2015-2016学年高一第二学期期末考试数学试题带答案

2015～2016学年度第二学期期末考试

高一数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

参考公式：棱锥的体积公式：V

棱锥

1

3

sh =，其中s 为棱锥的底面积，h 为高. 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知(1,1)A ，(2,2)B ，则直线AB 的斜率为 ． 2．在公差为2的等差数列}{n a 中，若21a =，则5a 的值是 ．

3．若ABC ∆满足：60A =︒，75C =︒，BC =AC 的长度为 ． 4．已知π

4

αβ+=

，且tan 2α=，则tan β的值是 ． 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 3 cm AB =， 4 cm BC =， 5 cm CA =，1 6 cm AA =，

则四棱锥111A B BCC -的体积为 3cm ．

6．在平面直角坐标系x O y 中，直线210x a y +-=和直线(21)10a x y --+=互相垂直，则实数a 的值是 ．

7．已知正实数,a b 满足24a b +=，则ab 的最大值是 ．

8．在平面直角坐标系x O y 中，(1,3)A ，(4,2)B ，若直线

20ax y a --=与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．

9．已知实数,x y 满足：11x y -≤+≤，11x y -≤-≤，则2x y +的最小值是 ． 10．如图，对于正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：

①直线// AC 平面1111A B C D ②直线1// AC 直线1A B ③直线AC ⊥平面11DD B B ④直线1AC ⊥直线BD 其中正确结论的序号为 ．

11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已

知πsin()62b

C a

+=，则角A 的值是 ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(2)(3)9x y -+-=，若过点(0,3)M 的直线与圆C 交于,P Q 两点（其中点P 在第二象限），且2PMO PQO ∠=∠，则点Q 的横坐标为 ．

13．已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=()n N *∈，且120a a =，则1a 的最大值是 ．

14．如图，边长为1a b ++（0,0a b >>）的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则357246815

2S S S S S S S S S +++++的最小值是 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线:30l x by b ++=． （1）若直线l 与直线20x y -+=平行，求实数b 的值；

（2）若1b =，(0,1)A ，点B 在直线l 上，已知AB 的中点在x 轴上，求点B 的坐标． 16．（本题满分14分）

在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c （a b c <<），已知2cos 2cos a C c A a c +=+．

（1）若35c a =，求

sin sin A

B

的值； （2

）若2sin 0c A =，且8c a -=，求ABC ∆的面积S ．

17．（本题满分14分）

如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，AB BC =，点M ，N 分别为PC ，AC 的中点．

求证：（1）直线 //PA 平面BMN ；（2）平面PBC ⊥平面BMN ．

18．（本题满分16分）

如图，某隧道的截面图由矩形ABCD 和抛物线型拱顶DEC 组成（E 为拱顶DEC 的最高点），以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，已

知拱顶DEC 的方程为21

64

y x =-+(44)x -≤≤．

（1）求tan AEB ∠的值；

（2）现欲在拱顶上某点P 处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB 的张角APB ∠最大，求此时点P 到AB 的距离．

19．（本题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为 (0)y kx k =>． （1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．

（ⅰ）若AB ≤

，求实数k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，

2k ，3k ， 是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，

说明理由．

20．（本题满分16分）

已知数列}{n a 的首项10a >，前n 项和为n S ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎭

⎩是公差为12a

的等差数列．

（1）求

6

2

a a 的值； （2）数列}{n

b 满足：1(1)2n a pn n n b b ++-=，其中,N*n p ∈． （ⅰ）若11p a ==，求数列}{n b 的前4k 项的和，N*k ∈；

（ⅱ）当2p =时，对所有的正整数n ，都有1n n b b +>，证明：1112111222a a a b ---<<．

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