第一讲：实数的有关概念及运算教案

实数的有关概念及运算知识点：1.有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值；2.有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字。

教学目标：1. 使学生复习巩固有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义；2. 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小；3. 会画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小；4. 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算；5. 了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算；6. 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。

教学重难点：1．有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值的概念；2．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题；3．实数的运算和近似数、有效数字、科学计算法。

教学过程：1、实数的有关概念： 考点1 实数的分类： 1）按定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数实数2）按正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数零正无理数正分数正整数正有理数正实数实数注意：1）任何分数都是有理数，如22/7，－3/11等； 2）0既不是正数，也不是负数，但0是自然数； 3）常见的几种无理数：①根号型：2，8等开不尽方的； ②构造型：如1.323223…； ③与π有关的，如π/3，π－1等。

考点2 实数的有关概念：1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)注意：①实数与数轴上的点是一一对应的；②数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。

2）相反数：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零。

注意：① 若a 、b 互为相反数，则0=+b a ，n n b a 22=（n 为正整数），b a =； ② 相反数等于它本身的数是零；③从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。

3）倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

注意：零是唯一没有倒数的数，倒数等于本身的数是1或－1。

4）绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。

注意：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a5）科学记数法：把一个数写成n a 10⨯形式（其中1≤ | a | <10，n 为整数），这种记数法叫做科学记数法6）近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

对于数值较大的数，可利用先用科学记数法表示，再确定其有效数字或取其近似数。

7）非负数：零和正数统称非负数。

注意：①常见的非负数的形式：|a| 、2a 、)0(≥a a ；②非负数的常用应用类型： 几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0； 考点3 实数的大小比较：1）数轴比较法： 将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，两数表示在同一点则相等；2）差值比较法：设a 、b 是任意两实数，则b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0 ；b a b a =⇔=-0．3）商值比较法：设a 、b 是两正实数，则ba ba >⇔>1；ba ba =⇔=1；b a ba <⇔<14）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b ；|a|=|b|⇔a=b ；|a|<|b|⇔a>b除此之外，还有平方法、倒数法等方法。

注意：比较实数大小时，常常用到实数的减法（作差）和除法（作商）运算。

2.实数的运算： 考点4 实数的运算：实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的，若没有括号，在同一级运算中，要从左到右依次进行运算。

1）加法：①同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③任何数与零相加等于原数。

2）减法：)(b a b a -+=-3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零。

4）除法：)0(1≠⋅=b ba b a5）乘方：个n n a aa a = 6）开方：如果x 2＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3=a ，那么x a =3 7）实数的运算律①加法交换律：a b b a +=+ ②加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ③乘法交换律：ba ab = ④乘法结合律：)()(bc a c ab = ⑤分配律：ac ab c b a +=+)(其中a 、b 、c 表示任意实数，运用运算律有时可使运算简便。

基础自测1．(2011·金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是 ( )A ．＋2B ．－3C ．＋3D ．＋42．(2011·衢州)数－2的相反数为 ( ) A ．2 B. 21 C ．－2 D ．－213．(2011·义乌)－3的绝对值是 ( ) A ．3 B ．－3 C ．－31 D.314．(2011·宁波)下列各数中，是正整数的是 ( )A ．－1 B. 2 C ．0.5 D.25．(2011·陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875 人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为( )A ． 91037.1⨯B ．71037.1⨯C ．81037.1⨯D ．101037.1⨯题型分类深度剖析题型一实数的分类【例1】(1)在0,1,－2,－3.5这四个数中，是负整数的是( )A．0 B．1 C．－2 D．－3.5解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有－2符合．(2)在实数0,1,2,0.1235中，无理数的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．探究提高判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数．初中常见的无理数共分三种类型：(1)含根号且开不尽方的数；(2)化简后含π(圆周率)的式子；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．知能迁移1(1)下列五个实数：38-，()03π-，tan 45°，－|－3|，121-⎪⎭⎫⎝⎛.其中正数的和为( )A．4 B．5 C．6 D．7解析：(3－π)0＋tan45°＋121-⎪⎭⎫⎝⎛＝1＋1＋2＝4，这三个正数的和等于4，选A.(2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是()A.32 B.3C ．πD ．－1解析：0<3<9，只有3是0到3之间的无理数，选B.题型二 科学记数法与近似值、有效数字【例 2】 (1)(2011·浙江)中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们要为中国节水，为世界节水．若每人每天浪费水0.32L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为 ( ) A. 7102.3⨯L B.6102.3⨯ L C.5102.3⨯ L D.4102.3⨯ L 解析：0.32×100万＝5102.3⨯(L)．(2)下列近似数中精确到千位的是 ( ) A ．90200 B ．210450.3⨯ C ．4104.3⨯ D ．2104.3⨯ 解析：4104.3⨯表示3万4千，精确到千位，选C.探究提高(1)科学记数法一般表示的数较大，所以解题时一定要仔细．确定n 的值时，从最后一位起数到最高位的下一位即可，最后可将答案还原成原数进行检验． (2)用有效数字表示的数，在确定其精确度时，要还原成原数后再进行判断．知能迁移2 (1)近似数2.5万精确到____位；有效数字分别是 ___________．解析：2.5万＝2万5千，精确到千位，有效数字分别是2，5.(2)0.5796保留三个有效数字的近似数是_______；由四舍五入法得到的近似数2.30亿精确到_______位，有_______个有效数字．解析：0.5796≈0.580，保留三位有效数字的近似数是0.580； 2.30亿≈2亿3千0百万，精确到百万位，有3个有效数字．(3)(2011·安徽芜湖)我们身处在自然环境中，一年接受的宇宙射线及其它天然辐射照射量约为3100微西弗(1西弗等于1000毫西弗，1毫西弗等于1000微西弗)，用科学记数法可表示为 ( )A ．6101.3⨯西弗B ．6101.3⨯西弗C ．3101.3-⨯西弗D ．6101.3-⨯西弗题型三 实数的运算【例 3】 (1)计算：()121240-++- ；(2)计算：()()1231322-⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯+-;解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)()121240-++-＝4＋1－32 [3分]＝5－32 [4分] (2)()()1231322-⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯+-＝4－6＋3 [3分]＝1 [4分]探究提高实数运算要严格按照法则进行，对于实数混合运算，注意符号和顺序是非常重要的.知能迁移3 (1)(2011·温州)计算：()()122011202--+-解：()()122011202--+-＝4＋1－23 ＝5－23 .(2)(2011·舟山)计算：()()239202---+-解：原式＝4－3＋1＋2＝4.题型四 与实数相关的概念【例 4】 (1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a>b>c ，那么a ＋b －c ＝________.解析：由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，得a ＝±1，b ＝±2，c ＝±3. 又a>b>c. 可以a ＝±1，b ＝－2，c ＝－3， 所以a ＋b －c ＝1＋(－2)－(－3)＝2， 或a ＋b －c ＝(－1)＋(－2)－(－3)＝0.(2)设|a|＝4，|b|＝2，且|a ＋b|＝－(a ＋b)，试求a －b 所有值的和．解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a ＝±4，b ＝±2，又|a ＋b|＝－(a ＋b)≥0，∴a ＋b<0， 可知a ＝－4，b ＝±2， 所以a －b ＝－4－2＝－6，或a －b ＝－4－(－2)＝－2，－6＋(－2)＝－8， a －b 所有值的和是－8.探究提高(1)两个互为相反数的和为0； (2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0.知能迁移4 (1)(2011·镇江)计算：______21-_____21_______21_____211-0=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=⎪⎭⎫⎝⎛--(2)若ab>0，则abab b b a a -+的值等于________．解析：由ab>0，得a>0且b>0或a<0且b<0， 于是 abab b b a a -+＝1＋1－1＝1或 ab ab b b a a -+＝(－1)＋(－1)－1＝－3.题型五 与数轴联系【例 5】 (1)如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于 a ，－a,1的大小关系，表示正确的是 ( )A ．a<1<－aB ．a<－a<1C ．1<－a<aD ．－a<a<1(2)观察图中的数轴，用字母a ，b ，c 依次表示点A 、B 、C 所对应的数，则c a b ab 111、、-的大小关系是( )A.c a b ab 111<-<B.cab a b 111<<- C.abab c111<-< D.ab ab c-<<111探究提高数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上点的位置，及其相反数的位置．再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小． 知能迁移5 (1)(2011·宜昌)如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数 a 、 b ，则下列结论正确的是 ( )A. a < b B ．a ＝b C. a > b D ．ab > 0(2)有理数a 、b 满足a<0，b>0，且|a|>|b|，试用“<”号把a 、b ，－a 、－b 连接起来：________________.易错警示：1．实数概念中的常见错误试题若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方数；(4)立方；(5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它的本身，则这个数分别为：(1)_____(2)______ (3)_____(4)_____(5)____(6)____(7)_____．学生答案展示(1)1；(2)正数；(3)1；(4)1或－1；(5)1；(6)0；(7)1和－1.正解(1)1和－1；(2)正数和0(或非负数)；(3)1和0；(4)－1、0和1；(5)0；(6)0和1；(7)－1、0和1.剖析实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有的错误．上述给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应．思想方法感悟提高方法与技巧1．重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点是一一对应的．2．注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混淆．3．可借助数轴，“数形结合”，找到数与点的关系，根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小．失误与防范引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了：1．“＋”“－”除了仍表示运算符号外，还可以看作一个数的性质符号；“－”还可以用来表示原数的相反数，即在一个数前面添上“－”号，可得到原数的相反数．2．减法可以转化为加法，在小学里，加法与减法是两回事，但引进负数后，减法就不再作为独立的运算而存在，而是把减法转化为加法．3．原来的一些结论不再成立，如“差一定小于或等于被减数”这个结论就是不一定正确了．4．数“0”被赋予新的含义，具有独特的性质，思考相关问题要全面，否则的话，极易落入“0”设置的陷阱．。