2函数的表示法PPT课件
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人教A版必修第一册3.1.2函数的表示法PPT课件
课本P72,习题3.1 3 ， 7 P101 7
例如，当x=2时， M(2)=max{f(2),g(2)}=max{3,9}=9,请分别用图 像法和解析法表示M(x)
P73页13.函数f (x) [x]的函数值表示不超过x的最大整数， 例如，[3.5] 4，[2.1] 2.当x (2.5,3]时， 写出函数f (x)的解析式，并画出函数的图像。
2.求抽象函数的定义域的方法：
已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域:
已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域:
(1)定义域是指x的取值范围; (2)f(x)与f(g(x))这两个括号的范围是一致的
探索点二 求函数的值域 (金版 P49)
【例 2】 (1)函数 y= 的值域为 (-∞,2)∪(2,+∞) .
4
x, x 0
3
y x, x 0
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
在定义域内不同部分上,有不同的 解析表达式的函数通常叫做分段函数
分段函数：对于一个函数，在定义域的不同部 分，有不同的表达式，图象由不同的几段构成.
（1）分段函数是一个函数， 不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域是各段值域的并集．
测 试
成绩 序 第1次
号 姓名
第2次
第3次 第4次
第5次 第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
沪科版八年级数学上册课件2.函数的表示方法---列表法和解析法教学课件
(3)：汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
解：（1）行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为 y=50-0.1x.
（2）仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意
义为行驶里程，所以x不能取负数，并且行使中的耗油量为0.1x它不能超过油箱
中现有汽油量50L，即0.1x≤50，因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
300000
x
V＝ 4 R³
3
S＝πr²
C=2 r
注意： 通常等式的右边是含有自变量的代数
式,左边用一个字母表示函数（注：该字母的系数化为“1”）.
二、典型例题
例 1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：
（1）y 2x 4；
解:(1)x为全体实数.
（2）y 2x 2；
(2)x为全体实数.
用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法 . 其中的等式叫做
函数表达式（或函数解析式）
例如问题3中，制动距离s与车速v的函数关系是用数学式子
来表示的.
s=
V2
256
1、函数表达式：
用来表示函数关系的等式叫做函数表达式,也称为函
数解析式.
2、视察下面的函数关系式，思考函数表达式的书写有
没有什么要求？
f ＝
（2） m
（3） y
解: 自变量 x 的取值范围:x为全体实数
n 1
3
x2
1 k
（4） h
k 1
解: 由n-1≥0得n≥1 ∴自变量 n 的取值范围: n≥1
解:由x+2 ≠ 0得 x≠－2∴自变量 x的取值范围: x≠－2
解:自变量的取值范围是: k≤1且k ≠－1
解：（1）行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为 y=50-0.1x.
（2）仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意
义为行驶里程，所以x不能取负数，并且行使中的耗油量为0.1x它不能超过油箱
中现有汽油量50L，即0.1x≤50，因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
300000
x
V＝ 4 R³
3
S＝πr²
C=2 r
注意： 通常等式的右边是含有自变量的代数
式,左边用一个字母表示函数（注：该字母的系数化为“1”）.
二、典型例题
例 1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：
（1）y 2x 4；
解:(1)x为全体实数.
（2）y 2x 2；
(2)x为全体实数.
用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法 . 其中的等式叫做
函数表达式（或函数解析式）
例如问题3中，制动距离s与车速v的函数关系是用数学式子
来表示的.
s=
V2
256
1、函数表达式：
用来表示函数关系的等式叫做函数表达式,也称为函
数解析式.
2、视察下面的函数关系式，思考函数表达式的书写有
没有什么要求？
f ＝
（2） m
（3） y
解: 自变量 x 的取值范围:x为全体实数
n 1
3
x2
1 k
（4） h
k 1
解: 由n-1≥0得n≥1 ∴自变量 n 的取值范围: n≥1
解:由x+2 ≠ 0得 x≠－2∴自变量 x的取值范围: x≠－2
解:自变量的取值范围是: k≤1且k ≠－1
北师大版高中数学必修第一册2.2.2函数的表示法课件
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为____1____．
当g(f(x))＝2时，x＝____1____．
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3， ∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
题型1 函数的表示法——自主完成
1.某 学 生 离 家 去 学 校 ， 一 开 始 跑 步 前 进 ， 跑 累 了 再 走 余 下 的 路
(4)在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．( × )
解析：与y轴平行或重合的直线与图形有两个或两个以上的交点时，图形就不 是函数的图象，如圆．
(5)任何一个函数都可以用列表法表示．( × ) (6)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．( ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若 把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，则图象可能是( )
7．(6分)[多选题]下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
答案：ABD
解析：A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；B中，f(2x)＝2x－ |2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；C中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x ＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．故 选ABD.
程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符
合该学生走法的是( )
答案：D
人教B版高中数学必修一 《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的表示方法)
3．已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}， 其函数对应关系如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则方程 g(f(x))＝x 的解集为________．
解析：当 x＝1 时，f(1)＝2，g(f(1))＝2，不符合题意； 当 x＝2 时，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合题意； 当 x＝3 时，f(3)＝1，g(f(3))＝3，符合题意． 综上，方程 g(f(x))＝x 的解集为{3}．
函数图像的作法及应用 作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝2x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
【解】 (1)列表：
x
0
1 2
1
3 2
2
y
1
2
3
4
5
当 x∈[0，2]时，图像是直线的一部分，观察图像可知，其值域
为[1，5]．
函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的定义域是________，值 域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
函数的三种表示方法 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售 出台数 x(x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表 法、图像法、解析法表示出来．
2．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
x
0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
中职数学基础模块上册《函数的表示法》ppt课件
三、求解函数解析式的方法：代入法、配凑法、换元法。
2.1.2 指数函数及其性质
1、优化学案课后作业本P87
八、作业
谢谢！
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐 述观点。
二、新知全解
h(t)=130t-5t2 （0≤t≤26）
（2）南极臭氧层空洞
（图象法）
（3）恩格尔系数
（列表法）
1.2.2 函数的表示法
三、3种表示方法的特点
解析法的特点：简明、全面地概括了变量间 的关系；可以通过用解析式求出任意一个自 变量所对应的函数值。
但不够形象、直观、具体，而且并不是 所有的函数都能用解析式表示出来 列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自变量的 值相对应的函数值。 但它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
做题步骤：整体代入→化简
1.2.2 函数的表示法
五、如何根据已知条件求函数的解析式
一、换元法和配凑法求解析式 类型二：已知f[g(x)] 的表达式，求f(x)的表达式
例2 已知f(x+1) ＝3x＋5，求f(x)的解析式
练习： 1 、 已f知 (＋ x 1＝ )x2 ＋ 2， x 求 f(． x)
2、f若 (x1)x2x1，f求 (x1)的解析式
做题步骤：换元或配凑代入→化简
2.1.2 指数函数及其性质
七、小结
一、函数的三种表示法：
解析式法，图像法，列表法
二、各表示法的注意事项：
解析法：必须明确函数的定义域
图象法： 函数图像既可以是连续 的曲线， 也可以是直 线、折 线、离散的点 等等； 是否连线的 问题； 注意判断一个图形是否 是函数图象的依据；
1.2.2 函数的表示法
中职数学基础模块上册《函数的表示法》课件
函数的图像对应符号表示
通过图像和符号表示相互对应来表示函数，如图像上的点(x, y)对应函数值f(x)。
函数的应用
1
函数在现实中的应用
函数的概念和表示法在物理、经济、工程等领域有广泛的应用，用于描述各种变 化和关系。
2
函数在解决实际问题中的应用
函数可用于解决实际问题，如预测和优化问题，提供科学的决策依据。
中职数学基础模块上册 《函数的表示法》ppt课 件
本课件将介绍函数的表示法，从函数的定义、自变量和因变量、函数的图像 等方面展开。同时，讲解常见函数表达式和符号表示，以及函数在现实中的 应用。
什么是函数？
1 定义
函数定义了一种关系，将自变量映射到因变量，表示输入和输出之间的关系。
2 自变量和因变量
函数的应用及其重要 性
函数在现实生活、问题解决和 科学研究中发挥着重要的作用， 对于理解和掌握函数的表示方 法至关重要。
3
函数在科学研究中的应用
函数是科ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ研究的基础工具，用于建立和解释实验观测数据，推断和验证理论模 型。
总结
定义和表示
函数是数学中描述输入和输出 关系的重要概念，有多种方式 来表示和理解函数。
常见函数表达式和符 号表示
线性、幂、二次、指数函数等 常见函数形式具有不同的特点 和应用背景，各自采用特定的 符号表示。
自变量是函数的输入值，因变量是函数的输出值，两者之间有确定的关系。
3 函数的图像
函数通过绘制自变量和因变量的关系曲线，形成函数的图像，用来直观地表示函数。
函数的表示方式
函数表达式
用数学表达式表示函 数的关系，方便进行 计算和运算。
函数图像
通过绘制函数的图像 来展示函数的关系， 有利于理解函数的特 征和变化。
通过图像和符号表示相互对应来表示函数，如图像上的点(x, y)对应函数值f(x)。
函数的应用
1
函数在现实中的应用
函数的概念和表示法在物理、经济、工程等领域有广泛的应用，用于描述各种变 化和关系。
2
函数在解决实际问题中的应用
函数可用于解决实际问题，如预测和优化问题，提供科学的决策依据。
中职数学基础模块上册 《函数的表示法》ppt课 件
本课件将介绍函数的表示法，从函数的定义、自变量和因变量、函数的图像 等方面展开。同时，讲解常见函数表达式和符号表示，以及函数在现实中的 应用。
什么是函数？
1 定义
函数定义了一种关系，将自变量映射到因变量，表示输入和输出之间的关系。
2 自变量和因变量
函数的应用及其重要 性
函数在现实生活、问题解决和 科学研究中发挥着重要的作用， 对于理解和掌握函数的表示方 法至关重要。
3
函数在科学研究中的应用
函数是科ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ研究的基础工具，用于建立和解释实验观测数据，推断和验证理论模 型。
总结
定义和表示
函数是数学中描述输入和输出 关系的重要概念，有多种方式 来表示和理解函数。
常见函数表达式和符 号表示
线性、幂、二次、指数函数等 常见函数形式具有不同的特点 和应用背景，各自采用特定的 符号表示。
自变量是函数的输入值，因变量是函数的输出值，两者之间有确定的关系。
3 函数的图像
函数通过绘制自变量和因变量的关系曲线，形成函数的图像，用来直观地表示函数。
函数的表示方式
函数表达式
用数学表达式表示函 数的关系，方便进行 计算和运算。
函数图像
通过绘制函数的图像 来展示函数的关系， 有利于理解函数的特 征和变化。
函数的概念及表示法PPT课件
4
5
6
y（元）
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （2）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角 坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）、（3 ， 0.36）、 （4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示．
巩固知识 典型例题
例２ 设 f x 2x 1 ，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．
3
分析 本题是求自变量x=x0时对应的函数值，方法是将x0代入 到函数表达式中求值.
解 f 0 20 1
3
f 5 2 5 1
3
， f 2 2 2 1
3
， f b 2b 1
3
， ．
巩固知识 典型例题
动 脑思考 探索新 知
作函数图像的一般方法——描点法
.
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （3）关系式y=0.12 x就是函数的解析式， 故函数的解析法表示为 y=0. .12 x， x ∈{1,2,3,4,5,6}
总结演示
判断下列对应能否表示y是x的函数
(1)能(2)不能(3) 能 (4)不能
应用知识 强化练习
教材练习3.1.1
1．求下列函数的定义域：
（１） f x 2 ；（２） f x x2 6x 5 ．
x4
2．已知 f x 3x 2 ，求 f 0 ， f 1 ， f a ．
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同学们，函数的表示方法有哪几种？你能 谈谈它们的优缺点吗？
解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简 单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有 时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解
析式． 用适当的方法表示函数， 列表法：自变量或的者值把与其几对种应方的函法数结值合一目起了然，查 找值方与便其．对但应有的很函来多数，函值能数都，列够往在帮往表助不中可．我能们把更自变好量的所有
解析法、图象法、列表法
2、观察
2005年10月17日，我国“神舟”六号载人飞船顺利返回地
面．下面是“神舟”六号飞船返回舱返回过程中的相关记录：
时间
3时45 4时13 4时19 4时20 4时23 4时32 4时33
分
分
分
分
分
分
分
返回舱
距地面 350km 100km 15km 10km 6km
1km
2、会求分段函数的解析式及函数值。
学习过程
一、复习函数的三种表示方法 三种表示方法的优点
解析法 ①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值求
出其对应的函数值③便于研究函数的性质。解 析法是中学研究函数的主要表达方法。
图象法 能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今
后利用数形结合思想解题的基础。
列表法 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数
把两个变量之间的对应关系用数学式子来表达，这种表示函 数的方法叫做解析法．
二、学习例3，掌握用三种方法表示函数
【例3 】某种笔记本的单价是5元，买x x 1 ,2 ,3 ,4 ,5
个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
用解析法可将函数y=f(x)表示为 y 5 x ,x 1 ,2 ,3 ,4 ,5
0
的高度
降落状 况
返回舱 制动点 火
返回舱 处于无 动力飞 行，高 速进入 黑障区
引导伞 引出减 速伞
减速伞 打开
返回舱 抛掉防 热大底
指示灯 亮，提 示即将 着陆
返回舱 成功降 落地面
本例中的返回舱距地面的高度与时间的函数关系，是 用什么形式来表示的？
这种把两个变量之间的对应关系用表格来表达，这种表示函 数的方法叫做列表法．
的对应值，当自变量的值的个数较少时使用， 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。
65
88.2 78.3
第三次
91 88 73 85.4
第三次
92 75 72 80.3
第五次
88 86 75 75.7
第六次
95 80 82 82.6
表格能否直观地分析出三位同学成绩高低？如何才 能更好的比较三个人的成绩高低？
y
. 100
90 班 ♦▲ 平
80 均 分
.
♦▲
.▲
♦
■
.
♦
▲ ■
.▲
■♦
【例5 】画出函数y=|x|的图象.
解： y= x, x≥0,
-x, x<0.
y
图象如下：
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
问题 比较例5的作图方法与例3、例4有何不同？
例3、例4采用的是描点法， 例5是借助于已知函数画图象 描点法一般适用于那些复杂的函数，而对于一些结构比 较简单的函数，则通常借助于一些基本函数的图象来变换。
巩固练习
P26） 1、2、3
系统小结
1、体会函数的三种表示方法 2、通过例3、4、5，掌握描点法和利用已知函数作图 的方法、步骤，体会函数的图象（数形结合）在解决 数学问题时的直观效果。
§1.2.2 函数的表示方法
学习目标
第二课时
1、通过实例体会分段函数的概念并了解分段函数在解 决实际问题中的应用。
用列表法可将函数表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y
5 10 15 20 25
用图象法可将函数表示为下图
yy
．
25
. 20
． 15 ．． 10
5
012345
x
问题
（1）用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围？ 函数的定义域是函数存在的前提，在写函数
解析式的时候，一定要写出函数的定义域。 （2）用描点法画函数图象的一般步骤是什么？本题中的图象 为什么不是一条直线？
3、观察 根据研究，体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原 因．运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸 浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳．体育科研工作者根据实验 数据，绘制了一幅图像，如图所示．它反映了运动员进行高强度运动后，体 内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．
列表、描点、连线（视其定义域决定是否连线）
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、 离散的点等。
三、学习例4，学会利用表格画出函数的图象
【例4 】下表是某校高一（1）班三名同学在高一学 年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一 第二次 次
98
87
90
76
68
血乳酸浓度(mg/L)
200
150
图中实线表示采用慢跑等活动
方式放松时血乳酸浓度的变化情
100
况；虚线表示采用的变化情况．
0 20 40
60 80 100 120 t (min)
本例中的血乳酸浓度与时间的函数关系，是用什么形 式来表示的？
这种把两个变量之间的对应关系用图像来表示，这种表示函 数的方法叫做图像法．
的理解函数和运用函数 图况．像但法是：，非在常图直像观中，找可对以解应清决值楚问时地往看题往出不函够数准的确变，化而情且
有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到 它的完整图像．
1、正比例函数、反比例函数的一般式是怎样的？
yk(xk0)
y k (k 0) x
函 数
解
S10t0
析
C2r
式
y15x
§1.2.2 函数的表示方法
学习目标
第一课时
1、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 体会三种表示方法的特点。
2、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。
3、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 在图形的变化中感受数学的直观美。
学习过程
一、复习函数的三种表示方法
问题
初中学过函数的哪些表示方法？
. 王伟
■♦ ▲ 张城
70
■
赵磊
■
60
0
12 3456
x
解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示 出来。可以看出：王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城 同学的成绩在班级平均水平上下波动，且波动幅度较大；赵 磊同学的成绩低于班级平均水平，但成绩在稳步提高。
四、学习例5，学会画分段函数的图象