苏教版高中数学高二选修2-1课件 椭圆的几何性质(一)
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跟踪演练3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点
F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上
一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率.
解 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1 (a>b>0).
如题图所示，则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，
直线PF1的方程为x＝－c， 代入方程ax22＋by22＝1，得 y＝±ba2，∴P(－c，ba2).
∵e＝ac＝ 36，∴c＝ 36a， ∴b2＝a2－c2＝a2－23a2＝13a2，
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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∴a2＝3b2＝27，∴椭圆的标准方程为2y72 ＋x92＝1. 综上可知，椭圆的标准方程是x92＋y32＝1 或2y72 ＋x92＝1.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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要点三 求椭圆的离心率
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
30
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
31
为直线 x＝32a上一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形， 3
则 E 的离心率为____4____
解析 由题意可得PF2＝F1F2， ∴2(32a－c)＝2c，∴3a＝4c，∴e＝43.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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课堂小结
1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式. 2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先 定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能 确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴 长、离心率e、焦距. 3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.
1234
1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个 顶点是(－10,0)，则焦点坐标为_(_0_，__±__6_9_)__. 解析 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
则 c＝ a2－b2＝ 69，故焦点坐标为(0，± 69).
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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1234
例3 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦 点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标， 其纵坐标等于短半轴长的 23，求椭圆的离心率. 解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.
则焦点为 F1(－c,0)，F2(c,0)，M 点的坐标为(c，23b)，
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
2.若椭圆中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为1 ，
则椭圆的标准方程为__x92_＋__y8_2_＝__1___.
3
解析 ∵c＝1，e＝31，∴a＝3，b2＝32－1＝8. ∵焦点在 x 轴上，∴椭圆的标准方程为x92＋y82＝1.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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1234
3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列， 3
第2章——
2.2.2 椭圆的几何性质(一)
[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它 的图形. 2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它 的性质，画图.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接] 观察椭圆ax22＋by22＝1 (a>b>0)的形状，你能从图中看出它的范
围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 答：(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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规律方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标 准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴 上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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跟踪演练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴
长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦 点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点 所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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跟踪演练 2 已知椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ 36，求椭圆的
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2.离心率的作用 当椭圆的离心率越 接近于1 ，则椭圆越扁；当椭圆离心 率越 接近于0，则椭圆越接近于圆.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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课堂讲义重点难点，个个击破来自要点一 椭圆的几何性质
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、
焦点和顶点坐标. 解 已知方程化成标准方程为1x62 ＋y92＝1，
则该椭圆的离心率是____5____.
解析 由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b， 又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0， ∴e＝35或 e＝－1(舍去).
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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4.设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P
解
椭圆的方程
m2x2＋4m2y2＝1
(m>0)可转化为
x2 1
＋
y2 1
＝1.
∵m2<4m2，∴m12>4m1 2，
m2 4m2
∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a＝m1 ，短半轴长 b＝21m，
半焦距长 c＝2m3.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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∴椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ， 焦点坐标为(－2m3，0)，(2m3，0)，
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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规律方法 求椭圆离心率的方法： ①直接求出 a 和 c，再求 e＝ac，也可利用 e＝
1－ba22求解.
②若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的
齐次等式关系，然后整理成 c 的形式，并将其视为整体， a
就变成了关于离心率e的方程，进而求解.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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则△MF1F2为直角三角形.
在 Rt△MF1F2 中，F1F22＋MF22＝MF21， 即 4c2＋49b2＝MF21. 而 MF1＋MF2＝ 4c2＋49b2＋23b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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又 c2＝a2－b2，所以 3b＝2a.所以ba22＝49. 所以 e2＝ac22＝a2－a2b2＝1－ba22＝59，所以 e＝ 35.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB. ∴FP1FF12＝AOOB，∴2ba2c＝ab，∴b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝51.
∴e2＝51，即
e＝
55，∴椭圆的离心率为
5 5.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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当堂检测
当堂训练，体验成功
从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是6y42 ＋4x82 ＝1.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同
侧顶点的距离为 3.
a＝2c， 解 由已知得
a＝2 3， ∴
从而 b2＝9，
a－c＝ 3， c＝ 3.
∴所求椭圆的标准方程为1x22 ＋y92＝1 或x92＋1y22 ＝1.
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
4
[预习导引] 1.椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
5
标准方程 范围
ax22＋by22＝1(a>b>0) －a≤x≤a ， －b≤y≤b
ay22＋bx22＝1(a>b>0) －b≤x≤b ， －a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) ， A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(0,－b)，B2(0,b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝ 2b ，长轴长＝ 2a
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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焦点 焦距 对称性 离心率
(± a2－b2，0)
(0，± a2－b2)
F1F2＝2 a2－b2 对称轴： x轴、y轴 对称中心：原点
e＝ c ∈ (0,1) a
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
标准方程.
解 ∵所求椭圆的方程为标准方程， 又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点. ①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3， ∵e＝ac＝ 36，∴c＝ 36a＝ 36×3＝ 6，
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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∴b2＝a2－c2＝32－( 6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x92＋y32＝1. ②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
2.2.2 椭圆的几何性质（一）
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离心率 e＝ac＝ 47， 又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是 F1(－ 7，0)和 F2( 7，0)， 四 个 顶 点 坐 标 分 别 是 A1( － 4,0) ， A2(4,0) ， B1(0 ， － 3) 和 B2(0,3).
高中数学苏教版选修2-1课件： 2.2.2 椭圆的几何性质 课件1
B
D
F1 O F2 C A x
设椭圆方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) .
由题意知 AC=439，BD=2384，F2C= F2D=6371.
a-c=OA-OF2= F2A=439+6371=6810，
a+c=OB-OF2= F2B=2384+6371=8755，
解得 a=7782.5，c=972.5.
需要构造一个“稳定”的量来表示偏心率，最后发现
(aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a
c) c)
(a (a
c) c)
c a
的值和椭圆大小无关却能很好地刻画椭圆的扁平程度，因此，大家就
c 选择了 a 表示离心率。
例 2.我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球的
中心（简称“地心”） F2 为焦点的椭
y
圆.已知它的近地点 A （离地面最近
离心率跟天文学家有关，并且在天文学中广泛应用。
16世纪时天文学家发现太阳系的八大行星
都是绕着以太阳为焦点的椭圆形轨道运行，
这些轨道偏离太阳的程度称为“偏心率”，
a+c
A1
其中在近日点处离太阳最近，偏离距离为a-c，
P
a-c
F2
A2
在远日点处离太阳最远，偏离距离为a+c，这两
个值不仅和运行轨道的扁平程度有关，还受轨道大小的影响，人们
所以 b a2 c2 (a c)(a c) 7722.
因此，卫星运行的轨道方程是
x2 77832
y2 77222
1.
标准 方程
图形
苏教版高中数学选修1-1课件第二章 2.2.2 椭圆的几何性质(一)ppt版本
本课结束
再见
2019/11/21
解析答案
12345
3.如图，已知直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则
25 椭圆的离心率为___5_____.
解析 ∵x－2y＋2＝0，
∴y＝12x＋1，而bc＝12，
即
a2－c2 c2＝12，∴ac22＝54，ac＝2
5
5 .
解析答案
12345
4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的 3
解析答案
题型二 由椭圆的几何性质求方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为12，焦距为 8； 解 由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝ac＝4a＝12，∴a＝8， 从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是6y42 ＋4x82 ＝1.
解析 ∵焦点在 y 轴上，∴0<m<2，
∴a＝ 2，b＝ m，∴c＝ 2－m，
又 e＝ac＝12，∴ 2－2 m＝12，解得 m＝32.
解析答案
课堂小结
1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式. 2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先 定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能 确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、 离心率e、焦距. 3.求椭圆的离心率要注意函数与方程思想、数形结合思想的应用.
焦点的位置
焦点在x轴上
顶点
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
－a≤x≤a, －b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
__A_1_(－__a_,_0_)_，__A_2(_a_,_0_) _，__ B1(0，－b)，B2(0，b)
【优化方案】高中数学 第2章2.2.2椭圆的几何性质精品课件 苏教版选修2-1
提示：a＝|F2B2|，b＝|OB2|， c＝|OF2|， c |OF2| e＝a＝ ＝cos∠OF2B2. |F2B2|
课堂互动讲练
考点突破 由几何性质求椭圆的标准方程 利用椭圆的几何性质，能够完成基本量 a ， b，c，e之间的互求；按照题中的要求，可以 正确地写出长轴长、短轴长、长半轴长、短 半轴长、焦距、离心率等；根据Байду номын сангаас圆所满足 的几何条件，可以求椭圆的标准方程．
∴a ＝4＋12＝16， 即所求椭圆标准方程 x2 y2 为 ＋ ＝1. 16 4 x2 y2 (2) 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)， 75 4 则 2＋ 2＝1，① 4a b 3 c 3 3 由已知 e＝ ，∴a＝ ，∴c＝ a. 5 5 5
2
3 2 16 2 2 ∴b ＝a －c ＝a －( a) ，即 b ＝ a .② 5 25 75 4×25 2 把②代入①得， 2＋ 2 ＝1，解得 a ＝ 4a 16a 25，∴b2＝16， x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程： ＋ ＝1. 25 16 (3)依题意知 A、B 应为椭圆的两个顶点， 且 a＝5，b＝4，焦点在 y 轴上． y 2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为： ＋ ＝1. 25 16
标准方 程
范围
x2 y2 2＋ 2＝1(a>b>0) a b
－a≤x≤a且－ b≤y≤b
y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0) ________________ a2 b2
－b≤x≤b且－ a≤y≤a
焦点的 位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
A1(0，－a)、A2(0， A1(－a,0)、A2(a,0)， a)，B1(－b,0)、 顶点 B1(0，－b)、B2(0，b) B2(b,0) 短轴长＝____ 2b ，长轴长＝____ 轴长 2a F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) 焦点 2c |F1F2|＝____ 焦距 (0,0) x轴、y轴，对称中心_____ 对称轴________ 对称性 c e＝ (0<e<1) _________________ a 离心率
苏教版高中数学选修(1-1)课件椭圆的几何性质(1)1
解：⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的
坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是
椭，圆 故的 a＝顶3点，，b＝于2是，焦所点以在椭x圆轴的上标，准且方点程P、为Qx92分 别y42 是 1椭圆长轴与短轴的一个端点
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心Biblioteka 。a[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆
B1
3、椭圆的顶点
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点？
令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？
*顶点：椭圆与它的对称轴
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤a,|y|≤b
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质 Word版含解析
2．2.2椭圆的几何性质[对应学生用书P22]建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？提示：由y2b2＝1－x2a2≥0，得－a≤x≤a.同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －a≤y≤a，－b≤x≤b 顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e＝ca∈(0,1)1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1]求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨]本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]椭圆的方程可化为x2＋y281＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝81－1＝80＝4 5，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝4 59.[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为13，则m 的值为________．解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4， 得m －4m＝13.解得m ＝92. 当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ， 得4－m 2＝13，解得m ＝329. 答案：92或3292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为20，离心率等于45；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝c a ＝45，∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 236＝1或y 2100＋x 236＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有 22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1.② 由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13， 又e ＝c a ＝513，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎣⎡⎦⎤12c 2，3c 2，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点， ∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 PF 1·PF 2， 即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． ∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2， ∴13≤e 2≤2，∴33≤e ≤ 2. ∵0<e <1，∴33≤e <1， ∴椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.[一点通]1．椭圆的离心率的求法： (1)直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝1－b 2a 2，求出ba后求e . (2)将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于ca(e )的方程求e .2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则由已知得2a ＋2c ＝4b . 即a ＋c ＝2b ， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝54b ，c ＝34b ，e ＝35.答案：356．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且1PF u u u r ·2PF u u u r的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)，则1PF u u u r ＝(－c －x ，－y )，2PF u u u r＝(c －x ，－y )， 1PF u u u r ·2PF u u u r＝x 2＋y 2－c 2，又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，(1PF u u u r ·2PF u u u r)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.答案：⎣⎡⎦⎤12，22与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是115R 、13R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则地心F 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则⎩⎨⎧a －c ＝R ＋R 15，a ＋c ＝R ＋R3，解得⎩⎨⎧a ＝65R ，c ＝215R .∴b 2＝a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎫65R 2－⎝⎛⎭⎫215R 2＝6445R 2. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x 23625R 2＋y 26445R 2＝1. [一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a＝1 700＋2×1 800＋200，∴a＝2 750.又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375.∴e＝ca ＝3752 750＝322.答案：3 228．已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得PF1＋PF2＝4.由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝ 3.∴P点的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)，同理Q点轨迹方程同上．(2)S▱PF1QF2＝F1F2·|y P|≤2c·b＝23(km2)，所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________________________________________________________________________．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4. 故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1. 7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1， 由m >0，易知m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程． 解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P (－c ，b 2a)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求椭圆的标准方程为x210＋y25＝1.。
高中数学苏教版选修2-1课件：2.2.2椭圆的几何性质
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
由
x =a
o
x
y = -b
2、顶点： ①、称为椭圆的顶点：
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质课件苏教版选修2_1
4、椭圆的离心率:
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：
[1]离心率的取值范围： [2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 1，椭圆越扁. 2）e 0，椭圆越圆.
[3]e与 a, b 的关系:
ec a
a2 b2 1 b2
a2
a2
标准方程
范围 对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
x2 a2
y2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
上的任意一点，则 x, y能否取任意值？
问题2：椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 有何对称性?
如何根据椭圆方程判断出曲线的对称性?
问题3：什么是椭圆的顶点、长轴、短轴、 长半轴长、短半轴长？椭圆有几个顶点？
1、范围：
椭圆落在
A1 F1
组成的矩形中.
y
B2
o
x F2 A2
椭圆的几何性质(一)
复习：
1.椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于
|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程是： 当焦点在 x轴上时
当焦点在y轴上时
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
请同学们阅读课本P34，回答下列问题：
问题1:
设
P(ห้องสมุดไป่ตู้
x,
y)是椭圆
b
0)
x a, y b
x
y
关于x轴、y轴成轴对称；
关于原点成中心对称.
(a,0), 0,b
c,0
长半轴长为 a,
短半轴长为b. a b e c a
高二数学选修2-1椭圆的几何性质课件(1)
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
关于y轴对称
P2（-x，y） P（x，y）
Y
O
X
关于原点对称
P3（-x，-y） P1（x，-y）
关于x轴对称
从方程上看：
（1）把x换成-x，方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y，方程不变，图象关于x轴对称；
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
= 1
y
· F
1
o
· F
2
x
x2 a2
＋
y2 2 b
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象 关于原点成中心对称。
58
三、椭圆的顶点
x y 2 1( a b 0) 2 a b
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ 令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ y B2 (0,b) *顶点：椭圆与它的对称轴 共有四个交点，即A1，A2， a b B1，B2，这四个点叫做椭 A2(a，0) A1 圆的顶点。 o c F2 (-a，0) F1 *长轴、短轴：线段A1A2叫 做椭圆的长轴，它的长等 于2a；线段B1B2叫做椭圆 的短轴，它的长等于2b；a、 b分别叫做椭圆的长半轴长 09:25:17 和短半轴长。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质课件苏教版选修2-1
由椭圆的几何性质求方程的方法步骤 1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． 2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定 参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出 a2，b2 的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
求离心率 (1)(2016·安阳高二检测)如图 2-2-2，已知 F 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞ 0)的左焦点， P 是椭圆上的一点，PF⊥x 轴， OP∥AB(O 为原点), 则该椭圆的 离心率是______．
(±c,0)
F1F2＝_2_c__ __x_轴__，__y_轴____
(0，±c)
___(_0_,0_)__
e＝__ac_(_0_＜__e_＜__1_) _
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的长轴长等于 a.(
)
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a－c.( )
研究椭圆几何性质的方法 求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清 楚焦点的位置，这样便于直观地写出 a，b 的数值，进而求出 c， 求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几 何性质．
由椭圆的几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是 6，离心率是23； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在 x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点 的连线互相垂直，且焦距为 6. 【精彩点拨】 确定焦点位置 → 设标准方程 → 求出a2，b2 → 写出标准方程
(2)由题意知焦点在 x 轴上， 故可设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，且两焦点 为 F′(－3，0)，F(3,0)． 如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2 ＝18. ∴椭圆的标准方程为1x82 ＋y92＝1.
高中数学椭圆 椭圆的简单几何性质苏教版选修2-1
椭圆 椭圆的简单几何性质◆ 知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．◆ 过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P 48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ． （iii ）例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为5e =求m 的值．解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===253m =⇒=． 例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-． ◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第52页1、2、3、4、5、6、7作业：第53页4、5。