2020-2021学年广西省南宁市高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
（2）“若 q 则 p ”为真命题，则 q 的解集包含于 p 的解集， 当 m 1时，满足题意；
当 m 1时 p : 4 x 1， q : 1 x m ，因为 q 的解集 p 的解集，所以 m 1，即 1 m 1；
当 m 1时 p : 4 x 1， q : m x 1，因为 q 的解集 p 的解集，所以 4 m 1．
综上，实数 m 的取值范围为[4,1] ．
18．解：（1）由 Sn1 3Sn 3 得 a1 a2 3a1 3 ，因为 a2 9 ，所以 a1 3 ．
（2）当 n 2 时， Sn 3Sn 1 3 ，则 Sn1 Sn 3 Sn Sn1 ，
即 an1
3an
，所以
an 1 an
其中，错误的结论的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
9．已知数列 an 中， a1 1 ，前 n 项和为 Sn ，且点 P an , an1 n N* 在直线 x y 1 0 上，则
1 1 1 （ ）
S1 S2
S n 1
A． (n 1)(n 2) 2
B．
2
(n 1)(n 2)
17．（本小题满分 10 分）
已知 p : x2 3x（1）若 m 2 ， p q 为真，求 x 的取值范围；
（2）已知命题“若 q ，则 p ”为真命题，求实数 m 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a2 9 ， Sn1 3Sn 3 ， n N* ．
20．（本小题满分 12 分）
在三角形 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 (sin A sin C)(a c) sin B(a b) ． （1）求角 C 的大小； （2）若 c 3 且 b c ，求 b 1 a 的取值范围．
2
21．（本小题满分 12 分）
）
A． (4,9, 20)
B． (7, 10, 24)
C． (4, 9, 20)
D． (5,6, 24)
2．与双曲线 x2 y2 1 共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是（ ） 2
A． x2 y2 1 2
B． x2 y2 1 4
C． 2x2 2 y2 1 93
D． x2 y2 1 63
）
A． PF1 PF2 4b C．使 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有 6 个
B．直线
PA1
，
PA2
的斜率之积等于定值
1 4
D．使得 F1PF2 90 的点 P 有 2 个
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．命题“ x 0 ， sin x cos x 1”的否定是________，且是________命题（填：真、假）．
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
2 2
，且经过点
A1,
2 2 ．
（1）求 C 的方程；
（2）若不过坐标原点的直线
l
与椭圆
C
相交于
M
，
N
两点，且满足 OM
ON
OA
，求
MON
面积
最大时直线 l 的方程．
1-10ACACC CCBCC 11-12CD
数学试题参考答案
13． x 0 ， sin x cos x 1 真 ；14． 1 4
如图所示，圆锥的高 PO 2 ，底面半径 OB 1 ， D 为 PO 的中点， E 为母线 PB 的中点，点 F 为底面圆
周上一点，满足 EF AB 0 ．
（1）求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值； （2）求二面角 E DF B 的正弦值．
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C
x1
且
x1
x2
4km 2k 2 1
x2
2m2 2k 2
2 1
，所以
y1
y2
k x1
x2
2m
2m 2k 2 1
，
因为 OM
14．设 x 0 ， y 0 ， x 2 y 2 ，则 xy 的最大值为________．
15．已知向量 a (0, k,
3) ， b (3, 2,
3) ，若 a,b 60 ，则 k ________．
16．已知抛物线 C : x2 12 y ，直线 l 过点 (0,3) 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，且 | AB | 14 ，则直线 l 倾斜 角 的正弦值为________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
②“ x 2 ”是“ x2 x 6 0 ”的必要不充分条件；
③ f (x) x2 x a 在区间 (0,1) 上有零点，则实数 a 的取值范围是 (2,0) ；
④对于命题 p ：存在 x0 R ，使得 x02 x0 1 0 ，则 p 为：对任意 x R ，均有 x2 x 1 0 ．
B． d 4
C． S5 10
D． Sn n2 4n
x y 4 0
5．设变量
x
、
y
满足约束条件
x
x
y 2
4
0
，则目标函数
z
2x
y
的最大值为（
）
y 1
A．4
B．3
C．9
D．8
6．关于双曲线 x2 y2 1 与双曲线 x2 y2 1(4 t 6) ，下列说法正确的是（ ）
（1）求 a1 ；
（2）求数列an 的通项公式．
19．（本小题满分 12 分）
已知定点 A( 3,0) ， B( 3, 0) ，动点 P 到两定点 A 、 B 距离之差的绝对值为 2 2 ． （1）求动点 P 对应曲线 C 的轨迹方程；
（2）过点 Q(1,1) 作直线与曲线 C 交于 M 、 N 两点，若点 Q 恰为 MN 的中点，求直线 MN 的方程．
（ 2 ） 设 M x1, y1
， N x2, y2
，满足
x12 2 x22
2
y12 y22
1 1
，
两
式
相
减
得
x12
x22 2
y12
y22
，即
x1
x2
x2
2
x2
y1
y2
y1
y2
，因为点 Q
为
MN
的中点，故
x1 y1
2
2
x2 y2
1
，
1
∴ y1 y2 1 ，即 直线 MN 的斜 率为 1 ，又 过点 Q ，故 直线 MN 的方 程为 ： y 1 1 (x 1) ，即
46
4t 6t
A．实轴长相等
B．离心率相等
C．焦距相等
D．焦点到渐近线的距离相等
7．在 ABC 中， AC 2 3 ， BC 4 ， ABC ，则 ABC 的面积等于（ ） 3
A． 3
B．2
C． 2 3
D．3
8．下列四个结论：
①命题“若 x2 x 6 0 ，则 x 3”的逆否命题为“若 x 3 ，则 x2 x 6 0 ”；
C． 2(n 1) n2
D． n 1 2(n 2)
10．设抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，以抛物线上不同两点 A 、 B 为直径的圆恰好过焦点 F ，直线 AB 与抛物线 C 的准线的交点恰好在 x 轴上，则该圆的半径为（ ）
A．3
B．6
C． 2 3
D． 5
11．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面 ABC 中，AB AC 1，BC 2 ， AA1 2 ，则直线 BC1
0
，
（1） EF
3 2
,0, 1
，
BD
(0, 1,1)
，
cos EF ,
BD
1
14 ，
3 1 11
7
4
故异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 14 ； 7
（2） BD (0, 1,1) ， DF
3 2
,
1 2
,
1
，
设平面
DFB
的法向量为
n1
(x,
y,
z)
，则由
设直线 MN 的方程为 y kx m(m 0) ， M x1, y1 ， N x2, y2 ，
x
2
由 2
y2 1
得
2k 2 1
x2 4kmx 2m2 2 0 ．
y kx m
∴ 16k 2m2 4 2k 2 1 2m2 2 8 2k 2 1 m2 0 ①
2020-2021 学年广西省南宁市高二上学期期末考试数学（理）试卷及答案
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知
A(2,
1,
0)
和向量
a
(3,
5,10)
），且
AB
2a
，则点
B
的坐标为（
15． 1 4
16． 7 7
17．解：（1）若 m 2 ， p : 4 x 1， q : 1 x 2 ，
命题 p q 为真时， p 、 q 两个命题一真一假或两个都为真，其反面为两个都为假，当 p 假且 q 假时
x x
1或x 2或x
4 1
，即
x
2
或
x
4
，
所以命题 p q 为真时 4 x 2 ，即 x 的取值范围为[4, 2]．
广西南宁市2020-2021学年高二数学上学期期末联考试题 理(PDF)
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南宁市2021届数学高二上学期期末检测试题
南宁市2021届数学高二上学期期末检测试题一、选择题1．已知命题“p 且q ”为真命题，则下面是假命题的是( ) A.p B.q C.p 或q D.p ⌝2．下列结论成立的是( ) A ．若ac bc >，则a b > B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则a d b c ->- 3．若平面中，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知命题:p x ∀∈R ，2210x +>，则p ⌝是（ ）． A ．x ∀∈R ，2210x +≤ B ．x ∃∈R ，2210x +> C ．x ∃∈R ，2210x +<D ．x ∃∈R ，2210x +≤ 5．若p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则( ) A ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x > B ．p ⌝：x R ∀∈，sin 1x > C ．p ⌝：x R ∃∈，sin 1x ≥D ．p ⌝：x R ∀∈，sin 1x ≥6．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-=7．设函数()(1)xf x x e =+，则'(1)f =（ ）A ．1B ．2C ．3+eD ．3e8．某企业生产甲、乙两种产品均需要A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）9．如图，等腰直角三角形的斜边长为，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中阴影部分)，若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M 的概率为A.14B.8π C.4π D.14π-10．①25y x =+是一次函数；②25y x =+的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个三段论形式的正确的推理，则作为大前提、小前提和结论分别是（ ） A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②11．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m12．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A ．)0(>>b a B ．1615C ．2031D ．4031二、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，66S =，则9S =______．14．计算2()xe x dx +=⎰_______________.15．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=__________．16．设()28210012101(43)(21)(21)(21)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则1210a a a ++⋯+=_______________． 三、解答题 17．已知函数（，且）.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）当是时，求的值；（3）解关于的不等式.18．已知长方体中，棱，棱，连结，过点作的垂线交于，交于.（1）求证：平面； （2）求点到平面的距离.19．电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：（1）求图中的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为，求的数学期望和方差.20．已知数列是等比数列，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的的最小值；若不存在，说明理由. 21．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值,求动点P的轨迹方程C. 22．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．（1）判断四面体的形状，并说明理由；（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．1414．1 e215．41n16．3 4三、解答题17．（1）函数为偶函数（2）-1(3) ，或【解析】分析：（1）先判定函数定义域关于原点对称，再利用f(-x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数。
南宁市2021年春高二数学(理)上学期期末联考卷附答案解析
南宁市2021年春高二数学（理）上学期期末联考卷命题范围：必修⑤+选修2-1．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(2,1,0)-A 和向量(3,5,10)=-a ），且2=ABa ，则点B 的坐标为（ ）A ．(4,9,20)-B ．(7,10,24)--C ．(4,9,20)--D ．(5,6,24)-2．与双曲线2212-=x y 共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是（ ） A ．2212+=x y B ．2214+=x y C ．2222193+=x y D ．22163+=x y 3．已知实数a 、b 、c 满足<<a b c ，且0<ac ，那么下列选项中一定成立的是（ ） A ．()0->ac a c B ．()0-<c b a C ．22<cb ab D ．<ab ac 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40=S ，510=a ，则（ ）A ．16=aB ．4=-dC ．510=SD ．24=-n S n n5．设变量x 、y 满足约束条件404021+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩x y x y x y ，则目标函数2=+z x y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．86．关于双曲线22146-=x y 与双曲线221(46)46-=-<<+-x y t t t，下列说法正确的是（ ） A ．实轴长相等 B ．离心率相等 C ．焦距相等 D ．焦点到渐近线的距离相等 7．在ABC中，=AC ，4=BC ，3∠=ABC π，则ABC 的面积等于（ ）A．2 C．．3 8．下列四个结论：①命题“若260--=x x ，则3=x ”的逆否命题为“若3≠x ，则260--≠x x ”； ②“2>x ”是“260+->x x ”的必要不充分条件；③2()=++f x x x a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是(2,0)-； ④对于命题p ：存在0∈x R ，使得2010++<x x ，则⌝ p 为：对任意∈x R ，均有210++≥x x ．其中，错误的结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 9．已知数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，且点()()*1,+∈n n P a a n N 在直线10-+=x y 上，则121111+++⋅⋅⋅+=n S S S （ ） A ．(1)(2)2++n n B ．2(1)(2)++n n C ．2(1)2++n n D ．12(2)++n n10．设抛物线2:4=-C y x 的焦点为F ，以抛物线上不同两点A 、B 为直径的圆恰好过焦点F ，直线AB 与抛物线C 的准线的交点恰好在x 轴上，则该圆的半径为（ ）A ．3B ．6 C．11．如图，在直三棱柱111-ABC A B C 的底面ABC 中，1==AB AC，=BC ，12=AA ，则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦为（ ）A．3．81 C．9 D．312．已知椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的左、右两个顶点分别是1A 、2A ，左、右两个焦点分别是1F 、2F ，P是椭圆上异于1A 、2A，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．124+=PF PF b B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积等于定值14-C ．使12PF F 为等腰三角形的点P 有6个D ．使得1290∠=︒F PF 的点P 有2个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“0∀≥x ，sin cos 1+≤x x ”的否定是________，且是________命题（填：真、假）． 14．设0>x ，0>y，2+=x y ，则xy 的最大值为________．15．已知向量(0,,3)=a k，(3,2,=-b ，若,60〈〉=︒a b ，则=k________．16．已知抛物线2:12=C x y ，直线l 过点(0,3)与抛物线C 交于A ，B 两点，且||14=AB ，则直线l 倾斜角α的正弦值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知2:340+-≤p x x ；:()(1)0-+≤q x m x ． （1）若2=m ，∨p q 为真，求x 的取值范围；（2）已知命题“若q ，则p ”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为n S ，29=a ，133+=+n n S S ，*∈n N ．（1）求1a ； （2）求数列{}n a 的通项公式．19．（本小题满分12分）已知定点(A ，B ，动点P 到两定点A 、B 距离之差的绝对值为．（1）求动点P 对应曲线C 的轨迹方程；（2）过点(1,1)Q 作直线与曲线C 交于M 、N 两点，若点Q 恰为MN 的中点，求直线MN 的方程． 20．（本小题满分12分） 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin )()sin ()-+=-A C a c B a b ．（1）求角C 的大小；（2）若=c ≥b c ，求12-b a 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图所示，圆锥的高2=PO ，底面半径1=OB ，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，点F 为底面圆周上一点，满足0⋅=EF AB．（1）求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； （2）求二面角--E DF B 的正弦值． 22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的离心率为2，且经过点⎛ ⎝⎭A ． （1）求C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且满足+=OM ON OA λ，求MON 面积最大时直线l 的方程．参考答案、提示及评分细则1．A ∵(3,5,10)=-a ，且2=AB a ，∴(6,10,20)=-AB ，∵(2,1,0)-A ，∴B 的坐标为(62,101,200)-+-+，即(4,9,20)-）．2．C由条件，双曲线的焦点坐标为(，离心率为3．A ∵<<a b c ，且0<ac ，∴⋅>⋅a ac c ac ，即()0->ac a c ，故A 正确． 4．C 由条件140+=a a ，510=a ，解得16=-a ，4=d，∴2(1)64282-=-+⨯=-n n n S n n n ． 5．C 确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值．6．C 双曲线22146-=x y 每个量都是确定的，双曲线221(46)46-=-<<+-x y t t t的实轴长、离心率、虚轴长都与t有关，它们的焦距相同都为．7．C∵=AC 4=BC，3=B π，∴2222cos =+-b a c ac B，∴222424cos3=+-⨯⨯c c π，解得2=c ，∴11sin 42222==⨯⨯⨯=ABCSac B 8．B 对于结论②，解不等式260+->x x ，可得3<-x 或2>x ，所以“2>x ”是“2-60+>x x ”的充分不必要条件．9．C ∵点()()*1,+∈n n P a a n N 在一次函数1=+y x 的图象上，∴11+-=n n a a ，∴数列{}n a 为等差数列，中首项为11=a ，公差为1，∴=n a n ，∴数列{}n a 的前n 项和(1)2+=n n n S ，∴12112(1)1⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n S n n n n ， ∴123111*********(1)21212231222++⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭n n S S S S n n n n ．10．C 准线与x 轴的交点坐标为(1,0)，故直线AB 可设为：1=+x ty ，设211,4⎛⎫- ⎪⎝⎭y A y ，222,4⎛⎫- ⎪⎝⎭y B y ，联立直线与抛物线得方程组214=+⎧⎨=-⎩x ty y x，化简得2440++=y ty ，所以124+=-y y t ，124=y y ，由⊥AF BF 得()222212121216164=-++-y y y y y y ，解得22=t ，故圆的半径为||2==AB ．11．C 以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间坐标系，则(1,0,0)B ，1(0,1,2)C ，∴1(1,1,2)=-BC ，1(1,0,2)=AB ，1(0,1,2)=AC ，故平面11AB C 的法向量为(2,2,1)-，所以直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦为=． 12．D 故2=a b ，由椭圆定义知1224+==PF PF a b ；设()00,P x y ，则2200221+=x y a b，所以122202200222000114⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-=-+--PA PA x b a y y b k k x a x a x aa ||3-≤+c PF c c ， ∴使12PF F 为等腰三角形的点P 有6个；当点P 在上、下顶点处时，12120∠=︒F PF 取到最大角，故使得1290∠=︒F PF 的点P 有4个．13．0∃≥x ，sin cos 1+>x x 真 14．140>x ，0>y ，2+≥x y ≥14≤xy ，当且仅当2=x ，4=y 时，xy 取最大值14．15．14-由题意，21cos602||||⋅===⋅︒+a b a b k ，解得14=-k ． 16 由题意可知，直线l 的斜率存在当直线的斜率为零时，由于(0,3)为抛物线的焦点，故应有||12=AB ，所以直线的斜率存在，且不为零，设直线l 的方程为3(0)=+≠y kx k ，由2312=+⎧⎨=⎩y kx x y，消去x 得，()2212690-++=y k y ，所以212126+=+y y k ，所以212||6121214=++=+=AB y y k ，所以6=±k ，所以tan 6=±α，所以sin 7=α． 17．解：（1）若2=m ，:41-≤≤p x ，:12-≤≤q x ， 命题∨p q 为真时，p 、q 两个命题一真一假或两个都为真，其反面为两个都为假，当p 假且q 假时1421><-⎧⎨><-⎩或或x x x x ，即2>x 或4<-x ， 所以命题∨p q 为真时42-≤≤x ，即x 的取值范围为[4,2]-． 5分（2）“若q 则p ”为真命题，则q 的解集包含于p 的解集，当1=-m 时，满足题意；当1>-m 时:41-≤≤p x ，:1-≤≤q x m ，因为q 的解集⊆p 的解集，所以1≤m ，即11-<≤m ； 当1<-m 时:41-≤≤p x ，:1≤≤-q m x ，因为q 的解集⊆p 的解集，所以41-≤<-m ．综上，实数m 的取值范围为[4,1]-． 10分18．解：（1）由133+=+n n S S 得12133+=+a a a ，因为29=a ，所以13=a ． 5分 （2）当2≥n 时，133-=+n n S S ，则()113+--=-n n n n S S S S ，即13+=n n a a ，所以13+=n na a ，又∵21933==a a ，所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式是3=n n a ． 12分19．解：（1）由题意知：||||||||-=<=PA PB AB P 的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且=a=c1==b ，故曲线C 的方程为：2212-=x y ； 6分（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，满足221122221212⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y x y ，两式相减得222212122-=-x x y y ，即()()12222-+=x x x x ()()1212-+y y y y ，因为点Q 为MN 的中点，故12121212+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩x x y y ， ∴121212-=-y y x x ，即直线MN 的斜率为12，又过点Q ，故直线MN 的方程为：11(1)2-=-y x ，即210-+=x y ． 12分20．解：（1）∵(sin sin )()sin ()-+=-A C a c B a b ，由正弦定理，()()()-+=-a c a c b a b ，即222-=-a c ab b ．由余弦定理，2221cos 22+-==a b c C ab ， 又∵(0,)∈C π，∴3=C π． 6分（2）因为=c ≥b c，由正弦定理得2sin sin sin ====b a cB A C，∴2sin =b B ，2sin =a A ，∵23+=B A π，∴23=-A B π．∵≥b c ，∴≥BC ．∴233≤<B ππ．∴1232sin sin 2sin sin sin 2326⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a B A B B B B B ππ． ∵662≤-<B πππ．∴1sin 126⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭B π．∴122-∈⎣b a ． 12分21．解：设弧AFB 的中点为G ，以O 为原点，OG 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(0,0,1)D ，10,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭E ， 设∠=GOFθ，0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πθ，则(cos ,sin ,0)F θθ，1cos ,sin ,12⎛⎫=-- ⎪⎝⎭EF θθ，(0,2,0)=AB ，由0⋅=EF AB，∴2sin 10-=θ，∴1sin 2=θ，cos =θ，∴1,02⎫⎪⎪⎝⎭F ， （1）312⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭EF ，(0,1,1)=-BD，cos ,7〈〉==-EF BD ， 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为7； 6分 （2）(0,1,1)=-BD ，31,122⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭DF ， 设平面DFB 的法向量为1(,,)=n x y z ，则由1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD n DF n ，得01022-+=⎧+-=⎩y z x y z ，令1=x ，则=y=z 1(1,3,=n ，又10,,02⎛⎫= ⎪⎝⎭DE ，设平面EDF 的法向量为2(,,)=n x y z ，则由102102⎧=⎪⎪+-=y xy z ，令2=x，则0=y ，=z 2(2,0,=n ，则125cos ,71==+n n ，故二面角--E DF B的正弦值为7． 12分 22．解：（1）由题意得2222221112⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩c aa b a b c ，解得2221⎧=⎨=⎩a b ， 所以椭圆C 的方程为2212+=x y ； 4分 （2）由题意可知，直线MN 的斜率显然存在， 设直线MN 的方程为(0)=+≠y kx m m ，()11,Mx y ，()22,N x y ，由2212⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y kx m 得()222214220+++-=k x kmx m ． ∴()()()22222216421228210∆=-+-=+->k m k m k m①且12221224212221⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩km x x k m x x k ，所以()121222221+=++=+m y y k x x m k ， 因为+=OM ON OA λ，所以1221224212212⎧+=-=⎪+⎪⎨⎪+==⎪+⎩km x x k m y y k λ，所以2=-k，代入①得<<m 且0≠m ， 所以12111||||||||2222=-===MONm Sm x x m m2222222+-=⋅=m m ． 当且仅当222=-m m ，即1=±m 时上式取等号，此时符合题意， 所以直线MN 的方程为12=-±y x ． 12分。
广西壮族自治区南宁市高级中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析
广西壮族自治区南宁市高级中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A. 【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．2. 如图是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过多少道工序（）A．6 B．5或7 C．5 D．5或6或7参考答案：B【考点】EH：绘制简单实际问题的流程图．【分析】根据工序流程图，写出一件不合格产品的工序流程即可．【解答】解：由某产品加工为成品的流程图看出，即使是一件不合格产品，“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、定为废品”五道程序；或是“零件到达后经过粗加工、检验、粗加工、检验、定为废品”五道程序；或是“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、粗加工、检验、定为废品”七道程序．所以，由工序流程图知须经过5或7道工序．故选：B．【点评】本题考查工序流程图的应用问题，解题时应认真审题，做到不漏不重，是基础题．3. 若，且，则( )A.0B.1C.D.参考答案：A略4. （x3+）10的展开式中的常数项是（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索．此后，该网站的点击量每月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（）A．2倍以上，但不超过3倍B．3倍以上，但不超过4倍C．4倍以上，但不超过5倍D．5倍以上，但不超过6倍参考答案：D6. 下列命题是真命题的是（）A．使得 B．使得C．恒有 D．恒有参考答案：D解：故D正确7. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=xm，根据俯角的定义得到∠MAC=45°，∠MAD=30°，由平行线的性质得到∠D=30°，∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x，根据含30度的直角三角形三边的关系得DB=AB，即100+x=x，解出x即可．【解答】解：设AB=xm，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，在Rt△ABC中，BC=AB=x，在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，∴DB=AB，即100+x=x，解得x=50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．8. 已知与共线，则=A． 8 B． C．D．参考答案：B9. 已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A． B． C．D．参考答案：D10. 在下列结论中，正确的是（）①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __参考答案：12. 设关于的不等式的解集中整数的个数为，则数列的前项和=____________.参考答案：13. 幂函数 f （x ）=x α（α∈R ） 过点，则 f （4）=．参考答案：2 略14. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为___________ . 参考答案： 1215. 已知点P 为双曲线右支上一点，为双曲线的左、右焦点。
广西南宁市2020年(春秋版)高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
广西南宁市2020年（春秋版）高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·新宁模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A . 球B . 圆锥C . 圆台D . 圆柱2. （2分） (2018高二上·山西月考) 直线的倾斜角是A .B .C .D .3. （2分）现有编号为1—5的5名学生到电脑上查阅学习资料，而机房只有编号为1—4的4台电脑可供使用，因此，有两位学生必须共用同一台电脑，而其他三位学生每人使用一台，则恰有2位学生的编号与其使用的电脑编号相同的概率为（）A .C .D .4. （2分）(2017·安徽模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为5，则输出的S的值为（）A . 17B . 36C . 52D . 725. （2分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A .B .D .6. （2分） (2017高二上·四川期中) 与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 在一次测试中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C （3，4），D（4，5），则y与x的回归方程为（）A . =x﹣1B . =2x+1C . =x+2D . =x+18. （2分） (2018高二下·柳州月考) 在中，，，，一只小蚂蚁从的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在内任意行动时安全的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高三上·浦东期中) 在下列命题中，不是公理的是（）A . 两条相交直线确定一个平面B . 不在同一条直线上的三点确定一个平面C . 如果直线上有两个点在平面α上，那么直线在平面α上D . 如果不同的两个平面α、β有一个公共点A，那么α、β的交集是过点A的直线．10. （2分）(2020·重庆模拟) 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分）设点A（3，﹣1），B（﹣1，﹣4），直线过P（2，2）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A . ﹣3≤k≤2B . k≥2或k≤﹣3C . ﹣2≤k≤3D . k≥3或k≤﹣212. （2分）(2017高一下·牡丹江期末) 在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·邹平期中) 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．14. （1分）绵阳南山中学实验学校2016年高考实现“高考冠军”三联冠，特别是文科补习生平均涨分102.45，理科补习生平均涨分121.32．现从2016年补习生中随机选出45名学生，得到其所涨分数的茎叶图如图所示，若将涨分由低到高编为1﹣45号，再用系统抽样的方法从中抽取9名学生，则这9名学生所涨分数在[111，144]内的有________名．15. （1分）(2018·栖霞模拟) 若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为________．16. （1分）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程为________ 。
2021年广西壮族自治区南宁市示范性普通中学高二数学理上学期期末试题含解析
2021年广西壮族自治区南宁市示范性普通中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线与直线，“”是“直线与抛物线有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件；C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 观察下列各式，，，，，…，则的十位数是（）A. 2B. 4C. 6D. 8参考答案：C【分析】通过观察十位数的数字特征可知周期为，根据周期计算可得结果.【详解】记的十位数为经观察易知，，，，，，……可知的周期为则的十位数为：本题正确选项：C【点睛】本题考查利用数列的周期性求解数列中的项，关键是能够通过数字变化规律发现数列的周期性.3. 若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是A．(1，－2,0) B．(0，－2,2) C．(2，－4,4) D．(2,4, 4)参考答案：C略4. 设集合,,则（▲ ）A. B. C. D.参考答案：C略5. 在ABC中sin2A≤sin2B+sin2C—sinBsinC，则A的取值范围是 ( )(A)(0，] (B)[ ，) (C)(0,] (D)[ ，)参考答案：C6. 如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为()A．假言推理B．关系推理C．完全归纳推理D．三段论推理参考答案：D略7. 函数的定义域为D，若对于任意，，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下的三个条件：①，②，③，则（）A． B．C．1 D．参考答案：A略8. 复数的值是（）A．B．C．D．参考答案：B9. 若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k 的值为( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．【解答】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴k=±．故选A．【点评】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．10. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（）（A）（B） (C) (D)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数对任意的恒成立，则。
广西南宁市2020版数学高二上学期理数期末考试试卷D卷
广西南宁市2020版数学高二上学期理数期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）“”是“”（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）(2018·广元模拟) 已知向量，且，则的值是（）A . -1B .C . -D .3. （2分） (2019高二上·北京月考) 已知的顶点A、C在椭圆上，顶点B是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在AC边上，则的周长是（）A .B . 6C .D . 124. （2分）命题“ ，都有成立”的否定为（）A . ，使成立B . ，使成立C . ，都有成立D . ，都有成立5. （2分）对抛物线，下列描述正确的是（）A . 开口向上，焦点为B . 开口向上，焦点为C . 开口向右，焦点为D . 开口向右，焦点为6. （2分）双曲线的焦距是10，则实数m的值是（）A . -16B . 4C . 16D . 817. （2分） (2018高一下·泸州期末) 已知，，且，则k的值为A . 3B . 12C .D .8. （2分）已知，其中A,B,C三点共线，O是线外一点，则满足条件的x（）A . 不存在B . 有一个C . 有两个D . 以上情况均有可能9. （2分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A .B . 或C .D . 或10. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A . A1E⊥DC1B . A1E⊥BDC . A1E⊥BC1D . A1E⊥AC11. （2分）若点在椭圆上，，分别是该椭圆的两焦点，且，则的面积是（）A . 1B . 2C .D .12. （2分）已知 , 是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ,线段的垂直平分线过点，若椭圆的离心率为 ,双曲线的离心率为，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017高二上·高邮期中) 命题“若α是钝角，则sinα＞0”的逆否命题为________．14. （1分） (2019高二上·上海月考) 双曲线的焦距是________15. （1分） (2019高二下·宝山期末) 已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为________16. （1分） (2020高二下·宁波期中) 已知椭圆，，分别为左、右焦点，A为椭圆上一动点，以为直径作圆Q，圆与圆的位置关系为________．17. （1分）设命题p：对任意的x≥0，都有x2+2x+2≥0，则￢p是________18. （1分） (2019高二上·钦州期末) 椭圆的焦点坐标为和，则的值为________．三、解答题 (共5题；共40分)19. （10分） (2016高二上·唐山期中) 已知椭圆C的方程为： =1（a＞0），其焦点在x轴上，离心率e= ．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P（x0 ， y0）满足，其中O为坐标原点，M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求证：x02+2y02为定值．（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．20. （5分）已知命题p：∃x0∈[0，2]，log2（x0+2）＜2m；命题q：关于x的方程3x2﹣2x+m2=0有两个相异实数根．（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．21. （10分） (2019高二下·青浦期末) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马．如图所示，在阳马中，底面．（1）若，斜梁与底面所成角为，求立柱的长（精确到）；（2）证明：四面体为鳖臑；（3）若，，，为线段上一个动点，求面积的最小值．22. （10分） (2020高一下·宝应期中) 如图所示，已知是以AB为底边的等腰三角形，点，，点C在直线：上．（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）设直线CD与y轴交于点，求的面积．23. （5分）设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共40分) 19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。
南宁市高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷(测试)
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 某田径队有男运动员42人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本．若抽到的女运动员有5人，则n的值为________．
14. （1分） (2017高一下·黄山期末) 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学，则这两名同学成绩相同的概率是________．
15. （1分） (2016高一上·周口期末) 在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为 ， ， ，则该三棱外接球的表面积为________
16. （1分） (2018·重庆模拟) 已知双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的左支上， 与双曲线右支交于点 ，若 为等边三角形，则该双曲线的离心率是________．
16-1、
三、 解答题 (共6题；共50分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
18-3、答案：略
19-1、
20-1、
21-1、
22-1、答案：略
22-2、答案：略
7. （2分） 已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（ ）
A . =1.23x＋4
B . =1.23x+5
C . =1.23x+0.08
D . =0.08x+1.23
8. （2分） (2016高一下·防城港期末) 在区间[﹣ ， ]上随机取一个数x，则事件“0≤sinx≤1”发生的概率为（ ）
南宁市高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷(考试)
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题． (共6题；共50分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
20-2、
21-1、
22-1、
22-2、
16. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知椭圆 =1（0＜b＜3），左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1的直线交椭圆于两点A，B，若|BF2|+|AF2|的最大值为8，则b的值是________．
三、 解答题． (共6题；共50分)
17. （10分） (2016高三上·盐城期中) 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足 ＜0．
D . 120°
6. （2分） 已知椭圆 的离心率 ， 右焦点为 ， 方程 的两个实根 ， 则点 （ ）
A . 必在圆 内
B . 必在圆 上
C . 必在圆 外
D . 以上三种情况都有可能
7. （2分） 全集U=R,集合 ， 则 （ ）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高二下·曲靖期末) 如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0， ＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为 ，则f（﹣1）=（ ）
（1） 求椭圆C的离心率；
（2） 设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．
参考答案
一、 选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
2020-2021学年广西南宁市邕宁高中高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广西南宁市邕宁高中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝2x2的准线方程是（）A．x＝B．x＝﹣C．y＝D．y＝﹣2．如果等差数列{a n}中，a3+a5＝8，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．353．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a7＝2a42，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．24．已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．5．命题“∀x≥1，使得x2﹣2x+7＞0”的否定是（）A．∃x0≥1，使得x02﹣2x0+7≤0B．∃x0＜1，使得x02﹣2x0+7≤0C．∀x＜1，使得x2﹣2x+7≤0D．∀x≥1，使得x2﹣2x+7≤06．数列{a n}，{b n}满足a n•b n＝1，a n＝n2+n，则{b n}的前10项和为（）A．B．C．D．7．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝4，则的最小值为（）A．B．C．2D．48．已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x＝0截得的线段长为（）A．B．3C．D．9．抛物线y2＝4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A．y2＝x﹣1B．y2＝2（x﹣1）C．D．y2＝2x﹣110．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点为F1，F2，过F2作一条渐近线的垂线，垂足为M，若|MF1|＝|OM|，则E的离心率为（）A．B．2C．D．11．已知椭圆C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝112．已知圆O1：（x﹣2）2+y2＝16和圆O2：x2+y2＝r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为．14．设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“”的条件．15．设数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+n，则通项a n＝．16．在数列{a n}中，a1＝，＝，n∈N+，且b n＝，记P n＝b1•b2•b3…b n，S n＝b1+b2+b3+…+b n，则3n+1P n+S n＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若a cos C+（c+2b）cos A ＝0．（1）求A；（2）若a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．18．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，且A是抛物线上一点．（1）若|AF|＝4，求点A的坐标；（2）直线l：y＝x+m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．19．已知数列{a n}满足a1＝且a n+1＝3a n+1．（1）证明数列是等比数列；（2）设数列{b n}满足b1＝1，b n+1﹣b n＝a n+，求数列{b n}的通项公式．20．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD＝4，E为PA的中点．（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求三棱锥E﹣ABD的体积．21．已知点P n（n，a n）（n∈N*）在直线l：y＝2x﹣1上，数列{b n}的前n项和为S n，已知b1＝1，S n+1﹣2S n＝1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）已知数列{a n•b n}的前n项和为T n，若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣3）k≥4n2﹣24n+27成立，求实数k的取值范围．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．且椭圆C过点（，﹣），离心率e＝；点P在椭圆C上，延长PF1与椭圆C交于点Q，点R是PF2中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S，求S的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝2x2的准线方程是（）A．x＝B．x＝﹣C．y＝D．y＝﹣解：根据题意，抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，其焦点在y轴上，且2p＝，则p＝，则抛物线的准线方程为：y＝﹣；故选：D．2．如果等差数列{a n}中，a3+a5＝8，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35解：∵等差数列{a n}中，a3+a5＝8，∴a3+a5＝2a4＝8，解得a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝7a4＝7×4＝28．故选：C．3．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a7＝2a42，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．2解：等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a7＝2a42，a2＝1，∴，解得a1＝，q＝．故选：B．4．已知椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．解：椭圆C：+＝1的一个焦点为（2，0），可得a2﹣4＝4，解得a＝2，∵c＝2，∴e＝＝＝．故选：C．5．命题“∀x≥1，使得x2﹣2x+7＞0”的否定是（）A．∃x0≥1，使得x02﹣2x0+7≤0B．∃x0＜1，使得x02﹣2x0+7≤0C．∀x＜1，使得x2﹣2x+7≤0D．∀x≥1，使得x2﹣2x+7≤0解：命题是全称命题，则否定是：∃x0≥1，使得x02﹣2x0+7≤0，故选：A．6．数列{a n}，{b n}满足a n•b n＝1，a n＝n2+n，则{b n}的前10项和为（）A．B．C．D．解：由题意，可得b n＝＝＝＝﹣，故{b n}的前10项和为b1+b2+…+b10＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：B．7．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝4，则的最小值为（）A．B．C．2D．4解：∵a＞0，b＞0，且4＝2a+b∴ab≤2∴∴的最小值为故选：B．8．已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x＝0截得的线段长为（）A．B．3C．D．解：∵双曲线的离心率e＝，∴双曲线是等轴双曲线，则双曲线的一条渐近线为y＝x，代入x2+y2﹣6x＝0得x2+x2﹣6x＝0，即x2﹣3x＝0，得x＝0或x＝3，对应的y＝0或y＝3，则交点坐标为A（0，0），B（3，3），则|AB|＝＝3，故选：D．9．抛物线y2＝4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A．y2＝x﹣1B．y2＝2（x﹣1）C．D．y2＝2x﹣1解：由题知抛物线焦点为（1，0）设焦点弦方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0由韦达定理：x1+x2＝所以中点横坐标：x＝＝代入直线方程中点纵坐标：y＝k（x﹣1）＝．即中点为（，）消参数k，得其方程为y2＝2x﹣2故选：B．10．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点为F1，F2，过F2作一条渐近线的垂线，垂足为M，若|MF1|＝|OM|，则E的离心率为（）A．B．2C．D．解：由题意知，F2（c，0），渐近线方程为y＝±x，不妨取过点F2作渐近线y＝x的垂线，则|MF2|＝＝b，∴|OM|＝＝＝a，cos∠MF2F1＝＝，∴|MF1|＝|OM|＝a，在△MF1F2中，由余弦定理知，cos∠MF2F1＝＝＝，化简得，4c2﹣6a2＝3b2＝3（c2﹣a2），即c2＝3a2，∴E的离心率为e＝＝．故选：A．11．已知椭圆C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝＝．cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝12．b2＝a2﹣c2＝12﹣4＝8．椭圆C的方程为：+＝1．故选：A．12．已知圆O1：（x﹣2）2+y2＝16和圆O2：x2+y2＝r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|＝4﹣r＝2a，∴e1＝．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|＝4+r＝2a′，∴e2＝∴e1+2e2＝+＝，令12﹣r＝t（10＜t＜12），e1+2e2＝2×≥2×＝＝故选：A．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为11．解：不等式组对应的平面区域如图由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，则由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，2），此时z＝3×3+2＝11，故答案为：11．14．设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“”的必要不充分条件．解：因为x2﹣5x＜0等价于0＜x＜5，等价于1＜x＜2，又（1，2）⫋（0，5），所以“x2﹣5x＜0”是“”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．15．设数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+n，则通项a n＝．解：数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+n，则：a n﹣a n﹣1＝n﹣1，a n﹣1﹣a n﹣2＝n﹣2，…，a2﹣a1＝1，故a n﹣a1＝1+2++n﹣1＝，所以（首项符合通项），故答案为．16．在数列{a n}中，a1＝，＝，n∈N+，且b n＝，记P n＝b1•b2•b3…b n，S n＝b1+b2+b3+…+b n，则3n+1P n+S n＝3．解：∵＝，b n＝，∴，，∴P n＝b1•b2•b3…b n＝，S n＝b1+b2+b3+…+b n＝，则3n+1P n+S n＝．故答案为：3．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若a cos C+（c+2b）cos A＝0．（1）求A；（2）若a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．解：（1）∵a cos C+（c+2b）cos A＝0，∴由正弦定理可得：sin A cos C+（sin C+2sin B）cos A＝0，可得sin A cos C+sin C cos A+2sin B cos A ＝0，可得sin（A+C）+2sin B cos A＝0，即sin B+2sin B cos A＝0，∵sin B≠0，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）由，b+c＝4，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，即有12＝16﹣bc，∴bc＝4，∴△ABC的面积为．18．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，且A是抛物线上一点．（1）若|AF|＝4，求点A的坐标；（2）直线l：y＝x+m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．解：（1）设A（x0，y0），，，∴x0＝2，∴点A的坐标为：（2，4），（2，﹣4）．（2）由，得x2+（2m﹣8）x+m2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝8﹣2m，，∴y1+y2＝x1+x2+2m＝8，，又∴OP⊥OQ，∴，∴m＝0或m＝﹣8，经检验，当m＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O重合：不符合题意，当m＝﹣8时，△＝（﹣24）2﹣4×64＞0，符合题意．综上，实数m的值为﹣8．19．已知数列{a n}满足a1＝且a n+1＝3a n+1．（1）证明数列是等比数列；（2）设数列{b n}满足b1＝1，b n+1﹣b n＝a n+，求数列{b n}的通项公式．【解答】（1）证明：依题意，由a n+1＝3a n+1，两边同时加上，可得a n+1+＝3a n+1+＝3（a n+），∵a1+＝+＝1，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，（2）由（1），可知，∴，n∈N*，∴＝3n﹣1﹣+＝3n﹣1，（n≥1）则b1＝1，b2﹣b1＝1，b2﹣b1＝31，…，b n﹣b n﹣1＝3n﹣2，（n≥2）各项相加，可得b n＝1+1+31+…+3n﹣2＝1+＝，又∵当n＝1时，b1＝1也满足上式，∴．20．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD＝4，E为PA的中点．（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求三棱锥E﹣ABD的体积．解：（1）证明：连接AC，BD，交于点O，连接EO，∵正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E是PA的中点，∴EO∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面EBD．（2）连接PO，∵正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD＝4，E为PA的中点．∴OA、OB、OP两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），A（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），D（0，﹣2，0），＝（，﹣2，），平面PBD的法向量＝（1，0，0），设直线BE与平面PBD所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（3）∵E是PA的中点，∴E到平面的距离d＝＝＝，∴三棱锥E﹣ABD的体积为：V E﹣ABD＝＝＝．21．已知点P n（n，a n）（n∈N*）在直线l：y＝2x﹣1上，数列{b n}的前n项和为S n，已知b1＝1，S n+1﹣2S n＝1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）已知数列{a n•b n}的前n项和为T n，若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣3）k≥4n2﹣24n+27成立，求实数k的取值范围．解：（1）由题意a n＝2n﹣1，又S n+1﹣2S n＝1，∴S n﹣2S n﹣1＝1（n≥2），两式相减得b n+1﹣2b n＝0，即b n+1＝2b n，又∵b1＝1，∴S2＝1+2S1＝3，b2＝2，b2＝2b1，∴{b n}是等比数列，∴；（2），①，则②，①﹣②得：＝1+2n+1﹣4﹣（2n﹣1）×2n＝﹣3﹣（2n﹣3）×2n，∴．对任意n≥2，n∈N*，不等式可化为，设，，n≤5时，f（n+1）﹣f（n）＞0，f（n+1）＞f（n），n≥6时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），∴{f（n）}中f（6）最大，，∴．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．且椭圆C过点（，﹣），离心率e＝；点P在椭圆C上，延长PF1与椭圆C交于点Q，点R是PF2中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S，求S的最大值．解：（I）依题意，＝1，则，解得a＝2，b＝，c＝1，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）由O，R分别为F1F2，PF2的中点，故OR∥PF1．故△PF1R与△PF1O同底等高，故＝，S＝+＝S△PQO，当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x＝﹣1，此时S△PQO＝×1×[﹣（﹣）]＝，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为：y＝k（x+1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线PQ不与x轴重合，即k≠0；联立解得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＝144（k2+1）＞0，故，故|PQ|＝|x1﹣x2|＝＝，点O到直线PQ的距离d＝，S＝|PQ|d＝6，令u＝3+4k2∈（3，+∞），故，故S的最大值为。