第一轮复习 第一章《数与式》第一节 实数的相关概念
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数(附答案解析)
2024年中考数学总复习第一章《数与式》第一节：实数★解读课标★--------------熟悉课标要求，精准把握考点1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义；3.会用科学记数法表示数；4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念．会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根，会用平方运算求百以内整数的平方根；5.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题．★中考预测★--------------统计考题频次，把握中考方向1.实数与运算在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为14~28分。
2.预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、二次根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
★聚焦考点★--------------直击中考考点，落实核心素养有理数及其相关概念1.整数和分数统称为有理数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）2.正整数、0、负整数统称为整数。
正分数、负分数统称分数。
3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
4.正数和负数表示相反意义的量。
【注意】0既不是正数，也不是负数。
数轴 1.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
数轴是一条直线。
2.所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。
3.数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表第1页共44页。
1.实数的相关概念(讲)
9. 如图，数轴上有a、b、c、d 四个点，其中表示2
的相反数的点是( A )
第9题图
A.点a B. 点b C. 点c D. 点d 【解析】2的相反数为－2，表示－2的点为点a.
C
10. 如图，数轴上有a、b、c、d 四个点，其中到原点 距离相等的两个点是( )
第10题图
A.点b和点d
B. 点a和点c
【C.解点析a和】点数d轴上a，b，Dc.，点db和所点表c示的数到原点的距离 分别为2，1，0.5，2，故选C.
基础点3 科学计数法
表示形式：a× 10n ，其中⑪_____≤a＜⑫_____，n是整数．
1. 对于一个大于10的数，n为1原数的整数1位0数减1或原数变为a时
小数点移动的位数；
数，倒数是它本身的数是⑩__±__1__．
4. －4的相反数是__4____，绝对值是__4____，
倒5.数12的是相_反__1数4__是_．____12__，绝对值是___12___，
1 6
倒
数是___2___．
6. 的相反数的绝对值是___16___，相反数的倒
数是__6____． 78..|3－的2倒|的数相的反相数反是数_是_-_2_______，_13倒_，数倒是数__的12_绝__对_．值
2 中，是有理数的有 tan45°，3 8 ， ，0
是无理数的有 3 ， 2 ， sin60°，
0.101001…，2 ．
【提分要点】化为最简形式后含有π的实数都为 无理数．
2.按正负分 正实数（>0）
(1)实数 0 负实数
2. 在实数3、 1 、(－1)0、＋(－2.1)、－0.10、0、 －π、－(－5)、2 －13%、|－3|中，是正数的
实数的有关概念(含答案)
⎧⎨⎩第1章 数与式第1课 实数的有关概念目的：复习实数有关概念，相反数、绝对值、倒数、数轴、非负数性质、•科学记数法、近似数与有效数字． 中考基础知识1．实数的分类2．相反数：只有_______不同的两个数，叫做互为相反数，a 的相反数为______，a-b 的相反数是_______，x+y 的相反数是________，0的相反数为_______，若a ，b 互为相反数，则a+b=________．3．绝对值：几何意义：数a 的绝对值是数a 在数轴上表示的点到_______的距离． 正数的绝对值等于它________． 代数意义 零的绝对值等于________．负数的绝对值等于它的________．│a │=(0)(0)a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 4．数轴：3-3-1021________与数轴上的点是一一对应的，•数轴上的点表示的数左边的总比右边的_________，数轴是沟通几何与代数的桥梁．5．倒数：a （a ≠0）的倒数为________，0_______•倒数，•若a ，•b•互为倒数，•则ab=_____，若a ，b 互为负倒数，则ab=________．6．非负数：│a│≥0，a2≥0≥0．若│a+1│+（c+3）2=0，则a=_______，b=_______，c=________．7．科学记数法：把一个数记作a×10n形式（其中a是具有一位整数的小数，n为自然数）．8．近似数与有效数字：一个经过________而得到的近似数，最后一个数在哪一位，就说这个近似数是精确到哪一位的近似数，对于一个近似数，•从左边第一个______数字开始，到最末一位数字止，都是这个近似数的有效数字．备考例题指导例1．填空题（1的倒数为_______，绝对值为________，相反数为_______．（2）若│x-1│=1-x，则x的取值范围是_______，若3x+1有倒数，则x的取值范围是_________．（3）在实数18，π，3，0+1，0.303003……中，无理数有________个．（4）绝对值不大于3的非负整数有________．（5=0，则3x-2y=________．（6）用科学记数法表示-168000=_______，0.0002004=_________．（7）0.0304精确到千分位等于_______，有_______个有效数字，它们是_______．（8）2060000保留两个有效数字得到的近似数为________．答案：（1）．-2，，（2）x≤1，x≠-13．（3）5．（4）0，1，2，3．（5）7．（6）-1.68×105，2.004×10-4．（7）0.030；2；3，0 （8）2.1×106．例2．已知1<x<4，化简│x-4│解：∵1<x<4，∴x-4<0，1-x<0．原式=│x-4│-│1-x│=4-x+1-x=5-2x．例3．化简│x-2│+│x+3│．解：令x-2=0得x=2，令x+3=0得x=-3．（1）当x<-3时，原式=2-x-x-3=-2x-1；（2）当-3≤x<2时，原式=2-x+x+3=5；（3）当x≥2时，原式=x-2x+x+3=2x+1．分类讨论思想，零点分段法，一般等号取在大于符号中．备考巩固练习1．（2005，北京）一个数的相反数是3，则这个数是________．2．气温比a℃低3℃记作________．3-a）2与│b-1│互为相反数，则2a b-的值为_______．4．若a2│c-2003│=0，则a b+c=________．5．计算|47-25|+|35-79|-|29-37|=______________．（注意方法）6．计算│1-a│+│2a+1│+│a│，其中a<-2．7．如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图，那么化简│a+b│果是多少？b a8．按要求取下列各数的近似数：（1）6.286（精确到0.1）；（2）1764000（保留三个有效数字）；（3）278160（•精确到万位）．9．近似数7.60×105精确到_______位，有______个有效数字，近似数7.6×105精确到_______位，有________个有效数字．10．已知a、b、c为实数，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，求证a=b=c．答案:1．-3 2．（a-3）℃ 3+1 4．20045．原式=47-25+79-35+29-37=17-1+1=17（先去绝对值符号）6．∵a<-2，∴1-a>0，2a+1<0，a<0∴原式=1-a-2a-1-a=-4a7．-2a8．（1）6.286≈6.3 （2）1764000≈1.76×106（3）278160≈28万9．∵7.60×105=760000 ∴近似数7.60×105精确到千位，有三个有效数字7，6，•0；7.6×105精确到万位，有两个有效数字7，610．用配方法和非负数性质，将一个方程转化为三个方程，a2+b2+c2-ab-bc+ac=0 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 （a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0∴a-b=0，b-c=0，a-c=0 ∴a=b=c沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
2011年中考数学第一轮复习教案——数与式
第一章 数与式第1课时 实数的基本概念一、知识要点 1、实数分类①0⎧⎪⎨⎪⎩正实数：实数负实数：②⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整数：有理数实数分数：无理数：无限不循环小数： 2、数轴、相反数、绝对值、倒数①只有 的两个数互为相反数；若a 与b 互为相反数，则 . ②数轴：规定了 、 、 的直线；数轴上的点与 一一对应. ③绝对值：（ⅰ）代数意义：(0)(0)(0)a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩（ⅱ）几何意义： . ④倒数：如果a 与b 互为倒数，则 ；特别注意： . 3、平方根、算术平方根、立方根 ①正数a 的平方根为 ，0的平方根是 ；②正数a 的平方根中正的那个平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0； ③任意一个数r 的立方根记为 . 二、典例精析例1、（1）3-的倒数是 ； （22的绝对值是 ；（3）若1x =，2y =，且0xy >，则x y += .点评：实数的基本概念要准确理解，其中绝对值属于难点，当重点突破. 例2、把下列各数填到相应的集合中：13 3.140.1010010001π-- 、、、..22sin 30tan 4530.321 3.27︒︒---、、、、、. 整数集合{ }； 分数集合{ }； 无理数集合{ }.点评：对于实数的认识主要是理解无理数的意义，即对无限不循环小数的理解. 例3、已知实数a b 、在数轴上对应的点的位置如图所示，化简a b -+点评：数轴作为重要的数学工具，它让数形有机结合，正确认识数轴上的点与实数的一一对应关系.例4、若21(0m -+=，求m n 、的值.点评：绝对值、偶次幂以及偶次方根的非负性，认识需要全面而且准确.三、中考链接 1、(2009梅州)12-的倒数为（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．1- 2、(2009抚顺)2-的相反数是（ ）A ．2B ．12-C ．2-D ．123、（2009枣庄）实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误．．的是（ ）A ．0ab >B ．0a b +<C ．1ab <D ．0a b -< 4、（2009包头）27的立方根是（ ） A ．3 B ．3- C ．9 D ．9- 5、（2009郴州）－5的绝对值是（ ）A ．5B ．5-C ．15D ．15- 6、（2009中山）4的算术平方根是（ ）A ．2±B ．2C ．D 7．（2009肇庆）实数2-，0.3，17π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5四、优化练习1、（2009南昌）写出一个大于1且小于4的无理数： . 2、（陕西省）零上13℃记作+13℃，零下2℃可记作（ ）A ．2B ．2-C ．2℃D ．-2℃3、(2009潍坊)一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A ．1a +B ．21a +CD 14、（2009恩施市）若3a =，则a 的值是（ ）A ．3-B ．3C ．13D ．3± 5、（2009长沙）已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -6、（2009烟台）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ）A ．2-B ．1-C ．2-D ．17、（四川省资阳市）如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有（ ） A ．D 点 B ．A 点 C ．A 点和D 点 D ．B 点和C 点8、（梅州）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2和21 B ．-2和－21 C ． -2和|-2| D ．2和21ab第2课时 科学记数法及实数大小的比较一、知识要点1、科学记数法、近似数和有效数字 ① 科学记数法是指将一个数表示成为 的形式，其中1≤10a <，n 为整数；② 对于一个近似数，从左边第一个不为0的数开始到最末一个数为止，都是这个近似数的有效数字. 2、实数大小的比较①在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数比左边的点表示的数 ； ②正数大于 ，负数小于零；两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的反而 ； ③设a b 、为任意两个实数，若0a b ->，则 ； 若0a b -=，则 ； 若0a b -<，则 . 3、零指数、负整指数的运算 ①01a =( )； ②1pp aa-=( ). 二、典例精析例1、①新建的北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91000位观众，将91000用科学记数法表示为（ ） A ．39110⨯ B ．291010⨯ C ．49.110⨯D ．39.110⨯②2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m ，用科学记数法表示这个数是A ．0.156×10－5 B ．0.156×105C ．1.56×10－6 D ．1.56×106 点评：科学记数法通常用于将较大（或较小）的数表示成相对简洁的形式，其中指数的确定是有规律可循的.例2、（2009年佛山市）黄金分割比是10.618033982=…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001为 ． 例3、2008年我州旅游收入达52644.85万元，比2007年增长了40.7%．用科学记数法表示2008年我州的旅游收入是 ______ _ _元（保留三个有效数字）． 点评：较大（较小）的数取近似值时通常要与科学记数法结合考虑，而取近似值时需遵守精确度或有效数字的要求.例4、计算 ：01)2008(260cos π-++-.点评：零指数、负整指数的运算是一个重要的考点.例5、比较大小：14点评：实数大小的比较，除了基本的比较原则外，常见的方法还有作差法、平方法等.三、中考链接1、(2009咸宁)温家宝总理在2009年政府工作报告中提出，今后三年内各级政府拟投入医疗卫生领域的资金将达到8500亿元人民币，用科学记数表表示“8500亿”为（ ） A ．108510⨯B ．108.510⨯ C ．118.510⨯D ．120.8510⨯2、（2009常德）为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到234 760 000元，其中234 760 000元用科学记数法可表示为（ ）（保留三位有效数字）． A ．2.34×108元 B ．2.35×108元 C ．2.35×109 元 D ．2.34×109元 3、（2009荆州）1在－1，1，0，－2四个实数中，最大的是（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．－2 4、（09长春）下列四个数中，小于0的是（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．3 5、（2008巴中）下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．326-=-C ．(3)3--=D ．0(π2)0-= 四、优化练习 1、（2009衡阳）已知空气的单位体积质量为31024.1－⨯克/厘米3，31024.1－⨯用小数表示为（ ）A ．0.000124B ．0.0124C ．－0.00124D ．0.00124 2、（2009凉山州）长度单位1纳米910-=米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（ ） A ．625.110-⨯米B ．40.25110-⨯米C ．52.5110⨯米D ．52.5110-⨯米 3、(2009河北)比较大小：－6 －8． （填“＜”、“=”或“＞”）4、实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则a b ．（填“＞”、“＜”或“＝”）5、0)12(3---＝ ．6、计算：3120092-0⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7、(2009湖州)已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（ ） A ．40.2110-⨯B ．42.110-⨯C ．52.110-⨯ D ．62110-⨯ 8、（2009湘西自治州）截止到2008年底，湘西州在校小学生中的少数民族学生数约为21.2万人，约占全州小学生总数的80%，则全州的小学生总数大致为 万． （保留小数点后一位）第3课时 实数的运算一、知识要点 1、运算律①加法交换律： ； ②加法结合律： ； ③乘法交换律： ； ④乘法结合律： ； ⑤分配律： . 2、实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方；运算顺序为先 ，再 ，最后算 ，有括号的先算括号里面的. 二、典例精析例1、①2(3)-的值是（ ） A ．9 B.－9 C ．6 D ．－6 ②23-的值是（ ）A ．6B ．－6C ．9D ．－9 点评：乘方运算是要重点突破的. 例2、下列运算正确的是（ ） A 、39±= B 、33-=-C 、39-=-D 、932=-例3、（2009年孝感）若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ．例4、计算：①102(1cos60-+-︒②13(tan 60)1(3.14)π-︒-+-． ③12--sin ()30π3++0°． 点评：实数的运算中，除了掌握基本的运算律、运算法则之外，涉及一些特殊形式的运算如特殊三角函数值等需要熟练掌握.例5、若()2240a c --=，则=+-c b a ．三、中考链接1、(08宁夏)下列各式运算正确的是 （ ） A ．1122-=- B. 326=C. 236222⋅= D.326(2)2=2、（2008江西）计算(－2)2－(－2) 3的结果是( )A .－4B .2C .4D .123、（2009淄博）如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ） A ．32 B ．23 C ．23- D ．32- 3、(2009成都)计算2×(12－)的结果是( )A .1-B . lC .2-D .2 4、（09宜昌）如果0ab <，那么下列判断正确的是( )． A ．00a b <<， B ．00a b >>， C ．a ≥0，b ≤0D ．00a b ><，或00a b <>， 5、（2009泰安）下列各式，运算结果为负数的是( )A ．)3()2(----B .)3()2(-⨯-C .2)2(--D .3)3(-- 6、(2008年湘潭) 如图，数轴上A 、B 两点所表示的两数的（ ）A . 和为正数B . 和为负数C . 积为正数D . 积为负数 四、优化练习1、3(1)-等于（ ）A ．－1B ．1C ．－3D ．3 2、比1小2的数是（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．13、(2009本溪)如果a 与1互为相反数，则|2|a +等于（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1- 4、（2009宜宾）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为（ ）第 4 题 图-52BA .3-B .5C .6D .75、一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为 元．6、①计算：3(2)⨯-= ； ②计算：2)5(0+-= ； ③计算：212221-+--= 7、计算：①121(2)2(3)3-⎛⎫-+⨯-+ ⎪⎝⎭．②12--sin ()30π3++0°． ③112|20093tan303-⎛⎫+--+⎪⎝⎭°.0|2|(2π)+-．⑤101()(20094sin 302--+º－2-A BO -3第4课时 整式概念及加减运算一、知识要点 1、代数式①像3(1)2sa x t-+、等式子都是代数式，单个一个数或字母也是 .②一般地，用 代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出结果，叫做代数式的值. 2、整式的分类比较（通过举例进行）①单项式的次数： ； ②多项式的次数： . 3、同类项：所含 相同，且 也相同的项叫做同类项. 4、合并同类项：只把系数 ，所含字母及字母的指数不变. 5、整式的加减运算：实际就是 . 6、幂的运算性质(k l m n 、、、均为整数) ①同底数幂的乘法：kla a ⋅= ； ②幂的乘方：()m na = ； ③积的乘方：()mab = ； ④同底数幂的除法：mna a ÷= . 二、典例精析例1、代数式322x b xm n mn p π-+-、、、、中，单项式有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个点评：对于整式概念的理解，包括系列概念的理解，其中最为重要的就是单项式与多项式.例2、（2009年烟台市）若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则mn = ． 点评：需要准确理解同类项与合并同类项的本质.例3、（2008乌鲁木齐）若0a >且2xa =，3y a =，则x y a -的值为（ ）A ．1-B ．1C ．23D ．32点评：幂运算的难点在于逆向变形运用.例4、代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为 . 点评：求代数式的值，在目前主要是采用直接代入和整体代入两种方式.例5、如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成，图中，第1个黑色L 形由3个正方形组成，第2个黑色L 形由7个正方形组成，……那么第6个黑色L 形的正方形个数是（ ） A .22 B .23 C .24 D .25三、中考链接 1、（2008咸宁）化简()m n m n +--的结果⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎨⎪⎩⎪⎪⎩单项式整式有理式多项式代数式分式无理式为（ ）A ．2mB ．2m -C ．2nD ．2n - 2、（2008龙岩）下列计算正确的是（ ） A ．3232a a a =+ B ．428a a a =÷C ．623·a a a = D ．623)(a a = 3、(2008宁波)下列运算正确的是（ ） A ．336x x x +=B ．23236x x x =C ．33(2)6x x = D ．2(2)2x x x x +÷= 4、（2008嘉兴）若23a b =，则ab= ． 5、下列运算正确的是（ ）A ．336a a a +=B ．2()2a b a b +=+C ．22()ab ab --=D ．624a a a ÷= 四、优化练习1、（2008芜湖）若23(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．4 2、（2008嘉兴）下列运算正确的是（ ）A ．235a a a =B ．22()ab ab = C ．329()a a =D ．632a a a ÷=3、 (2009济宁)下列运算中，正确的是 A .39±= B .()a a 236=C .a a a 623=⋅D .362-=-4、(2008双柏县)下列运算正确的是（ ）A ．5510x x x +=B ．5510·x x x = C ．5510()x x = D ．20210x x x ÷= 5、（2009太原）已知一个多项式与239x x +的和等于2341x x +-，则这个多项式是（ ）A ．51x --B ．51x +C ．131x --D ．131x + 6、（2008宜昌）2008年6月1日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为700（a －1）米，三峡坝区的传递路程为（881a ＋2309）米.设圣火在宜昌的传递总路程为x 米. （1）用含a 的代数式表示s ； （2）已知a=11，求s 的值. 7、（2008泰州）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n 1=5 ，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，再计算n 23＋1得a 3；…………依此类推，则a 2008=_____________．第5课时 整式的乘除运算一、知识要点1、整式的乘法（各举一例）①单项式乘以单项式： ②单项式乘以多项式： ③多项式乘以多项式： 2、整式的除法（各举一例）①单项式除以单项式： ②多项式除以单项式： 3、乘法公式：①平方差公式： ②完全平方公式： 二、典例精析 例1、计算：①()()2121x x ++-= ．②31(2)(1)4a a -⋅-= ．点评：熟练掌握整式的乘法运算.例2、先化简，再求值：3(2)(2)()a b a b ab ab -++÷-；其中1a b ==-点评：准确熟练地进行整式的运算，是准确求值的前提；合理的化简对于求值而言往往可以起到事半功倍的效果.例3、（2009内江市）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab a b a +-=-C ．))((22b a b a b a -+=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+点评：用图形的方式解释公式，既直观，又蕴含重要的数学思想.例4、（2009北京）已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值.例5、先化简式子，再选取一个合适的x 的值，求出此时代数式的值。
初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0； （2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0； （3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数乊和仍是非负数； （3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】 【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则： （1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .
复习数与式1实数的相关概念
第一课时 实数的相关概念一．【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数： 和 统称为有理数或者“形如nm （m ，n 是整数n ≠0）”的数叫有理数． 无理数： 叫无理数．实数： 和 统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有 不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的 ，与原点距离 的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于 .a 、b 互为相反数⇔a+b= .2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是 ；负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 ．可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧=a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的 ．距离是一个 数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个 数．用式子表示：若a 是实数，则|a| 0． 要点诠释： 若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是 ； 没有倒数；考点三、实数与数轴规定了 、 和 的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.要点诠释（1）数轴的三要素： 、 和 .（2）实数和数轴上的点是 对应的.考点四、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的 数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用 （其中 ， 为整数）的形式记数的方法叫 法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成 ，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成 ，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.针对训练一、选择题1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为（ ）A 零上3℃B 零下3℃C 零上7℃D 零下7℃2.下列实数中，是无理数的为（ ）A. -4B.0.101001C.31 D.23.5的相反数是（ ）A.5B.-5C.51D.51- 4.的平方根是( )A ．4 B. C. 2 D.5.给出四个数0，3，21，-1，其中最小的是（ ）A.0B. 3C.21D.-1 6.下列各数中是负数的是（ ） Ａ．－(－3) Ｂ．－(－3)2 Ｃ．－(－2)3 Ｄ．|－2|7．下列命题中，假命题是（ ）Ａ．9的算术平方根是3 Ｂ．16的平方根是±2 Ｃ．27的立方根是±3 Ｄ．立方根等于－1的实数是－18.一个数的相反数比它的本身小,则这个数是（ ）A. 正数B. 负数C.正数和零D.负数和零9.下列命题中正确的个数有（ ）①实数不是有理数就是无理数，② a ＜a ＋a ，③121的平方根是 ±11，④在实数范围内，非负数一定是正数⑤两个无理数之和一定是无理数Ａ．1 个 Ｂ．2 个 Ｃ．3 个 Ｄ．4 个10.天安门广场的面积约为 44 万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相当于（ ）Ａ．教室地面的面积 Ｂ．黑板面的面积 Ｃ．课桌面的面积 Ｄ．铅笔盒面的面积11.和数轴上的点一一对应的数是（ ）Ａ．整数 Ｂ．有理数 Ｃ．无理数 D 、实数12.如图，数轴上表示1，的对应点分别为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是（ ）． A ．－1 B ．1－ C ．2－ D ．－213.点A,B 在数轴上的位置如下图所示，其对应的数分别是a 和b ，对于以下结论：①b-a ＜0；②a+b ＞0；③b a ＜；④a b ＞0A.①②B.③④C.①③D.②④二、填空题14.绝对值小于5的负整数有_________个，整数有_________个。
第1课时：实数的概念
(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩九年级数学第一轮复习教、学案（共47课时）第一章 数与式 第1课时 实数的概念一.知识要点： 1.实数的有关概念(1)有理数: 和 统称为有理数. (2)有理数分类①按定义分: ②按正负分: 有理数有理数（3）无理数： 叫做无理数.常见的无理数有三种类型：①开方开不尽的数.如3259、、 ②圆周率π ③形如：0.010010001…（两个1之间逐渐增加一个0).（4）实数： 和 统称为实数.（5）相反数：只有 不同的两个数互为相反数.若a .b 互为相反数，则 . （6）数轴：规定了 . 和 的直线叫做数轴；数轴上的点与是一一对应的，数轴上的数，右边的数总比左边的数 .（7）倒数：乘积 的两个数互为倒数.a （a ≠0）的倒数为 .它们的符号 . （8）绝对值：数轴上 的距离叫做数a 的绝对值.绝对值的性质:（9）非负数常见形式：2000a a ≥≥≥，a ，非负数性质：（1）非负数有最小值为0 （2）几个非负数之和仍是非负数（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都是02.实数的分类:实数3.科学记数法.近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个绝对值大于10或小于1的数写成 的形式（其中1≤a <10，n 是整数），这种记数方法叫做科学记数法.（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值.取近似数的常用方法是 . （3）有效数字：从 起，到 止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字. 二、典型例题[例1] 把下列各数分别填在相应的括号内，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：58.1-，3.5，120%，4-，1-，47，0，1，53，212-,π-722，169 正数集合｛ ｝， 整数集合｛ ｝， 非负整数集合｛｝， 分数集合｛ ｝， 无理数｛｝.[例2]1-的倒数是 ，103-的绝对值是 。
[例3]写出一个大于2且小于3的无理数 。
中考第一轮复习--第一章数与式
第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。
如：2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。
其中a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。
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第一章数与式
第一节实数的相关概念〖考点精讲〗
实数的相关概念实
数
的
分
类
按定义分
有理数
（理解）
整数
：有限小数或无限循环小数
分数
无理数（了解）：○1_______________小数
温馨提示：
常见几种无
理数的形式
1、π及化简后含π的数，如
π
2
，π+3
2、开方开不尽的数，如2,3,5
3等
3、具有特殊结构的数，如0.30300300030000……（两个3之间依次多一个0）
4、一些含根式的三角函数值，如sin60o，tan30o等
按大小分：正实数、○2_____________、负实数（0既不是正数也不是负数）
正负数的意义：正负数可用来表示具有相反意义的量，如规定“零上”为“+”，则“零下”为“-”，“收入”为“+”，则“支出”为“-”，“向东”为“+”，则“向西”为“-”等
数轴
（理解）
1、三要素：- - -
3210123
原点正方向
○3________
2、○4_____________和数轴上的点是一一对应的（了解）
3、数轴右边的数大于0，左边的数小于0，且右边的数总比左边的数大
4、数轴上两点之间的距离总是等于右边的数减去左边的数
相反数
（掌握）
非零实数a的相反数为○5____________；特别地，0的相反数为0
a、b互为相反数⇔a+b=○6_____________；只有符号不同的两个数互为相反数
几何意义：到原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数
绝对值
（掌握）
a=
○7___________(a≥0)
注意：非负性：a≥0
○8___________(a<0)
若x=a，则x=○9_________
几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点越远的数绝对值越○10_________
倒数
非零实数a的倒数为○11_________；0没有倒数；倒数等于它本身的数是○12_________
实数a、b互为倒数⇔a b=○13_________
科学计数法
（了解）
表示形式：○14_____________
a和n的确定
1、确定a：1≤a≤10
2、确定n
原数≥10：n为正整数，且等于原数的整数位数减1
0<原数<1：
n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零
的个数（含小数点前的零），或小数点移动的位数温馨提示：对于含有计数（量）单位的数字，需先把计数（量）单位转换为数字，再用科学记数法表示
常用的计数单位有：1亿=○15_____________，1万=○16_____________；计量单位有：1mm=10-3,
1μm=10-6m，1nm=10-9m
〖典型例题〗
（一）实数的分类
例1：在实数3，π，3
2，1中，是有理数的是()
A. 3
B. π
C. 3
2 D. 1
变式1：下列实数是无理数的是()
A. 2
3 B.12C. 0 D. －1.010101
（二）正负数的意义
例2：《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10 ℃记作＋10 ℃，则－3 ℃表示气温为()
A. 零上3 ℃
B. 零下3 ℃
C. 零上7 ℃
D. 零下7 ℃
变式2：在下列选项中，具有相反意义的量是（）
A．胜二局与负三局B．盈利3万元与支出3万元
C．气温升高3℃与气温为﹣3℃D．向东行20米和向南行20米
（三）数轴
例3：已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是()
A. m>0
B. n<0
C. mn<0
D. m－n>0
变式3：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a－b|的结果为() A. a＋b B. a－b C. b－a D. －a－b
（四）相反数、绝对值、倒数
例4：已知|a＋2|＝0，则a＝________．
变式4：计算：|－2|＝________.
（五）科学记数法
例5：总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯祠，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿为( )
A. 647×108
B. 6.47×109
C. 6.47×1010
D. 6.47×1011
变式5：改革开放30年以来，成都的城市化推进一直保持着快速、稳定的发展态势．据统计，到2008年底，成都市中心五城区(不含高新区)常住人口已达到4410000人，对这个常住人口数有如下几种表示：① 4.41×105人；② 4.41×106人；③ 44.1×105人．其中是科学记数法表示的序号为________．
〖配套练习〗
1. 下列实数中为有理数的是( )
A. －1
B. 5
C. π＋3
D. sin60°
2. 在实数：
3.14159，364，1.010010001…，π，227中，无理数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3. 下列各数中，是负数的是( )
A. －4
B. 23
C. －(－2)
D. 1.73
4. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示( )
A. 支出20元
B. 收入20元
C. 支出80元
D. 收入80元
5. (2017青岛)－18的相反数是( )
A. 8
B. －8
C. 18
D. －18
6. 如果a 与16互为倒数，那么a 是( )
A. 6
B. －6
C. 16
D. －16
7. (2017锦州)－3的绝对值是( )
A. 33
B. －33
C. 3
D.13
8. (2017天水)若x 与3互为相反数，则|x ＋3|等于( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9. (2017广州)如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为( )
第9题图
A. －6
B. 6
C.0
D.无法确定
10. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是( )
11. 若数轴上表示－1和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是( )
A. －4
B. －2
C. 2
D. 4
12. (2017北京)实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
第12题图
A．a>－4 B．bd>0 C．|a|>|d| D．b＋c>0
13. (2016山西)我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为()
A．5.5×107万千米B．5.5×103万千米
C．55×106千米D．0.55×108千米
14. (2018原创)正修建的成都第二绕城高速全长超过220公里，串起我市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达到290亿元，将290亿用科学记数法表示为()
A. 2.9×109
B. 29×109
C. 2.9×1010
D. 0.29×1011
15. (2017天津)据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截至2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为()
A. 0.1263×108
B. 1.263×107
C. 12.63×106
D. 126.3×105
16. (2017河南)2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元．数据“74.4万亿”用科学记数法表示为()
A. 74.4×1012
B. 7.44×1013
C. 74.4×1013
D. 7.44×1014
17. 我市某地区发现了H7N9禽流感病毒．政府十分重视，积极开展病毒防御工作，使H7N9禽流感病毒得到了很好的控制．病毒H7N9的直径为30纳米(1纳米＝10－9米)，将30纳米用科学记数法表示为________米．
18. (2017宁夏)实数a在数轴上的位置如图，则|a－3|＝________．
第18题图
19. (2017福建)已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧，点A，B表示的数
分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是________．
第19题图
答案
1.A
2.B
3.A
4.C
5.C
6.A
7.C
8.A
9.B10.C11.D
12.C13.B14.C15.B16.B
17.3×10－818.3－a19.7。