直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
两点式截距式斜截式点斜式
两点式截距式斜截式点斜式《数学公式的趣味之旅：两点式、截距式、斜截式、点斜式》嘿，小伙伴们！今天我想和你们聊聊数学里超级有趣的几个公式，就是两点式、截距式、斜截式和点斜式。
你们可别一听是数学公式就觉得头疼，其实它们就像一群小伙伴，每个都有自己独特的个性呢。
先来说说两点式吧。
想象一下，我们在一张纸上有两个点，就像两颗小星星在夜空中闪烁。
这两个点就确定了一条直线，两点式就是找到这两个点就能确定这条直线的魔法公式。
我记得有一次啊，我和我的同桌小明在做数学作业，就碰到了关于两点式的题目。
题目给了我们两个坐标，一个是(3, 5)，另一个是(6, 9)。
我当时就有点懵，这么两个数字怎么就能确定一条直线呢？小明就特别兴奋地跟我说：“你看啊，这就像我们在地图上找两个地方，只要知道这两个地方的位置，就能画出连接它们的路啦。
”然后他就按照两点式的公式，“唰唰”地算出了直线方程。
我就特别佩服他，从那时候起，我就觉得两点式就像一把神奇的钥匙，能打开连接两个点的直线的大门。
接着就是截距式啦。
截距式呢，就像是一个在坐标轴上安营扎寨的小士兵。
它告诉我们直线在x轴和y轴上的截距。
我就想啊，这就好比是一个小房子，它在x轴上的位置和在y轴上的位置就决定了这个小房子在坐标轴这个大地图上的位置。
有一次数学考试，有一道关于截距式的大题。
我前面的小红在草稿纸上画了好多小图，她一边画一边嘟囔：“这个截距式啊，就像是给坐标轴上的直线找两个根据地，一个是x轴上的，一个是y轴上的。
”她这么一说，我突然就开窍了。
我也赶紧画起图来，按照截距式的规则，很快就把题目解出来了。
我当时就想，数学有时候就需要我们像讲故事一样去理解这些公式，截距式不就是坐标轴上直线的一个故事吗？再说说斜截式吧。
斜截式里有斜率和截距两个重要的部分。
斜率就像是小山坡的坡度，截距就像是小山坡和地面相交的地方。
我和小伙伴们一起讨论斜截式的时候，小刚就特别形象地说：“你们看啊，斜率大的直线就像特别陡的山坡，斜率小的就像比较平缓的山坡，而截距就是这个山坡开始的地方。
直线两点式
例3: (1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条? 等的直线有几条? 解: ⑴ 两条 设 直线的方程为:
x y + =1 a a
1 2 代入得： 把(1,2)代入得： + =1 代入得 a a
已知直线经过P 两点， 例1.已知直线经过 1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方 已知直线经过 和 两点 程． 一般做法： 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b. 设直线方程为： 由已知得： 由已知得： 解方程组得： 解方程组得：
{
3=k+b k+ 4=2k+b
k=1 b=2
{
所以，直线方程为 所以，直线方程为: y=x+2
直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直 直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a (o,a)的横坐标 线在x 线在x轴上的截距 直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b 直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直 (b,0)的纵坐标 线在y 线在y轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？ 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
3 + 0 −3 + 2 , 2 2
3 1 ,− 2 2
即
过A(-5,0),M
3 1 ,− 2 2
的直线方程
整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。
y −0 x +5 = 1 3 − −0 +5 2 2
中点坐标公式： 中点坐标公式：
y −2 x −0 = −3 − 2 3− 0
直线的方程
练习1 根据下列条件写出直线方程， 并化成一般式
1 ( 1 )斜 率 是 ， 经 过 点 ( 8 ,2 ) A 2 ( 2 )经 过 点B( 4 ,2 ),平 行 于x轴 3 ( 3 )在x轴 和y轴 上 的 截距 分 别 是 ， 3 2 ( 4 )经 过 两 点 1 ( 3 ,2 ), P2 ( 5 ,4 ) P
若求过两点Ax1，y1 ，Bx2，y2 x1 x2 的直线方程呢？
直线方程的两点式：
已知直线l经过点Px1，y1 ，P2 x2，y2 x1 x2 . 1
求直线l的方程.
y 2 - y1 . 推导：直线l的斜率k x 2 - x1
当 y2 y 1时 ,方 程 可 写 成 y - y1 x - x1 .x 1 x 2 y1 y 2 y 2 - y1 x 2 - x 1
4 4 k 0 9k 2 9k 12 k k 4 2 当 且 仅 当 9k时,即k 时 取 最 小 值 . k 3 S 12
此时直线 l的方程为 2 x 3 y 12 0. :
2 2 2.截 距 和 2 3k 3 5 3k 5 2 6 k k 2 6 当 且 仅 当 3k 时,即k 时, k 3 截距和取到最小值为 2 6 :5
这 就 是 直 线 AB的 方 程 .
直 线 A C 过 A 5, 0、 C0, 2 点 ， 由 距式 得 两 截
整理得 x y 1， 5 2 2x 5y 10 0.
这就 是直线AC的方 程 .
注意恰当选取直线方程 的形式解题 .
练 习:
1.求 过 下 列 两 点 直 线 的 两 式 方 程 化 成 斜 截 式 方 程 点 ,再 . y 1 x2 1. p1 2,1, p2 0,3 ; 整理得y 2 x 3 31 0 2
3.2.2直线的两点式方程
4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的 直线有几条?
解:
⑴ 两条
y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
x y 1, 当截距都不为0时，设直线的方程为: a a 1 2 把(1,2)代入得：a a 1,
即：a=3. 所以直线方程为：x+y-3=0.
5.根据下列条件，求直线的方程:
y y1 x x1 ∴ y2 y1 x2 x1
三、直线的两点式方程的应用
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 y y1 y y1 2 写出直线方程呢？ x x x x
不是!
1
2
1
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
4 k , 把P(-5，4)代入上式得 5 4 即直线方程为 y x. 5 x y ② 当截距均不为0时，设直线方程为 1, a a 把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0.
4 综上直线方程为 y x 或 x y 1 0. 5
4.作业：课本P100 习题A组 1⑷⑸⑹,9
为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？
二、直线的两点式方程 设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,
与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率
相等可得：
k pp1 k p1 p2
y3 43 即： x 1 21
得: y=x+2
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这两 点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的 点． ∵ k = k
直线的方程及性质
直线的方程及性质直线是平面几何中最基本的图形之一，研究直线的方程及性质对于理解和解决几何问题具有重要意义。
本文将介绍直线的方程及其性质，帮助读者深入理解这一概念。
一、直线的方程分类在平面几何中，常见的直线方程有斜率截距、点斜式和两点式等多种表示形式。
下面将逐一介绍这些方程的特点。
1. 斜率截距式斜率截距式是最常见的直线方程形式，通常以y = kx + b的形式表示，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜率的数值可以表示直线的倾斜方向和程度，而截距则表示直线与y轴的交点。
例如，y = 2x + 3就是一条斜率为2，截距为3的直线。
2. 点斜式点斜式直线方程常以y - y1 = k(x - x1)的形式表示，其中(x1, y1)为直线上已知的一点，k为斜率。
点斜式方程可直接由直线上已知的一点和斜率得出。
例如，给定直线上一点A(2, 3)，斜率为2，则直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
3. 两点式两点式直线方程常以(y - y1)/(x - x1) = (y - y2)/(x - x2)的形式表示，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上已知的两点。
两点式方程可以通过直线上的两个不同点来确定直线的位置和特性。
例如，给定直线上两点A(1, 2)和B(3, 4)，则直线的两点式方程为(y - 2)/(x - 1) = (y - 4)/(x - 3)。
二、直线的性质直线作为平面几何中最基本的图形之一，具有一些重要的性质和特点。
1. 斜率直线的斜率是直线方程中一个重要的参数，用于表示直线的倾斜程度和方向。
斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜，斜率为零表示直线平行于x轴。
2. 垂直与平行两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
而两条直线垂直的条件是斜率乘积为-1，即两条直线的斜率互为倒数。
3. 截距直线的截距是直线方程中的常数项，表示直线与y轴的交点坐标。
截距为正表示直线与y轴的交点位于y轴上方，截距为负表示交点位于y轴下方。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式资料讲解
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1．(二)斜截式已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为b ，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y -b=k(x-0)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．(三)两点式已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程．当y 1≠y 2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x 1=x 2或y 1=y 2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y 就用x 代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b(a ≠0，b ≠0)，求直线l 的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l 过A(a ，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB 的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB 的方程．BC 的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC 的方程．由截距式方程得AC 的方程是仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6即 2x+5y+10=0．这就是直线AC 的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°． 解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢73．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y 轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：(图略)六、板书设计。
直线的两点式和一般式方程
一般式
件
Ax＋By＋C＝0 (A2 +B2 ≠0)
求直线方程的几种形式
例 1：已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的
一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图． 解：直线过 A(－5,6)，B(－4,8)两点，
y－6 x＋5 由两点式，得 ＝ ， 8－6 －4＋5
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 ②截距可是正数,负数和零
举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等
的直线有几条?
解: ⑴ 两条
x y 设:直线的方程为: 1 a a
1 2 1、截距不为0时 把(1,2)代入得： a 1 a
a=3 所以直线方程为：x+y-3=0
8 m 4
（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0， 另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别 n 1 为 y ,x . 8 2
综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.
点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.
小结
1)直线的两点式方程
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１
当 y1= y2时方程为： y = y１
直线的截距式方程
例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为 B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
y0 xa , b0 0a
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线 （1）平行于x轴：（2）平行于y轴： （3）与x轴重合：（4）与y轴重合： 分析: (1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在, 在x轴上的截距不为0．即 A=0 , B 0,C 0. (2) B=0 , A 0 , C 0.
高中数学第二册(上)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，直线上一点和直线的斜率或直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．此题由老师归纳成两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用X围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出以下直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．(1.5练习第2题)以下直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．(1.5练习第3题)写出以下直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过以下两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。
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直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式
一、教学目标
(一)知识教学点
在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线.
(二)能力训练点
通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力.
(三)学科渗透点
通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识.
二、教材分析
1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上.
2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上.
得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程.
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合.
四、教学过程
(一)点斜式
已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？
设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.
重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程.
这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式.
当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1.
当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1.
(二)斜截式
已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程.
这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得:
y-b=k(x-0)
也就就是
上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得.
当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距.
(三)两点式
已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程.
当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式.
对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样.
(四)截距式
例1 已知直线l在x轴与y轴上得截距分别就是a与b(a≠0,b≠0),求直线l 得方程.
此题由老师归纳成已知两点求直线得方程问题,由学生自己完成.
解:因为直线l过A(a,0)与B(0,b)两点,将这两点得坐标代入两点式,得
就就是
学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.
引导学生给方程命名:这个方程就是由直线在x轴与y轴上得截距确定得,叫做直线方程得截距式.
对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上得截距,可以直接代入截距式求直线得方程;(2)将直线得方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴与y轴上得截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行与过原点得直线不能用截距式表示.
(五)例题
例2 三角形得顶点就是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线得方程.
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.
解:直线AB得方程可由两点式得:
即 3x+8y+15=0
这就就是直线AB得方程.
BC得方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:
由斜截式得:
即 5x+3y-6=0.
这就就是直线BC得方程.
由截距式方程得AC得方程就是
即 2x+5y+10=0.
这就就是直线AC得方程.
(六)课后小结
(1)直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式得命名都就是可以顾名思义得,要会加以区别.
(2)四种形式得方程要在熟记得基础上灵活运用.
(3)要注意四种形式方程得不适用范围.
五、布置作业
1.(1、5练习第1题)写出下列直线得点斜式方程,并画出图形:
(1)经过点A(2,5),斜率就是4;
(4)经过点D(0,3),倾斜角就是0°;
(5)经过点E(4,-2),倾斜角就是120°.
解:
2.(1、5练习第2题)已知下列直线得点斜方程,试根据方程确定各直线经过得已知点、直线得斜率与倾斜角:
解:
(1)(1,2),k=1,α=45°;
(3)(1,-3),k=-1,α=135°;
3.(1、5练习第3题)写出下列直线得斜截式方程:
(2)倾斜角就是135°,y轴上得截距就是3.
4.(1、5练习第4题)求过下列两点得直线得两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图.
(1)P1(2,1)、P2(0,-3);
(2)A(0,5)、B(5,0);
(3)C(-4,-3)、D(-2,-1).
解:
(图略)
六、板书设计。