正弦定理练习题(经典)
完整版正弦定理练习含答案
n•••么=3.故ZB= 30 或 150 °课时作业 1正弦定理时间：45分钟 满分:100分课堂训练1. （2013湖南理，3）在锐角△ ABC 中，角 为a, b.若2asinB = V 3b,则角A 等于（ ）A, B 所对的边长分别 A.12 L n B.6 c nC.4r nD .3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由 asinA —sinB ，得 SinA= 2， a—Z 3,b — 1,则c 等于（ ) A. 1 B. 2C.V 3-1D.V 3【答案】 B【解析】由正弦定理silb"si nB ，1 . 12.在△ ABC 中，角 A 、B 、 2n =3：.n sinB sin3C 的对边分别为 a 、b 、c,已知/ A由 a>b，得ZA> ZB./.zB= 30 ° 故ZC = 90 °由勾股定理得c= 2,故选B.1 53.在△ ABC 中，若 tanA=3, C^gn, BC= 1,贝J AB =【答案】•••tanA= 3,且 A 为/△ABC 的内角，「.sinA=¥10由【解析】正弦.5定理得AB—BCsinC-仆二6［血疋理得AB— sinA —血—2 .104.在△ ABC 中，若Z B= 30° AB= 2&, AC = 2,求^ ABC 的周长.【分析】本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边 BC,但BC的对角Z A未知，只知道Z B,可结合条件由正弦定理先求出Z C,再由三角形内角和定理求出Z A.【解析】由正弦定理，得sinC = A B S CB=¥3.••AB>AC,.・.ZC>/B,又TO <ZC<180 ； AzC= 60 或120°(1)如图(1)，当ZC = 60°时，ZA= 90° BC = 4,^ABC 的周长为 6(2)如图⑵，当ZC= 120°时，/A= 30°, ZA=ZB, BC = AC= 2, △ABC 的周长为4+ 2^3.综上，AABC 的周长为6+厶/3或4 + 2/3.【规律方法】 已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正 弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分 别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角.课后作业、选择题（每小题5分，共40分）1.在△ ABC 中，sinA= si 门（3,贝卩厶 ABC 是（ ）2.已知△ ABC 的三个内角之比为 A:B:C= 1:2:3,那么a b c=B. 1:2：V 3D. 1：V 3 :2A .直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D .钝角三角形【答案】【解析】 ••SinA= sinC,「.由正弦定理得a= c,「.ZABC 为等腰三角形，故选 B.A. 1:2:3 C. 1：V 2 弋 4(2)【答案】 D【解析】设/A= k,ZB = 2k,ZC= 3k,由/A+/B+ ZC= 180°得，k+2k+ 3k= 180 ° Ak= 30° 故ZA= 30° ZB= 60； ZC= 90°由正弦定理得 a:b:c = sinA:sinB:sinC = sin30 :sin60 :sin90 =°1:萌:2.3.在△ ABC 中，已知 a= 8,Z B= 60； / C= 75；则( )A. b = 4眾B. b=师f 3ID. b= 3C. b=4^6【答案】 C【解析】2低」60。
正弦定理练习题典型题（含答案）
正弦定理练习题典型题（含答案）正弦定理⼀1、在ABC ?中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ?解的情况（）A ．⽆解B ．有⼀解C ．有两解D ．不能确定2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三⾓形的⾯积S=，则三⾓形外接圆的半径为( ) A ．B ．2C ．2D ．43、在ABC △中，,,a b c 分别是⾓A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2A =，求⾓C ．4、在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ．（1）求⾓A 的值；（2）求sinB ＋sinC 的取值范围．5、在锐⾓△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ．（1）求⾓C 的值；（2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．参考答案1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A =，得6A π=，⼜1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B=，∴sin 2sin 2b A B a ==，⼜b a >，得4B π=或4B 3π=，当4B π=时，6412C ππ7π=π--=；当4B 3π=时，6412C π3ππ=π--=，∴⾓C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]．试题分析：（1）要求解，已知条件中有⾓有边，⼀般情况下我们可以利⽤正弦定理把边化为⾓的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，⽽sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3A π=；（2）由（1）23CB π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3B C B B π+=+-，由两⾓和与差的正弦公式可转化为3sin()6B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析：（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．从⽽sinB ＝2sinBcosA ．因为sinB ≠0，所以cosA ＝．因为0＜A ＜π，所以A ＝．（2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sincosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)．因为0＜B ＜，所以＜B ＋＜．所以sinB ＋sinC 的取值范围为(，]．考点：正弦定理，两⾓和与差的正（余）弦公式，正弦函数的性质.5、【答案】试题分析：（1）由a=2csinA 及正弦定理得sinA=2sinCsinA ，⼜sinA≠0，可sinC=．⼜△ABC 是锐⾓三⾓形，即可求C ．（2）由⾯积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a 2+b 2﹣ab=7，联⽴⽅程即可解得a+b 的值的值．试题解析：解：（1）由a=2csinA 及正弦定理，得sinA=2sinCsinA ，∵sinA≠0，∴sinC=．⼜∵△ABC 是锐⾓三⾓形，∴C=．（2）∵c=，C=，∴由⾯积公式，得absin =，即ab=6.①由余弦定理，得a 2+b 2﹣2abcos=7，即a 2+b 2﹣ab=7.②由②变形得（a+b ）2=3ab+7.③将①代⼊③得（a+b ）2=25，故a+b=5.考点：正弦定理．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三⾓形⾯积公式的应⽤，考查了转化思想和计算能⼒，属于中档题．正弦定理⼆1、在ABC ?中，o 60A =，3a =2b =B 等于 ( )A. o 45B.o 135C. o 45或o 135D. 以上答案都不对2、在ABC ?中，若ab c b a 2222+=+，则C =（）A ．030B ．0150C ．045D ．01353、在△ABC 中，若30A =o ，8a =，b =ABC S ?等于（）A ．．．．4、设ABC ?的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ?的形状为（）A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．不确定5、已知,,a b c 是ABC ?的三边长，且222a b c ab +-=（1）求⾓C（2）若3a c ==，求⾓A 的⼤⼩。
正弦定理试题及答案
正弦定理练习题一 一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A.26B.36C.22D.32 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = . 三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b .正弦定理练习题二一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A 2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° 4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解 5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 367.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.1038.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4 ,cos 2B =552， 求△ABC 的面积.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.正弦定理练习题一 答案 一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A.26B.36C.22D.32 ［答案］C ［解析］设所求边长为x,由正弦定理得，︒30sin x =︒45sin 4,∴x =22,故选C. 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π［答案］ C ［解析］ 由A a sin ＝B b sin ,得sin B =a A b sin ,∴sin B =130sin ·3︒ =23 ,∴B =3π或32π.3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：1［答案］ D ∴A =90°,B =60°,C =30°∴a ：b ：c =sin A ：sin B ：sin C =1：23 ：21=2：3：1. 二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = ［答案］1由正弦定理，得32sin3π=B sin 1,∴sin B =21.∵∠C 为钝角∴∠B 必为锐角，∴∠B =6π,∴∠A =6π,∴a=b =1. 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = .［答案 2［解析］由已知，得∠C =180°-105°-45°=30°，∵B b sin =Ccsin ∴c =B C b sin sin =︒︒45sin 30sin 22=222122⨯=2.三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］ ∵A+B+C =180°,∴C =105°. ∵B b sin =C c sin ,∴b =C B c sin sin =︒︒105sin 30sin 10, 又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝23×22+21×22=426+,∴b=5(26-).正弦定理练习题二 答案一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A ［答案］ D［解析］ 由正弦定理，得A a sin ＝B b sin ,∴a =B A b sin sin ,在△ABC 中，0<sin B ≤1,故Bsin 1≥1,∴a ≥b sin A .2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 ［答案］ B ［解析］ 设b+c =4x ,c+a =5x ,a+b =6x (x >0), 从而解出a =27x ,b =25x ,c =23x . ∴a ：b ：c =7：5：3.∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° ［答案］ B ［解析］ 由题意，得21×4×3sin C ＝33,∴sin C =23,又0°<C <90°，∴C =60°.4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解［答案］ A ［解析］ 对于A ，由于a=b sin A ,故应有一解；对于B ，a>b ,A =150°,故应有一解；对于C,a<b sin A ,故无解；对于D ，c sin B<b<c ,故有两解.5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π［解析］ ∵A a sin =B b sin ,∴sin A =22,∴A =4π或A =43π,又∵a ＞b ,∴A ＞B ,∴A =4π或43π,∴选C.6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 36 ［答案］ D ［解析］ 由正弦定理，得︒60sin 15=B sin 10∴sin B =1560sin 10︒=152310⨯=33. ∵a>b,A =60°,∴B 为锐角.∴cos B =B sin -12 =2331）（-=36.7.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.103［答案］ B ［解析］ 由已知得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=426+, c=A C a sin sin =︒︒⨯75sin 45sin 10=10(3-1) 8.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 ［答案］ C 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .［答案］2［解析由正弦定理得sin B =a b ·sin A =31-×23=21, 又∵b =1<a =3,∴B<A =3π,而0<B <π,∴B =6π,C =2π, 由勾股定理得c =22b a +=31+=2.10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . ［解析］ ∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c ,由正弦定理，得B b sin ＝Ccsin , ∴︒75sin 2=︒45sin c ],又∵sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30=22×23+22×21＝426+,∴c =︒︒⨯75sin 45sin 2＝426222+⨯＝23-2. 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . ［解析］由正弦定理，得b a =B A sin sin , ∴a =25b 可转化为B A sin sin =25.又∵A =2B ，∴B B s i n s i n 2=25,∴cos B =45. 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .［答案］62+83［解析］设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b . 由tan B =3,得B ＝60°，∴sin B =23，cos B =21.又cos C =31,∴sin C =C 2cos 1-＝222.由正弦定理，得c =BC b sin sin =2332263⨯=8.又∵sin A =sin(B+C )=sin B cos C +cos B sin C =63+32,∴S △ABC =21bc sin A =21×36×8×(63+32)=62+83.三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .［解析］由正弦定理得，sin A =b B a sin =245sin 3︒⨯＝2223⨯=23，∵a ＞b ,∴A ＞B=45∴A 为锐角或钝角（或a sin B ＜b ＜a ），∴A =60°或A =120°当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°， sin75°=sin(45°+30°)=22×23+22×21=426+,c=B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=224262 +⨯=226+， 当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°， sin15°=sin(45°-30°)= 426-,c =B C b sin sin ＝︒︒45sin 15sin 2=224262 -⨯ =226-∴A =60°,C =75°,c ＝226+，或A =120°，C =15°，c =226-.14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4π,cos 2B =552， 求△ABC 的面积. ［解析］由题意知cos2B =552,则cos B =2cos 22B-1=53，∴B 为锐角,∴sin B =54,sin A =sin(π-B-C )=sin(53π-B )= 1027由正弦定理，得c ＝A C a sin sin =1027222 ⨯=710.∴S △ABC =21ac sin B =21×2×710×54=78.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.［解析］设方程的两根为x 1、x 2,由韦达定理得x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B ,由题意得b cos A =a cos B , 由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B , sin A cos B -cos A sin B =0. 即sin （A-B ）=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π.∴A-B =0，即A=B .∴△ABC 为等腰三角形.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.［解析］（1）因为b=a cos C ,所以由正弦定理得： sin B =sin A cos C ,从而sin(A+C )=sin A cos C ,所以sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C[；所以cos A sin C =0.由于sin C ≠0.所以cos A =0 所以∠A =3π,所以△ABC 为直角三角形. (2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，则C c sin =12,且sin C =31,∴c =4,从而b =22c a -=82,∴S △ABC=21bc =162.。
解三角函数：正弦定理习题及详细答案
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对．以上答案都不对解析：选C.sin B c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12， 于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°， ∴则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC D，求证：BD DC ＝AB AC. 证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BDAB ＝sin A2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝ACsin (π－θ)，解三角函数：正弦定理＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°45°. . 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，的平分线，交对边BC 于∴CDAC ＝sinA2 sin θ.②由①②得BDAB＝CDAC，∴BDDC＝ABAC. 一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是() A.53 B.35C.37 D.5B＝ab＝53. 2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，又由正弦定理ac＝sin Asin C. ∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B. 3．15，b＝10，A ＝60°，则cos B＝() A．－223 B.223C．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，∴sin B＝10·10·sin 60°sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a＞b，A 7解析：选A.根据根据正弦定理正弦定理得sin A sin (2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝＝60°，∴B为锐角．∴cos B＝1－sin2B＝1－(33)2＝63. 4．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是() A．锐角三角形．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin 3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D.3 解析：选 B.．两解．两解 B ．一解．一解 C ．无解．无解 D ．无穷多解．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5. 答案：25 8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶3 在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°150°. . 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°30°. . 故C ＝90°，由，由勾股定理勾股定理得c ＝2. 6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A9．(2010年高考北京卷)＝6，＝. ＝a2R∶b2R∶c2R＝×4A＝bsin B，得＝a sin Bb＝×322＝534＞＝532，所以cos(π－cos(π－cos(π2－cos(π2－a·a2Rcos(π2－cos(π2－2.＝π15＝根据正弦定理正弦定理asin ＝b·b2R，。
(完整word版)正弦定理练习含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC 中，已知sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，判断△ABC 的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。
正弦定理练习题
正弦定理练习题1.在△ ABC 中， / A = 45 ° , / B = 60 ° a = 2,贝U b 等于（） A. 6B. .2C. .3D . 2,6 2.在△ ABC 中， 已知a = 8 ,B = 60 ° ,C = 75 ° 则 b 等于（）A . 4 .2B . 4 3C . 4632DE3. 在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , A = 60°a = 4羽，b = 02,则角 B为（）A . 45或135 °B . 135 °C . 45 °D .以上答案都不对 4.在△ ABC 中，a : b : c =1 : 5 : 6,贝U sinA : sinB : sinC 等于（）A . 1 : 5 : 6B . 6 : 5 : 1C . 6: 1 : 5D .不确定5. 在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 所对的边，若 A = 105 ° B = 45 ° b = {2，则c =（ ）1 1A . 1B ・2C . 2 D.4 6. 在△ ABC 中，若需=?,则厶ABC 是（）cos B aA .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰三角形或直角三角形7. 已知△ ABC 中，AB = V 3, AC = 1,Z B = 30 ° 则厶 ABC 的面积为（）养B 汙 廿或3 或于& △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c.若c = .2, b = . 6, B = 120。
，则a 等于（）A. . 6B . 2C. ,3D. . 29. ____________________________________________________________________________ 在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若a = 1, c = .3,C =扌，则A = _____________________ 10. ________________________________________________________ 在△ ABC 中，已知 a = 433, b = 4, A = 30° 则 sinB = _________________________________________ . 11. 在△ ABC 中，已知/ A = 30 ° / B = 120 ° b = 12 ,贝U a + c = ______________12. ________________________________________________ 在△ ABC 中，a = 2bcosC ,则厶ABC 的形状为 ________________________________________________ . c =14. 已知△ ABC 中，/ A : / B : / C = 1 : 2 : 3 ,115. 在△ ABC 中，已知 a = 3 .2 , cosC = 3 , S MBC = 4,3 ,贝V b = _____________ 16. 在△ ABC 中，b = 4*3, C = 30 ° ° c = 2,则此三角形有 _____________ 组解.13.在厶ABC 中, A = 60 ° a = 6 .3 , b = 12 , S ^ ABC = 18 .3,则 a + b + c sinA + si nB +a — 2b +c sin A — 2si n B + sinC17. A ABC 中，ab = 60.3 , sin B= sin C, △ ABC 的面积为15 3 ,求边b 的长.正弦定理1.在△ ABC 中，/ A = 45 ° , / B = 60 ° a = 2 , A. 6 B. 2 C. 3解析：选A.应用正弦定理得： 壬=匕,si nA si nB C = 75 ° 则b 等于（ 求得 b = asinB 2.在△ ABC 中，已知 a = 8, B = 60 °A . 4 ,2B . 4 ,3 解析：选C.A = 45°由正弦定理得 sinA 则b 等于（C . 46 asi nB b =辭=4® ）D . 2 6,6.3.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 为（） A . 45 或 135 ° a 、 b 、c , A = 60 ° a = 4,3 , b = 4,2 ,则角 B B . 135° C . 45° a b 解析：选C.由正弦定理一三=」得：sin B = csinA si nB a 2 4. 在△ ABC 中,a : b : c = 1 : 5 : 6,贝U sinA : sinB : sinC 等于（）A . 1 : 5 : 6 C . 6 : 1 : 5 解析：选A.由正弦定理知sinA : sinB 5. 在△ ABC 中， =（ ）a ,b ,c 分别是角A , B , 1 B.2 C . D •以上答案都不对bSin ^-^2,又•/ a>b , ••• B<60° ••• B = 45°B . 6 : 5 : 1 D .不确定 :sinC = a : b : c = 1 : 5 : 6.C 所对的边，若 A = 105 ° B = 45 ° b = 2,贝U c解析：选 A.C =呃―10—45° 30° 由 si^B sinC 1 D ・4 c 伯 \/2 冶in 30 ° “ 得c =飞帚 =1. 6.在△ ABC 中，若 cOsB = b ，则厶 ABC 是（） cos B a A •等腰三角形 B •等边三角形 b sin B 解析：选 D. •••-=—=, a sin A sin AcosA = sin BcosB , •即 2A = 2B 或 2A + 2B = C •直角三角形 D •等腰三角形或直角三角形 cos A sin Bcos B sin A sin2A = sin2B n n,即 A = B ,或 A + B = 2 7.已知△ ABC 中，AB =-. 3 , AC = 1, / B = 30° 则厶 ABC 的面积为（ ） 3 3 A.f B.〒 0宁或3 D. 43或~2 解析：选D.J AB =座,求出sinC =」, sinC si nB 2•••/ C 有两解,即/ C = 60°或 120°，•/ 1再由&ABC = ^AB ACsinA 可求面积. & △ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 A. 6C. 3•/ AB > AC , A = 90°或 30°解析：选D.由正弦定理得矗a 、b 、 B . D. i 2二 sinC ，c.若 c = 2 , b = 6 , B = 120 ° 则 a 等于（ ） 2 .c 1 • si nC =-2又••• C 为锐角，则 C = 30° • A = 30°△ ABC 为等腰三角形，a = c = .2.9.在厶ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若a = 1, c = .'3, C =扌，则A =解析：由正弦定理得：岂=壬,sinA sinCa sinC 1 所以 sinA = =-. c 2nn又 v a < c ,「. A < C =—,• A =二3答案：n6n6.10.在△ ABC 中，已知 a = ^J 3,解析：由正弦定理得ab = 4, A = 30° 贝U sinB =?sinB = a sinA sinB 1bsinA 4 ^2 •.； 3—2 . 4.33答案：-2-11. 在△ ABC 中， 解析：C = 180° — 120° — 30°= 30° • a = c ,已知/ A = 30° / B = 120 ° b = 12,贝U a + c = ,a b12 >sin30 ° , _ 由 = 得，a == 4 3, si nA si nB si n120•- a + c = 8 3答案：8 '312. 在△ ABC 中，a = 2bcosC ，则△ ABC 的形状为—解析：由正弦定理，得 a = 2R sinA , b = 2R sinB , 代入式子a = 2bcosC ，得2RsinA = 2 2R sinB cosC , 所以 sinA = 2sinB cosC ,即 sinB cosC + cosB sinC = 2sinB cosC , 化简，整理，得si n(B — C) = 0.•/ 0°< B v 180° 0°< C v 180° •••— 180°< B — C < 180° • B — C = 0° B = C.答案：等腰三角形sin120 13.在△ ABC 中, A = 60 ° a = 6 阪 b = 12, S "BC =聞,则艸：蔦;：si nCc =解析：由正弦定理得a +b +c .. i aA == 12，又 S^ABC = TbcsinA , •彳sinA + sinB + sinC sinA sin602 2X12 冶in60 冷=18雨,c = 6.答案： 12 614.已知△ ABC 中，/ A :/ B :/C =1 : 2: 3, a =1, a — 2b + c由/ A ：Z B :/C =1 :••• 2R=-^ = — = 2,sinA si n30又 v a = 2Rsin A , b = 2Rsin B ,a — 2b +c 解析: 2 : 3得，/ A = 30°则 sin A — 2sin B + sin C/ B = 60° , / C = 90°c = 2Rsi n C ,2R sin A — 2si nB + sin C sin A — 2s in B + sinC 答案：2=2R = 2. sin A — 2si n B + sin C解：由 sinCcosC = $ 得 sinC = 1, 又 C € (0, n )所以 C = Z 或 C = 5^ 由 sin Bsin C = cos 2A ，得1sin Bsi n C = Q1 — cos(B + C)],即 2sin Bsin C = 1 — cos(B + C),即 2sin Bsin C + cos(B + C)= 1，变形得 cos Bcos C + sin Bsi n C = 1, 即 cos(B — C)= 1，所以 B = C = n B = C =严(舍去),2nA = n — (B + C) = 3 .由正弦定理一匕=—七=—七，得sin A sin B sin C1- sin B 2 2 b = c = a = 2 3X _ = 2.sin A x 也2故 A = 2n ，B =n , b = c = 2.3 619. (2009年高考四川卷)在厶ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为15.在△ ABC 中，已知 a = 3,2 cosC = 3，ABC = 4治，贝H b= ________ ,解析：依题意， sinC = 23^， S^ABC = ^absinC = 4 3, 解得b = 2 3. 答案：2 316. _______________________________________________________ 在△ABC 中，b = 4書，C = 30° c = 2,则此三角形有 ________________________ 组解._ 1 _解析：••• bsinC = 4 3 2它且c = 2,••• c< bsi nC ,「.此三角形无解. 40 km/h 的速度沿着方位角 船在 65° 17.如图所示，货轮在海上以向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位, 航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 距离是多少？（指从正北方向顺时针转到目标方B 点观测灯塔A 的方位角为110° 则货轮到达C 点时，与灯塔A 的1解：在△ ABC 中，BC = 40 X- = 20,/ ABC = 140° — 110°= 30°/ ACB = (180。
正弦定理练习题
第一章 解三角形一、选择题.1. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )A. 30 oB. 60oC. 30o 或 150oD. 60o 或120o2. 在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为( ) A.3π B.6π C.6π或6π5 D.3π或3π2 3. △ABC 中，下述表达式：①sin (A + B )+ sin C ；②cos (B + C )+ cos A ； ③2tan 2tan C B A +，其中表示常数的是( ) A. ①和②B. ①和③C. ②和③D. ①②③4. 在△ABC 中，“A = B ”是“sin A = sin B ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分又不必要条件5. 已知 a ，b ，c 是△ABC 三边的长，若满足等式(a + b - c )(a + b + c )= ab ，则∠C 的大小为( )A. 60oB. 90oC. 120oD. 150o6. 若△ABC 满足下列条件：① a = 4，b ? 10，?A ? 30?；② a ? 6，b ? 10，?A ? 30?；③ a ? 6，b ? 10，?A ? 150?；④ a ? 12，b ? 10，?A ? 150?；⑤ a + b + c = 4，?A ? 30?，?B ? 45?.则△ABC 恰有一个的是( )A. ①④B. ①②③C. ④⑤D. ①②⑤7. △ABC 中，若 sin (A + B )sin (A - B )= sin 2 C ，则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. △ABC 中，若a ，b ，c 成等差数列，则∠B 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎥⎦⎤3π 0，B. ⎝⎛⎥⎦⎤6π 0，C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π 3π，D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ π6π， 9. 在△ABC 中，若∠C = 60o ，则cos A cos B 的取值范围是( ) A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41 21， B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡41 0， C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41 43， D. 以上都不对 10. △ABC 中，若其面积 S =41(a 2 + b 2 - c 2)，则∠C =( ) A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π 二、填空题.1. 在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4，那么cos C 等于 .2. 若△ABC 的三内角?A ，?B ，?C 满足 sin A ? 2sin C cos B ，则△ABC 为 三角形.3. 若△ABC 的三边长分别为4，5，7，则△ABC 的面积 ? ， 内切圆半径 ? .4.若△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，则cos 2 A + cos 2 C 的最小值为 .5. 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60处；行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15处. 这时船与灯塔的距离为 km.6. 在△ABC 中，已知 AB = l ，∠C = 50°，当∠B = 时，BC 的长取得最大值.三、解答题.1. 如图△ABC 中，点D 在边 BC 上，且BD = 2，DC = 1，∠B = 60°，∠ADC = 150°，求AC 的长及△ABC 的面积.2. 在△ABC 中，A = 45°，B : C = 4 : 5，最大边长为10，求角B ，C ，△ABC 外接圆半径R 及面积S .3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且272cos 2sin 42=-+A C B . (1)求∠A 的大小；(2)若a =3，b + c = 3，求b 和c 的值.4. 海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁. 一军舰从A 地出发由西向东航行，望见小岛B 正好在北偏东75° 的位置；航行8海里到达C 处，望见小岛B 在北偏东60°的位置. 若此舰不改变舰行的方向继续前进，此舰有没有触礁的危险？参考答案 一、选择题.1. C【解析】21bc sin A = 163， ∴ sin A =21， A = 30° ，或 150° .2. D【解析】b a =3sin 2A ， ∴ 3sin 2sin sin A B A =， ∴ sin B =23，∴ B =3π，或32?? 3. C【解析】 ①sin (A + B )+ sin C = 2sin C ，不一定为常数.②cos (B + C )+ cos A = - cos A + cos A = 0，③tan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2B A tan 2C = tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒290C tan 2C = cot 2C tan 2C = 1. ∴ ②和③为常数.4. C【解析】 A = B ⇒sin A = sin B ，若sin A = sin B ，又∵ A + B ＜?，∴ A = B.5. C【解析】 原式可化为 a 2 + ab + b 2 - c 2 = 0，∴ cos C =ab c b a 2222-+= -21， ∴ C ＝120°.6. C【解析】 ①∵ b sin A = 10×sin 30° = 5，且4＜5，∴ △ABC 不存在.②∵ b sin A = 10×sin 30° = 5，且5＜6＜10，∴ △ABC 有两解.③∵ ∠A = 150° 且a ＜b ，∴ △ABC 不存在.④∵ ∠A = 150° 且a ＞b ，∴ △ABC 有一解.⑤ 由已知，得∠C = 105°.当⎪⎩⎪⎨⎧b c a c ＞,＞时，各边有正数解.∴ △ABC 有一解.∴ ④⑤符合题条件.7. B【解析】 sin (A + B )sin (A - B )= sin 2 C ，∴ sin C sin (A - B )= sin 2 C .∵ C ∈(0，π)，∴ sin (A - B )= sin C = sin (A + B ).∴ sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B ，∴ cos A sin B = 0，∴ A =2π. ∴ △ABC 为直角三角形.8. A【解析】 ∵ 2b = a + c ，∴ 4b 2 = a 2 + c 2 + 2ac.∴ cos B =ac b c a 2222-+= 1 +acb 232. ∴ 2b = a + c ≥2ac .∴ ac ≤b 2.∴ cos B ≥23- 1=21， ∴ B ∈ ⎝⎛⎥⎦⎤3π 0，. 9. A【解析】 cos A cos B = cos (120o- B )cos B=(-21cos B +23sin B )cos B = -41(1 + cos 2B )+43sin 2B =21sin (2B - 30o)-41， ∵ B ∈(0o ，120o)，∴ -30°＜2B - 30°＜210°.∴ 由图象知cos A cos B ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41 21，. 10. C【解析】 由题知21ab sin C =41(a 2 + b 2 - c 2)， ∴ sin C =abc b a 2222-+= cos C ， ∴ C =4π. 二、填空题.1. -41. 【解析】 因为sin A : sin B : sin C = a : b : c = 2 : 3 : 4，所以设 a = 2k ，b = 3k ，c = 4k .cos C =ab c b a 2222-+=3221694⨯⨯-+= -41. 2. 等腰.【解析】 ∵ sin A = sin (B + C )= 2sin C cos B ，∴ sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B ，∴tan B = tan C ，∵ B ，C ∈(0，?)，∴ B = C .即为等腰三角形. 3. 46；26. 【解析】 ∵ cos ? =542495422⨯⨯-+= -51， ∴ sin ? =526. ∴ S =21×4×5×526= 46.∵ 642)754(=⨯++r ， ∴ 26=r . 4. 21. 【解析】 ∵ C + A = 2B ，∴ B =3π. 设A =3π- x ，C =3π+ x ，则 cos 2 A + cos 2 C = cos 2（3π- x ）+ cos 2（3π+ x ）=（21cos x +23sin x ）2 + （21cos x -23sin x ）2 =21cos 2 x+23sin 2 x =21+ sin 2 x ≥21. 5. 302.【解析】︒=︒30sin 45sin BC AC ， BC =21×2×60 = 302. 6. 40°.【解析】)sin(sin C B BC C AB +=， ∴ BC =︒+︒50sin )50sin(B l ≤︒50sin l ， ∴ sin (50° + B )= l 时，BC 最长，此时 B ?????°?三、解答题.1. 【解】在△ABC 中，∠BAD = 150o- 60o = 90o ，∴ AD = 2sin 60o =3. 在△ACD 中，AC 2 =(3)2＋12－2×3×1×cos150o = 7，∴ AC =7.∴ AB = 2cos 60° = 1，S △ABC =21×1×3×sin60°=343. 2. 【解】由A + B + C = 180°，A = 45°，可得 B = 60°，C = 75°. 由正弦定理，R =︒75sin 210= 5(6－2). 由面积公式，S =21bc sin A = 21c · 2R sin B sin A = 75－253.3. (1)【解】由272cos 2sin 42=-+A C B 及A + B + C = 180°， 得2［1-cos (B + C )］-2cos 2 A + 1 =27， ∴ 4(1 + cos A )- 4cos 2 A = 5，即4 cos 2 A - 4cos A + 1= 0，∴ cos A =21， ∵ 0°＜A ＜180°，∴ A = 60°. (2)【解】由余弦定理，得bca cb A 2cos 222-+=， ∵ cos A =21，∴ bc a c b 2222-+=21， ∴ (b + c )2 - a 2 = 3bc .将a =3，b + c = 3代入上式，得bc = 2. 由⎪⎩⎪⎨⎧==+，，23bc c b 得⎪⎩⎪⎨⎧==21c b ， 或⎪⎩⎪⎨⎧==.12c b ， 4.【解】如图，过点B 作BD ⊥AE 且交AE 于D . 由已知，AC = 8，∠ABD = 75o ，∠CBD = 60o.在Rt △ABD 中，AD = BD · tan ∠ABD = BD · tan 75o. 在Rt △CBD 中，CD = BD · tan ∠CBD = BD · tan 60o. ∴ AD - CD = BD (tan 75o - tan 60o )= AC = 8， ∴ BD =︒-︒60tan 75tan 8= 4＞3.8. ∴ 该军舰没有触礁的危险.。
正弦定理练习题(含答案)资料
正弦定理练习题(含答案)正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。
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正弦定理练习题
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．26
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.323
3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 B.12 C ．2 D.14
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于
( ) A. 6 B ．2 C. 3 D.2
6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3
，则A ＝________.
9．在△ABC 中，已知a ＝433
，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.
10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.
11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
12 . 判断满足下列条件的三角形个数
（1）b=39,c=54,︒
=120C 有________组解
（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解
（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解
（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解 正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
A. 6
B. 2
C. 3 D ．26
a sin A＝
b
sin B，求得
b＝
a sin B
sin A＝ 6.
解析：选A.应用正弦定理得：
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.323
解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A
＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 B.12 C ．2 D.14
解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°
＝1.
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
解析：选C.由正弦定理a
sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22
，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.
5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于
( ) A. 6
B ．2 C. 3 D.2 解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C
， ∴sin C ＝12
. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，
△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.
7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A
， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B
即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2
. 8．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
A.32
B.34
C.
3
2
或 3 D.
3
4
或
3
2
解析：选D.AB
sin C＝AC
sin B，求出sin C＝
3
2
，∵AB＞AC，
∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.
再由S △ABC ＝12
AB ·AC sin A 可求面积． 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3
，则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C
， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12
. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6
. 答案：π6
10．在△ABC 中，已知a ＝433
，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得
a sin A ＝
b sin B ⇒sin B ＝b sin A a ＝4×1
2433＝32
. 答案：32
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°
＝43， ∴a ＋c ＝8 3.
答案：83
12．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
解析：∵B b C c sin sin =，有B sin 3430sin 2=︒，得sinB=13＞ ∴此三角形无解．
答案：0
一，二，二，无
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