三角形中几种添加辅助线的方法技巧

三角形中几种添加辅助线的方法技巧

分宜中学游小敏

摘要：人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

关键词：三角形辅助线解题方法

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

技巧一：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

例：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

求证：BE+CF＞EF

解：延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．

（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），

∴CF=BG=DF=DG，

∵DE⊥DF，

∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

技巧二：含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

例：已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF。

求证：DE=EF

证明：连结CM 、BN

∵△ABM 、△ACN 为等边三角形

∴AM=AB ，AC=AN ，∠MAB=∠CAN=60°

∴∠MAB+∠BAC=∠CAN+∠BAC

即∠MAC=∠BAN

在△MAC 与△BAN 中

MA=BA （已证）

∠MAC=∠BAN （已证）

AC=AN （已证）

∴△MAC ≌△BAN （SAS ）

∴CM=BN （全等三角形对应边相等）

又∵D 、E 、F 为中点

∴DE=1/2CM ，EF=1/2BN

∴DE=FE

技巧三：含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 例：如图2.已知∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠1＝∠2，CE ⊥BD ，求证：BD ＝2CE

证明：延长CE 、BA ，相交于点F 。（∠1和∠2分别是∠ABD 和∠CBD ） 在△BCE 和△BFE 中，

∠BEC = 90°= ∠BEF ，BE 为公共边，∠CBE = ∠FBE ，

所以，△BCE ≌ △BFE ，

可得：CE = EF ，即有：CF = 2CE ；

在△CAF 和△BAD 中，

A

B C D

E F N M

∠ACF = 90°-∠AFC = ∠ABD ，AC = AB ，∠CAF = 90°= ∠BAD ，

所以，△CAF ≌△BAD ，

可得：CF = BD ，则有：BD = 2CE 。

技巧四：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形。

例：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。证明：EC＝ED

证明：延长CD到F，使DF=BC，连结EF

∵AE=BD

∴AE=CF

∵△ABC为正三角形

∴BE=BF ∠B=60°

∴△EBF为等边三角形

∴∠F=60°EF=EB

在△EBC和△EFD中

EB=EF（已证）

∠B=∠F（已证）

BC=DF（已作）

∴△EBC≌△EFD （SAS）

∴EC=ED （全等三角形对应边相等）

技巧五：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

例：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求证：AB+BD=AC。

证明：在AC上截取AE=AB，连接DE。

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

在△ABD和△AED中：AB=AE∠1=∠2

AD=AD∴△ABD≌△AED（SAS）

∴BD=DE，∠B=∠3

又∵∠B=2∠C

∴∠3=2∠C

∵∠3=∠4+∠C

∴2∠C=∠4+∠C

∴∠C=∠4

∴DE=CE

∴BD=CE

∵AE+EC=AC

∴AB+BD=AC

一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。

很多人都说几何很难，特别是不知道应该怎样添加辅助线。那么我们首先一定要把握定理和概念，其次要刻苦钻研，多动脑筋，经常总结方法经验，最后才能找出规律。添加辅助线时千万不能盲目乱添线，方法应该灵活多变，先分析图形，找到切入点，再选择相应方法，从而减少做题时的困难。保持虚心勤学的态度，刻苦训练，成绩才能稳步上升。

参考文献：

《义务教育课程标准实验教材教科书数学教师教学用书》七年级下册课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著

《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著

《常用辅助线做法》作者：邵欢2011—12—28

《全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总》百度文库初中教育