定积分习题课
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定积分的习题集 课件
a
b
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) |b a
3、定积分的几何意义 ——面积的代数和。
4、定积分的性质
线性、 关于积分区间的可加性、 保号性、 估值不等式、 积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分的联系
（1）变上限积分的导数公式；
d x a f ( t )dt f ( x ), dx
2 x 0 f ( t )dt 1
x 0
x
在 [0, 1] 上恰有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
1 1
F ( x) C[0, 1] , 且F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
二、典型例题
例1
求
2 0
1 sin 2 xdx.
解 原式 2 sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x dx
0
2 sin x cos x dx
0 4 (cos 0
x sin x )dx (sin x cos x )dx
例11 求f ( x ) t | t x | dt的表达式。
0
1
解
x 1 x 1时， f ( x ) t ( x t )dt , 0 2 3 1 1 x x 0时， f ( x ) t ( t x )dt , 0 3 2
1
0 x 1时， f ( x ) t ( x t )dt t ( t x )dt
（1）线性；恒等变形； 换元； 分部积分； 一些特殊类型函数的积分。 （2）与不定积分法的差别 积分限的确定，换元要换积分限，原函数 求出后不需回代。 （3）利用对称性、周期性及几何意义。 （4） 开偶次方时，要带绝对值。
高等数学 第五章 定积分 习题课
x
x
∴ ∵
∴
Q( x ) ≡ c , Q ( 0) = 0 ,
Q( x ) ≡ 0 . 证毕 .
d x f (t)(x −t)dt 0 d x∫ = f (x) (x − x) =0?
13
例 6 . 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且 f ( x ) > 0 ,
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + ∫
(1) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 ∫ f ( x ) dx = 0 ,
a
b
则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 0 .
( 2) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 f ( x ) ≡ 0 , /
则 ∫ f ( x ) dx > 0 .
由于 f ( x ) 连续 ,
2h
h
对于 ε = h , ∃δ > 0 , 当 x − c < δ 时 ,
f ( x ) − f (c ) < ε
b
c −δ
a
b
(
c
)
f (c ) − ε < f ( x ) < f (c ) + ε 成立 ,
即 h < f ( x ) < 3h .
∫a f ( x ) dx = ∫a
∫a f = ∫a f + ∫c f ∫a
b b c b b b
b
5 . 在[a , b]上
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0
⇒ ⇒
f ( x ) ≥ g( x ) ⇒
∫a f ≥ 0 b ∫a f ≤ 0 b b ∫a f ≥ ∫a g
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
D2定积分习题课
8．判断反常积分的敛散性，若收敛，则求其值： 解:
e
e
dx x 1 (ln x )2 lim 0 1
e
1
dx x 1 (ln x )
e
2
dx x 1 (ln x )2
e
1
lim
0
dlnx 1 (ln x )2
1
lim arcsin ln x 1
e
2 x
1 ln 2 2 x dx 0 e d( 2x ) 2
1 2 x ln 2 [e ] 2 0
3 8
例2.
解:
0
cos x dx 2 cos x dx + cos x dx
0
2
2 cos xdx cos xdx
0
2
例2. 求
(1998考研)
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式
sin k 1 n
n
kπ n 1 k
kπ 1 sin n n k 1
n
n n kπ 1 sin n 1 k 1 n n
n kπ 1 2 1 已知 lim sin sinπ x d x , lim n n n 0 π n n 1 k 1
习题课 定积分及其相关问题
第五章
一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法
一、与定积分概念有关的问题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 1 xn ex dx . 例1. 求 lim x n 0 1 e n x x e n 0 x , 所以 解: 因为 时, x 1 e 1 n 1 xn ex 1 x d x d x 0 0 01 e x n 1 1 xn ex dx 0 利用两边夹法则得 lim 0 x n 1 e
习题课_定积分的应用(解答)
2 f ( x) （2）又设 f ( x ) 在 (0,1) 中可导，且 f '( x) ，证明(1) x
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
高等数学-第七版--6-3定积分应用习题课
求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.
分析
积分变量: t 积分区间: [0, ]
y
d
F
G
(x2 x2
y
2
)
3 2
y2
d
s
G( x 2
2
y
2
)
1 2
d
s
B
d Fx
d
F
cos
G(
x2
y
2
)
1 2
x
x2
G x d s 3Ga2 cos4 t sin td t
y2
ds
d s (x,
o
y)
Ax
d Fy d F sin G y d s 3Ga2 cos t sin4 td t
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
例5 求由曲线x=acos3t,y=asin3t的所围成的图形的面积
例6 求曲线
与
所围成图形的公共部分的面积 . r2 a(cos sin )
o
r1 a cos
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
定积分习题课
定理1. 设 f (u) 有原函数, u (x)可导, 则有换元
公式
f (u)du u (x)
即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
4x)
dx
3 2
dx
cos 2x d(2x)
1 8
cos
4
x
d(4x)
例 9 cos x cos 2xdx
原式=
1 2
(cos
x
cos
3x)dx
1 sin x 1 sin 3x C
2
6
例10 tan3 x sec2 xdx
原式= tan2 xsec x(tan xsec x)dx (sec2 x 1)sec xd(sec x)
例8. 求
含sin 2k xcos2l x 二倍角公式
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2
x
cos
2
2
x)
1 4
(1
2
cos
2x
1cos 2
4x
)
1 4
(23
2
cos
2x
1 2
cos
4x)
cos4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
F(b) F(a),
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 .
公式
f (u)du u (x)
即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
4x)
dx
3 2
dx
cos 2x d(2x)
1 8
cos
4
x
d(4x)
例 9 cos x cos 2xdx
原式=
1 2
(cos
x
cos
3x)dx
1 sin x 1 sin 3x C
2
6
例10 tan3 x sec2 xdx
原式= tan2 xsec x(tan xsec x)dx (sec2 x 1)sec xd(sec x)
例8. 求
含sin 2k xcos2l x 二倍角公式
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2
x
cos
2
2
x)
1 4
(1
2
cos
2x
1cos 2
4x
)
1 4
(23
2
cos
2x
1 2
cos
4x)
cos4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
F(b) F(a),
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 .
高等数学第五章习题课1定积分
第 五 章 定 级 分
解
原式 lim
2e
x2
0 e
2 x2
x t2
dt
x
e
0
lim
2 e dt e
x2
x t2
x
lim
2e
x2
2
x 2 xe x
1 lim 0 x x
- 17 -
习题课（一）
3 解
第 五 章 定 级 分
tf ( x t )dt lim 0 ,
1 i 1 2 lim sin sinxdx n 0 n n i 1
n
-2-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
i 1 n i 1 lim sin lim sin n n n n 1 n n n i 1 i 1 1 2 sinxdx 0 2 原式 1 n1 n 2 n nn 3 lim n n n n
1 2 F ( x )dx 0
存在一点 , 使得 F ( ) 0, 即 f ( ) f ( )
-9-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
设在 [0,1] 上 f ( x ) 0, 证明： 1 1 2 0 f ( x )dx f ( 3 ) 证 由于 y f ( x ) 在区间 [0,1] 是上凸的， 所以曲线 1 1 y f ( x ) 在过 ( , f ( )) 处的切线下方，即 3 3 1 1 1 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3 1 1 2 1 2 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3
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原式 = ∫ sin x − cos x dx
= ∫ (cos x − sin x )dx + ∫ (sin x − cos x )dx = 2 2 − 2.
π 4 0 π 2 π 4
2011-4-30
例2 求 ∫
π 2 0
sin x dx. sin x + cos x
π 2 0
解 由I = ∫
π sin x cos x dx, 设 J = ∫ 2 dx, 0 sin x + cos x sin x + cos x
4 5 及 π ≤ θ ≤ π. 3 3
由对称性
π 1 2 A = 6∫ r d θ = 3 a 2 ∫ 06 sin 2 3 θ d θ 2 π π 6 1 3 2 1 π 2 2 6 (1 − cos 6θ )dθ = a [θ − sin 6θ] = a = 3a ∫0 2 2 6 4 0
2011-4-30
tan(sinx) ⋅ cosx sin(tanx) ⋅ sec2 x
1 2
x→0+0
原式 = lim
tan(sin x ) = lim sin(tan x ) x →0 + 0
2011-4-30
=1
sin x = lim x →0+0 tan x
1 2
第五章 定积分习题课 主要内容 典型例题
2011-4-30
一、主要内容
问题1: 问题1:
曲边梯形的面积
问题2: 问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
的 性 质 定 积 分
定积分
反常积分
计 算 法 定 积 分 的
2011-4-30
二、典型例题
例1 解
求∫
π 2 0
1 − sin 2xdx.
π 2 0
旋转体的体积
V = ∫ π a − x −a
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2 3
dx = 32 πa 3 . 105
例12 求曲线的弧长
解 因为
2011-4-30
13
一底为8厘米，高为 厘米的等腰三角形片 厘米的等腰三角形片， 一底为 厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉 厘米 入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面 厘 入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘 米，求每面所受的压力。 求每面所受的压力。
0
y
(3, 0)
x
x + dx
9
2011-4-30
(9, 4)
x
确定积分变量和积分区间： 解: (1) 确定积分变量和积分区间：建立如图所示的 2 坐标系， 坐标系，则直线 AB的方程为 y = ( x − 3),取 x 为积分 3 变量， 变量，则 x ∈ [3, 9].
∀ (2) 求微元： x ∈ [3, 9] [ x , x + dx ] ∈ [3, 9], 求微元： 且 窄条
2011-4-30
4 P = ∫ ρgx ( x − 3)dx = 1.65( N ) 3 3
9
例14 解 作x轴如图.
2011-4-30
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2011-4-30
[ x , x + dx ]上所受的压强为 p = ρ gx ,窄条 [ x , x + dx ] 的
近似代替, 面积 ∆A用对应矩形的面积 dA近似代替, 得到 2 4 dA = 2 ⋅ ( x − 3)dx = ( x − 3)dx , 3 3 4 所以的水压力元素为 dP = pA = ρgx ( x − 3)dx 3 (3) 求定积分：每面所受的压力为 求定积分：
2
+2 x
dx
令 ( x − 1)2 = u
e 0 −u 1 − ∫ ue du = − (e − 2). 6 1 6
2011-4-30
例8 设 f ( x) 在[0, π] 上连续, 证明:
xf (sin x) π π f (sin x) ∫0 1+ cos2 x dx = 2 ∫0 1+ cos2 x dx.
则I + J = ∫
π 2 0
π dx = , 2
π
I −J = ∫
π 2 0
sin x − cos x d(cos x + sin x) 2 dx = −∫ = 0. 0 sin x + cos x sin x + cos x
π 故得 2 I = , 2
2011-4-30
π 即I = . 4
例3 解
y = x3 − 6x
⇒ (0,0), ( −2,4), ( 3,9).
y = x2
− 选 x 为积分变量 x ∈ [−2, 3]
(1) x ∈ [−2, 0], dA1 = ( x 3 − 6 x − x 2 )dx ( 2) x ∈ [0,3], dA2 = ( x 2 − x 3 + 6 x )dx
求∫
令e
ln 2
0
1 − e−2 x dx.
x 0 π t 2
−x
= sin t ,
cos t dt . 则 x = − ln sin t , dx = − sin t
原式 = ∫
π 6 π 2
ln 2 π 6
cos t cos t ( − )dt = ∫ sin t
π
π 2 π 6
cos 2 t dt sin t
π
证
令 x = π − t,
0
dx = − dt ,
( π − t ) f (sin t ) ( − dt ) 左边 = ∫ 2 π 1 + cos t =∫
π 0
( π − x ) f (sin x ) dx 2 1 + cos x
2011-4-30
π xf (sin x ) f (sin x ) dx − ∫ dx = π∫ 2 2 0 1 + cos x 0 1 + cos x π f (sin x ) xf (sin x ) dx = π ∫ dx 即 2∫ 2 2 0 1 + cos x 0 1 + cos x π π
例6 求极限
解
2011-4-30
例7 设 f ( x) = ∫ e
0
x
− y2 +2 y
dy,求 ∫ ( x − 1)2 f ( x)dx.
0
− y2 +2 y
1
解
原式 = ∫ ( x − 1) [ ∫ e
2 0 0
2
1
x
dy ]dx
2
x 11 1 3 1 − y +2 y dy ]0 − ∫ ( x − 1)3 e − x = [ ( x − 1) ∫ e 0 0 3 3 1 1 = − ∫ ( x − 1)2 e −( x −1) +1d [( x − 1)2 ] 6 0
=∫
π 2 π 6
dt 3 2sin tdt − ∫π . = ln( 2 + 3 ) − sin t 6 2
2011-4-30
例4
解： 令 则
2011-4-30
所以
2011-4-30
例5. 解：
∫ lim ∫
x→ +0 0
sinx
0 tan x 0
tan t dt sin t dt
0 ( 型不定型 ) 0
π
∴
∫0
xf (sin x ) π π f (sin x ) dx = ∫ dx . 2 2 2 0 1 + cos x 1 + cos x
2011-4-30
例 9
计算由曲线 y = x 3 − 6 x 和 y = x 2 所围成
的图形的面积. 的图形的面积 3 两曲线的交点 y = x − 6 x
π 6 0
例 11 求星形线 x + y = a ( a > 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积. 构成旋转体的体积
y
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 3
Qy =a −x ,
∴ y = a − x
2 2 3
a 2 3
2 3
3
x ∈ [− a , a ]
3
−a
o
a x
于是所求面积 A = A1 + A2
253 A = ∫− 2 ( x − 6 x − x )dx + ∫0 ( x − x + 6 x )dx = . 2011-4-30 12
0 3 2 3 2 3
例10求r = a sin3θ所围的面积。 求 θ所围的面积。 这是三叶玫瑰线， 解 这是三叶玫瑰线，由 sin3 θ ≥0，有 ， π 2 0≤θ≤ , π≤θ≤π 3 3