高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像人教B版第三册
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金版点睛 利用正弦函数单调性比较大小的步骤
(1)一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (2)二比较：利用函数的单调性比较大小．
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[跟踪训练2] (1)下列关系式中正确的是( ) A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10° C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11° (2)函数 y＝2sinx＋π6(x∈[0，π])为增函数的区间是________．
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5．正弦函数在其定义域上不是单调的． 6．奇偶性的判断步骤是：(1)求定义域；(2)观察 f(－x)与±f(x)的关系；(3) 下结论． 7．周期性除用定义外还要重视图像法．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
答案 (1)C (2)3 －π2＋2kπ，k∈Z (3)[0,1]
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题型一 判断正弦函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝34sinx＋32π； (2)f(x)＝11－ ＋ssiinnxx.
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[解] (1)因为函数的定义域为 R，
f(x)＝34sinx＋32π＝－34cosx. 所以 f(－x)＝－34cos(－x)＝－34cosx＝f(x)，
所以函数 f(x)＝34sinx＋32π为偶函数． (2)函数应满足 1＋sinx≠0，
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[跟踪训练1] 判断函数 f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．
解 函数的定义域为 R，关于原点对称． f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx. f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)， ∴f(x)是偶函数.
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取得最大值，ymax＝1； 当 x＝32π＋2kπ，k∈Z 时，函数 y＝2sinx－1 取得最小值，ymin＝－3.
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(2)y＝－sin2x＋ 2sinx＋34＝－sinx－ 222＋54，因为－1≤sinx≤1，所以当 sinx＝ 22，即 x＝π4＋2kπ 或 x＝34π＋2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝54；
所以
sin－
1π8>sin－1π0.
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②因为 cos53＝sinπ2＋53，又π2<74<π2＋53<32π，而 y＝sinx 在π2，32π上是减函 数，
所以
sin74>sinπ2＋53，即
(2)求形如 y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R 的函数的值域或最值时，可 以通过换元，令 t＝sinx，将原函数转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求 值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性．
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[跟踪训练3] 设 f(x)＝asinx＋b 的最大值是 1，最小值是－3，试确定 g(x)
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金版点睛 用五点法作函数 y＝sinx 的图像的步骤
(1)列表，由 x＝0，π2，π，32π，2π 求出 y 的值，得到“五点”坐标． (2)在同一坐标系中描出各点． (3)用光滑曲线连接这些点，所成图像即为所求．
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[跟踪训练4] 用五点法作出函数 y＝sinx＋5 在[0,2π]上的图像，并写出 它的最值．
答案 (1)C (2)0，π2
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解析 (1)∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，且 y＝sinx 在0，π2是增函 数，
∴sin80°>sin12°>sin11°，即 cos10°>sin168°>sin11°. (2)y＝2sinx＋π6在 x∈[0，π]上的单调递增区间与 y＝sinx 在[0，π]上的单 调递增区间相同，为0，π2.
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知识点二 正弦函数的图像
(1)一般地，y＝sinx 的函数图像称为 □01 正弦曲线 ．
(2)我们作正弦曲线的简图时，在精确度要求不高的情况下，一般都是先
找出确定图像形状的关键的五个点，然后再描点作图，这种作图方法称 为 □02 五点法 ．
(3)利用“五点法”作正弦函数 y＝sinx 在区间[0,2π]上的图像的五个关
7.3.1 正弦函数的性质与图像
(教师独具内容) 课程标准：1.借助单位圆理解正弦函数的定义以及周期性、奇偶性、单 调性等性质.2.能用五点法画出正弦函数的图像． 教学重点：掌握正弦函数的性质． 教学难点：正弦函数性质的综合运用.
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【知识导学】 知识点一 正弦函数的性质
75 sin4>cos3.
(2)因为 y＝－2sinx－1，
所以函数 y＝－2sinx－1 的递增区间就是函数 y＝sinx 的递减区间．
所以π2＋2kπ≤x≤32π＋2kπ(k∈Z)，
所以函数 y＝－2sinx－1 的递增区间为π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)．
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解析
2．函数 y＝sinx，x∈π6，23π，则 y 的范围是(
)
A．[－1,1]
B.12，
3
2
C.12，1
D.
23，1
答案 C 解析 当 x＝π6时，y 取最小值12，当 x＝π2时，y 取最大值 1.
＝b2sinx＋a2 的最大值． 解 由题意，a≠0，
当 a>0 时，a－＋a＋b＝b＝1，－3， 所以ab＝ ＝－2，1， 此时 g(x)＝sinx＋4 的最大值为 5.
当 a<0 时，a－＋a＋b＝b＝ －31， ， 所以ab＝ ＝－ －21， ，
此时 g(x)＝sinx＋4 的最大值为 5.
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解析
3．函数 y＝3sinx＋5 的最小正周期是________． 答案 2π 解析 ∵y＝3sinx＋5 和 y＝sinx 周期相同，∴最小正周期为 2π.
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解析
4．已知 a∈R，函数 f(x)＝sinx－|a|，x∈R 为奇函数，则 a 等于________．
0 1 0 －1 0
－1＋sinx －1 0 －1 －2 －1
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利用正弦函数的性质描点作图，如图：
由图像可以发现，把 y＝sinx，x∈[0,2π]的图像向下平移 1 个单位长度即 可得 y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的图像．
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(1)下列区间中，是函数 y＝sinx 的单调增区间的是( )
A．[0，π] B.π2，32π
C.－π2，2π
D．[π，2π]
(2)函数 y＝2－sinx 的最大值为________，取最大值时 x 的值为________．
(3)函数 y＝sinx，x∈[0，π]时，值域为________．
键点是 □03 (0,0)
，□04 π2，1 ， □05 (π，0) ，□06 32π，－1 ， □07 (2π，0) ．
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【新知拓展】 1．作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值 都为实数． 2．如果 y＝sinx 的定义域不是全体实数，那么它的值域就可能不是[－ 1,1]．如 y＝sinx，x∈0，π2，此时 y∈[0,1]． 3．正弦曲线的对称轴一定经过正弦曲线的最高点或最低点，此时，正弦 函数取最大值或最小值． 4．正弦曲线的对称中心一定是正弦曲线与 x 轴的交点，即此时的正弦值 为 0.
解 列表如下：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx 0 1 0 －1 0
y 565 4 5
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描点连线，如图所示．得到函数 y＝sinx＋5 的图像，其最大值为 6，最 小值为 4.
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当 sinx＝－1，即 x＝32π＋2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－14－ 2.
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正弦三角函数的图像与性质PPT课件
对称性，你有什么发现？
y 1
y=sinx
-6π
-4π
-2π -π π
O
-5π -3π
-1
y
2
2
1 22
3π 5π x
2π
4π
6π
y=cosx
2
2
x
2
O
2
2
.
-1
2
2
2 40
思考2：上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质？如何从理论上加以 验证？
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
.
1
问题提出
t
p
1 2
5730
1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线
分别是什么？
y
sinα=MP
P（x，y）
cosα=OM
OM x
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值 （sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
.
2
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对 应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦 函数；同样y= cosx也是一个函数，称为 余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
.
31
理论迁移
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （ （34））yy=|s2isnin x(|x2 x∈6)R.， x∈R ；
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
2.周期函数的周期与函数的定义域有关， 周期函数不一定存在最小正周期.
7.3.1+正弦函数的性质与图象(共2课时)高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)
画出y = sinx， ∈[0,]的图像
1.列表
x
y=sinx
0
0
6
4
3
1
2
2
2
3
2
2
1
2
3
3
2
3
4
5
6
2
2
1
2
0
2.描点
3.连线
sinx在[0, ]上递增，在[ , ]上递减，
2
2
根据y =
将这些点连成光滑的曲线.
y
.
.
.. ...
.
.
1
-
-
O
2
4
2
3
4
-1
2.两相邻对称中心之间的距离为
2.相邻对称中心之间的距离是多少？
3. y sin x在对称中心处的函数值为0
7
2
4
探究点3：五点法作图
思考：正弦函数 = 图象也可由其在[0,2]上的图象得到.观察
图象上起关键作用的点是哪些？
五点作图法
y
( 2,1)
( 2,1)
( 2,1)
1
5
当 = − 时取得最小值− ，当
2
4
5
因此，函数值域为[− , 1].
4
2
= 1时取得最大值1.
）
正弦函数 = 的性质
定义域和值域 定义域：R 值域:[-1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调性
增区间[− + , + ]( ∈ );减区间[ + ,
正弦函数图像及性质ppt课件
18
10
sin
7
6
>
sin
7
5
七：感受高考
• 1 :(2007年全国Ⅱ卷）函数y= sin x 的一个单调增区间（ ）
• A ( , )
•
44
B ( , 3 )
44
C ( , 3 )
2
D (3 ,2 )
2
2:(2006年江苏）已知 aR，函数f(x)=sinx- a , xR 为奇函数，则a等于 ( )
用“描点法”作函数 y sin x 在0,2上的图像
1.列表 2.描点 3.联结各点
x
0π
π
π 2π 5π π
7π
4π
3π
5π 11π 2π
6
3
2
3
6
6
3
2
3
6
y sin x 0 0.5 0.87 1 0.87 0.5 0 －0.5 −0.87 −1 −0.87 −0.5 0
计算器
1.正弦函数的图像和性质
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
y sin x, x [0,2 ]
y
· · · 1
o -1
······· · ·
2
高中数学第七章三角函数7.3.1正弦函数的性质与图像含解析第三册
课时分层作业(八）正弦函数的性质与图像（建议用时：40分钟）一、选择题1．三角函数y＝sin 错误!是(）A．周期为4π的奇函数B．周期为π2的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数A［三角函数y＝sin 错误!是奇函数，它的周期为错误!＝4π，故选A．］2．(多选题)下列函数图像相同的是()A．y＝sin x与y＝sin(π－x)B．y＝sin错误!与y＝sin错误!C．y＝sin x与y＝sin(－x）D．y＝sin（2π＋x）与y＝sin xAD[根据诱导公式，y＝sin(π－x）＝sin x，故选A;y＝sin（2π＋x）＝sin x，故选D．]3．函数y＝4sin(2x＋π）的图像关于（）A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线x＝错误!对称B[y＝4sin（2x＋π)＝－4sin 2x,奇函数图像关于原点对称．］4．不等式sin x＞0，x∈[0,2π］的解集为（)A．[0，π]B．（0，π)C．错误!D．错误!B［由y＝sin x在[0，2π］的图像可得．]5．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2交点的个数是()A．0B．1C．2D．3B［作出y＝1＋sin x在［0,2π］上的图像，可知只有一个交点．］二、填空题6．比较大小:sin错误!________sin错误!.〉[因为0>－错误!>－错误!>－错误!，且正弦函数在错误!上单调递增，所以sin错误!〉sin错误!。
］7．若f（n)＝sin n4π，则f（1)＋f（2）＋f(3）＋…＋f（2 020）＝________.错误!＋1［因为f（1）＝sin 错误!＝错误!，f（2）＝1，f（3)＝错误!，f(4)＝0，f(5)＝－错误!,f（6）＝－1,f(7)＝－错误!，f(8)＝0,f（9)＝错误!，…，所以周期为8，则f（1）＋f(2)＋…＋f(8)＝0。
因为2 020＝252×8＋4，故f（1)＋f(2）＋f(3）＋…＋f（2 020)＝f（1）＋f(2)＋f（3）＋f（4)＝错误!＋1＋错误!＋0＝错误!＋1.］8．函数y＝错误!错误!的单调递增区间为________．错误!(k∈Z)[设u＝sin x，由复合函数的单调性知,求原函数的单调递增区间即求u＝sin x的单调递减区间，结合u＝sin x的图像知2kπ＋错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z.］三、解答题9．用“五点法”作出函数y＝－1－sin x，x∈[0,2π］的图像，并说明它的图像由y＝sin x，x∈［0，2π］的图像经过怎样的变换得到．[解］列表．描点作图．要作出y＝－1－sin x，x∈[0,2π]的图像，先由正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π］作关于x轴的对称图像，再向下平移1个单位得到．10．已知方程2cos2x＋6sin x－a＝0有解,求a的取值范围．［解]a＝2cos2x＋6sin x＝2（1－sin2x）＋6sin x＝－2sin2x ＋6sin x＋2＝－2错误!错误!＋错误!＋2，所以sin x＝－1时，a min＝－6；sin x＝1时a max＝6，所以a的取值范围为[－6，6]．11．（多选题）已知函数f(x）＝｜tan x｜·cos x，则下列说法正确的是（）A．f（x)的最小正周期为πB．f（x)的图像关于错误!中心对称C．f（x)在区间错误!上单调递增D．f（x）的值域为［－1,1]BC［因为函数f（x）＝｜tan x｜·cos x＝错误!画出函数f（x)的图像，如图所示:所以f（x＋2π)＝|tan(x＋2π）|·cos（x＋2π）＝｜tan x｜·cos x，f（x)的最小正周期是2π，根据f(x)的图像，f(x）的图像关于错误!中心对称，f（x)在区间错误!上单调递增,f(x)的值域为（－1，1)．］12．下列大小关系正确的是（)A．sin 错误!<sin 错误!B．sin 1〈sin 3C．sin 错误!〈sin 错误!D．sin错误!〈sin错误!D[sin 错误!＝sin 错误!〉0，sin 错误!＝－sin 错误!〈0，故A错；sin 3＝sin(π－3）,因为0<π－3〈1，所以sin（π－3）〈sin 1，所以sin 1〉sin 3，故B错；sin 11π6＝sin错误!，sin 错误!＝sin错误!,因为－错误!<－错误!<－错误!〈0，所以sin错误!<sin错误!，sin 错误!<sin 错误!，故C错；sin错误!＝sin错误!，sin错误!＝sin错误!,所以sin错误!〈sin错误!，故D正确．］13．函数f（x)＝错误!则不等式f（x）＞错误!的解集是________．错误!［在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）和y＝错误!图像(图略)，由图易得:－错误!＜x＜0或错误!＋2kπ＜x＜错误!π＋2kπ,k∈N。
苏教版高中数学必修第一册《7.3三角函数的图象与性质》精品课件
探究新知
从前面的问题的提出与解决，我们得到：
函数 = sin, ∈ 的图象（如图（1））和 = cos, ∈ 的图象（如图（2）），分
别叫作正弦曲线和余弦曲线.
探究新知
思考1：我们取一个周期 0,2 上的正弦、余弦函数图象，如图：
能不能在图象上作出影响图象的五个关键点？
典例剖析
变式训练：用“五点法”画出下列函数的简图：
（1） = − , ∈ [, ሿ；（2） = + , ∈ [, ሿ.
分析
解析
借助于“五点法”按下列次序完成：
（1）①列表如下：
②描点：
③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象（如上图）.
典例剖析
①借助于余弦线，如图：
情境引入
这种方式要借助直线 = ，将横坐标的量与纵坐标的量对等，平移到坐标轴上，较为抽
象，注意学生的理解.
②借助诱导公式：cos = sin + .
2
将正弦函数的图象向左平移 个单位长度，如图所示.
2
设计意图：考查学生的发散思维和创新精神.正弦函数的作图，已经给学生传递了一种作
0 , sin0 ，将这些点用光滑的曲线连接起来，可以得到比较精确的函数 = sin, ∈
[0,2ሿ的图象（如图）.
紧接着提出思考：根据函数 = sin, ∈ [0,2ሿ的图象，你能想象出函数 = sin, ∈
的图象吗？
学生根据上节课学习的三角函数的周期性，很容易想到 = sin的图象（如图）：
苏教版同步教材精品课件
7.3.2 三角函数的图象与
性质（1）
情境引入
问题1：这节课我们来研究函数 = sin, ∈ 的图象，从画函数 = sin, ∈ [0,2ሿ的图
7.3.1 正弦函数的性质与图像 第1课时(教学课件)-高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
P
x
∵图中的正弦线 的长度最大是 1，最小是 0；
M
O
∴ y = sin x 的值域为 [-1，1]，而且
2
当且仅当 = + 2, ∈ 时，函数 y = sin x 的最大值 ymax = 1；
当且仅当 =
3
2
+ 2, ∈ 时，函数 y = sin x 的最大值 ymin = – 1.
1
2
−
6
)；
提示：f ( x +T ) = f (x).
解：（1）任意 x∈R，有 3 sin ( + 2π ) = 3 sin ，
由周期函数的定义可知，y = 3sinx，x∈R 的最小正周期为 2π ；
（2）令 z = 2x，由 x∈R，得 z∈R，且 y = cos z 的周期为2π；
ymin= 1，此时 sin x =
1
，x
2
=
6
2
+2kπ (k∈Z)；
+2kπ (k∈Z) 或 x =
5
6
+2kπ (k∈Z) .
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题：
（1）请简述周期性的含义，并说说什么是最小正周期？
（2）说说如何利用单调性，直接判断同名三角函数值的大小？
（2）说说判断正弦函数的最值，需要注意哪些要素？
2
，因此
5
) 和 sin
2
sin
23
(−
5
) 的大小.
+ 4π) = – sin
；
4
高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像学案含解析第三册
7．3 三角函数的性质与图像7．3.1正弦函数的性质与图像[填一填]1．正弦函数的性质与图像2.周期函数（1）对于函数f(x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都满足f(x＋T）＝f(x)，那么就称函数f（x）为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期．对于一个周期函数f （x）,如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为f(x）的最小正周期．(2）正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z，且k≠0）是它的周期，最小正周期是2π.3．“五点法”作图在函数y＝sin x，x∈[0，2π］的图像上起关键作用的点主要有五个：（0，0),错误!，（π，0），错误!，（2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈［0,2π］的图像的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．这种作图方法，就叫五点（画图)法．利用周期性可画出完整的正弦曲线．[答一答］1．如何理解周期和周期函数？提示：（1)“f(x＋T）＝f（x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值而言都能使它成立，T是函数f(x）的周期,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，如sin错误!＝cos π4＝sin错误!，但sin错误!≠sin错误!,因此错误!不是sin x的周期．(2)从等式f(x＋T）＝f（x)来看，应注意的是自变量x本身加的常数才是周期,如f(2x＋T）＝f(2x），但T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f错误!＝f(2x)，错误!是f（2x）的周期．(3）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT（k∈Z且k≠0）一定也是该函数的周期，则x＋kT也一定在定义域内，因此周期函数的定义域一定是无限集，也就是说定义域一定无上界或无下界．(4)若无特别说明，我们所说的周期一般指最小正周期．（5)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f（x）＝c（c为常数），x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个x值，都有f （x＋T)＝f(x)＝c，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合没有最小的，所以f（x）没有最小正周期．（6）要证明非零数T为函数的一个周期，只需在定义域找到这样一个常数T，使对定义域内的任意的x值都有f（x＋T)＝f(x)即可．2．怎样作正弦函数的图像?步骤是怎样的？提示：（1）我们用单位圆中的正弦线作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，具体分为如下五个步骤：①建立直角坐标系，在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．②把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到弧度为0，错误!，错误!，错误!,…，2π的角的正弦线．③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6。
19-20版 第7章 7.3 7.3.1 正弦函数的性质与图像
7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像学习目标核心素养1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图像．(难点)1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.1.正弦函数的性质(1)函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．(2)正弦函数的性质函数y＝sin x定义域R值域[－1,1]奇偶性奇函数周期性最小正周期：2π单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上递减最值x ＝2k π＋π2 ，(k ∈Z )时，y 最大值＝1； x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 最小值＝－1(1)利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图像，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像沿x 轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线．(2)“ 五点法” 作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，和⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0)． 思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？ [提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)… ，点(k π，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z )，即图像与x 轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是x ＝k π＋π2 ，(k ∈Z )，是过图像的最高或最低点，且与x 轴垂直的直线．1.函数y ＝x sin x 是( ) A ．奇函数，不是偶函数 B ．偶函数，不是奇函数 C ．奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数B [f (－x )＝－x sin(－x )＝－x (－sin x )＝x sin x ＝f (x )，∴y ＝x sin x 为偶函数，不是奇函数．]2.下列图像中，符合y ＝－sin x 在[0,2π]上的图像的是( )D [把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]上的图像关于x 轴对称，即可得到y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]上的图像，故选D ．]3.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图像上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2C [由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1， ∴m ＝－1.]三角函数奇偶性的判定(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )． [解](1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称． 又∵ f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴ f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．判断函数奇偶性应把握好两个关键点： 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.1.判断函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋2x ＋x 2sin x 的奇偶性．[解] 原式＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数.正弦函数的单调性及应用(1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53.[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．[解](1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π<π2＋53<32π，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.2.比较大小：(1)sin 250°与sin 260°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.[解](1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4. 因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.正弦函数的值域与最值问题(1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3；(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .[思路探究](1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围．[解](1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5， ∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]．(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1， y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图像可知－2≤y ≤98，即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x 就得出－1≤sin x ≤1，要根据x 的范围确定．3.设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．[解] f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.正弦函数的图像答下列问题：(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点，求a 的取值范围； (3)求函数y ＝1－2sin x 的最大值，最小值及相应的自变量的值． [解] 按五个关键点列表：x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 y ＝1－131－112sin x描点连线得：(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，∴a 的取值范围是{a|1<a<3或－1<a<1}．(3)由图像可知y最大值为3，此时x＝－π2；y最小值为－1，此时x＝π2.1.解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取－π，－π2，0，π2，π，然后相应求出y值，作出图像．2.“五点法”作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．3.仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．4．用“五点法”画出函数y＝12＋sin x，x∈[0,2π]上的图像．[解]取值列表如下：x 0π2π3π22πsin x 010－10y＝12＋sin x 123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)1.正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.2.正弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称．(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．3.正弦函数单调性的说明(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．4．正弦函数最值的释疑(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A sin z的形式求最值．5．“五点法”画正弦函数图像“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．1.以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是()A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图像形状相同，只是位置不同B ．关于x 轴对称C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间D ．与y 轴仅有一个交点B [观察y ＝sin x 图像可知A ，C ，D 项正确，且关于原点中心对称，故选B ．]2.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )D [可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B ．]3.若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． [－1,0] [因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1， 解得－1≤m ≤0.]4．用五点法画出函数y ＝－2sin x 在区间[0,2π]上的简图． [解] 列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x1－1y＝－2sin x 0－202011/11。
高中数学课件-正弦余弦函数的图象和性质
y
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
1-
-
-
6
4
-
-
2
o
2
-
-
4
6
-
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 ,……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
-
y cos x, x ? R (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点 )
1-
余弦函-1 -数
图象的最高点 (0,1)
与x轴的交点的图(2,1象)
-
6
-
4
-
2 24-3--o119-- 29244--33--92999
-
-
4
-
6
x
-
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3
5
11
2
2
3
6
(
如何作出简图? 有什么性质特征?
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
正弦函数 y sin x, x R 的图象
它们的形状相同，且都夹在两 条平行直线y=1与y=-1之间。 但它们的位置不同，正弦曲线 交y轴于原点，余弦曲线交y轴
于点（0，1）.
1-
-
-
-
-
-
-
6
4
2
o
2
-
4
6
x
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
三角函数正弦函数的图像与性质正弦函数的图像课件ppt
波形
正弦函数的图像呈现出典 型的波形，即一个连续的 、重复的曲线。
图像的周期性与振幅
周期性
正弦函数的周期性意味着我们可以使用一个常数（通常称为相位偏移量）来移动 函数的图像，而不改变其形状或特性。这个常数被称为相位偏移量，通常用希腊 字母表示。
振幅
正弦函数的振幅是指函数值可以变化的范围。振幅的大小可以用数学公式表示， 也可以在图像上直观地看到。
要点二
控制系统
正弦函数经常用于分析和设计控制系统，如反馈控制系 统和自动控制系统。在控制工程中，正弦函数被用于描 述和建模系统的动态行为。
在数学与其他领域中的应用
微积分
正弦函数是微积分中重要的函数之一。它在求解微分方 程、最优控制和最优化问题等数学问题中具有广泛的应 用。
统计学
正弦函数在统计学中也有应用，如在描述正态分布的尾 部概率密度函数时。此外，正弦函数还被用于信号处理 和图像处理等领域。
图像的极值与零点
极值
正弦函数在某些点上达到最大或最小值。这些点称为极值点 。在图像上，极值点通常表现为曲线向上或向下突然转折的 点。
零点
正弦函数在某些点上为零。这些点称为零点。在图像上，零 点通常表现为水平线段，即函数值为零的点。
03
正弦函数的性质
函数的单调性
递增区间
正弦函数在$\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{\pi}{2} + 2k\pi\rbrack(k \in \mathbf{Z})$上单调 递增。
正弦函数与反正弦函数的关系
反正弦函数（asin）是正弦函数的反函数。 它的定义域和值域与正弦函数相反。
反正弦函数和正弦函数在图像上呈现对称性 ，且具有相同的频率但相位不同。