九年级数学菱形的性质与判定
第一章特殊平行四边形
第一节菱形的性质与判定
一、什么是菱形
菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等
二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质
三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分
四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。
也就是他的两条对角线互相垂直。
五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。
六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形
课后练习：
1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。
解答：
∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，
∵AB=5，AO=4，
∴BO=3452222=-=-AO AB
∴BD=2BO=2×3=6.
2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。
解答：
在菱形ABCD 中，
∠B+∠BAD=180∘.
又∵∠BAD=2∠B ，
∴∠B=60∘.
∴△ABC 是等边三角形。
3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。
解答：
在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，
∴OA=21AC=4,OB=21
BD=3，AC ⊥BD ，
∴AB=5342222=+=+OB OA
∴菱形的周长为：4×5=20.
4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.
解答：
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=AB=DC=BC ，
∠ADC=∠ABC ，
在△ADC 和△ABC 中，
∵AD=DC
∠ADC=∠ABC
AB=BC ，
∴△ADC≌△ABC，
∴AC平分∠BAD和∠BCD，
同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.
5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？
解答：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=BC=DC
∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，
∵AC⊥BD
∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形
故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。
证明四边相等的四边形是菱形。
6、如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E. O、F，求证：四边形AFCE是菱形。
解答：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC, AD∥BC，
在△AOE和△COF中
∵∠EAO=∠FCO
OA=OC
∠AOE=∠FOC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形。
7、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与D相交于点O，点E. F. G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，求证：四边形EFGH是菱形。
解答：
证明：∵E、F为OA、OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线，
1AB,
∴EF=
2
1BC,
同理可得FG=
2
1CD,
GH=
2
1AD，
HE=
2
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH为菱形。
8、如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折叠DE交BC 于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论.
解答：
四边形CDC′E是菱形．
理由：根据折叠的性质，可得：CD=C′D，
∠C′DE=∠CDE，CE=C′E.
∵AD∥BC，
∴∠C ′DE=∠CED.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE.
∴CD=C ′D=C ′E=CE.
∴四边形CDC ′E 为菱形.
9、如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线BD 长10cm.
(1)求菱形的每一个内角的度数。
(2)求菱形另一条对角线AC 的长
解答：
(1)∵菱形ABCD 的边长AB=AD=
440=10(cm)，
又∵BD=10cm ，
∴AB=AD=BD ，
∴△ABD 是等边三角形。
∴∠DAB=60∘，
∴∠DAB=∠DCB=60∘,∠ABC=∠ADC=120∘；
（2）∵因四边形ABCD 是菱形，所以对角线互相垂直。
在Rt △AOB 中，已知BD=10cm 所以BO=5 cm AB=10cm AO=cm OB AB 355102222=-=-
则AC=2AO=2×35=103cm
10、已知如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠BAC=60∘，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D，点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
解答：
证明：∵∠ACB=90∘，DE是BC的中垂线，
∴DE⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥AC，
又∵D为BC中点,
DF∥AC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E为AB边的中点，
∴CE=AE=BE，
∵∠BAC=60∘，
∴△ACE为等边三角形，
∵∠AEF=∠DEB=∠CAB=60∘，而AF=CE，又CE=AE，
∴AE=AF，
∴△AEF也为等边三角形，
∴∠CAE=∠AEF=60∘，
∴AC平行且等于EF，
∴四边形ACEF为平行四边形，
又∵CE=AC，
∴四边形ACEF为菱形。
11、已知如图，在菱形ABCD中，EF分别是AB和BC上的点，且BE=BF，求证：
(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠DEF=∠DFE.
解答：
证明：(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AB=CB，AD=DC，
∵BE=BF，
∴AE=CF，
在△ADE和△CDF中，
∵AD=DC
∠A=∠C
AE=CF
∴△ADE≌△CDF；
(2)∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE.
12、求证：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
解答：
在菱形ABCD 中，
∵AC ⊥BD ，
∴S=S △ABC+S △ADC=21AC ×OB+21AC ×OD=21AC(OB+OD)=2
1AC ×BD.
13、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD 的高DH.
解答：
∵四边形ABCD 是菱形，DH ⊥AB ，
∴OA=OC=8，OB=OD=6，AC ⊥BD ，
∴在Rt △AOB 中,AB=222268+=+OB OA =10，
∵AB ×DH=2
1
AC ×BD ，
∴10×DH=21×16×12， ∴DH=9.6.
14、如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E. F. G 、H 分别是
AB 、CD 、AC 、BD 的中点，求证：四边形EGFH 是菱形。
解答：
证明：∵点E. F. G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点， ∴GF 是△ADC 的中位线，GE 是△ABC 的中位线，EH 是△ABD 的中位线，
∴GF ∥AD,GF=21AD,GE=21BC,EH ∥AD,EH=2
1AD ，
∴GF ∥EH ，GF=EH ，
∴四边形EGFH 是平行四边形，
又∵AD=BC ，
∴GE=EH ，
∴四边形EGFH 是菱形。
15、如图,你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个菱形,使∠A 为菱形的一个内角吗?
解答：
能,理由如下：沿过点A 的直线折叠,使得AB 落在AC 边上,折痕为AD,展平纸片,再次折叠该三角形纸片,使得点A 与点D 重合,折痕为EF,再次展平后连接DE 、DF,则四边形AFDE 是菱形。
证明：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1=∠2，由第二次折叠可知：∠BAC=∠EDF.
∵AE=ED，AF=FD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
∵∠1=∠2,AD=AD,∠3=∠4
∴△AED≌△AFD.∴AE=AF,DE=DF,∴EO=FO,AO=DO,AD⊥EF
故四边形AEDF是菱形。
北师大版九年级数学上册教学课件：1.1菱形的性质与判定 (共36张PPT)
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点二 菱形判定方法的综合应用 例2 (2016· 沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连 接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE; (2)四边形BCED是菱形. 分析:(1)欲证明∠CEB=∠CBE,只要证明∠CEB=∠ABD, ∠CBE=∠ABD即可. (2)先证明四边形BCED是平行四边形,再根据BC=BD即可判定.
分析:根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2,从而证 得△BAE≌△DAE,这样就得出四边形ABED为平行四边形,然后根据 菱形的判定定理即可得出结论.
知识点一
知识点二
知识点三
证明:如图,∵AE平分∠BAD, ∴∠1=∠2. ∵AB=AD,AE=AE, ∴△BAE≌△DAE.∴BE=DE. ∵AD∥BC,∴∠2=∠3=∠1. ∴AB=BE. ∴AB=BE=DE=AD. ∴四边形ABED是菱形.
1识点二
知识点三
知识点一 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 名师解读 几何中的定义都有两重性:一是可作为一条性质,二是 可作为一条判定. (1)根据菱形的定义,判断一个四边形是菱形必须同时具备两个 条件: ①四边形是平行四边形; ②四边形有一组邻边相等. (2)由菱形的定义可知,一个四边形是菱形,则具有如下性质: ①菱形是平行四边形; ②菱形有一组邻边相等.
知识点一
知识点二
知识点三
例2 (2016· 淮安)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为边 CD,AD的中点,连接AE,CF,求证:△ADE≌△CDF. 分析:由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由 SAS证明△ADE≌△CDF即可. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD, ∵点E,F分别为边CD,AD的中点, ∴AD=2DF,CD=2DE,∴DE=DF,
1.1+菱形的性质与判定++课件+++2024--2025学年北师大版九年级数学上册
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
问题2：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：
∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形， C
∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE.
B F
EA
又∵CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE. D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠CDE，
∴∠AFD=∠CBE.
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
练一练 如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（ B ）
A.20
B.16
C.15
D.14
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
1.根据下图填一填：
（1）在菱形ABCD中，∠ABC=120 °，则∠BAC=___3_0_°__.
在等腰△ABD中,OB=OD，
∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
变式：试证明上题中的对角线是否都平分对角. ∵在等腰△ABD中,OB=OD，∴AO平分∠DAB, 同理可得BO平分∠ABC,CO平分∠BCD,DO平分∠ADC.
∴每条对角线平分一组对角.
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
归纳总结 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外还有 平行四边形所没有的性质.
问题1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=12cm，
AC=6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO= 1 AC，BO= 1 BD.
九年级数学北师大版上册1.1菱形的性质与判定说课稿
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点和难点如下：
1.教学重点
（1）菱形的定义及其性质。
（2）菱形的判定方法。
2.教学难点
（1）菱形性质的证明。
（2）判定方法的运用。
在教学过程中，需要关注学生对性质和判定方法的理解，通过实例分析、练习巩固等方式，帮助学生克服难点，达到教学目标。同时，注重培养学生的几何思维和空间想象力，提高学生的几何素养。
4.通过对比矩形、平行四边形等图形的性质，让学生发现菱形的独特之处，加深对知识点的理解。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.基础练习：设计一系列关于菱形性质和判定方法的填空题、选择题，让学生独立完成，巩固基础知识。
2.提高练习：设置一些综合性的应用题，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.留白处理：在板书中预留一定空间，用于记录课堂生成性内容，如学生的疑问、重要讨论点等。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
1.学生对菱形性质证明的理解可能不够深入，导致解题困难。
2.部分学生对判定方法的应用可能存在误区，容易混淆。
3.课堂时间有限，可能无法充分照顾到所有学生的学习需求。
3.收集生活中的菱形图案，分析其特点和应用，增强数学与生活的联系。
作业的目的是帮助学生巩固所学知识，提高学生的几何素养，培养学生的自主学习能力和问题解决能力。同时，通过作业的完成情况，教师可以了解学生的学习进度和薄弱环节，为下一节课的教学提供依据。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
1.1菱形的性质与判定课件初中数学北师大版九年级上册
又∵四边形ABCD 是菱形，∴ AC⊥ BD. ∴∠ AOB=90°.
∴∠ BAO=180 °－∠ AOB－∠ ABO=40°．
感悟新知
知2－练
2-1. 如图， 在菱形ABCD 中， ∠ BAD=
80 °，AB 的垂直平分线交对角线
AC 于点F，E 为垂足，连接DF，
∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.
∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.
又∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知1－练
(2)若AB=AC， 判断四边形ACDE 的形状，并说明理由.
解：四边形ACDE是菱形．理由如下：
学习目标
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲授 菱形的定义
菱形的性质
菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
两个条件缺一不可.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
B.1
D. 3
D )
感悟新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知3－讲
知识点 3 菱形的判定
感悟新知
元
素
文字语言
边 定 有一组邻边相
义 等的平行四边
法 形叫做菱形
定 四边相等的四
理 边形是菱形
对 定 对角线互相垂
北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定(第1课时)课件
结
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相
垂直.
所有对角线互相垂直的四边形的面积都 等于其两条对角线乘积的一半.
教学过程
分层作业
课
第一层：第4页习题1、2题.
后
巩
第二层：第4页习题1、2、3、4题.
固
教学过程
结 束
感谢聆听
新
课
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相垂直. 有两条对称轴，它们互相垂直.
将△ABO沿点A到点C的方向平移, 通过上面的折纸活动，我们可以发现：
已知：如图 ，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点O.
精 得到△A'B'O'.当点A'与点C重合 定理(边的性质): 菱形的四条边相等. 析 时,点A与点B'之间的距离为 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.
A
授 （2)AC⊥BD.
B
O
C
D
教学过程
证一证
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
你能列举一些这样的性质吗？
菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， 定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
通过上面的折纸活动和证明，菱形有如下的性质： （2）菱形中有哪些相等的线段？
新 ∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）. 定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
新 对称图形.
授
定理(边的性质): 菱形的四条边相等.
定理(对角线的性质): 菱形的对角线互相
垂直.
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。
2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。
3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
专题01菱形的性质与判定(3知识点10种题型2易错点3考法)(解析版)-九年级数学上册(北师大版)
专题01菱形的性质与判定（3个知识点10种题型2个易错点3种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：菱形的定义知识点2：菱形的性质（重难点）知识点3：菱形的判定（重难点）【方法二】实例探索法题型1：利用菱形的性质计算题型2：利用菱形的性质进行证明题型3：求菱形的面积题型4：利用菱形的轴对称性解决最小值问题题型5：证明四边形为菱形题型6：菱形的判定与性质的综合应用题型7：与菱形有关的探究性问题题型8：菱形中的动点问题题型9：一题多解-菱形证明题型10：菱形中的翻折与旋转【方法三】差异对比法易错点1菱形的面积公式应用出错易错点2不理解菱形的几种判定方法而导致错误【方法四】仿真实战法考法1：菱形的性质考法2：菱形的判定考法3：菱形的判定、性质的综合【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．知识点2：菱形的性质（重难点）菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；(2)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；(3)菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．知识点3：菱形的判定（重难点）菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，例1.下列命题中，真命题是()A ．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形B ．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】C【解析】C 答案中对角线互相平分则可判定四边形为平行四边形，而在此基础上加上对角线互相垂直，四边形变为菱形．【总结】菱形的判定【方法二】实例探索法题型1：利用菱形的性质计算例2（1）菱形的两条对角线长的比是3:4，边长为10厘米，菱形的面积是_________；（2）菱形的两条对角线长的比是2:3，面积是12cm 2，则它的两条对角线的长分别是_____cm 、_____cm ，该菱形的周长是_______cm ．【答案】（1）96平方厘米；（2）4、6、134．【解析】（1）∵菱形的两条对角线长的比是3:4，∴菱形的两条对角线长的一半之比是3:4．设两条对角线长的一半分别为34x x 、，则由勾股定理可得：菱形的边长为x5所以105=x ，解得：2=x ∴菱形的面积为962486212==⋅⋅x x x 平方厘米；（2）∵菱形的两条对角线长的比是2:3，∴菱形的两条对角线长的一半之比是2:3设两条对角线长的一半分别为x x 32，，则由勾股定理可得：菱形的边长为x 13∵菱形的面积是12cm 2，所以121264212==⋅⋅x x x ，解得：1=x ∴菱形的边长为13厘米，两条对角线的长为4厘米或6厘米．【总结】考察菱形的对角线的性质和面积的求法，注意对性质的运用．例3.（1）菱形有一个内角为60 ，一条较短的对角线长为6，则菱形的边长为_________；（2）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠= ，4AC =，则BD =．O【答案】（1）6；（2）34．【解析】（1）∵菱形有一个内角为60 ，∴菱形的两条边和较短的对角线构成了一个等边三角形，∴菱形的边长为6；（2）设对角线相交于点O ，则BD AC ⊥，2=OA ，∵︒=∠60ABC ，∴︒=∠30ABO ．由勾股定理可得：32=BO ，则34=BD 【总结】考察菱形的性质的综合运用．例4.如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD =80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，求∠CDF 的度数．【解析】联结FB∵AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，∴FBAF =∵AB AD =，AF AF =，BAF DAF ∠=∠，∴BAFDAF ≌△△∴FB DF =，∴DF AF =，∵∠BAD =80°，∴︒=∠=∠4021BAD DAF ，︒=∠100ADC ∴︒=∠=∠40DAF ADF ，∴︒=︒-︒=∠6040100CDF ．【总结】考察菱形的性质的应用．题型2：利用菱形的性质进行证明例5．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E．求证：∠AFD=∠CBE．答案：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴BCD CA CD CB ∠=平分,．∴CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD 中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC ∴∠AFD=∠CBE．题型3：求菱形的面积例6.如图所示，在菱形ABCD 中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB 的长．(2)菱形ABCD 的面积．【答案与解析】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形．∴AC⊥BD，AO＝12AC，OB＝12BD．又∵AC＝8，BD＝10．∴AO＝12×8＝4，OB＝12×10＝5．在Rt△ABO 中，222AB OA OB=+∴2224541AB =+=，∴41AB =．(2)由菱形的性质可知：118104022S AC BD ==⨯⨯= 菱形ABCD ．【总结升华】(1)由菱形的性质及勾股定理求出AB 的长．(2)根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”来计算．题型4：利用菱形的轴对称性解决最小值问题例7.如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________【答案】32．【解析】联结AE 与BD 的交点即为所求作的点P ．∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形∵E 是BC 的中点，∴BCAE ⊥∵42AB BE ==，∴3222=-=BE AB AE 【总结】考察菱形的性质和轴对称最短路程问题，注意对方法的归纳总结．题型5：证明四边形为菱形例8.如图，ABC 中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，EG AB⊥交AB 于G ．求证：四边形CEGF 是菱形．【解析】∵AE 平分BAC ∠，EG AB ⊥，90ACB ∠=∴EG CE =，AECAEG ∠=∠∵EG CE =，AEC AEG ∠=∠，EFEF =∴GEF CEF ≌△△，∴GFECFE FC FG ∠=∠=，∵ABEG AB CD ⊥⊥，∴EG CD ∥，∴GEFCFE ∠=∠∵GFE CFE ∠=∠，∴CEF CFE ∠=∠，∴CECF =∵EGCE FC FG ==，∴FG EG CE CF ===，∴四边形CEGF是菱形【总结】考察菱形的判定定理的综合运用．题型6：菱形的判定与性质的综合应用例9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）证明：DE=BC；（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）．【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AD，∴四边形ADCE是菱形；（2）证明：∵四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE．∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴DE∥BC，∵CE∥AB，∴四边形BCED是平行四边形，∴DE=BC；（3）解：过点D作DE⊥CE，如图所示，∴DF是菱形ADCE的高，∵∠B=60°，CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=60°，∴DF=33题型7：与菱形有关的探究性问题例10.已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），△ADE 是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB 、AC 于点F 、G ，连接BE ．（1）如图1所示，当点D 在线段BC 上时，①试说明：△AEB ≌△ADC②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形，并说明理由．（2）如图2所示，当点D 在BC 的延长线上时，探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形，并说明理由．（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．图1图2【解析】（1）①∵ABC △和DEA △都是等边三角形∴AC AB =，AD AE =，︒=∠=∠60EAD BAC ∴BAD EAD BAD BAC ∠-∠=∠-∠，即BAEDAC ∠=∠∵AC AB =，BAE DAC ∠=∠，AD AE =，∴ADC ABE ≌△△；②四边形BCGE 是平行四边形．∵ABC △和DEA △都是等边三角形，∴︒=∠=∠60BAC ACB ∵ADC ABE ≌△△，∴︒=∠=∠60ACD ABE ∴BAC ABE ∠=∠，∴ACBE ∥∵BC EG ∥，∴四边形BCGE 是平行四边形．（2）四边形BCGE 是平行四边形．方法同（1）（3）当点D 运动到BC DC =时，四边形BCGE 是菱形．与（1）一样可证：ADC ABE ≌△△，则CDBE =与（1）一样可证：四边形BCGE 是平行四边形∴当BE BC =时，四边形BCGE 是菱形，此时CDBC =即当点D 运动到BC DC =时，四边形BCGE 是菱形．【总结】本题综合性较强，主要考察特殊的平行四边形的判定的综合运用．A B CD E F G AB C DG E题型8：菱形中的动点问题例11.如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2．（1）判断△BEF 的形状，并说明理由；（2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．【答案】（1）等边三角形，证明见解析；（2）3343≤≤S ．【解析】（1）∵菱形ABCD 的边长为2，BD =2，∴BCD ABD 和△△都为等边三角形．∴︒=∠=∠60BCF BDE ，BC BD =．∵2==+AD DE AE ，又2=+CF AE ，∴CF DE =．∵CF DE =，BCF BDE ∠=∠，BC BD =，∴BCF BDE ≌△△，∴CBF DBE ∠=∠，BFBE =∵︒=∠+∠=∠60CBF DBF DBC ，∴︒=∠+∠60DBE DBF ，即︒=∠60EBF ，∴BEF △是正三角形；（2）设x EF BF BE ===，则2432321x x x S =⋅⋅=当AD BE ⊥时，x 取最小值为3时，343=S ；当BE 与AB 重合时，x 取最大值为2，3=S ；∴3343≤≤S ．【总结】考察菱形的性质的具体应用，注意动点的运动轨迹．题型9：一题多解-菱形证明例12.如图：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFG 是菱形．解题思路：证法一、∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二、∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平方∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，，2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG ∥EF ，∴四边形AGFE 是平行四边形，∵AE=EF ，∴平行四边形AGFE 是菱形．题型10：菱形中的翻折与旋转例13．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，6AB =．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB AD 、交于点E 、F ．当点M 在BC 上时，DF 长的最大值为__________．【答案】633-/336-+【分析】连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK AD ⊥于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG CB ⊥交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ．根据垂线段最短，求出AF 的最小值，可得结论．【详解】解：连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK AD ⊥于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG CB ⊥交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ，如图：∵,AD CG OK AD ⊥∥，∴OK CG ⊥，∴90G AKT GTK ∠=∠=∠=︒，∴四边形AGTK 是矩形，∵60BAD ∠=︒，6AB =，30GAB ∴∠=︒在Rt AGB △中，∴3323AG TK AB ===，∵折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，∴,,90OA OM AOK MOT AKO MTO =∠=∠∠=∠=︒，∴()AAS AOK MOT ≌ ，∴332OK OT ==，∵OK AD ⊥，∴332OR OK ≥=，∵90,AOF AR RF ∠=︒=，∴332AF OR =≥，∴AF 的最小值为33，∴DF 的最大值为633-．故答案为：633-．【点睛】本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题．例14．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，DE 是菱形ABCD 边BC 上的高，将DEC 绕着点D 顺时针旋转120°到DFA 的位置，若五边形ABEDF 面积为503，则DE 的长度为（）A ．5B ．53C ．10D ．103【答案】B 【分析】由旋转得120ADC ∠=︒，DEC DFA ≌，从而得出菱形ABCD 的面积=五边形ABEDF 面积503=，再根据菱形的性质，和直角三角形的性质，求得3DE CE =，再证BCD △是等边三角形，根据等边三角形的性质得2BC CE =，然后根据菱形的面积求出5CE =，根据3DE CE =求解即可．【详解】解：连接BD ，由旋转可得120ADC ∠=︒，DEC DFA ≌，∴菱形ABCD 的面积=五边形ABEDF 面积503=，∵菱形ABCD ，DE 是菱形ABCD 边BC 上的高，∴90DEC ADE ∠=∠=︒，∴30∠=︒CDE ，60C ∠=︒，∴12CE CD =，∴3DE CE =，∵菱形ABCD ，∴CD CB =，∴BCD △是等边三角形，∴2BC CE =，∴22323503ABCD S BC DE CE CE CE=⋅=⋅==菱形，∴5CE =∴353DE CE ==，故选：B ．【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质掌握是银题的关键．【方法三】差异对比法易错点1菱形的面积公式应用出错例15.一个菱形的边长为5，一条对角线长是6，则该菱形的面积为（）A ．8B ．12C ．16D ．24【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．【解答】解：如图，当BD ＝6时，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ＝3，∵AB＝5，∴AO＝＝＝4，∴AC＝8，∴菱形的面积是：6×8÷2＝24，故选：D．【点评】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．易错点2不理解菱形的几种判定方法而导致错误例16.下列命题中，真命题是()A．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形B．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】C【解析】C答案中对角线互相平分则可判定四边形为平行四边形，而在此基础上加上对角线互相垂直，四边形变为菱形．【总结】菱形的判定【方法四】仿真实战法考法1：菱形的性质1．（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH 和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为．【分析】方法一：根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得AC、AM和MN的长，然后即可计算出MN的长．方法二：根据相似三角形的判定和性质可以得到EF和MN的关系，然后解直角三角形可以求得OA的长，从而可以得到MN的长．【解答】解：方法一：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图1所示，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，∵△ABD是等边三角形，∴OD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2AO＝，∵AE＝3BE，∴AE＝，BE＝，∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，∴BE＝BF＝，∠FBJ＝60°，∴FJ＝BF•sin60°＝×＝，∴MI＝FJ＝，∴AM＝＝＝，同理可得，CN＝，∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝﹣＝，故答案为：．方法二：连接DB交AC于点O，连接EF，由题意可得，四边形AMFE是平行四边形，四边形EFCN是平行四边形，∴EF＝AM＝CN，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，∵AE＝3BE，AB＝1，∴AB＝4BE，∴＝，∴AM＝CN＝AC，∴MN＝AC＝OA，∵∠BAD＝60°．AB＝AD＝1，AO垂直平分BD，∴OD＝，∴OA＝＝＝，∴MN＝，故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出AC、AM和MN的长．考法2：菱形的判定2．（2022•嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC⊥BD ，OB ＝OD ，∴AC 垂直平分BD ．∴AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA ＝OC ，证明如下：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形．【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键．考法3：菱形的判定、性质的综合3．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可．【解答】解：如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形．故选：B ．【点评】本题主要考查菱形在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意画出图形并熟练掌握菱形的判定．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，某学校门口的伸缩门在伸缩的过程中，四边形ABCD 始终是菱形，则下列结论不一定正确的是（）A ．A C∠=∠B ．A B ∠=∠C ．AB=AD D ．AB=CD【答案】B 【分析】根据菱形的性质：对角相等，邻边相等，对边相等，可知A 、C 、D 正确，B 中只要当四边形ABCD是正方形时才能成立．【详解】解：A 、菱形对角相等，正确，不符合题意；B 、菱形的邻角互补，只有当四边形ABCD 为正方形时这两角才相等，错误．符合题意；C 、菱形的邻边相等，正确，不符合题意；D 、菱形的对边相等．正确，不符合题意．故选：B【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键．2．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，在菱形ABCD 中，80C ∠=︒，则ABD ∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】D 【分析】根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可．【详解】∵菱形ABCD ，∴,AB CD ABD CBD ∠=∠ ，∴=180C ABD CBD ∠+∠+∠︒，∵80C ∠=︒，∴18080=502ABD ︒-︒∠=︒,故选D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．3．（2023·天津西青·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的四个顶点都在坐标轴上，且菱形边长为2，60BAD ∠=︒，则点B 的坐标为（）A ．()1,0-B ．()1,0C ．()3,0-D ．()3,0【答案】A 【分析】由菱形的性质，30︒所对的直角边等于斜边的一半可知112OB AB ==，进而可得B 点坐标．【详解】解：由菱形的性质可知，2AB =，1302BAO BAD ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，∴112OB AB ==，∴()10B -，，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，30︒所对的直角边等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对性质的熟练掌握．4．（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在菱形ABCD 中，对角线6AC =，菱形ABCD 的面积为24，则菱形ABCD 的周长为（）A ．5B ．10C ．20D ．30【答案】C 【分析】连接BD 交AC 于O ，根据菱形的面积公式可求得BD ，从而可求出OA 、OB ，进而可求出AB ，即可求解．【详解】解：连接BD 交AC 于O ，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，132OA AC ==，16242BD ∴⨯⨯=，8BD ∴=，142OB BD ∴==，22AB OA OB ∴=+2234=+5=，4520ABCD C ∴=⨯=菱形．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，菱形的面积公式，掌握性质、定理、公式进行正确的求解是解题的关键．5．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，DE 是菱形ABCD 边BC 上的高，将DEC 绕着点D 顺时针旋转120°到DFA 的位置，若五边形ABEDF 面积为503，则DE 的长度为（）A ．5B ．53C ．10D ．103【答案】B 【分析】由旋转得120ADC ∠=︒，DEC DFA ≌，从而得出菱形ABCD 的面积=五边形ABEDF 面积503=，再根据菱形的性质，和直角三角形的性质，求得3DE CE =，再证BCD △是等边三角形，根据等边三角形的性质得2BC CE =，然后根据菱形的面积求出5CE =，根据3DE CE =求解即可．【详解】解：连接BD ，由旋转可得120ADC ∠=︒，DEC DFA ≌，∴菱形ABCD 的面积=五边形ABEDF 面积503=，∵菱形ABCD ，DE 是菱形ABCD 边BC 上的高，∴90DEC ADE ∠=∠=︒，∴30∠=︒CDE ，60C ∠=︒，∴12CE CD =，∴3DE CE =，∵菱形ABCD ，∴CD CB =，∴BCD △是等边三角形，∴2BC CE =，∴22323503ABCD S BC DE CE CE CE=⋅=⋅==菱形，∴5CE =∴353DE CE ==，故选：B ．【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质掌握是银题的关键．6．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考一模）如图所示，边长为4的菱形ABCD 中60ABC ∠=︒，对角线AC 与BD 交于点O ，P 为AB 中点，Q 为OD 中点，连接PQ ，则PQ 的长为（）A ．23B ．32C ．13D ．15【答案】C【分析】过点P 作PM OB ⊥，垂足为M ，根据60ABC ∠=︒得到ABC 为等边三角形，从而得到30ABD ∠=︒，计算出132MO OB OQ ===，再计算出223MQ OM OQ OM =+==，最后根据勾股定理计算出PQ ．【详解】解：如图所示，过点P 作PM OB ⊥，垂足为M ，∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC 为等边三角形．∴4AB AC ==，30ABD ∠=︒，AC BD ⊥，BO DO =，∴122AO AB ==，323OB AO ==，132MO OB OQ ===，∴223MQ OM OQ OM =+==，∵P 为AB 中点∴112PM AO ==，∴()222212313PQ PM MQ =+=+=，故选C ．【点睛】本题考查菱形、等边三角形和含30︒角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识．7．（2023·天津河西·统考模拟预测）如图，菱形ABCO 中的顶点O ，A 的坐标分别为()0,0，()1,3，点C 在x 轴的正半轴上，则点B 的坐标为（）A ．()2,3B ．()3,3C ．()23,3D ．()33,3【答案】B【分析】菱形ABCO 中的顶点O ，A 的坐标分别为()0,0，()1,3，勾股定理求得2AB OA ==，点C 在x 轴的正半轴上，得AB x ∥轴可求解．【详解】解：菱形ABCO 中的顶点O ，A 的坐标分别为()0,0，()1,3，()22132AB OA \==+=，点C 在x 轴的正半轴上，AB x ∴∥轴，()3,3C ∴，故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理及坐标与图形；解题的关键是求出菱形的边长．二、填空题8．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，6AB =．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB AD 、交于点E 、F ．当点M 在BC 上时，DF 长的最大值为__________．【答案】633-/336-+【分析】连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK AD ⊥于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG CB ⊥交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ．根据垂线段最短，求出AF 的最小值，可得结论．【详解】解：连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK AD ⊥于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG CB ⊥交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ，如图：∵,AD CG OK AD ⊥∥，∴OK CG ⊥，∴90G AKT GTK ∠=∠=∠=︒，∴四边形AGTK 是矩形，∵60BAD ∠=︒，6AB =，30GAB ∴∠=︒在Rt AGB △中，∴3323AG TK AB ===，∵折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，∴,,90OA OM AOK MOT AKO MTO =∠=∠∠=∠=︒，∴()AAS AOK MOT ≌ ，∴332OK OT ==，∵OK AD ⊥，∴332OR OK ≥=，∵90,AOF AR RF ∠=︒=，∴332AF OR =≥，∴AF 的最小值为33，∴DF 的最大值为633-．故答案为：633-．【点睛】本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题．9．（2023·山西晋中·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，7OA =，3OB =，则菱形ABCD 的面积为_____．【答案】42【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．【详解】解：在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，7OA =，3OB =，214AC AO ∴==，26BD OB ==，∴菱形ABCD 的面积为1146422⨯⨯=．故答案为：42．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积的求法．10．（2023·广西梧州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的顶点(3,2)D ，点P 是对角线OC 上的一个动点，已知(1,0)A -，则AP BP +的最小值是_________________【答案】25【分析】点B 的对称点是点D ，连接AD ，交OC 于点P ，再得出AD 即为AP BP +最小值，解答即可．【详解】解：连接BD ，如图，∵四边形OBCD 是菱形，∴AC 垂直平分BD ，∴点B 的对称点是点D ，连接AD 交OC 于点P ，连接BP ，∴=DP BP ，∴AD 即为AP BP +的最小值，∵点A 的坐标为()1,0-，点(3,2)D ，∴()()22130225AD =--+-=故答案为25【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．11．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，4AB =，E ，F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE DF =，则AE AF +的最小值为______．【答案】42【分析】在BC 的下方作30CBT ∠=︒，截取BT ，使得BT AD =，连接ET ，AT ．证明(SAS)ADF TBE △≌△，推出AF ET =，AE AF AE ET +=+，根据AE ET AT +≥求解即可．【详解】解：如图，BC 的下方作30CBT ∠=︒，截取BT ，使得BT AD =，连接ET ，AT ．四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，60ADC ABC ∴∠=∠=︒，1302ADF ADC ∠=∠=︒，AD BT = ，30ADF TBE ∠=∠=︒，DF BE =，(SAS)ADF TBE ∴△≌△，AF ET ∴=，603090ABT ABC CBT ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ，2AB AD BT ===，22224442AT AB BT ∴=+=+=，AE AF AE ET ∴+=+，AE ET AT +≥ ，42AE AF ∴+≥，AE AF ∴+的最小值为42，故答案为42．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．12．（2023春·广东茂名·九年级校联考阶段练习）以菱形ABCD 的对角线交点O 为原点，对角线AC 、BD 所在直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系，AD 的中点E 的坐标为()1,2-，则BC 的中点F 的坐标为__．【答案】()1,2-【分析】过E 作EG AC ⊥于G ，过F 作FH AC ⊥于H ，根据已知条件得到()2,0A -，()0,4D ，根据菱形的性质得到OB OD =，OA OC =，于是得到()0,4B -，()2,0C ，即可得到结论．【详解】解：过E 作EG AC ⊥于G ，过F 作FH AC ⊥于H ，∵AD 的中点E 的坐标为()1,2-，∴()2,0A -，()0,4D ，∵四边形ABCD 是菱形，∴OB OD =，OA OC =，∴()0,4B -，()2,0C ，∴BC 的中点F 的坐标为()1,2-．故答案为：()1,2-．【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．13．（2023·江苏常州·校考二模）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60D ∠=︒．点P 为边CD 上一点，且不与点C ，D 重合，连接BP ，过点A 作EF BP ∥，且EF BP =，连接,BE PF ，则四边形BEFP 的面积为______．【答案】83【分析】连接,AC AP ，由菱形的性质可知ABC 是等边三角形，过点C 作CG AB ⊥于点G ，过点P 作PH AB ⊥于点H ，可得CG PH =，继而得出ABP ABC S S =△△，根据勾股定理求出CG 长度，再证明四边形BEFP 是平行四边形，依据BEFP ABCD S S =菱形平行四边形进行求解即可．【详解】如图，连接,AC AP ，∵四边形ABCD 是菱形中，60D ∠=︒，∴4,60AB BC D ABC ==∠=∠=︒，AB CD ∥，∴ABC 是等边三角形，过点C 作CG AB ⊥于点G ，过点P 作PH AB ⊥于点H ，则CG PH =，∵12ABP S AB PH =⋅ ，12ABC S AB CG =⋅△，∴ABP ABC S S =△△，∵CG AB ⊥，∴122BG AG AB ===，∴22224223CG BC BG =-=-=∵,EF BP EF BP =∥，∴四边形BEFP 是平行四边形，∴2ABP BEFP S S = 平行四边形，∵2ABC ABCD S S = 菱形，∴42383BEFP ABCD S S AB CG ==⋅=⨯=菱形平行四边形，故答案为：83．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．14．（2023·浙江台州·统考一模）关于某个四边形的三个特征描述：①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③一组邻边相等．选择其中两个作为条件，另一个作为结论．若该命题是假命题，则选择的条件是____________．（填序号）【答案】①③【分析】根据平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质逐一判定即可．【详解】①②为条件，③为结论时为真命题：对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形，菱形的邻边相等；②③为条件，①为结论时为真命题：对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直；①③为条件，②为结论时为假命题：由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互相平分；故答案为：①③．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题15．（2023·山东滨州·统考一模）如图，四边形ABCD 是菱形，点H 为对角线AC 的中点，点E 在AB 的延长线上，CE AB ⊥，垂足为E ，点F 在AD 的延长线上，CF AD ⊥，垂足为F ，。
北师大版九年级数学上册知识点附常见题型解题技巧
北师大版九年级数学上册知识点附常见题型解题技巧第一章特殊平行四边形1、菱形的性质与判定①菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
②菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
③菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2、矩形的性质与判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
②矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）③矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、正方形的性质与判定①正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
②正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）③正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
④正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系⑤梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
⑥等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
夹在两条平行线间的平行线段相等。
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1、认识一元二次方程只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2 +bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
把ax 2 +bx+c=0 （a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
【复习】：初中数学九年级上册.菱形(基础)知识讲解+练习
专项训练年度：菱形（基础）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015•石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．【总结升华】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°， CD=CB ，∠BCO=∠DCO ， ∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ）， ∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.21B.4C.1D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可． 【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下： ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形． ∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF ∥BC ， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3．∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC 于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD 于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．∴EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A 点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分别为AB、CD的中点∴DF＝12DC，BE＝12AB∴DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF(2)证明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵F为边CD的中点．∴BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．【巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )A.矩形B.平行四边形C．菱形 D.任意四边形3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．80°D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为 .9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝8cm, BD ＝6cm, 则菱形的高为________.10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是____cm.11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB ＋PE的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C 作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【答案与解析】一.选择题 1.【答案】D ； 2.【答案】C ； 3.【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16. 4.【答案】B ；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD 是菱形，∴BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，故可得△ABC 的周长=3AB=15．5.【答案】C ；【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC ＝12∠BAD ，CB ∥AD ，∵∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝100°，∵CB ∥AD ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∴∠ABC ＝180°－100°＝80°．6.【答案】D ；【解析】∠DAF ＝∠FAO ＝∠OAE ＝30°，所以2BE ＝CE ＝AE ，3BE ＝3，BC BE ＝3. 二.填空题7.【答案】【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为=8．【答案】1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ， ∴AB=BC=2cm ， ∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ， ∴AC=AB=2cm ， ∵OA=1cm ，AC ⊥BD ， ∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ，∴AC ：BD=1：．9.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm .10.【答案】4；【解析】在菱形ABCD 中，BD 是∠ABC 的平分线，∵PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，∴点P 到BC 的距离＝PE ＝4cm ．11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt △AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD ＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝x ，AD ＝8－x ，()22284x x =-+，解得5x =，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题13.【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ==1x =，AB ＝22x =.14.【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD ⊥BD ，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE ＝12AB ＝BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ，∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE ＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，∴BD=AC ，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
九年级1.1菱形的性质与判定
1.（边之间的关系） 2.（角之间的关系） 3.（对角线的关系）
探索菱形的判定定理
图形
1.对边平行且相等；
性 质 2.对角 相等 ；
3.对角线 互相平分 。
1.
判定 2. 定理 3.
4.
1.（边之间的关系） 2.（角之间的关系） 3.（对角线的关系）
满足什么条件的额四边形是平 行四边形？
第一章 特殊的平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
教师：
你还记得吗？
平行四边形
定 义 ：在同一平面内，有两组对 边分别平行的四边形是平 行四边形。
平行四边形的性质：
1.对边
且
；
2.对角
；
3.对角线
。
平行四边形的判定定理：
1.一组对边 是平行四边形；
的四边形
2.两组对边分别
的四
边形是平行四边形；
3.两组对边分别 的四边形
是平行四边形
4.对角变 化？
4 厘米
5 厘米
5 厘米
菱形的定义：有一组领边相等的平行四边形是菱形。
4 厘米
探索菱形的性质
图形
定义
在同一平面内，有两组对边 分别平行的四边形是平行四 边形。
有一组领边相等的平行四 边形是菱形。
1.对边平行且相等；
性 质 2.对角 相等 ；
2019
谢谢聆听