∩B ，而A ∩C R B={}2>m m ∩{}31≥≤m m m 或={}3≥m m ，C R A ∩B={}2>m m ∩{}31<<m m ={}21≤<m m ，所以综上所求m 的范围是{}321≥≤<m m m 或.说明（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示m 的满园即准备又简明.二、 一元二次方程实根的分布【例1】关于x 的方程3x 2－5x+a=0，实数a 在什么范围内，一个根大于－2，而小于0，另一个根大于1，而小于3？解 由题意，a 应满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(0)2(5)2(3)2(22a f a f a f a f 解得－12＜a ＜0.【例2】关于x 的方程2x 2+3x －5m=0，有两个小于1的实根，求实根m 的取值范围. 解 二次函数图像是开口向上的抛物线，对称轴x=－43，在x=1的左侧.这样抛物线与x 轴有两个交点的横坐标都小于1，所以应满足的条件是：⎩⎨⎧≥-=∆>-+=04090532)1(m m f 解得－409≤m ＜1. 【例3】关于x 的方程x 2―2tx+t 2―1=0的两个根介于―2和4之间，求实数t 的取值范围.解 由题意可知，t 需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 解得 －1＜t ＜3.说明 讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论（设方程f(x)=ax 2+bx+c=0（a ＞0）两实根为x 1，x 2）：（1）若m ＜x 1＜n ＜p ＜x 2＜q ，则方程系数应同时满足下列不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++=<++=<++=>+=0)(0)(0)(0)(2222c bq aq q f c bp ap p f c bn an n f c bm am m f 特别地，当方程f(x)=0有一正根，一负根，即x 1＜0，x 2＞0，则应用f(0)=c ＜0；若方程f(x)=0有一个根大于k ，一个根小于k ，则应有f(k)＜0.（2）若二次方程f(x)=0的两面根在区间（m ，n ）内，则应同时满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>n a b m n f m f 200)(0)( 特别地，若f(x)=0两根都大于k 时，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥∆>.2,0,0)(k ab k f三、 四种命题与充要条件1．所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合事实，我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.2．命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题是等价的。
必修一_第一章_集合(集合讲义_做的很细_适合初学者)
聚集之羊若含玉创作1.1 聚集的寄义与暗示21.11 聚集的寄义21.2 子集、全集、补集91.3 交集、并集13第一章聚集空集一、知识梳理1．聚集的寄义：一些元素组成的组成一个聚集(set).注意：（1）聚集是数学中原始的、不界说的概念，只作描写.（2）聚集是一个“整体.（3）组成聚集的对象必须是“确定的”且“不合”的2．聚集中的元素：聚集中的每一个对象称为该聚集的元素（element）.简称元.聚集一般用大写拉丁字母暗示，如聚集A,元素一般用小写拉丁字母暗示.如a,b,c……等.思考:组成聚集的元素是不是只能是数或点？【答】3．聚集中元素的特性：（1）确定性.设A 是一个给定的聚集，x是某一元素，则x 是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对于一个给定的聚集，它的任何两个元素都是不合的.（3）无序性.聚集与其中元素的分列次序无关.4．经常使用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________正整数集记作__________或___________整数集记作________有理数记作_______实数集记作________5．元素与聚集的关系：如果a是聚集A的元素，就记作__________ 读作“___________________”；如果a不是聚集A的元素，就记作______或______读作“_______________”；6．聚集的分类：按它的元素个数若干来分：（i） _________________叫做有限集；（ii）________________________叫做无限集；（iii）_______________叫做空集，记为_____________二、例题讲授1、运用聚集中元素的特性来解决问题例1．下列研究的对象可否组成聚集（1）世界上最高的山峰（2）高一数学教材中的难题（3）中国国旗的颜色（4）book中的字母（5）立方等于自己的实数（6）不等式2x-8<13的正整数解【解】点评:断定一组对象可否组成聚集症结是可否找到一个明白的尺度，依照这个确定的尺度，它要么是这个聚集的元素，要么不是这个聚集的元素，即元素确定性.例2：聚集M中的元素为1，x，x2-x，求x的规模？剖析：依据聚集中的元素互异性可知：聚集里的元素各不相同，联列不等式组.点评: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例3：三个元素的聚集1，a0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．剖析：三个元素的聚集也可暗示别的一种形式，说明这两个聚集相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论．点评:从特殊元素入手，灵巧运用聚集的三个特征．2、运用元素与聚集的关系来解决一些问题例4：聚集A中的元素由∈Z,b∈Z)组成，断定下列元素与聚集A的关系？（1）0 （2（3剖析：先把x写成a，b是否为整数.点评:要断定某个元素是否是某个聚集的元素，就是看这个元素是否知足该聚集的特性或具体表达形式.例5：不包含-1，0，1的实数集A知足条件a∈AA，如果2∈A,求A中的元素？剖析：该题的聚集所知足的特征是由抽象的语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到.三、巩固演习1．下列研究的对象可否组成聚集①某校个子较高的同学；②倒数等于自己的实数③所有的无理数④讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市⑥中国的大城市2．下列写法正确的是___________________②当n∈N时，由所有(-1)n的数值组成的聚集为无限集④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的聚集与元素k，o，b组成的聚集是同一个聚集把正确的序号填在横线上31_______N -3_________N 0__________N1_______Z -3_________Q 0__________Z0_______N*________R_______Qcos300_______Z4． 由实数-x ，|x|x的个数是_________________个一、知识梳理1. 聚集的经常使用暗示办法： （1）列举法将聚集的元素一一列举出来，并____________________暗示聚集的办法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必须用“，”离隔； ②聚集的元素必须是明白的； ③各元素的出现无顺序；④聚集里的元素不克不及重复； ⑤聚集里的元素可以暗示任何事物. （2）描写法聚集的暗示 描写法列举法将聚集的所有元素都具有性质（）暗示出来，写成_________的形式,称之为描写法.注意：①写清楚该聚集中元素知足性质；②不克不及出现未被说明的字母；③多层描写时，应当准确使用“或”，“且”；④所有描写的内容都要写在聚集的括号内；⑤用于描写的语句力图简明，准确.思考:还有其它暗示聚集的办法吗？【答】文字描写法：是一种特殊的描写法，如：{正整数}，{三角形}图示法（Venn图）：用平面上关闭曲线的内部代聚集. 2. 聚集相等如果两个聚集A，B所含的元素完全相同，___________________________________ 则称这两个聚集相等，记为：_____________二、例题讲授1、用聚集的两种经常使用办法具体地暗示合例1．用列举法暗示下列聚集：（1）中国国旗的颜色的聚集；（2）单词mathematics中的字母的聚集；（3）自然数中不大于10的质数的聚集；（4聚集；（5聚集.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }剖析：先求出聚集的元素，再用列举法暗示.点评:（1）用列举法暗示聚集的步调为：①求出聚集中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法暗示聚集的优点是元素一目了然；缺点是不容易看出元素所具有的属性.例2．用描写法暗示下列聚集：（1（2x的聚集；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的聚集；（4）抛物线y=-x2+3x-6（5剖析：用描写法暗示来聚集，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.点评: 用描写法暗示集应时，注意确定和简化聚集的元素所具有的配合特性例3．已知，试用列举法暗示聚集A．剖析：用列举法暗示的聚集，要认清聚集的实质，聚集中的元素毕竟知足哪些条件．点评:本题实际上是要求知足6被3-a整除的整数a则聚集A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.2、有关聚集相等方面的问题例4．已知聚集P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．剖析：含字母的两个聚集相等，其实不料味着顺次对应相等，要分类讨论，同时也要斟酌聚集中的元素的互异性和无序性.例5．已知聚集有唯一元素，用列举法暗示a 的值组成的聚集A.点拔：本题聚集有唯一元素，同学们习惯上将分式方0，事实上当而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论.三、巩固演习1.用列举法暗示下列聚集： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数} (3) {x|x 为不大于10的正偶数}(4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z} 2. 用描写法暗示下列聚集： (1) 奇数的聚集； (2)正偶数的聚集；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的 聚集； .3. 下列聚集暗示法正确的是 (1) {1，2，2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4){2，4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}. 4、聚集A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，这三个聚集的关系？ 5、已知，试用列举法暗示聚集A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：如果聚集A 的任意一个元素都是聚集B 的元素（ ），则称聚集 A 为聚集B 的子集（subset ）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可暗示为：__________________.注意：（1）A 是B 的子集的寄义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；（2）不克不及懂得为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的聚集.2．子集的性质： ① 思考 【答】 _________ 3．真子集的概念及记法：相等 集 合 的 关 系包含 全集子集 真子集补集并且A≠B，这时聚集 A称为聚集B的真子集（proper set）,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：非空聚集的真子集符号暗示为___________________②真子集具备传递性符号暗示为___________________5．全集的概念：如果聚集U包含我们所要研究的各个聚集，这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________，由U中不属于A的所有元素组成的聚集称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________”7二、例题讲授1、写出一个聚集的子集、真子集及其个数公式例1．写出聚集{a，b}的所有子集及其真子集；写出聚集{a，b，c}的所有子集及其真子集；剖析：按子集的元素的若干分离写出所有子集，这样才干达到不重复，无遗漏，点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．①一个聚集里有n个元素，那么它有2n个子集；②一个聚集里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；③一个聚集里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．2、断定元素与聚集之间、聚集与聚集之间的关系例2：以下各组是什么关系，用适当的符号暗示出来．（1）a与{a} 0 与（2{20（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；（5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }点评:①断定两个聚集的包含关系，主要是依据聚集的子集，真子集的概念，看两个聚集里的元素的关系，是包含，真包含，相等．②元素与聚集之间用_______________聚集与聚集之间用_______________3、运用子集的性质例3：设聚集A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若，求实数a 的取值规模．剖析：首先要弄清聚集A 中含有哪些元素，在由，可知，聚集B 按元素的若干分类讨论即可．点评:4、补集的求法例4：A ，U=R ，试求A②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，a 的取值规模．【解】①，x>2}② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，≤1}如图所示：-a ≤ 1即a ≥-1点评:求聚集的补集时通常借助于数轴，比较形象，直不雅．三、巩固演习1．断定下列暗示是否正确：∈{a，b}(3) {a，，a}(4) {-1，1} {-1，0，1}，1}2．指出下列各组中聚集A与B之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a2,a∈N*}B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}3．（1）已知{1，2，2，3，4，5}，则这样的聚集M有若干个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6，7,8，9}，聚集P知足：P，则这样的聚集P 有若干个？4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．{0} (2) {-1，1}与{1，-1}(3) {(a,b)} 与{(b,a)}{0，1三、若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则：6．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知A={b，2}，求实数a，b的值．7．已知聚集a∈Z}，b∈Z}，≠{-⊂⊂≠c ∈Z}，试断定A 、B 、C 知足的关系8．已知聚集A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0}，求a ，b 的取值规模．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的界说：一般地，______________________________________________，称为A 与B 交集(intersection set)，记作____________读作“___________”. 交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：（1）交集（A ∩B ）实质上是A 与B 的公共元素所组成的聚集. 交集 界说 聚集的运算 运用 性质 并集 界说 聚集的运算 运用 性质（2）当聚集A与B没有公共元素时，不克不及说A与B没有交集，而是A∩2．交集的经常使用性质：（1） A∩A = A；（2） A（3） A∩B = B∩A；（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；（5） A∩， A∩3．聚集的交集与子集：思考:A∩B=A，可能成立吗？【答】_______________________________________________结论：A∩4．区间的暗示法：设a，b是两个实数，且a<b，我们划定：[a， b] = _____________________（a， b）= _____________________[a ，b）= _____________________（a ，b] = ______________________（a，+∞）=______________________（-∞，b）=______________________（-∞，+∞）=____________________其中 [a， b]，（a， b）分离叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值聚集又一种符号语言.（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号离隔.（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数. 5．并集的界说：一般地，_________________________________________________，称为聚集A与聚集B的并集(union set) 记作__________读作“___________”.交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的聚集，但是公共元素在同一个聚集中要注意元素的互异性.6．并集的经常使用性质：（1） A∪A = A；（2） A；（3） A∪B = B∪A；（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；（5）∪B，∪B7．聚集的并集与子集：思考:A∪B=A，可能成立吗？A【答】________________________结论：A∪二、例题讲授1、求聚集的交、并、补集例1．（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；点评:不等式的聚集求交集时，运用数轴比较直不雅，形象.例2：已知数集A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．点评:在聚集的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证聚集的特性．例3：（1）设聚集A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设聚集A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2x∈R}，求A∩B；剖析：先求出两个聚集的元素，或者聚集中元素的规模，再进行交集运算．特别注意（1）、（2）两题的区别，这是同学们容易疏忽的地方．点评:求聚集的交集时，注意聚集的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的聚集．变式训练:1、依据下面给出的A 、B，求A∪B①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；②A={y|y=x2-2x}，B={x||x|≤3}；③A={梯形}，B={平行四边形}．2．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x，求：①(A∪B)∩P③ (A∩B)．点评:求不等式暗示的数集的并集时，运用数轴比较直不雅，能简化思维进程3、已知聚集A={y|y=x-1，x∈R}，B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，剖析：首先弄清楚A，B，C三个聚集的元素毕竟是什么？然后再求出聚集的有关运算.点评:本题容易出现的错误是不斟酌各聚集的代表元，而解方程组．突破办法是：进行聚集运算时，应剖析聚集内的元素是数，照样点，或其它．2、运用并集的性质解题例4：已知聚集A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所知足的条件．剖析：由于A∪B=A，可知：，而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a，b知足的值或规模．点评:应用性质：A∪是解题的症结，提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.若聚集P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，知足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m的值组成的聚集．2. 已知聚集A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax-1=0}，C={x|x2-mx+1=0}，且A∪B=AA∩C=C，求a，m的值或取规模.例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2∩B，A∩a的值．总结：解决本题的症结是应用重要结论：A∪B=A∩⊂3、运用交集的性质解题例6：已知聚集A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q知足的条件．剖析：（1）由B={5}，知：方程x2+px+q=0有两个相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p，q的值．（2）由A∩B= B可知：，而A={2，5}从而顺利地求出实数p，q知足的条件．点评:应用性质：A∩B = 是解题的症结，提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.已知聚集A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若A∩B =B，求实数m所组成的聚集M．2.已知聚集M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩N a 知足的条件是什么？4、借助Venn图解决聚集的运算问题例7：已知全集20的质数}，M,N是U的两个子M∩，5}，，19}，17}，求M，N的值．剖析：用Venn图暗示聚集M，N，U，将相符条件的元素依次填入即可．5、交集并集性质的应用例8、已知聚集A={(x,y)|x2－y2－y=4}，B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}，C={(x,y)|x－2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}.(1)断定B、C、D间的关系；(2)求A∩B.6、交集、并集在实际生活中的应用例9、某学校高一(5)班有学生50人，介入航模小且的有25人，介入电脑小组的有32人，求既介入航模小组，又介入电脑小组的人数的最大值和最小值.思维剖析：题目以应用为布景，解题症结是将文字转化为聚集语言，用聚集运算来解决错综庞杂的现实问题.7、数形联合思想与交集并集的应用例10、已知聚集A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，知足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值.点评：此题应熟悉聚集的交与并的寄义，掌握在数轴上暗示聚集的交与并的办法.8、分类讨论思想与交集、并集的综合应用例11、已知聚集A={x|x2－4x+3=0}，B={x|x2－ax+a－1=0}，C={x|x2－mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a,m的值或取值规模.剖析：先求出聚集A，由A∪B=A，由A∩然后依据方程根的情况讨论.评注：本例考核A与B，A与C的关系和分类讨论的才能.三、巩固演习1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B；2.已知A={y|y=x2-1}，B={y|x2=-y+2}求A∪B；3.写出阴影部分所暗示的聚集：4.聚集U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4}A={2，3，5}5. 设聚集A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；6. 设聚集A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；7. 设聚集A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；8. 设聚集A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k ，k∈Z}，求A∩B，B∩C．9、聚集A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.10、聚集A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A ∩B={－3},则a的值为___________.11、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值.12、聚集{3，x，x2－2x}中，x应知足的条件是___________.13、设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.(1)若A∩B=B，求实数a的值.(2)若A∪B=B,求实数a的值.。
数学高一-课堂新坐标14-15数学必修1讲义 第1章 集合(61页)
第一章集合§1集合的含义与表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．(2)知道常用数集及其专用记号．(3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性．(4)会用集合语言表示有关数学对象．(5)培养学生抽象概括的能力．2．过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．(2)让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性．●重点难点重点：集合的含义与表示方法．难点：表示法的恰当选择．针对教材的内容，编排一系列问题，让学生亲历知识发生、发展的过程，积极投入到思维活动中来；通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，收到一定的预期效果；尤其是练习的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——归纳——概括——应用”等环节．在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到设计中所预想的目标．(教师用书独具)●教学建议集合是学生进入高中学习的第一节课，是学生学好数学所必须掌握好的一个知识点，同时集合是一个不加定义的原始概念，对于学生而言既熟悉又模糊，熟悉是因为学生在初中的数学学习和生活体验中掌握了大量集合的实例，模糊是由于对于集合含义的描述以及集合的数学表示、元素与集合的关系等理解的并不十分到位、准确．同时虽然本节课对于学生而言难度不大，但是其概念多、符号多，容易混淆，需要学生理解记忆．对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作．随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求．用全新的理论来武装自己，让自己的课堂更有效率．●教学流程创设情景，揭示课题，通过接触过的集合，举出部分例子⇒研探新知，给出集合的概念及集合的表示⇒质疑答辨，排难解惑，发展思维．思考：集合中元素有什么特点？⇒完成例1及其变式训练，巩固元素与集合的关系⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握集合中元素的特性⇒集合的表示方法各有什么特点？完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒巩固深化反馈矫正，完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．(重点)2．理解并掌握集合中元素的三个特征．(重点、难点)3．掌握集合的表示方法及几个常见的数集表示符号．(重点、易混点)元素与集合的相关概念及表示观察下列实例：(1)2013年1月1日之前，在腾讯微博注册的会员；(2)平面内到两定点的距离相等的点；(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋1≥3，x2<9的整数解；(4)方程x2－4x＋4＝0的实数根；(5)我们班经常参加体育锻炼的同学．上述实例中的研究对象哪些是确定的？【提示】 (1)(2)(3)(4)的研究对象是确定的． 集合⎩⎪⎨⎪⎧含义：一般地，指定的某些对象的全体称为集合， 集合中的每个对象叫作这个集合的元素.表示⎩⎪⎨⎪⎧集合：通常用大写字母A ，B ，C ，…标记；元素：通常用小写字母a ，b ，c ，…标记.元素与集合的关系【问题导思】对于本班内所有女同学组成的集合，张三(男)、李四(女)分别与集合存在什么关系？ 【提示】 张三不在该集合内，李四在该集合内．关系 概念记作 读作属于 若a 在集合A 中，就说a 属于集合A a ∈A “a 属于A ” 不属于若a 不在集合A 中，就说a 不属于集合Aa ∉A“a 不属于A ”常用数集及表示符号名称 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN ＋或N *ZQR集合的表示方法给出下列集合：(1)小于10的所有正偶数组成的集合A ； (2)方程x 2＋2x ＋1＝0的根组成的集合为B ； (3)所有奇数组成的集合为C .1．你能将集合A 中的元素一一列举出来吗？ 【提示】 能.2,4,6,82．集合B中的元素满足的条件是什么？【提示】x2＋x＋1＝0.3．如何表示集合C?【提示】C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z}．1．列举法把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．2．描述法用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法叫描述法.集合的分类1.有限集含有限个元素的集合．2．无限集含无限个元素的集合．3．空集不含有任何元素的集合.元素与集合的关系下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N.A．1B．2C．3D．4【思路探究】解答本题要先弄清“∈”和“∉”的区别与联系及特定的数集符号的含义，再进行判断．【自主解答】∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.【答案】 B1．判断一个元素是否属于某个集合，关键看其是否具有该集合的特征． 2．N ＋(N *)与N 不同，前者表示正整数集，而后者表示非负整数集．给出下列关系，其中正确的有____． ①3∈Z ②0∈N ③12∈N ＋ ④3.14∈Q【解析】 ∵3不是整数，∴3∉Z ，故①错；∵0是自然数，∴0∈N ，故②正确；∵12不是正整数，∴12∉N ＋，故③错，∵3.14是有理数，∴3.14∈Q ，故④正确．【答案】 ②④集合中元素的特性已知集合A ＝{1,3，a 2＋a ，a ＋1}，若a ∈A ，求实数a 的值．【思路探究】 根据题中的条件a ∈A ，可分别列出关于a 的方程，然后求出a 的值即可，但要注意集合中元素的互异性．【自主解答】 ∵a ∈A ，A ＝{1,3，a 2＋a ，a ＋1}， ∴a ＝1或a ＝3或a ＝a 2＋a .当a ＝1时，a 2＋a ＝2，a ＋1＝2，这与集合中元素互异性矛盾，故舍去， 当a ＝3时，a 2＋a ＝12，a ＋1＝4，适合题意；当a ＝a 2＋a 即a ＝0时，a ＋1＝1，与集合中元素互异性矛盾，故舍去， 综上所述，所求实数a 的值是3.1．本题中，a 是集合A 的元素，但不能确定是哪一个元素，故有三种情况． 2．根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．(2013·济南高一检测)已知集合A是由三个元素m，m2＋1,1组成的，且2是A中的一个元素，求m的值．【解】∵2是A中的一个元素，∴m＝2或m2＋1＝2，即m＝2或m＝±1.当m＝2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意．当m＝1时，集合A中的元素为：1,2,1不满足互异性，舍去．当m＝－1时，集合A中的元素为：－1,2,1符合题意．综上知m＝2或m＝－1.集合的表示方法用适当的方法表示下列集合．(1)化简式子x|x|＋y|y|(x，y为非零实数)所得结果构成的集合；(2)所有偶数组成的集合；(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；(4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根组成的集合．【思路探究】根据题目的特点，结合列举法、描述法的适用范围解答本题．【自主解答】(1)根据x，y值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示为{0,2，－2}；(2)偶数的表达式为2k(k∈Z)．由于有无数个元素，用描述法表示为{x|x＝2k，k∈Z}；(3)代表元素是有序数对(x，y)，用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}；(4)方程有3个根，用列举法表示为{－5，1，5}．1．当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：(1)元素之间必须用“，”隔开；(2)集合的元素必须是明确的； (3)不必考虑元素出现的先后顺序； (4)集合中的元素不能重复； (5)集合中的元素可以是任何事物．2．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2,2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【解析】 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，即解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2y ＝－2，故②不正确；集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相同．③不正确．【答案】 A忽视元素的特性致误已知－1∈{m －1,3m ，m 2－1}，求实数m 的值．【错解】 ∵－1∈{m －1,3m ，m 2－1}， ∴m －1＝－1或3m ＝－1或m 2－1＝－1，即m ＝0或m ＝－13.【错因分析】 代入后，未对元素进行检验，忽视了元素的互异性．【防范措施】 1.解答含有字母的元素与集合之间的关系时，要有分类讨论的意识． 2．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．【正解】 ∵－1是集合{m －1,3m ，m 2－1}中的元素， ∴当m －1＝－1时，m ＝0,3m ＝0，m 2－1＝－1.此时集合为{－1,0，－1}，不满足集合中元素的互异性． 当3m ＝－1时，m ＝－13，m －1＝－43，m 2－1＝－89.此时集合为{－43，－1，－89}，符合题意．当m 2－1＝－1时，m ＝0，m －1＝－1,3m ＝0.此时集合为{－1,0，－1}，不满足集合中元素的互异性． 综上可知实数m 的值为－13.1．集合在数学中是不加定义的，我们只对它进行描述性说明．集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．2．在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性、无序性．3．集合元素的互异性，是集合的重要属性，实践证明，集合中元素的互异性常常被同学们在解题中忽略，从而导致解题的失误，因此在集合中的元素含有未知数时，求解完后一定要检验．4．表示集合可以用列举法或描述法，它们各有优点，一般有限集用列举法，无限集用描述法.1．下面说法错误的是()A．所有著名的作家可以组成一个集合B．方程x2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素C．已知a≠b，“a、b构成的集合”与“b、a构成的集合”是同一集合D．如果x与－x是集合中的两个元素，那么x≠0【解析】“著名的作家”没有统一的标准，不确定，因而不能构成集合．【答案】 A2．下列说法正确的是()A．由1,2,2,4构成集合时，该集合共有4个元素B．由1,2,3和3,2,1分别构成的两个集合不是相等集合C．若x∈Q，则x∈RD．对于任给一个元素a，则无法判断a是否是集合A中的元素【解析】结合集合中元素的互异性可知A不正确；结合集合中元素的确定性知D不正确；结合集合相等的概念可知B不正确；又∵x∈Q，则x是有理数，∴x是实数，即x∈R，故C正确．【答案】 C3．用符号∈或∉填空：(1)－2________N；(2)3.141 59________Q；(3)7________Z.【解析】－2不是自然数；3.141 59是有理数；7是无理数，它不是整数．【答案】(1)∉(2)∈(3)∉4．已知集合A中只有1，x，x2＋3x三个元素，且－2∈A，求实数x的值．【解】∵－2∈A，(1)当x＝－2时，x2＋3x＝－2，不满足集合中元素的互异性．(2)当x2＋3x＝－2时，可解得x＝－1或x＝－2(舍)．综上可知，实数x的值为－1.一、选择题1．下列各组对象能构成集合的有()①美丽的小鸟；②不超过10的非负整数；③立方接近零的正数；④高一年级视力比较好的同学A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合；②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合；④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合．【答案】 A2．小于2的自然数集用列举法可以表示为()A．{0,1,2} B．{1} C．{0,1} D．{1,2}【解析】小于2的自然数为0,1，应选C.【答案】 C3．下列各组集合，表示相等集合的是()①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A．①B．②C．③D．以上都不对【解析】①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.【答案】 B4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4 C．4 D．0【解析】若a＝2，则6－a＝6－2＝4∈A，符合要求；若a＝4，则6－a＝6－4＝2∈A，符合要求；若a ＝6，则6－a ＝6－6＝0∉A ，不符合要求． ∴a ＝2或a ＝4. 【答案】 B5．(2013·曲靖高一检测)已知集合M 中含有3个元素；0，x 2，－x ，则x 满足的条件是( ) A ．x ≠0 B ．x ≠－1C ．x ≠0且x ≠－1D ．x ≠0且x ≠1 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2≠0，x 2≠－x ，－x ≠0，解得x ≠0且x ≠－1.【答案】 C 二、填空题6．用符号“∈”或“∉”填空(1)22________R,22________{x |x ＜7}； (2)3________{x |x ＝n 2＋1，n ∈N ＋}； (3)(1,1)________{y |y ＝x 2}； (1,1)________{(x ，y )|y ＝x 2}．【解析】 (1)22∈R ，而22＝8＞7， ∴22∉{x |x ＜7}． (2)∵n 2＋1＝3， ∴n ＝±2∉N ＋，∴3∉{x |x ＝n 2＋1，n ∈N ＋}．(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y |y ＝x 2}表示二次函数函数值构成的集合，故(1,1)∉{y |y ＝x 2}．集合{(x ，y )|y ＝x 2}表示抛物线y ＝x 2上的点构成的集合(点集)，且满足y ＝x 2， ∴(1,1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}．【答案】 (1)∈ ∉ (2)∉ (3)∉ ∈7．已知集合C ＝{x |63－x∈Z ，x ∈N *}，用列举法表示C ＝________.【解析】 由题意知3－x ＝±1，±2，±3，±6， ∴x ＝0，－3,1,2,4,5,6,9. 又∵x ∈N *， ∴C ＝{1,2,4,5,6,9}． 【答案】 {1,2,4,5,6,9}8．已知集合A ＝{－2,4，x 2－x }，若6∈A ，则x ＝________.【解析】 由于6∈A ，所以x 2－x ＝6，即x 2－x －6＝0，解得x ＝－2或x ＝3. 【答案】 －2或3 三、解答题9．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合； (2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合．【解】 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为{53，－2}；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}． 10．已知集合A 中含有a －2,2a 2＋5a,3三个元素，且－3∈A ，求a 的值． 【解】 由－3∈A ，得a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3. (1)若a －2＝－3，则a ＝－1， 当a ＝－1时，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－1不符合题意．(2)若2a 2＋5a ＝－3，则a ＝－1或－32.当a ＝－32时，a －2＝－72，符合题意；当a ＝－1时，由(1)知，不符合题意． 综上可知，实数a 的值为－32.11．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．【解】 ∵2∈A ，由题意可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－(－1)＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.(教师用书独具)集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .【思路探究】 明确集合A 的含义→对k 加以讨论→求出k 值→写出集合A 【自主解答】 (1)当k ＝0时， 原方程变为－8x ＋16＝0， x ＝2，此时集合A ＝{2}．(2)当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根． 只需Δ＝64－64k ＝0， 即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．1．本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．2．本题因kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．3．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求k 的范围． 【解】 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个实根．∴⎩⎨⎧k ≠0Δ＝64－64k ＞0解得k ＜1且k ≠0.所以k 的范围为{k |k ＜1且k ≠0}．人物介绍为科学而疯的人——康托尔康托尔(Contor ，Georg)(1845～1918)，德国数学家，集合论的创立人，康托尔自幼对数学有浓厚兴趣，23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究．他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础．1874年，康托尔的有关无穷的概念震撼了数学界．康托尔凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新思想模式，建立了处理数学中无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展．他发现了惊人的结果：有理数是可列的，而全体实数是不可列的．由于在研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又很荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．在1874～1876年期间，30岁的康托尔向神秘的无穷宣战．他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1厘米长线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”．后几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂．有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”．来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医病．他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的．真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家，数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”，可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦．§2集合的基本关系(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)理解子集、真子集的概念．(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．2．过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．3．情感、态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用．●重点难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．难点：属于关系与包含关系的区别．本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，其突破方法是让学生多结合实例，类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系．(教师用书独具)●教学建议教材从学生熟悉的实例出发，通过类比引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集、Venn图、真子集、空集等概念．在安排这部分内容时，教材注重体现逻辑思考的方法，如类比等．值得注意的问题：在讲解集合间的关系时，建议重视使用Venn图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用．随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．●教学流程创设情境提出问题，思考：实数有相等关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系⇒概念形成．分析示例：给出集合的包含关系的相关定义，完成例1及变式训练⇒师生合作得出集合相等的概念. 通过实例的共性探究、理解相等概念，完成例2及互动探究⇒巩固深化，发展思维，加深对集合间关系的理解，完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(重点)2.理解子集、真子集的概念．(易混点)3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)子集与Venn图给出下列集合：(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．(2)设集合A为衡水中学高一·三班全体男生组成的集合，集合B为高一·三班全体学生组成的集合．集合A中的元素与集合B有什么关系？【提示】集合A中的每一个元素都属于集合B.1．子集含义一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A则a∈B，我们就说集合包含于集合B或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A)，就说集合A是集合B的子集．图形语言性质任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.2.Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.集合相等给定两个集合A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．1．集合B能否用列举法表示出来？【提示】能．B＝{0,1}．2．集合A中的元素与集合B中的元素，有什么关系？【提示】元素完全一样．对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作A＝B.真子集【问题导思】对于集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．1．集合A是集合B的子集吗？【提示】是．2．集合B是集合A的子集吗？【提示】不是．3．集合A与集合B相等吗？【提示】不相等．1．真子集(1)含义：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A B或B A.(2)当集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A时，记作A⃘B或B⊉A.2．性质(1)空集是任何集合的子集，对于任何一个集合A，都有∅⊆A.(2)对于集合A、B、C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.子集、真子集的概念已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}．(1)试判断集合M、N间的关系．(2)写出集合M的子集、集合N的真子集．【思路探究】把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系写出子集与真子集．【自主解答】M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0,1}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}＝{－1,0,1}．(1)M N.(2)M的子集为：∅，{0}，{1}，{0,1}，N的真子集为：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．1．写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它的子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.若{1,2,3}A ⊆{1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 集合{1,2,3}是集合A 的真子集，同时集合A 又是集合{1,2,3,4,5}的子集，所以集合A 只能取集合{1,2,3,4}，{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}．【答案】 B集合相等若{0，a 2，a ＋b }＝{1，a ，ba}，求a 2 013＋b 2 013的值．【思路探究】 由0∈{1，a ，ba }先求出b ，再根据集合相等求a .【自主解答】 因为{0，a 2，a ＋b }＝{1，a ，ba}，所以0∈{1，a ，ba }．所以b ＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a 2，a }． 所以a 2＝1，a ＝±1.当a ＝1时，不满足互异性，所以a ＝－1. ∴a 2 013＋b 2 013＝－1.1．计算出a ＝±1后，易忽视集合中元素的互异性致误． 2．解决此类问题的步骤：(1)利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数；(2)把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．若本例改为“{0，a ，ba }＝{1，－a 2，a ＋b }”，则a 2 013＋b 2 013的值为多少？【解】 ∵0∈{1，－a 2，a ＋b } ∴－a 2＝0或a ＋b ＝0当－a 2＝0，即a ＝0时，{0，a ，ba}中矛盾．当a ＋b ＝0，即a ＝－b 时，{0，a ，ba }＝{0，a ，－1}，{1，－a 2，a ＋b }＝{1，－a 2,0}，即{0，a ，－1}＝{1，－a 2,0}， ∴a ＝1，b ＝－1. ∴a 2 013＋b 2 013＝0.已知集合间的关系求参数的取值范围设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A .求实数m 的取值范围【思路探究】 由B ⊆A 可得集合B ＝∅或B 中的任何一个元素都在集合A 中，可借助数轴解决．【自主解答】 当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴表示如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是{m |m <－2或0≤m ≤52}．1．当已知一个集合是另一个集合的子集时，首先要考虑这个集合是否为空集．2．已知集合间的关系，求参数范围的步骤：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合间的关系，列出关于参数的不等式(组)；(4)求解．设集合A＝{x|1<x≤2}，B＝{x|x<a}，若A B，则a的取值范围是()A．{a|a≥2}B．{a|a<1}C．{a|a>2} D．{a|a≤1} 【解析】在数轴上表示两个集合A、B，要使A B，则a>2.【答案】 C忽略空集的情况而致误(2013·济南高一检测)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的值．【错解】据题意知A＝{1,3}，B＝{3m}，∵B⊆A，∴3m＝1或3m＝3.即m＝3或m＝1.【错因分析】忽略B＝∅时的情况，直接认为m≠0.【防范措施】解答集合中有包含关系的题目时，一定要警惕“∅”这一陷阱，往往造成不必要的失分．【正解】据题意知集合A＝{1,3}，当B＝∅，即m＝0时，满足B⊆A.当B≠∅，即m≠0时，B＝{x|mx－3＝0}＝{3m}．∵B⊆A，∴3m＝1或3m＝3，即m＝3或m＝1.综上所述，所求m的集合为{0,1,3}．1．集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)，真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B，B⊆A是不同的．2．不能把“A⊆B”、“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.3．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A⊆B”或“A B且B≠∅”时，一定要讨论A＝∅和A≠∅两种情况，A＝∅的情形易被忽视，应引起足够的重视．1．下列表述正确的有()①空集没有子集；②任何集合都有至少两个子集；③空集是任何集合的真子集； ④若∅A ，则A ≠∅.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 ∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．所以②错；空集是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.【答案】 B2．(2013·聊城高一检测)若M ＝{x |x ＞－1}，N ＝{x |x ＞0}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ＝N D ．M ∈N 【解析】 结合数轴可知N ⊆M . 【答案】 B3．已知集合A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 【解析】 ∵B ⊆A ， ∴元素3,4必为A 中元素， ∴m ＝4. 【答案】 44．已知集合A ＝{x |a <x <a ＋1}，B ＝{x |2<x <9}．若A ⊆B ，求实数a 的取值集合． 【解】 ∵B ＝{x |2<x <9}，A ＝{x |a <x <a ＋1}，A ⊆B ，如图所示，∴⎩⎨⎧a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8， ∴实数a 的取值集合为{a |2≤a ≤8}.(见学生用书第81页)一、选择题1．下列五个关系式：①0⊆{0}；②0∈{0}；③∅＝{0}；④∅∈{0}；⑤∅{0}，其中正确的是()A．①③B．①⑤C．②④D．②⑤【解析】本题考查元素与集合、空集与非空集合的关系，其中0∈{0}，∅{0}．【答案】 D2．已知M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}，其中能表示集合M、N关系的Venn图是()【解析】由于N＝{0，－1}，显然，N M.【答案】 B3．(2013·深圳检测)满足M{1,2,3}的集合M的个数是()A．8 B．7 C．6 D．5【解析】∵M{1,2,3}，∴M可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共7个．【答案】 B4．(2013·桂林检测)设A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且A⊆B，则实数a的取值范围为() A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1【解析】如图，结合数轴可知a≤1时，有A⊆B.【答案】 B5．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B A，则满足条件的实数x的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4【解析】因为B A，则x2＝3或x2＝x.当x2＝3时，x＝±3，此时，A＝{1,3，±3}，B＝{3,1}，符合题意．当x2＝x时，x＝0或x＝1(舍去)，此时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，符合题意，故x＝0，±3. 【答案】 C二、填空题6．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．【解析】∵∅{x|x2＋x＋a＝0}，∴方程x2＋x＋a＝0有实根，。