正弦定理
正弦定理
正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bc*cosAsin(A+B)=sinCsin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB+sinBcosAsin2A=2sinAcosAcos2A=2(cosA)^2-1=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2](sinA)^2+(cosA)^2=1解三角形大概常用的就这些概率似乎没有什么现成的公式可以套立体几何求点面距离常用等积法,构建一个四面体,用另外一对底面和高算出体积再除以所求点面距作为高对应的底面的面积计算二面角常用三垂线定理,或者就是直接构造,原则是要方便计算,不要构造出来的角每条边都要算半天就得不偿失了圆锥曲线似乎没有现成的公式,但有一些常用方法,比如设点消点,或者椭圆的时候还可以用参数方程计算数列就更简单了,一般就是求通项然后证明不等式,不等式就没办法了,我也不能保证每次都证出来,通项常用的方法就是改变下标,比如Sn-S(n-1)=an直接求不出可以尝试着求倒数的通项,很可能很好求数学高考基础知识、常见结论详解二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。
函数的图象与直线交点的个数为个。
二、函数的三要素：，，。
相同函数的判断方法：①；②(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：①，则；②则；③，则；④如：，则；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数的定义域是，求的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则；定义域为。
三角形的正弦定理
三角形的正弦定理三角形的正弦定理是数学中用来描述三角形内角和边长之间的关系的一条重要的定理。
它可以帮助我们解决许多与三角形有关的问题。
本文将详细介绍三角形的正弦定理及其应用。
正文：三角形的正弦定理又称作正弦定理或正弦规律，它是解决三角形中角和边关系的一个重要工具。
根据三角形的正弦定理，三角形的三条边和其对应的角的正弦值之间存在着一个特定的关系。
具体来说，设三角形的三条边长度分别为a、b、c，而三个对应的角的正弦值分别为sin A、sin B、sin C，则正弦定理可以表达为以下等式：a/sin A = b/sin B = c/sin C在这个等式中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示该三角形的三个对应角的大小，sin A、sin B、sin C表示这三个角的正弦值。
三角形的正弦定理可以用来解决许多与三角形有关的问题。
常见的问题包括已知三角形的一个角和两边的长度，求第三边的长度；已知三角形的两个角和一个边的长度，求其他两边的长度；已知三角形的三边长度，求其中一个角的大小等等。
下面举一个例子来说明三角形的正弦定理的应用。
假设我们已知一个三角形的两边的长度分别为3cm和4cm，夹角为60度。
现在我们想求解第三边的长度。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：3/sin 60 = 4/sin C我们可以通过这个等式来求解sin C的值，进而求得角C的大小。
最后，再利用三角函数的逆函数来计算角C对应的正弦值。
最后，我们根据正弦定理的另一条等式，可以计算出第三边的长度。
三角形的正弦定理不仅可以使用角度制进行计算，也可以使用弧度制。
如果以弧度制表示角的大小，则我们将正弦定理的等式改变为以下形式：a/sin A = b/sin B = c/sin C在计算中，我们可以根据具体问题的需要，选择适合的角度制或弧度制进行计算。
总结起来，三角形的正弦定理是解决三角形内角和边长之间关系的一个重要定理。
通过应用正弦定理，我们可以解决许多与三角形有关的问题，如求解三角形的边长和角度等。
正弦定理
⑵若A为直角或钝角时:
1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
即
方法技巧
命题类型：
（1）正弦、余弦定理的应用
（2）三角形形状的判定：判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
解三角形常见题型及求解方法
(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.
(2)已知两边b，由正弦定理，求出角B，C.
(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况.
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即 = = =2R（R为△ABC外接圆半径）
正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 （见图示）已知a, b和A,用正弦定理求B时的各种情况:
正弦定理的概念与余弦定理的概念
正弦定理的概念与余弦定理的概念正弦定理和余弦定理是在三角形中用于计算边长和角度的重要定理。
1. 正弦定理（Sine Rule）：正弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。
对于一个三角形ABC，正弦定理可以表述为：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应边的角度。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：余弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。
对于一个三角形ABC，余弦定理可以表述为：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应边的角度。
正弦定理和余弦定理都可以在解决三角形问题时使用，它们提供了计算边长和角度的方法，可以帮助我们求解各种三角形相关的问题。
正弦定理余弦定理
03
正弦定理与余弦定理的关 联
正弦定理与余弦定理的相似之处
01
两者都是关于三角形边角关系的定理，是三角学中 的基本定理之一。
02
它们都可以用来解决与三角形相关的问题，如求角 度、边长等。
03
正弦定理和余弦定理在形式上具有一定的对称性， 反映了三角形的内在规律。
正弦定理与余弦定理的不同之处
01
02
03
正弦定理主要应用于求解三角形 的角度，特别是当已知两边及其 夹角时；而余弦定理则更常用于 求解三角形的边长，特别是当已 知两角及一边时。
正弦定理中的角度是通过正弦函 数来表达的，而余弦定理中的角 度则是通过余弦函数来表达的。
正弦定理和余弦定理在应用上有 一定的互补性，可以根据具体问 题选择使用。
总结词
余弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理是三角学的基本定理之一，它指出在任意三角形ABC中，任意一边的平方等于其他两边的平 方和减去两倍的另一边的长度与相邻两边的乘积。数学公式表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A) 。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正 弦函数，这使得正弦定理在电力 系统中有着广泛的应用。
声学
声音的传播和反射可以用正弦和 余弦函数来描述，这使得余弦定 理在声学中有重要应用。
三角函数在工程中的应用
1 2
结构设计
在建筑和机械设计中，正弦和余弦定理常被用来 计算角度、长度等参数，以确保结构的稳定性和 安全性。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题中具有广泛 的应用，包括求解角度、判断三角形的 形状以及解决实际问题等。
正弦定理的所有公式
正弦定理的所有公式正弦定理是三角形中的重要定理之一，它描述了三角形中各边和角之间的关系。
这个定理可以用于求解任意三角形的边长和角度。
下面将介绍正弦定理的几个公式及其应用。
一、正弦定理的基本形式正弦定理的基本形式是：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示对应的三个角的大小。
这个公式表明，在任意三角形中，三条边的长度与对应的角的正弦值之间存在一定的比例关系。
二、利用正弦定理求解三角形的边长1. 已知两边和夹角当已知三角形的两条边a和b及它们之间的夹角C时，可以利用正弦定理求解第三条边c的长度。
根据正弦定理的基本形式，可得：c/sinC = a/sinA由此可得：c = (a*sinC) / sinA同理，还可以通过已知两边和夹角A或B来求解第三条边的长度。
2. 已知一边和两个夹角当已知三角形的一条边c及其对应的两个夹角A和B时，可以利用正弦定理求解另外两条边a和b的长度。
根据正弦定理的基本形式，可得：a/sinA = c/sinC由此可得：a = (c*sinA) / sinC同理，还可以通过已知一边和两个夹角A或B来求解另外两条边的长度。
三、利用正弦定理求解三角形的角度除了可以用正弦定理求解三角形的边长外，还可以利用正弦定理求解三角形的角度。
1. 已知三边当已知三角形的三条边a、b、c的长度时，可以利用正弦定理求解三个角A、B、C的大小。
根据正弦定理的基本形式，可得：sinA = (a*sinC) / c通过这个公式可以求解出角A的正弦值，然后可以通过反正弦函数求解出角A的大小。
同理，可以求解出角B和角C的大小。
2. 已知两边和夹角当已知三角形的两条边a和b及它们之间的夹角C时，可以利用正弦定理求解角A和角B的大小。
根据正弦定理的基本形式，可得：sinA = (a*sinC) / csinB = (b*sinC) / c通过这两个公式可以求解出角A和角B的正弦值，然后可以通过反正弦函数求解出角A和角B的大小。
三角形的正弦定理
三角形的正弦定理三角形的正弦定理是在解决三角形相关问题时非常重要的定理之一。
该定理是通过三角形的边长和角度之间的关系来描述三角形形状的定理。
定理表述：在任意三角形ABC中，三条边的长度分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
则有以下等式成立：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)证明：三角形的正弦定理可以通过以下步骤来证明。
假设三角形的面积为S，三角形任意一边对应的高为h。
根据面积公式，有S = 1/2 * a * h，而对应的角A的高为h = b * sin(A)，则可以得出S = 1/2 * a * b * sin(A)。
同理，可以得到S = 1/2 * b * c * sin(B)和 S = 1/2 * c * a * sin(C)。
将这三个式子等式相等，可以得到以下结果：1/2 * a * b * sin(A) = 1/2 * b * c * sin(B) = 1/2 * c * a * sin(C)整理上述等式，可以得到以下结果：a *b * sin(A) = b *c * sin(B) = c * a * sin(C)通过将上式两侧除以abc，可以得到三角形的正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)应用：三角形的正弦定理在解决与三角形相关的问题时非常有用。
通过已知三边的长度或者已知两边长度及其对立角的情况下，可以利用正弦定理计算缺失的边长或角度。
例如，已知一个三角形的两边长度分别为5 cm和8 cm，并且这两边之间的夹角为60度，我们可以利用正弦定理来计算第三条边的长度。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：5/sin(60) = c/sin(C)通过这个等式，我们可以得到c ≈ 8.66 c m，也就是说第三条边的长度约为8.66 cm。
除了计算边长，正弦定理还可以在解决其他与三角形有关的问题时使用。
例如，通过已知三边的长度，可以计算出三角形的面积；通过已知两边长度及其对立角，可以计算三角形的高等等。
正弦定理公式
正弦定理公式
正弦定理是几何学中一条重要的定理，用于解决三角形的边长和角度之间的关系。
它可以表示为：
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
其中，a，b，c分别是三角形的边长，A，B，C分别是相应的角度。
这个公式的意义在于，它能够通过已知的边长或角度来求解其他未知的边长或角度。
通过正弦定理，我们可以发现三角形的边长和角度之间的关系是不变的，不受三角形的大小和形状的影响。
使用正弦定理时，我们通常需要至少知道三个量：其中一个边长和与它相对的两个角度，或者一个边长和一个角度及其相对的边长。
根据已知的信息，我们可以利用正弦定理来计算其他未知的边长或角度。
需要注意的是，当使用正弦定理时，我们要保证所使用的角度单位一致，一般为弧度或角度。
另外，当计算角度时，我们可能会得到多个解，因此要根据实际情况选择合适的解。
总之，正弦定理是解决三角形问题的重要工具，通过它可以求解三角形的边长和角度，帮助我们更好地理解和分析三角形的性质和关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正弦定理(第一课时)教学设计一、教学内容分析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章1.1.1正弦定理。
本章“解三角形”内容既是必修4中三角函数与向量内容的延续，又包含求解三角形的重要数量关系，蕴含较强的理论性和应用性。
解三角形作为几何度量问题，突出了几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。
本节课作为本单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对一般三角形边角关系的量化探究，发现并初步掌握正弦定理，解决简单的两类解三角形问题，并为后续余弦定理等相关内容作知识和方法上的准备。
教学过程中，可发挥学生的主动性，通过试验猜测、探究发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思维能力和推理水平。
二、学生学情分析对刚刚升入高中不久的学生来说，虽已具备一定的平面几何、解直角三角形、三角函数及向量等知识，也具有一定观察、分析、解决问题的能力，但对知识间的联系与综合有一定难度，思维灵活性受到制约；尤其是本课中涉及到推理证明的复杂性、多样性和从特殊到一般的思维方式等，对学生学习会形成较大障碍。
因此，教学中教师应适时引导，降低各环节之间的联系难度，多带动前后知识间的联想，引领学生直接参与分析问题、解决问题并体验获得成果的喜悦。
若能注意与生活实际相结合，注重知识的发生、发展过程，就更能激发学生学习兴趣和参与探索的积极性。
三、教学任务分析1、通过对特殊三角形边角数量关系的试验结论归纳，猜测出正弦定理；2、尝试从各种途径证明正弦定理；3、初步应用正弦定理求解三角形（两种基本情形）；4、自行归纳表述本课收获；四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。
学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。
五、教学目标分析1、知识与技能：通过对一般三角形边角数量关系的探索，初步掌握正弦定理的内容，理解其证明方法；学会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从等边三角形、直角三角形中的边角关系出发，采取从特殊到一般以及合情推理的方法猜测并尝试证明正弦定理；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想方法；让学生在应用定理解三角形的过程中更全面深入地关注定理特征、理解定理本质。
3、情感、态度与价值观：通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
六、教学重、难点分析1.教学重点：猜测并证明正弦定理，应用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
2.教学难点：正弦定理的发现并证明过程以及解三角形时解的个数的判断。
七、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，以问题为导向，以学生自主探究与合作交流为前提，以“正弦定理的发现和证明”为目标，为学生提供试验、猜测、表达、尝试、交流、讨论问题等机会，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、解决问题的能力。
本节课可分为四个环节：第一环节是设疑、试验、猜测、归纳过程；第二环节由猜想入手，比照直角三角形中边角关系的验证想法，通过可能出现的“作高法”、“等（面）积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理；第三环节利用正弦定理解斜三角形的两类基本问题；第四环节由学生自行总结课堂收获，充分享受数学探究带来的快乐！八、教学过程设计Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.asin A＝bsin B＝csin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课对于asin A＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R∴csin C＝2R同理可得asin A＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A ∴a sin A ＝c sin C另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A ∴a sin A ＝c sin C另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。
(1)A 为锐角(2)A 为直角或钝角接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例1］在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求b (保留两个有效数字). 分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，直接应用正弦定理可求出边a ，若求边b ，则需通过三角形内角和为180°，求出角B ，再利用正弦定理求出边b .解：∵B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°， b sin B ＝c sin C ， ∴b ＝c ·sin B sin C ＝10·sin1050sin300≈19 评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号.［例2］在△ABC 中，已知a ＝20，b ＝28，A ＝40°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：此例题属于b sin A ＜a ＜b 的情形，故有两解.这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.解：∵sin B ＝b ·sin A a ＝28·sin40020＝0.8999， ∴B 1＝64°，B 2＝116°当B 1＝64°时，C 1＝180°－(B 1＋A )＝180°－(64°＋40°)＝76°，∴c 1＝a ·sin C 1sin A ＝20·sin760sin400≈30. 当B 2＝116°时，C 2＝180°－(B 2＋A )＝180°－(116°＋40°)＝24°，∴c 2＝a ·sin C 2sin A ＝20·sin240sin400≈13. 评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.［例3］在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：此例题属于a ≥b 这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知b ＜a ，所以B ＜A ，因此B 也是锐角.∵sin B ＝b ·sin A a ＝50·sin38060＝0.5131， ∴B ＝31°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(38°＋31°)＝111°∴c ＝a ·sin C sin A ＝60·sin1110sin380≈91. 评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3，如果没有考虑到角B 所受限制而求出角B 的两个解，进而求出边c 两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字).(1)已知c ＝ 3 ，A ＝45°，B ＝60°，求b ；(2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a .解：(1)∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋60°)＝75°b sin B ＝c sin C∴b ＝c ·sin B sin C ＝ 3 ·sin600sin750≈1.6 (2)∵a sin A ＝b sin B∴a ＝b ·sin A sin B ＝12·sin300sin1200≈6.9 评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心.九、课时小结通过本节学习，我们一起研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量的工具性作用，并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.十、教学评价：本设计通过引导学生发现直角三角形中的正弦定理，进而探究在任意三角形中是否还成立？将学生带入探索新知的氛围，学生从已有的知识经验出发，探索得出新结论，体验了成功的乐趣，对如何运用定理解决问题也是跃跃欲试，在课堂小结教学中，给学生一个畅所欲言的机会，互相评价，最终得到完善的答案．这样做，可以锻炼学生的语言表达能力，这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用． 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教师的启发引导下，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供表达、质疑、探究问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力 十一、课后作业课本习题P 11 1，2，3，4.。