九年级数学菱形的性质与判定
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第一章特殊平行四边形
第一节菱形的性质与判定
一、什么是菱形
菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等
二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质
三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分
四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。也就是他的两条对角线互相垂直。
五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。
六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形
课后练习：
1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。
解答：
∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，
∵AB=5，AO=4，
∴BO=3452222=-=-AO AB
∴BD=2BO=2×3=6.
2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。
解答：
在菱形ABCD 中，
∠B+∠BAD=180∘.
又∵∠BAD=2∠B ，
∴∠B=60∘.
∴△ABC 是等边三角形。
3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。
解答：
在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，
∴OA=21AC=4,OB=21
BD=3，AC ⊥BD ，
∴AB=5342222=+=+OB OA
∴菱形的周长为：4×5=20.
4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.
解答：
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=AB=DC=BC ，
∠ADC=∠ABC ，
在△ADC 和△ABC 中，
∵AD=DC
∠ADC=∠ABC
AB=BC ，
∴△ADC≌△ABC，
∴AC平分∠BAD和∠BCD，
同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.
5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？
解答：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=BC=DC
∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，
∵AC⊥BD
∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形
故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。
证明四边相等的四边形是菱形。
6、如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E. O、F，求证：四边形AFCE是菱形。
解答：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC, AD∥BC，
在△AOE和△COF中
∵∠EAO=∠FCO
OA=OC
∠AOE=∠FOC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形。
7、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与D相交于点O，点E. F. G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，求证：四边形EFGH是菱形。
解答：
证明：∵E、F为OA、OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线，
1AB,
∴EF=
2
1BC,
同理可得FG=
2
1CD,
GH=
2
1AD，
HE=
2
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH为菱形。
8、如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折叠DE交BC 于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论.
解答：
四边形CDC′E是菱形．
理由：根据折叠的性质，可得：CD=C′D，
∠C′DE=∠CDE，CE=C′E.
∵AD∥BC，
∴∠C ′DE=∠CED.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE.
∴CD=C ′D=C ′E=CE.
∴四边形CDC ′E 为菱形.
9、如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线BD 长10cm.
(1)求菱形的每一个内角的度数。
(2)求菱形另一条对角线AC 的长
解答：
(1)∵菱形ABCD 的边长AB=AD=
440=10(cm)，
又∵BD=10cm ，
∴AB=AD=BD ，
∴△ABD 是等边三角形。
∴∠DAB=60∘，
∴∠DAB=∠DCB=60∘,∠ABC=∠ADC=120∘；
（2）∵因四边形ABCD 是菱形，所以对角线互相垂直。 在Rt △AOB 中，已知BD=10cm 所以BO=5 cm AB=10cm AO=cm OB AB 355102222=-=-
则AC=2AO=2×35=103cm