材料力学切应力计算
切应力应变问题回答
切应力应变一、引言切应力应变是材料力学中的重要概念，它描述了材料在受到切力作用下产生的变形情况。
本文将从以下几个方面对切应力应变进行详细阐述。
二、切应力的定义和计算方法切应力是指垂直于物体表面方向的剪切力，通常用符号τ表示。
在材料力学中，切应力可以通过以下公式计算：τ = F/A其中F为作用在物体表面上的剪切力，A为物体表面积。
单位为帕斯卡（Pa）或牛顿/平方米（N/m²）。
三、切应变的定义和计算方法当物体受到外部剪切力时，会发生形变，这种形变被称为切应变。
通常用符号γ表示。
在材料力学中，切应变可以通过以下公式计算：γ = Δx/x其中Δx为物体沿着剪切方向移动的距离，x为物体原始长度。
单位为无量纲。
四、材料的剪切模量剪切模量是描述材料抵抗剪切形变能力的一个重要参数。
它通常用符号G表示，在国际单位制中单位为帕斯卡（Pa）。
剪切模量可以通过以下公式计算：G = τ/γ其中τ为切应力，γ为切应变。
五、材料的切变强度切变强度是指材料在受到最大切应力时的抵抗能力。
它通常用符号τmax表示，在国际单位制中单位为帕斯卡（Pa）。
材料的切变强度可以通过以下公式计算：τmax = Fmax/A其中Fmax为作用在物体表面上的最大剪切力，A为物体表面积。
六、影响切应力应变的因素1.材料性质：不同材料的剪切模量和切变强度不同，因此受到相同剪切力时产生的形变也不同。
2.温度：温度对材料性质有很大影响，高温下材料容易发生塑性变形。
3.载荷速率：载荷速率越快，产生的形变就越小。
4.试样几何形状：试样几何形状对产生的形变有很大影响。
七、结论本文详细阐述了切应力应变及其相关概念和计算方法，并介绍了影响其产生的因素。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的试验方法和分析手段，以获得准确的材料力学参数。
大学课程材料力学公式(全)
第一章 绪论和基本概念应力（全应力）：2P 正应力：σ 切应力：τ 222τσ+=P线应变：l l dx du //x ∆==ε 切应变：角度的改变量α只受单向应力或纯剪的单元体：胡克：εσ⋅=E 剪切胡克：r G ⋅=τ ()E G =+ν12 第二章 杆件的内力分析 轴力N F ：拉力为正扭矩T ：右手螺旋，矢量方向与截面外法线方向一致为正 剪力S F ：顺时针方向转动为正外力偶矩：()m N N P ·/9549m = ()m N N P ·/7024m = （K N /马力） 第三章 截面图形的几何性质 静矩：⎰=Ax ydA S 若C 为形心[质心]：A S XC/y =组合截面图形形心坐标计算：∑∑===ni i ni cii C A y A y 11/惯性矩：⎰=Ax dA y I 2惯性积：⎰=Axy xydA I 包括主轴在内的任意一对正角坐标0=xy I对O 点的极惯性矩：()y x AAP I I dA y x dA I +=+==⎰⎰222ρ 实心圆：32/224d I I I P y x π=== 圆环：()64/-12244απD I I I P y x === D d /=α平行四边/三角形：12/3bh I x =平行移轴公式：A b I I xc x ⋅+= A ab I I xcyc xy ⋅+= 转轴公式（逆转α）：()()αα2s i n 2/2c o s2/1xy y x y x x I I I I I I --++=()()αα2sin 2/2cos 2/1xy y x y x y I I I I I I +--+= ()αα2cos 2sin 11xy y x y x I I I I +-= 求主轴：000=y x I ()y x xy I I I --=/22tan 0α()[]2//2a r c t a n 0y x xy I I I --=α主惯性矩：()22min max 00x 4212xy y xy x y I I II I I I I I +-±+==第四章 杆件的应力与强度计算斜面上的正应力：ασσα2cos = 切应力：2/2sin αστα=许用应力：脆性材料[]b b n /σσ= 塑性材料：[]s s n /σσ=或[]s n /5.0σσ= 拉压杆强度条件：[]σσ≤=A F N /max max 校核强度：[]()[]%5%100/max ≤⨯-σσσ 剪切强度条件：[]ττ≤=s A F /s 挤压强度条件：[]bs bs bs A F σσ≤=/bs圆轴扭转切应力：p I T /ρτρ⋅= []ττ≤=⋅=p p W T I R T //m a x 梁的弯曲：中性层曲率：()z EI M //1=ρ 等直梁在弯曲时的正应力：z I M /y =σz z W M I M //y m a x m a x ==σ矩形截面梁的弯曲切应力：()()z s z z s I y h F bI S F 2/4//22*-==τ在中性轴处：()A F bh F s s 2/32/3max ==τ 最大切应力均在中性轴上工字型截面梁：腹板：()d I S F z z s /*=τ 翼缘：()δτz z s I S F /*1=圆形截面：A F s 3/4max =τ 薄壁环形截面：A F s /2max =τ切应力强度条件：[][]ττ≤=d I S F z z s /*max max max 理想设计：[][]c t c t σσσσ//max max = 许用拉应力：[]t σ 许用压应力：[]c σ 两垂直平面内弯曲组合截面梁：z N M N I y M A F //max max +=+=σσσ偏心压缩（拉伸）：截面上任意点：22max /-/-/-z F y F M N i y Fy i z Fz A F =+=σσσ2y y Ai I = 0=σ时中性轴截距：F y y y i a /2-=第五章 杆件的变形与刚度计算轴向拉（压）杆的变形：l l /∆=ε b b /'∆=ε νεε-=' ∑===∆ni ii i Ni N A E lF EA l F l 1圆轴扭转变形：()P GI Tl /=ϕ [在弹性范围之内]刚度条件：()[]rad GI l T P '/max 'max ϕϕ≤= ()[]m GI l T P /'/180max 'max ︒≤⋅⋅=ϕπϕ梁的弯曲变形：挠度：w ()x M ''=E I w θEI EIw =' ()⎰⎰++=D Cx dxdy x M EIw支承处：0=w 悬梁臂：0=w ，0=θ 连接处：21w w =，21θθ= 梁的刚度条件：[]l w l w //max ≤ []w w ≤max []θθ≤m a x第六章 应力状态分析 任意斜截面上的应力：()()ατασσσσσα2sin 2/2cos 2/xy y x y x--++=()ατασστα2cos 2/2sin xy y x +-=αασσσσ-+=︒+y x 90 ααττ-=︒+90应力圆：22min max 22xy yx y x τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+= y x xy σστα--=22tan 0三向应力状态：()2/31max σστ-=应力应变关系：()E /90︒+-=ααανσσε ()E /9090ααανσσε-=︒+︒+ G /αβαβτγ=第七章 强度理论及其应用 强度理论：断裂失效：11r σσ=()3212r σσνσσ+-=屈服失效：313r σσσ-= ()()()[]2/2132322214r σσσσσσσ-+-+-=轴向拉压弯扭组合变形：[]στσσ≤+=223r 4[]στσσ≤+=224r 3仅圆轴弯扭：[]σσ≤+=Z W T M /223r []σσ≤+=Z W T M /5.70224r ，Z P W W 2=薄壁圆筒强度：横截面上的正应力：()24/'σσ==t PD 纵截面上的正应力：()12/''σσ==t PD 03=σ第八章 压杆稳定临界应力：欧拉公式：()()222222cr /λπμπμπσEi l E A l EI A F cr ==== A I i /= 利用欧拉公式前提条件：P P E σπλλ/2=≥不满足时用经验公式：λσb a -=cr211cr λσb a -=压杆的稳定性计算：安全因素法：st cr cr n F F n ≥==σσ//折剪因素法：[][]st cr st n A F //σσσϕσ==≤= 第九章 能量方法杆件应变能：轴向拉伸或压缩：()⎰==∆==l N N dx EAx F EA lF l F w V 22222ε扭转：()⎰====l P P dx GI x T GI l T T w V 22222ϕε弯曲：()⎰====l dx EIx M EI l m m w V 22222θε 组合变形： 2/2/2/θϕεεm T l F dV V l++∆==⎰。
最大切应力计算公式
最大切应力计算公式在工程力学和材料力学中，最大切应力计算公式可是个相当重要的家伙！咱先来说说啥是切应力。
想象一下，你手里拿着一根铅笔，然后用力把它扭来扭去，铅笔内部产生的那种抵抗你扭转的力，就和切应力有关系。
最大切应力计算公式通常是：τmax = τ = QS/(Ib) 。
这里面的 Q 表示横截面上的剪力，S 是所求应力点到中性轴的距离，I 是横截面对中性轴的惯性矩，b 是截面宽度。
举个例子吧，有一次我去工厂参观，看到工人们在加工一个大型的轴类零件。
那个轴又粗又长，看着就特别结实。
但工程师告诉我，就算这么粗壮的轴，如果所受的切应力超过了材料的承受能力，也会出问题。
当时他们正在计算这个轴在运转时所受到的最大切应力。
工程师们拿着图纸，在上面写写画画，嘴里还念叨着这些公式里的参数。
我凑过去看，发现他们得先准确测量出轴的截面尺寸，确定剪力的大小，然后再代入公式进行计算。
我就好奇地问工程师：“这公式真能算准吗？”工程师笑着说：“这可是经过无数次实验和实践验证的，只要测量数据准确，计算过程不出错，就能得到比较可靠的结果。
”回到最大切应力计算公式，它的应用可广泛啦！比如在机械设计中，要确保零件在工作时不会因为切应力过大而损坏；在建筑结构中，像桥梁的钢梁、支撑柱等，都得靠这个公式来保证其安全性。
再比如说，汽车的传动轴，那可是承受着巨大的扭矩和切应力。
如果不通过最大切应力计算公式来好好设计，说不定开着开着车，传动轴就断了，那得多危险啊！还有飞机的机翼结构，既要轻巧又要能承受各种复杂的力，这时候最大切应力计算公式就派上大用场了，能帮助设计师们找到最合适的材料和结构形式。
总之，最大切应力计算公式虽然看起来有点复杂，但它可是保障各种结构和零件安全可靠的重要工具。
在工程领域，可千万不能小瞧了它的作用！不管是大型的机械设备，还是小小的零件，都得依靠这个公式来确保它们能正常工作，不出现意外。
所以啊，咱们可得好好掌握这个公式，说不定哪天就能派上大用场呢！。
材料力学切应力
材料力学切应力材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，其中切应力是材料力学中的重要概念之一。
切应力是指材料内部受到的切削力，是材料在受到外力作用时发生形变的一种力学性质。
在材料力学中，切应力的研究对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的意义。
首先，我们来了解一下切应力的概念。
切应力是指材料内部受到的切削力，它是由于外力作用而引起的材料内部相对位移所产生的应力。
在材料受到外力作用时，内部各层之间会产生相对位移，从而产生切应力。
切应力的大小与外力的大小、材料的形状和材料的性质有关。
其次，我们来探讨一下切应力的计算方法。
在材料力学中，切应力的计算通常采用横截面上的切应力公式，τ=F/A，其中τ表示切应力，F表示作用力，A表示横截面积。
通过这个公式，我们可以计算出材料在外力作用下所受到的切应力大小。
除了切应力的计算方法，我们还需要了解切应力的影响因素。
切应力的大小受到多种因素的影响，包括外力的大小、作用角度、材料的性质、形状等。
在实际工程中，我们需要综合考虑这些因素，合理地选择材料和设计结构，以减小切应力对材料的影响，保证材料的强度和稳定性。
另外，切应力还与材料的塑性变形和破坏有着密切的关系。
在材料受到外力作用时，如果切应力超过了材料的极限强度，就会导致材料的塑性变形和最终的破坏。
因此，对于切应力的研究对于材料的强度和稳定性具有重要的意义。
在工程实践中，我们需要根据不同材料的特性和外力的作用情况，合理地计算和分析切应力，以保证材料的安全可靠性。
同时，我们还需要通过实验和模拟等手段，深入研究切应力对材料性能的影响规律，为材料的设计和应用提供科学依据。
总之，切应力是材料力学中的重要概念，它对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的影响。
通过对切应力的研究和分析，我们可以更好地理解材料的力学性能，为工程实践提供科学依据。
因此，我们需要深入研究切应力的计算方法、影响因素和对材料性能的影响规律，以提高材料的使用效率和安全可靠性。
材料力学剪应力计算公式
材料力学剪应力计算公式
摘要：
1.剪应力的概念
2.剪应力的计算公式
3.剪应力在实际工程中的应用
4.剪应力计算的注意事项
正文：
一、剪应力的概念
剪应力，又称切应力，是指在物体内部，由于外力作用导致物体发生变形时，在物体内部各部分之间产生的相互作用的内力。
这种内力作用在所考察的截面某一点单位面积上，用以抵抗外力的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。
剪应力是应力的一种，它的方向与截面相切。
二、剪应力的计算公式
剪应力的计算公式为：ws/a（kg/mm2）
其中，ws 表示剪力，a 表示截面面积。
在实际计算中，还需要考虑到材料的弹性模量E、泊松比μ以及受力角度等因素。
三、剪应力在实际工程中的应用
剪应力在实际工程中有广泛的应用，如建筑物中的剪力墙、桥梁结构、机械传动系统等。
以剪力墙为例，建筑物中的竖向承重构件主要由墙体承担，这种墙体既承担水平构件传来的竖向荷载，同时承担风力或地震作用传来的水平地震作用。
剪力墙的设置可以有效地提高建筑物的抗震性能。
四、剪应力计算的注意事项
在进行剪应力计算时，需要注意以下几点：
1.确保材料的弹性模量E、泊松比μ等参数准确无误；
2.确定受力角度，以便正确计算剪应力；
3.注意单位的统一，确保计算结果的准确性；
4.考虑材料的疲劳性能，对于反复受力的结构，要按照疲劳强度进行设计。
材料力学剪切应力
2.板的
解：1.
剪 板切的FA强拉N 度伸
F 强(b度 2
d
)
Fs F
50103
例题3-1
50 10 3
(0.15 2 0.017 ) 0.01
A 4a 40.080.01
43 .1 10 6 43 .1MPa [ ]
15.7106 15.7MPa[]
13
d
一 连接件的强
度计算
单击此处添加小标题
G E
2(1 ) 表明3个常数只有2
个是独立的
单击此处添加小标题
3-2 纯剪切 切应 力互等定理 剪切胡克定律
21
小结
剪切变形的特点 剪切实用计算 纯剪切的概念 切应力互等定理 剪切胡克定理
3.挤压实用计算
22
3—3第、三6章、作8、业 10、
23
2-11 剪切
BRAND PLANING
商业产品部
1
2-11 剪 切
2 纯剪切 切应力互等定理 剪切胡克定律
3 剪切应变能
1 连接件的强度计算
2
一 连接件的强 度计算
剪切的工程实例
3
一 连接件 的强度计算
4
一 连接件 的强度计算
5
一 连接件的强度计算
螺栓连接 铆钉连接 销轴连接
6
一 连接件的强度计算
切应力强度条件： Fs
A
F 常由实验方法确定
8
一 连接件的强度计 算
Fbs Fbs
3.挤压的实用计算
假 得设 实应 用力 挤在 压挤 应压 力面公上式是均 匀bs 分 布FA的bbss
挤压强度条件：
常由实验方法确定
*注意挤压A面b面s 积d的计算
临界分切应力的计算公式(一)
临界分切应力的计算公式(一)
临界分切应力
什么是临界分切应力？
临界分切应力是指材料在发生剪切破坏之前所能承受的最大切应力。
在材料力学中，临界分切应力也常被称为破坏强度或极限强度。
计算公式
临界分切应力可以通过以下公式计算：
公式
公式
公式中的参数含义： - τc：临界分切应力（单位：Pa） - F：
作用在材料上的剪切力（单位：N） - A：材料剖面的切割面积（单位：m²）
解释与示例
临界分切应力的计算公式可以帮助我们确定一个材料在何种剪切
力作用下会发生破坏。
下面通过一个实际的示例进行解释说明。
假设我们有一块铜片，其切割面积为1平方厘米，我们想知道当
施加在这块铜片上的剪切力为200牛顿时，铜片是否会发生破坏，即
需要计算其临界分切应力。
根据上述公式，我们可以将参数代入得到：
F = 200 N
A = m²
将以上数值代入公式，有：
τc = F / A = 200 / = 2,000,000 Pa
因此，铜片的临界分切应力为2,000,000帕斯卡（Pa）。
如果施加的剪切力低于2,000,000帕，铜片将不会发生破坏；如果施加的剪切力高于2,000,000帕，则铜片可能会发生破坏。
以上示例说明了如何通过临界分切应力的计算公式来预测材料的破坏点，帮助我们合理使用材料，避免过载导致破坏。
总结： - 临界分切应力是材料能够承受的最大切应力 - 临界分切应力可以通过公式τc = F / A计算 - 根据临界分切应力的计算结果，可以预测材料的破坏点，避免过载导致破坏。
矩形梁截面上的切应力分布
矩形梁截面上的切应力分布在研究矩形梁截面上的切应力分布之前，我们首先需要理解一些基本概念。
切应力是物体受到剪切力作用时，在剪切面上的应力。
在材料力学中，我们通常使用剪切应力公式来计算切应力。
这个公式可以表达为：τ = F/A其中，τ是切应力（剪切应力），F是剪切力的大小，A是剪切面的面积。
这个公式告诉我们，切应力与作用在剪切面上的力成正比，与剪切面积成反比。
接下来，我们讨论矩形梁截面上的切应力分布。
为了简化问题，我们假设矩形梁的长度和宽度分别为a和b，且梁的材料是匀质的。
在梁的长度方向（即沿着x 轴方向），由于受到均匀分布的剪切力作用，所以在这个方向上，切应力的大小是线性的，从左到右逐渐增大。
在梁的宽度方向（即沿着y轴方向），由于剪切力在每个宽度上均匀分布，所以在这个方向上，切应力的分布是均匀的。
在实际情况中，由于材料的非均质性、截面形状的复杂性等因素，切应力的分布可能会有所不同。
例如，对于具有中心对称的截面形状（如圆形、正方形等），切应力在截面的中心处可能达到最大值；而在截面的边缘处，由于边缘应力的影响，切应力可能会降低。
此外，对于承受弯曲的梁来说，由于弯矩的存在，会在截面上产生扭矩。
在这种情况下，除了剪切力之外，还需要考虑扭矩对切应力的影响。
根据材料力学中的相关公式，我们可以计算出在给定的弯矩作用下，截面上各点的切应力大小。
总的来说，矩形梁截面上的切应力分布取决于多种因素，包括剪切力的分布、截面的形状、材料特性以及是否受到弯曲作用等。
在实际工程中，我们需要结合实际情况和相关计算公式来确定截面上各点的切应力分布情况，以便对结构进行安全性和稳定性分析。
为了进一步准确地模拟和预测矩形梁截面上的切应力分布，现代计算机技术和数值分析方法被广泛应用。
例如，有限元方法（FEM）可以通过对物理模型的离散化处理和数学求解，得出高精度的应力分布结果。
有限元方法可以处理各种复杂的边界条件和材料性质的非线性变化，因此在研究和实践中得到广泛应用。
工程力学(基础力学、材料力学)14(30)第九章6节
158.4 106 170
158.4kNm
930 103 ( m m3 )
查表选36c型号 I z 17310 cm 4 ; d 14 mm ; I z
3、切应力校核 max
4、结论：选36c型号
F
s max z
S Fs max 112.5 10 27( MPa) I z d 29.9 1014 Izd S z
q B l/2 17 KN 12 KN 12KN.m
F C l/2 D
检查此梁是否安全。
解：（1）作内力图
Fs图
13KN
max
M max Wz
M图
max
Fs max S zmax I zb
39KN.m
（2）计算几何性质
查表得
W z 309cm 3 0.309 103 m 3 Iz S z , max 18.9cm 0.189m
max [ ]
对于等直梁
F
S ,max
S
b
* z max
I
[ ]
z
b 为中性轴处的宽度。
对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩
又有剪力。 梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远 的各点处 。 而梁上最大的切应力发生在剪力 最大的横截面上中性轴上 的各点处 。
梁除满足正应力强度条件外，还需满足切应力强度条件。
z
b 120(m m) F max 1.5 h 180(m m) bh b=140mm；h=210mm
lx Fs ( x) F x 0; Fs max F l x Fs1 ( x) F x l ; Fs1max F l
材料力学重点及其公式
外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n 与传递的功率P 来计算。
当功率P 单位为千瓦（kW ），转速为n （r/min ）时，外力偶矩为m).(N 9549e nPM = 当功率P 单位为马力（PS ），转速为n （r/min ）时，外力偶矩为m).(N 7024e nPM = 2.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为 p pT I ρτ= (3-12)式中p I 为该截面对圆心的极惯性矩，ρ为欲求的点至圆心的距离。
圆截面周边上的切应力为 max tT W τ= (3-13)式中p t I W R=称为扭转截面系数，R 为圆截面半径。
2.5.3 切应力公式讨论（1） 切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。
（2） 极惯性矩p I 和扭转截面系数t W 是截面几何特征量，计算公式见表3-3。
在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。
因此，设计空心轴比实心轴更为合理。
表3-32.5.4强度条件圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。
因此，强度条件为[]max maxt TW ττ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭ (3-14) 对等圆截面直杆 []max max tT W ττ=≤（3-15）式中[]τ为材料的许用切应力。
3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系1zM EI ρ=(3-16)式中，ρ是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量；E I 是横截面对中性轴Z 轴的惯性矩。
3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式ZM y I σ=(3-17)式中，M 是横截面上的弯矩；Z I 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离 最大正应力出现在距中性轴最远点处 max max max max z zM My I W σ=•=（3-18） 式中，maxz z I W y =称为抗弯截面系数。
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第四章 弹性杆横截面上的切应力分析
§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力
梁受横弯曲时,虽然横截面上既有正应力 σ,又有切应力 τ。
但一般情况下,切应力对梁的强度与变形的影响属于次要因素,因此对由剪力引起的切应力,不再用变形、物理与静力关系进行推导,而就是在承认正应力公式(6-2)仍然适用的基础上,假定剪应力在横截面上的分布规律,然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。
1.矩形截面梁
对于图4-15所示的矩形截面梁,横截面上作用剪力F Q 。
现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。
根据剪应力成对定理,横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切,即与剪力F Q 的方向一致。
由于对称的关系,横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。
根据这三点剪应力的方向,可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。
又因截面高度h 大于宽度b,切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化,可以认为就是均匀分布的。
基于上述分析,可作如下假设:
1)横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。
2)切应力沿截面宽度均匀分布。
基于上述假定得到的解,与精确解相比有足够的精确度。
从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段,其左右截面上的内力如图4-16b 所示。
梁的横截面尺寸如图4-16c 所示,现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ。
过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块(图4-16d)。
根据切应力成对定理,微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。
微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 与2N ,其中
图4-16
图4-15
*1I 1**z z A z A S I M dA I My dA N ==
=⎰⎰σ (4-29) *1II 2)()(**z z A
z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+=
=⎰⎰σ (4-30) 式中,*A 为微块的侧面面积,)(
II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力,⎰=*1*
A z dA y S 。
由微块沿x 方向的平衡条件∑=0x ,得
021='-+-dx b N N τ (4-31)
将式(4-29)与式(4-30)代入式(4-31),得
0*='-bdx S I dM z z
τ 故 z
z bI S dx dM *='τ 因ττ='=,Q F dx
dM ,故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力τ为 z z
Q bI S F *=τ (4-32)
式(4-32)也适用于其它截面形式的梁。
式中,Q F 为截面上的剪力; z I 为整个截面对中性
轴z 的惯性矩;b 为横截面在所求应力点处的宽度;*y S 为面积*A 对中性轴的静矩。
对于矩形截面梁(图4-17),可取1bdy dA =,于就是
)4
(2222111*y h b dy by dA y S h y A z -===⎰⎰ 这样,式(4-32)可写成
)4
(222
y h I F z Q -=τ 上式表明,沿截面高度剪应力 τ按抛物线规律变化(图4-17)。
在截面上、下边缘处,y=±
2
h ,τ=0;在中性轴上,y=0,切应力值最大,其值为 A
F Q 23max =τ (4-33) 图4-17
式中A =bh ,即矩形截面梁的最大切应力就是其平均剪应力的23倍。
2.圆形截面梁 在圆形截面上(图4-18),任一平行于中性轴的横线aa 1两端
处,剪应力的方向必切于圆周,并相交于y 轴上的c 点。
因此,横线
上各点剪应力方向就是变化的。
但在中性轴上各点剪应力的方
向皆平行于剪力F Q ,设为均匀分布,其值为最大。
由式(4-32)求得
A Q 34max =
τ (4-34) 式中24d A π=
,即圆截面的最大切应力为其平均切应力的34
倍。
3.工字形截面梁
工字形截面梁由腹板与翼缘组成。
式(4-32)的计算结果表明,在翼缘上切应力很小,在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化,如图4-19所示。
最大剪应力在中性轴上,其值为
Z z Q dI S F max max )(*=
τ 式中(S *z )m ax 为中性轴一侧截面面积对中性轴的
静矩。
对于轧制的工字钢,式中的
max *)(z z S I 可
以从型钢表中查得。
计算结果表明,腹板承担的剪力约为(0、
95~0、97)F Q ,因此也可用下式计算τ
m ax 的近似
值 d h F Q
1max ≈τ
式中h 1为腹板的高度,d 为腹板的宽度。
图4-18 图4-19。