基于MATLAB的齿轮传动系统优化设计

基于MATLAB的齿轮传动系统优化设计

摘要：某高速重载齿轮进行了优化设计，在分析齿轮在各工况下的弯曲强度后，根据齿轮的优化设计原则，选择齿轮体积最小为优化设计原则，对传动齿轮中的小齿轮进行了优化设计，设计模数、齿数、齿宽系数、螺旋角为变量，根据各参数的设计要求来确定约束条件，同时根据齿根弯曲疲劳强度和齿面接触疲劳强度进行条件约束，最后用MATLAB进行编程计算，最后得出优化后的结果，该结果满足要求。本文的研究对机械系统的优化设计具有指导意义和工程应用价值。关键词：齿轮；优化设计；MATLAB；

0引言

优化设计是近年发展起来的一门新的学科，也是一项新技术，在工程设计的各个领域都已经得到了更为广泛的应用。通过实际的应用过程表明：工程设计中采用优化设计这种新的科学设计方法，不仅使得在解决复杂问题时，能够从众多纷繁复杂的设计方案中找到尽可能完善的或者最适合的设计方案，而且，采用这种方法还能够提高设计效率和设计质量，使其的经济和社会效益都非常明显。优化设计的理论基础是数学规划，采用的工具是计算机。

优化设计具有一般的设计方法所不具备的一些特点。优化设计能够使各种设计参数自动向更优的方向进行调整，直到找到一个尽可能完善的或最适合的设计方案。一般的设计方法只是依靠设计人员的经验来找到最佳方案，这样不足以保证设计参数一定能够向更优方向调整，也不能够保证一定能找到最适合的设计方案。优化设计的手段是采用计算机，在很短的时间内就可以分析一个设计方案，并判断方案的优劣、是否可行，因此就能够从大量的方案中选出更加适合的设计方案，这是常规设计所不能比的。

1 机械系统优化设计方法概述

许多机械工程设计都需要进行优化。优化过程可以分为三个部分：综合与分析、评价、改变参数三部分组成。其中，综合与分析部分的主要功能是建立产品设计参数与设计性能、设计要求之间的关系，这也就是一个建立数学模型的过程。评价部分就是对该产品的性能和设计要求进行分析，这就相当于是评价目标函数是否得到改善或者达到最优，也就是检验数学模型中的约束条件是否全部得到满足。改变参数部分就是选择优化方法，使得目标函数（数学模型）得到解，同时根据这种优化方法来改变设计参数。

在许多机械工程设计问题中，优化设计的目标是多种多样的，按照所追求的目标的多少，目标函数可以分为单目标函数和多目标函数。以多级齿轮传动系统设计过程为例，要求在满足规定的传动比和给定最小齿轮、大齿轮直径的条件下，追求系统的转动惯量最小，箱体的体积最小，各级传动中心距和最小，承载能力最高，寿命最长等，这就是一个多目标函数。目标函数作为评价方案中的一个很重要的标准，它不一定有明显的物理意义、量纲，它只是代表设计指标的一个值。所以，目标函数的建立是否正确是优化设计中很重要的一项工作，它既要反映用户的需求，又要敏感地、直接地反映设计变量的变化，对优化设计的质量及计算难易程度都有一定的影响。表2.1给出了常用优化设计中的可供选择的优化目标。

优化设计问题的前提是选择优化设计方法，选用哪个方法好，这就主要是由优化设计方法的特性和实际设计问题的具体情况来决定。一般来讲，评价一种优

化设计方法的优劣可以从以下几个方面进行考察：

(1)可靠性：指在一定的合理精度要求下，在一定时间内求解各种不同类型问题的成功率。(2)精度：值求得最优化结果的解与原问题解比例的得接近程度问题。(3)效率：指对同一问题，给定初始点的情况下，精度相同的情况下，求解时所需要的机时数或者迭代次数，也就是说在相同条件下的计算成本的问题。计算效率是影响计算成功主要因素之一。(4)通用性：优化方法的使用范围以及对各类优化设计问题的适用性，具体指的是是否有对函数性态的限制，占用内存的限制等。(5)稳定性，指方法的求解稳定性。(6)全局收敛法，指优化方法是否会陷入局部最优。适应性和收敛性会影响优化设计方法的计算效率。实际经验证明，任何一种优化设计方法都不可能在整个完整的计算过程中保持较好的收敛性。(7)初始条件敏感性：它的意思是指选择的初始条件对目标函数是否能够收敛到最优的影响程度。如果从一个不好的初始点出发，目标函数也能够收敛到最优解，则说明其初始条件的敏感性低。(8)多变量敏感性：指优化设计目标函数中的设计变量的个数即维数的敏感程度，一般来说，对于用直接法来求解的函数，设计变量的个数过多会导致计算工作量加大，从而导致计算的精度降低。(9)约束敏感性：是指对约束条件多少的敏感程度。设计空间随着约束条件的增多而逐渐减小，使得多变量敏感性加大，降低了计算过程的稳定性。

2齿轮传动系统的基本设计

机械设计优化设计中常采用的优化设计方法有进退法、黄金分割法、共轭梯度法、坐标轮换法、复合形法等。下面设计一种齿轮系统，并基于Matlab对系统进行优化设计。

高速重载齿轮时常会受到加速度大、冲击载荷大、启动、制动等的影响。因此，为保证运行的安全性和可靠性，齿轮弯曲强度的安全系数应高于接触强度的安全系数。齿轮的主要失效形式主要有：轮齿折断、齿面磨损、齿面胶合、齿面点蚀、塑性变形等。由此可见，高速重载齿轮的设计必须保证齿轮在整个工作寿命期间不失效，由于目前还没有建立起工程实际中行之有效的设计方法和设计数据，目前按照保证齿根弯曲疲劳强度和齿面接触疲劳强度两个准则来设计齿轮。表1为某高速重载齿轮传动系统的基本参数，按照表1要求，对传动系统进行基本设计，最终得到系统的基本参数如表2所示。

表1 齿轮的基本参数

模数m=6

分度圆压力角

α=

20

分度圆螺旋角

β=

20

齿顶系数

*1

ha=

c=

顶隙系数*0.25

b=

齿宽90

)

)

进一步选择起动、持续、最高速度三种工况，对本设计的齿轮进行强度校核。得到表2所示参数下的齿轮系统主、从动轮在在起动、持续、最高速三种工况下的承载能力在各工况下的安全系数满足较高的可靠度，齿轮的接触强度是达到了设计要求，同时齿轮在各工况下的弯曲强度安全系数均大于高可靠度的安全系数，因此轮齿的弯曲强度足够。

3基于Matlab的齿轮优化设计

3.1优化数学模型的建立

齿轮优化设计的数学模型的建立一般包括三部分：(1)设计变量：一般选用齿轮传动的基本几何参数或性能参数面包括：齿轮齿数、模数、齿宽系数、螺旋角、变位系数、和中心距分离系数等。(2)目标函数：常见的目标函数有体积(或者质量)最小、承载能力最大、工作寿命最长、振动最小等。(3)约束条件：一般的满足条件是满足接触疲劳强度、弯曲疲劳强度、齿数不少于发生根切的最小齿数、传递动力的齿轮的模数不小于2mm，齿宽不引起过分的载荷分布不均现象、传动比误差不大于给定的误差设计要求等。

在斜齿轮传动中，主要的参数有模数、齿数、齿宽系数、螺旋角等。在这几个重要的变量中，模数决定了齿轮的大小和强度，当模数一定的时候，齿数就决定分度圆的大小，螺旋角也是一个重要的参数，它直接影响齿轮的形状、受力的大小和尺寸。所以，在齿轮传动的设计中，模数、小齿轮的齿数、螺旋角和齿宽系数的选择将直接影响传动装置的外廓尺寸和传动质量的好坏。因此选择模数、小齿轮的齿数、螺旋角和齿宽系数等作为设计变量。

3.2建立目标函数

目标函数根据一般的优化方法可选择的目标来确定，在齿轮传动时，一般要求传动装置结构紧凑、重量轻、节省材料、成本低。本文中选择的优化目标是齿轮体积最小，可以用函数表示为：

23()(1)()4cos n m z f x u π

?β?=?+?? (1)

则目标函数确定为：

231243()(1)()4x x f x u x x π

=?+? (2)

其中：u —传动比。

3.3确定约束条件

约束条件是用来判定目标函数中设计变量取值的规定，齿轮传动中，约束条件包括边界约束条件和性能约束条件。根据不发生根切的最小齿数来决定，斜齿轮按照当量齿数来计算：

213

3()170(cos )x G X x =-≤ (3) 按照小齿轮齿数的一般取值范围来确定边界条件，斜齿轮按照当量齿数来计算： 13400cos z β

-≥ (4) 即： 213233()40400cos (cos )x z G X x β=-=-≤ (5)

根据齿轮齿宽系数的设计要求来确定小齿轮齿宽系数：

0.40?-≥ (6) 1.20?-≥ (7)

即：

34()0.40G X x =-≤ (8)

44()X 1.20G X =-≤ (9)

根据螺旋角的设计要求确定螺旋角的边界范围，斜齿轮传动一般选择的；螺旋角的范围是8~20 ：

80β-≥ (10) 200β-≤ (11)

根据齿根弯曲疲劳强度进行约束：

[]0F F σσ-≥ (12)

[]7F F ()0G X σσ=-≤ (13)

齿面接触疲劳强度

[]0H H σσ-≥ (14) []8H H ()0G X σσ=-≤ (15)

齿轮优化的数学模型可建立如下：

{}1234,,,min ()

..()0T

j X x x x x f x s t G X =????≤?(1,2,...,8j =) (16) 3.4基于MATLAB 优化工具箱求解

利用MATLAB 工具箱中的fmincon 函数求解，首先需编写M 文件。代码如下：

function[c,ceq]=mynas(x)

c(1)=17-x(2)/cos(x(3))^3;

c(2)=x(2)/cos(x(3))^3-40;

c(3)=8112420*cos(x(3))^3/ x(1)^3*x(2)^2* x(4)-490;

c(4)=707879.071*cos(x(3))^1.5 /x(1)*x(2)*sqrt(x(1)*x(2)*x(4)/cos(x(3)))-1227; ceq=[];

随后，在MATLAB 主窗口中输入：

fun= '15*pi*x(4)*x(1)^3*x(2)^3/cos(x(3)) ^3';

x0=[4,13,20,1];

A=[0,0,0,-1;0,0,0,1;0,0,-1,0;0,0,1,0];

b=[-0.4,1.2,-8,20];

Aeq=[];

beq=[];

lb=[];

ub=[];

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mynas)

输出的结果如下：

图1 MATLAB 的优化结果

4总结

本文对某高速重载齿轮进行了优化设计，在分析齿轮在各工况下的弯曲强度安全系数也达到了高可靠度安全系数的要求的基础上，根据齿轮的优化设计原则对传动齿轮中的小齿轮进行了优化设计：优化设计的目标是要满足体积最小，选模数 、齿数 、齿宽系数 、螺旋角 为设计变量，根据各参数的设计要求来确定

约束条件，同时根据齿根弯曲疲劳强度和齿面接触疲劳强度进行条件约束，最后用MATLAB进行编程计算，最后得出优化后的结果，该结果满足要求。本文的研究对机械系统的优化设计具有指导意义和工程应用价值。

参考文献：

[1] 王大康,卢颂峰.机械设计课程设计[M].北京:北京工业大学出版社,2000.

[2] 濮良贵,纪名刚主编.机械设计.北京：高等教育出版社,2001.

[3] 曹保金，秦小屿.MATLAB工具箱在机械优化设计中的应用[J].现代机械，2009（6）：11-12.

[4] 万耀青.机械优化设计建模与优化方法评价[M].北京：北京理工大学出版社，1995.

[5] V. Senthil Kumar, D.V. Muni, G.Muthuveerappan.Optimization of asymmetric spur gear drives to improve The bending load capacity [J]. Mechanism and Machine Theory.2008, (43):829–858.

[6] 西北工业大学机械原理及机械零件教研组.机械设计[M].北京：人民教育出版社，1978.

[7] 吴宗泽，王中发.机械设计手册[M].北京：北京理工大学版社，1998.

[8] 张月英，李焕芳.单级斜齿圆柱齿轮的优化与分析[J].机械传动，2005，29（2）：47-49.

[9] 叶素娣，陈科.单级圆柱齿轮减速器的优化设计[J].组合机床与自动化加工技术，2006（7）：48-50.

[10] 刘惟信. 机械最优化设计[M]. 北京:清华大学出版社,1994.