第一章_周期结构讲解

不变子群条件要求 Rl 仍为正格矢，即点阵经旋转等点群操作后应与自身重合，
这就限制了晶体中只可能出现2、3、4、6次旋转轴，使晶体空间群成为有限群
（1 ）布里渊区（BZ）中En(k)的对称性
设晶体属于空间群 | t，则晶体的哈密顿H应与 | t对易，即H对于空间群
| t的一切操作是不变的，有对称性：
a2 a1
The primitive cells and vectors in a 2D lattice
Cell：The smallest unit in the lattice, which can serve as a building block
for the crystal structure.
k'k K n


那么 exp( i k' Rl ) exp( i k Rl )
第一布里渊区：任意两个波矢之差小于一个最短的倒格矢的区域。
限于第一布里渊区（BZ）的波矢叫简约波矢，简约区体积为*，其中有N个 不同的波矢，它们可以唯一地标记平移群的N个不可约表示。

k ai
普遍适用于周期结构中的电子、声子和自旋波等
3. 求和与积分关系

相邻k值的间距

ki

bi Ni
(i=1, 2, 3)
每一许可k值所占的体积为



k1 ( k2 k3 )

* N1N2 N3

(2 )3
N

(2 )3
V
V 为晶体体积
V k空间单位体积内的有 (2 )3 个不同的波矢
Chapter 1 Periodic Structure
1.Crystal Lattice and Reciprocal Lattice
The most important characteristics of Crystals: Periodic Array of Atoms（ions, Molecules)------Lattice
波恩-卡门边界条件 严格讲，只有无限理想晶体才具有平移对称性； 实际晶体的尺寸比元胞大得多，表面效应并不重要；
边长为Na1, Na2, Na3 的有限晶体沿a1, a2, a3 三个方向首尾相接形成 循环边界条件。
波恩-卡门循环边界条件在数学上表现为：
E | Niai E | Niai 1 E | 0
N
个平移算符
E
|

Rl

组成平移群
波恩-卡门循环边界条件
(1)任意两次相继的平移仍为一平移；相继两次平移的效果与它们作用的先后次序无关。
(2)满足乘法结合律
(3)存在逆元素。
(4)存在恒等操作 E | 0
3. 布洛赫定理
对于N（N=N1N2N3）个元胞的晶体满足波恩-卡门条件时，具有平移对称性： 由于N阶平移群的每个元素本身自成一个共轭类

2 ij
2


0
(i j) (i j）
(i, j 1,2,3)
2
b1 (a2 a3 )

可求出： b2

2


(a3 a1 )

b3

2


(a1 a2 )




在倒点阵中任一格点的位置矢：K n n1 b1 n2b2 n3 b3 （ni为整数）
E | Rl 1E | RmE | Rl E | Rm
因此，平移群有N个不可约表示
N
n2 N
1
说明平移群的N个不可约表示都是一维的




E | a j 1(r ) ( E | a j r ) (r a j ) D( E | a j )(r )

元胞的体积：* b1 (b2 b3 )
称为倒格矢。
布里渊区 相应的W-S元胞作为倒点阵的元胞：在此多面体边界上的任意一点可 由另一点加上一个倒格矢的平移达到。
当它的中心为原点时，W-S元胞所包含的区域称为第一布里渊区，用BZ表 示，又称简约区
倒点阵与正点阵的关系
* (2 )3
Hkuk (r) E(k)uk (r)
Hk

H

2k 2 2m
i2 m
k
相当作一 正则变换


由于 uk ( r Rl ) uk ( r )
可简化为在一正点阵的一个元胞中求解
有无穷多个分立的本证值 En (k)
因此，晶体中单电子能量是k的多值函数
每一个确定的k描述一套能级 En (k ) 和状态 n,k (r)
Any lattice point in the array can be represented by the lattice vector




Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
l1, l2, l3 are arbitrary integers ，a1, a2, a3are the lattice primitive vectors（or fundamental translation vectors）
(r )d
3r




* n,k
(
r
)
H
n,k
(
r
)d
3
r
En (k)
只是属于该晶体空间群的点群操作。 在每一能带中如果把能量En(k)看作布里渊区中“位置”的函数，它便
具有点阵点群
| 0
的全部对称性，此即简单空间群中En(k)的对称
性。
例如：二维正点阵BZ为正方形，保持BZ不变的点群操作有8个，4mm标记。 对于BZ中矢量k1施于上述点群操作后，它变为k2, k3, k4, k5, k6, k7, k8. 这8个点在 同一能带中有相同的能量。
V
求和变积分：
k
(....)
(2 )3
d 3k(...)
由于晶格结构的周期性，其哈密顿量H与平移算符对易，两者具有共同
的本征函数



布洛赫函数 k (r ) uk (r ) exp( i k r )
在单电子问题中，晶体中一个电子的运动状态可由布洛赫函数描述：
Hk (r) E(k)k (r)
The cell’s volume:：

a1 (a2 a3)
Wigner-sietz cell（W-S cell）
它是由一个格点与最近邻格点（有时也包括次近邻格点）的连线中垂面 所围成的多面体，其中只包含一个结点。 它能更明显地反映点阵的对称性。 它具有所属点阵点群的全部对称性（旋转、反射、反演操作）。
Rl

1


(r)



(r

R)


(r
l1

a1
l2

a2

l3

a3
)
3

exp2i (l j n j / N j )(r )
j1

在倒逆空间中定义一个波矢

k
3
nj

b
Nj
j1 j
E
|

Rl
1

k

(r)

k

(r
由于
n,k Kn
n,k
En (k Kn ) En (k)
在BZ外布洛赫函数无新态
k限于BZ，是取以k=0为中心的W-S元胞
由于确定n值的 En (k) 是倒点阵的周期函数，必有能量的上界和下界 不同k同一n的所有能级包括在界内，组成一能带。
不同的n代表不同的能带，它们的总体称为晶体的带结构。

( r ) 是一维表示的基函数。 D是表示一维矩阵，实际上是一个数。
D
N
j


(r)

E
|
N
j

aj

1


(r)


E
|
0

(r)


(r)
j=1,2,3
D N j 1,
由此可得：
D exp(2i n j )
Nj
其中nj =0, 1, 2, …
E
|

| 0 ---点群
| ----螺旋轴或滑移反映面
算符相乘： | t | s | s t
逆： | t 1 1 | 1t
晶体空间群的定义：包括平移群作为不变子群的 | t 元素集合
| tE | Rl | t 1 E | Rl

3
Kn Rl 2 nili 2m
i
m为整数
BZ具有晶格点阵点群的全部对称性。
2. 平移对称性
点阵是格点在空间中的无限周期性重复排列； 点阵具有平移对称性，表现为将整体作任意正格矢的平移后，它将恢复原状； 即从空间任意一点出发，作任意正格矢的位移，必达到等效的点上
实际的晶体有界面，但体的尺寸比界面大107 ~108个数量级 因而，界面几乎不影响体的物理特性，与边界条件的选择无关。
(i=1, 2, 3) (K=0的对称多面体，W-S元胞)
固体物理学的几个关系
1. 平移群不可约表示的正交关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
exp[ i(k k') Rl ] N kk'
Rl
2. 平移群特征标的正交关系