沪教版(上海)七年级下册 12.6 实数的运算 -教案设计
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实数的运算
【教学目标】
一、知识目标
1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。
2.用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能用这些法则,运算律在实数范围内正确计算。
3.正确运用公式:
);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b
a 。 4.了解二次根式和最简二次根式的概念。
二、能力目标
1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性,进而发现规律,培养学生的研究精神和创新能力。
2.能用类比的方法去解决问题,找规律,用旧知识去探索新知识。
三、情感目标
通过探索规律的过程,培养学生学习的主动性,敢于探索,大胆猜想,和同学积极交流,增强学习数学的兴趣和信心。
时代在进步,科学在发展,只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求,因此在校学习期间应培养学生的能力,具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题。其中类比的学习方法就是一种学习的能力,本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则,类比地学习在实数范围内的有关计算,重要的是培养。
这种类比学习的能力,使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务。
【教学重难点】
1.用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能在实数范围内正确进行运算。 2.发现规律:);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b
a ,并能用规律进行计算。 【教学过程】
一、师生互动
(一)二次根式的理解
(0a ≥)的式子叫做二次根式。
说明:
1.被开方数大于0;
2(0a ≥)具有非负数的特性。
3.性质:一般地)0(≥a a 是a 的算术平方根,于是有)0()(2≥=a a a 。
练习:
1.若x 23-有意义,则=x ______;
2.要使二次根式1-x 有意义,字母x 的取值必须满足的条件是( )
A .x ≥1;
B .x ≤1;
C .x>1;
D .x<1
3.计算:
(1)2)5
3(; (2)2)32(;
答案:
1.2
3≤x ; 2.A ;
3.解:
(1)5
3)53(2=; (2)1234)3(2)32(222=⨯=⨯=。
(二)师生共析
在有理数范围内,可以进行加、减、乘、除和乘方运算,运算后所得到的数仍然是有理数。把数从有理数扩充到实数以后,在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且正数和零可以进行开平方和开立方运算,负数可以进行开立方运算。即:正数和零的平方根是实数,任何一个实数的立方根是实数。
关于有理数的运算律和运算性质,在进行实数运算时仍然成立。
1.理解积的算术平方根的性质,必须注意:
(1)被开方数的每一个因子或因式必须是非负数,没有这个条件,性质不成立。
(2)这个公式的作用是化简二次根式,如果被开方数中有的因式(或因子)能开得尽方,
a (a≥0),将这些因式(或因子)开出来,因此化简二次根式时,一般先将被开方数进行因式分解或因子分解。
(3)积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立。 如:abcd =a ·b ·c ·d (a≥0,b≥0,c≥0,d≥0)。
(4)积的算术平方根的性质反过来,就得到二次根式的乘法公式,即a ·b =ab (a ≥0,b≥0),运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算。
2.二次根式的性质:
ab =a ·b (a ≥0,b ≥0),
b a =b
a (a ≥0,b>0)。 (三)利用性质化简
师:利用你自学的知识,说一说什么样的二次根式需要化简
生:被开方数中能分解因数。且有些因数能开出来。这时就需要对其进行化简。 生:被开方数中含有分母,需要化简,化简后被开方数中没有了分母。 如:224
24221===。 师:如果被开方数中含有分母,要把分子分母同时乘以某一个数,使得分母变成一个能开出来的数,然后把分母开出来,使被开方数中没有了分母。
(四)最简二次根式
师生共析:最简二次根式所满足的条件:
条件1:即为被开方数不含分母;
条件2:即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小于根指数。
要判断一个根式是否为最简二次根式,两个条件缺一不可。
(五)引导学生小结
1.化二次根式为最简二次根式的方法:
(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算术平方根的性质把它写成
分式的形式,然后利用分母有理化化简。
(2)如果被开方数是整数或整式,先将它分解因子或因式,然后把能开得尽方的因子或因式开出来,从而将式子化简。
2.二次根式的化简应注意以下问题:
(1)被开方数含有带分数,通常化成假分数。
(2)被开方数是和、差的形式,应把它分解因式,化成积的形式。
(3)根号内的分子或分母移到根号外时,应保留其对应的位置(即原来是分母的移到根号外后还是分母)。
(4)在整个化简过程中应注意符号问题,特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件。