稳健自适应波束形成算法第章模约束稳健波束形成算法

(4.1-47)
其中的参数定义同NICCB。
其中x为阵列的M×1维复采样数据， w为M×1维的自适应 加权矢量， (·)H表示共轭转置。
第4章 模约束稳健波束形成算法
假设R为阵列输出矢量的理论协方差矩阵， 且R>0（正
定）， 则基于空间滤波形式的标准Capon波束形成（SCB）
问题可以表示成如下最优化问题： (4.1-2)
第4章 模约束稳健波束形成算法
因此， 对于固定的λ和μ， g1(w, λ, μ)的无约束最小化由下式
给出： (4.1-13) 显然有 (4.1-14) f2(λ, μ)关于μ的最小化可以由下式给出： (4.1-15)
第4章 模约束稳健波束形成算法
以及
对上式求关于λ的最大化， 将会得到：
为了获得最优的加权矢量， 必须求解该方程。
第4章 模约束稳健波束形成算法
将上面求出的μ表达式代入最优加权矢量表达式中， 可
得 (4.1-18) 该式必然满足： (4.1-19) 以及 (4.1-20)
第4章 模约束稳健波束形成算法
令
(4.1-21) 则h(λ)在λ≥0时， 为单调减函数［10］。 这是因为对于任意的关于参数λ的矩阵函数F， 有 (F－1)′=－F－1F′F－1 其中 (4.1-22)
更加准确的计算。
为了求解方程h(λ)=ζ， 令 (4.1-30)
第4章 模约束稳健波束形成算法 其中矩阵U的列向量由R的特征矢量u1, u2, …， uM组成， 对
角矩阵Γ的对角线元素γ1≥γ2≥…≥γM为相应的特征值。 h(λ)可
重新表示如下：
(4.1-31)
第4章 模约束稳健波束形成算法 故可得
其中s为有用信号（SOI）的导向矢量。 对于窄带信号， R
为其中心频率处的协方差矩阵； 对于宽带信号， R为给定
频率单元的中心频率处的协方差矩阵。在实际应用中， R通
常由样本协方差矩阵 代替， 其中： (4.1-３)
其中N表示快拍数量， xn表示第n个快拍。
第4章 模约束稳健波束形成算法
该最优化问题可以通过Lagrange乘数方法进行求解， 即
基于上面的推导分析可知， 模不等式约束参数ζ应该满
足下面的条件：
(4.1-45)
第4章 模约束稳健波束形成算法
即
(4.1-46) 故当模不等式约束参数ζ满足上面的条件时， NICCB的解 一定存在。
第4章 模约束稳健波束形成算法
4.1.4 模等式约束的Capon波束形成算法
NECCB波束形成问题可以表示如下：
(4.1-5)
其中 s 为假设的有用信号（SOI）导向矢量， ζ为模不等式 约束参数。
第4章 模约束稳健波束形成算法
令S表示该最优化问题的约束条件集合， 即
(4.1-6) 而且， Lagrange函数可以表示为 (4.1-7) 其中λ和μ为实值Lagrange乘数， μ为任意常数， 而λ≥0， 并 且满足R+λI>0。 因此， f1(w, λ, μ) 相对于w 可以被最小化， 即
(4.1-26) 因此， 当λ≥0时， h′(λ)≤0， 即当λ≥0时h(λ)为单调减函
数。
根据波束形成算法的无失真响应约束， 可得 (4.1-27) 故可得约束参数ζ的下限为 (4.1-28)
第4章 模约束稳健波束形成算法 即如果ζ小于该下限， 则该波束形成算法无解。 因此约束参 数ζ至少选择在如下不等式定义的区间之内 (4.1-29) 后面还会根据解的存在情况对约束参数ζ的取值范围进行
(4.1-4)
从上面的最优化问题可以看出， 它可以被解释为一个自适
应空域滤波问题， 即给定R和s， 确定加权矢量w作为空间
滤波器， 使得感兴趣的有用信号无失真地通过， 同时使得 R中的无用干扰和噪声的贡献最小。
第4章 模约束稳健波束形成算法
4.1.2 模不等式约束的Capon
NICCB波束形成问题可以表示为
因为：
(4.1-39) (4.1-40)
满足h(λ)=ζ。
第4章 模约束稳健波束形成算法
(4.1-41)
第4章 模约束稳健波束形成算法 因此，
(4.1-42)
第4章 模约束稳健波束形成算法
因为：
(4.1-43) (4.1-44)
不存在λ满足h(λ)=ζ。
第4章 模约束稳健波束形成算法
4.1.3 模不等式约束参数的选择
第4章 模约束稳健波束形成算法 因此， 考虑参数ζ满足下面的条件， 即 (4.1-11) 因此， 对于NICCB， 该条件约束着参数ζ的上限。 因 而在该条件下， NICCB不同于SCB。 为了处理这种情况， 可以将f1(w, λ, μ)重新表示为下式：
(4.1-12)
第4章 模约束稳健波束形成算法
(4.1-8)
其中等号在S的边界上取得。
第4章 模约束稳健波束形成算法 当参数ζ满足下面的条件时：
(4.1-9)
基于SCB的自适应加权矢量就满足式(4.1-8)。 利用 s 代替
SCB解中的s， 即
(4.1-10) 满足NICCB中的模不等式约束条件。 因此， 该最优解也是 NICCB的解。 但是， 对于这种情况，λ=0和NICCB中的模 约束条件是不起作用的。
表示取导数操作， 而且还有 (F－2)′=－F－2(F′F+FF′)F－2 (4.1-23)
第4章 模约束稳健波束形成算法 如果令 F=R+λI 则有F′=I， 而且可得上面h(λ)的导数表达式： (4.1-24)
(4.1-25)
第4章 模约束稳健波束形成算法
根据F的表达式可知， 当λ≥0时， F>0。 故有
第4章 模约束稳健波束形成算法
为了分析的方便， 令
(4.1-34)
因此， 上面的不等式关系(4.1-32）和(4.1-33)可简写为：
(4.1-35) (4.1-36)
第4章 模约束稳健波束形成算法
(4.1-37)
第4章 模约束稳健波束形成算法 因此， 当
(4.1-38)
第4章 模约束稳健波束形成算法
第4章 模约束稳健波束算法
4.1 4.2
基于模约束的稳健Capon波束形成算法 基于二次约束的稳健LCMP波束形成算法
第4章 模约束稳健波束形成算法
4.1 基于模约束的稳健Capon波束形成算法
假设阵列由M个传感器组成， 则窄带自适应波束形成 算法的输出通常表示为 y=wHx (4.1-1)