2015-2016学年高一第二学期期末考试数学试题带答案
2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(解析版) (8)
高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c = 120b B == ，则边a 等于（ ）A.B. C. D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知222212cos 622b a c ac B a a ⎛⎫=+-∴=+-⨯-∴= ⎪⎝⎭故答案为C.【考点】解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。
2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A.B. 34C.D. 13【答案】A【解析】试题分析： 1sin sin sin 2b B a A a C -=，则由正弦定理可得2212b a ac -=，又2c a = ， 222222132224a cb b a ac a cosB ac +-∴=+=∴==.故选B.【考点】正弦定理，余弦定理3．各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S .若25378,13a a S -=-=，则数列{}n a 的通项公式为n a =（ ） A. 2n B. 12n - C. 3n D. 13n -【答案】D【解析】各项均为正数,公比为q 的等比数列{a n }，a 2−a 5=−78,S 3=13， 可得421111178,13a q a q a a q a q -=-++=， 解得113a q ==，，则11*13n n n a a q n N --==∈，， 本题选择D 选项.4．已知数列{}n a 的通项为()()143nn a n =--，则数列{}n a 的前50项和50T =（ ）A. 98B. 99C. 100D. 101 【答案】C【解析】数列{a n }的通项为()()143nn a n =--， 前50项和()()()()5015913171971591317211931974444425100.T =-+-+-+⋯+=-++-++-++⋯+-+=+++⋯+=⨯=本题选择C 选项.点睛：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解． (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．5．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 9 【答案】B【解析】试题分析：由题意可得9567890S S a a a a -=+++=，∴()7820a a +=，∴780a a +=，又10a >，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n 最大时，n=7，故选：B.【考点】等差数列的前n 项和．6．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）A. 48B. 56C. 64D. 72 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由两个长方体组成的组合体，上面的长方体长宽高分别为4,2,5，线面的长方体长宽高分别为4,6,1，据此可得该几何体的体积为42546164⨯⨯+⨯⨯=. 本题选择C 选项. 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7．设0,0a b >>，若2是4a 和2b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 4 C. 92D. 5【答案】C【解析】∵2是4a和2b 的等比中项， ()22424,22,22,1,2a b a b b a b a +∴⋅=∴=∴+=∴+=又∵0,0a b >>，21215592222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b a a b =，即23a b ==时等号成立. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0248121824324050......、、、、、、、、、，则此数列第20项为（ ）A. 180B. 200C. 128D. 162 【答案】B【解析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…， 可得偶数项的通项公式：a 2n =2n 2. 则此数列第20项=2×102=200. 本题选择B 选项. 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M N P 、、三点共线， O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），则20S 等于（ ） A. 20 B. 10 C. 40 D. 15 【答案】B【解析】∵M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+（直线MP 不过点O ），∴a 6+a 15=1，∴a 1+a 20=1， ∴()1202020102a a S +==.本题选择B 选项.10．已知a b >，一元二次不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，由又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=，则222a b +的最小值为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】∵已知a >b ,二次不等式220ax x b ++…对于一切实数x 恒成立， ∴a >0，且△=4−4ab ⩽0，∴ab ⩾1.再由∃x 0∈R ,使20020ax x b ++=成立，可得△=0，∴ab =1，222a b ∴+=…当且仅当222a b =即b =时等号成立， 本题选择D 选项.11．若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是（ ） A. a b > B. a b < C. a b ≤ D. a b ≥ 【答案】B【解析】∵a 、b ∈(0,1)，且满足()114a b ->，()112211.22a b a b b a -+>-+∴>∴>，又， 本题选择B 选项.12．()()3,1,1,3,(0,0)OA OB OC mOA nOB m n ==-=->>若[]1,2m n +∈则OC的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意,向量()()()3,1,1,33,3OA OB OC mOA nOB m n m n ==-=-=+-，，则OC =令t =,则OC =，而m +n ∈[1,2]，即1⩽m +n ⩽2，在直角坐标系表示如图，t =表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离， 分析可得：22t ，又由OC =，OC剟本题选择A 选项.二、填空题13．已知向量,a b满足()5a a b ⋅+= ，且2,1a b == ，则向量a 与b 夹角余弦值为__________．【答案】12【解析】()22,1,5,42,51,2a b a a b a a b cos a b cos a b cos a b ==⋅+=∴+⋅=+=∴=，，即向量a与b 夹角余弦值为12.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c 且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积S =，则ab 的值为__________． 【答案】13【解析】在△ABC 中,由条件用正弦定理可得2sinCcosB =2sinA +sinB =2sin (B +C )+sinB ，即2sinCcosB =2sinBcosC +2sinCcosB +sinB ,∴2sinBcosC +sinB =0,12,.23cosC C π∴=-=由于△ABC 的面积为11sin .23S ab C ab =⋅==∴= 156、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____. 【答案】88.【解析】试题分析：设该长方体的高为x,则因为半径为，所以，即，所以长方体的表面积为，故应填88.【考点】1、简单几何体的体积的求法.16．设等比数列{}n a满足公比*q N∈，*na N∈，且{}n a中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112a=，则q的所有可能取值的集合为．【答案】{}8127932,2,2,2,2【解析】试题分析：由题意，8112nna q-=，设该数列中任意两项为,m la a，它们的积为pa，则811811811222m l pq q q---=，即8112p m lq--+=，故1p m l--+必须是81的正约数，即1p m l--+的可能取值为1,3,9,27,81，所以q的所有可能取值的集合为{}8127932,2,2,2,2【考点】等比数列三、解答题17．请推导等比数列的前n项和公式.【答案】见解析【解析】试题分析：由等比数列的特点分类讨论，然后结合错位相减的方法即可求得等比数列前n项和公式.试题解析：若数列{}n a为公比为q的等比数列，则其前n项和公式()()11,11nna qS qq-=≠-，当1q=时，1nS na=.下面证明：21123111......nn nS a a a a a a q a q aq-=++++=++++，①23111...nnqS a q a q a q aq∴=++++，②①-②可得()11nnq S a aq-=-，当1q ≠时，上式两边同除以1q -可得()111nn a q S q-=-，当1q =时，数列各项均为1a ，故1n S na =.点睛：一是在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1或q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误． 二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.18．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，（1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．【答案】（1）()2163555f x x x =---；（2）((),22-∞-⋃-【解析】试题分析：（1）抓住二次函数的图像与横坐标的交点、二次不等式解集的端点值、二次方程的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，（2）结合二次函数的图象来解决是当不等式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式与0的关系，（3）当a>0时，配方法最大值，也可用顶点坐标，或在对称轴处取得最大值 试题解析：由题意可设()()()213f x x a x x +=--，且0a <， 即()()()132f x a x x x =---， 2分（1）()()()613260f x a a x x x a +=---+=， 即()24290ax a x a -++=有两个相等的实根，得()2242360a a ⎡⎤∆=-+-=⎣⎦，即25410a a --=， 而0a <，得15a =-，即()()()11325f x x x x =----，整理得()2163555f x x x =---． 6分（2）()()22max 124204a a f x a-+=>，即2410a a a--->，而0a <，得2410a a ---<，即2410a a ++>， 9分2a >-2a <-0a <，得a 的取值范围为((),22-∞-⋃-． 12分【考点】二次函数和一元二次不等式解的关系及二次函数的最值19．已知函数f (x )＝226xx +.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．【答案】（1）－25（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25(2)∵x >0，f (x )＝226xx +＝26x x+，当且仅当x已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t t 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sinAsinC C ． 【答案】（Ⅰ）0120B =（Ⅱ）015C =或045C =【解析】试题分析：（1）由()()a b c a b c ac ++-+=得222a c b ac +-=-，结合余弦定理可求出B ;（2）由三角形内角和定理可知060A C +=，由()()cos cos 2sin sin A C A C A C -=++=可求出030A C -=或030A C -=-，解之即可.试题解析： （1）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-因此0120B =（2）由（1）知060A C +=，所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()cos 2sin sin A C A C =++112242=+⨯= 故030A C -=或030A C -=-，因此015C =或045C = 【考点】1.余弦定理；2.三角恒等变换.21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为 （1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积. 【答案】（1）20（2）50π 【解析】试题分析：(1)将四面体放入一个长方体，列出方程求得长宽高，据此可得该四面体的体积是20；(2)结合(1)的结论可得外接球半径为r =，则外接球的表面积为2450S r ππ==.试题解析：（1） 四面体的三组对边分别相等，∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为,,a b c，则5===，解得4{3 5a b c ===，∴四面体的体积1142063V abc abc abc =-⨯==.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体=∴外接球的半径为2r =， ∴外接球的表面积为2450S r ππ==.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*22n nn S a n N =-∈. （1）求1a 的值，若2n n n a c =，证明数列{}n c 是等差数列；（2）设()22log log 1n n b a n =-+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n B ，若存在整数m ，使对任意*n N ∈且2n ≥，都有320n n mB B ->成立，求m 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）18. 【解析】试题分析：(1)由题意可得112,1n n c c c -=-=，则数列{}n c 是首项为2，公差为1的等差数列.(2)由题意可得3111123n n B B n n n-=+++++ ，结合恒成立的条件可得m 得最大值为18.试题解析：（1）由22n n n Sa =-，则122n n n S a +=-，则21122S a =-可得14a =，又()11222n n n S a n --=-≥两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即()1222n n n a a n --=≥， 于是11122n n n n a a ---=即112,1n n c c c -=-=， 所以数列{}n c 是112,1n n c c c -=-=以首项为2，公差为1的等差数列. （2）()12,n n n a n b n =+⋅=12311111112111123n n n n B b b b nB B n n n∴=+++=+++∴-=+++++令()111123f n n n n=+++++ 则()1111111233313233f n n n n n n n +=+++++++++++ 所以()()111113132331f n f n n n n n +-=++-++++ 1111120313233333333n n n n n n =++>+-=++++++. 所以当2n ≥时， ()f n 的最小值为()1111192345620f =+++=.据题意， 192020m <，即19m <，又m 为整数，故m 得最大值为18.。
2015-2016学年辽宁省大连市高一下学期期末考试数学试题
2015～2016学年度第二学期期末考试试卷高一数学注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷 选择题（共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 0cos330等于 ( )A ．3 B ．3- C ．12 D ．12- 2．已知角α的终边落在直线2=-y x 上，则tan α的值为 ( )A ．2B ．2-C ．2±D ．123．用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为 ( )A ．11000B ．11003C ．501000 D ．5010034．已知1sin cos 5-=-αα，则sin 2α的值为 ( )A ．1225 B ．2425- C ． 2425 D ．1225- 5．已知向量(3,1)a =，(1,0)b =，则向量a 在向量b 方向上的正射影的数量为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．126．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．3（第6题图）7．为了得到函数sin(3)4y x π=-的图象，只需把函数sin3y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度8．设∆ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin +=b C c B a A ， 则∆ABC 的形状为 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定9．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是 （ ）A ．12>x x ，乙比甲成绩稳定B ．12>x x ，甲比乙成绩稳定C ．12<x x ，乙比甲成绩稳定D ．12<x x ，甲比乙成绩稳定10．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是 （ ）A ．152kmB ．30kmC ．15kmD ．153km 11．如图，在∆ABC 中，已知=5AB ，=6AC ，1=2BD DC ，4⋅=AD AC ，则⋅=AB BC （ ）A ．-45 B.13C. -13D.-3712. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是 （ ）A ．[6,8) B. [6,8] C. [4,6) D. (4,6]第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）（第9题图）（第11题图）13．已知点(1,1),(1,5)A B -，向量2AC AB =，则点C 的坐标为 . 14．已知3tan()2αβ-=-，tan()3αβ+=，则tan 2α的值为 . 15．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 .16.若平面向量a b c ,,两两所成的角相等，且1,1,3a b c ===，则a b c ++等于 . 三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知向量(2,)a k =，(1,1)b =，满足(3)b a b ⊥-. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求向量a 与向量b 夹角的余弦值.18.(本小题满分12分)已知2cos ()1252sin()sin()2παπαπα-=+⋅+.（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin 2cos2+αα的值.19.(本小题满分12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题： （Ⅰ）补全频率分布直方图；（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．（第19题图）20.（本小题满分12分）设函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）的两个相邻的对称中心分别为,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的解析式及其对称轴方程； （Ⅱ）利用五点法画出函数()f x 在9,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的简图．（第20题图）21.（本小题满分12分）如图，OAB 是一块半径为1，圆心角为3π的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF ，其中动点C 在扇形的弧AB 上，记COA θ∠=.（Ⅰ）写出矩形CDEF 的面积S 与角θ之间的函数关系式；（Ⅱ）当角θ取何值时，矩形CDEF 的面积最大？并求出这个最大面积.22. (本小题满分12分)已知函数()a b f x =⋅,其中=(2cos ,32)a x x ，(cos ,1),b x x =∈R . （Ⅰ）求函数()y f x =的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()1f A =-，7a =且向量(3,sin )m B =与向量(2,sin )n C =共线，求ABC ∆的面积.2015～2016学年度第二学期期末考试试卷高一数学参考答案一．选择题1.A2.B3.D4.C5.A6.B7.D8.B9.C 10.D 11.D 12.A 二．填空题13.(3,9)- 14.311 15. 1216.2或5 三．解答题(17．解：（Ⅰ）3(2,)(3,3)(1,3)a b k k -=-=--，b 与3a b -互相垂直(3)1(1)1(3)0b a b k ∴⋅-=⨯-+⨯-=4k ∴=………………………………………………………………………………………………………………………………..4分（Ⅱ）(2,4),(1,1)a b ==22222425,112a b ∴=+==+=………………………………………………………………….6分cos ,1025a b a b a b⋅∴<>===………………………………………………10分 18．解：（Ⅰ）22cos ()sin sin 12tan 5cos (sin )cos 2sin()sin()2πααααπααααπα-==-=-=⋅-+⋅+ 1tan 2α∴=-……………………………………………………………………………………………………………………..6分（Ⅱ）2222222sin cos cos sin sin 2cos 22sin cos cos sin sin cos αααααααααααα⋅+-+=⋅+-=+2222112()1()2tan 1tan 1221tan 15()12ααα⨯-+-+-===-++………………………………………………………..12分19．解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率1(0.10.150.150.250.05)10.70.3-++++=-=，因此补充的长方形的高为0.03……………………………………………………………………..4分（Ⅱ）估计平均分为950.11050.151150.151250.31350.251450.05121x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………..8分（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数与[120，130）分数段的人数之比为1：2， 用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本， 需在[110，120）分数段内抽取2人成绩，分别记为m ，n ； 在[120，130）分数段内抽取4人成绩，分别记为a ，b ，c ，d ；设“从6个样本中任取2人成绩，至多有1人成绩在分数段[120，130）内”为事件A ， 则基本事件共有{（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ）,（c ，d ）}，共15个． 事件A 包含的基本事件有{（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ）}共9个．∴P （A ）＝915＝35．………………………………………………………………………………………………………..12分 20.解：（Ⅰ）()f x 的两个相邻的对称中心分别为,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,08π⎛⎫⎪⎝⎭∴4222822ππππT =⨯=⨯==，∴2ω=∴()sin(2)f x x ϕ=+ ()sin 084f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴4k k Z πϕπ+=∈，，∴,4k k Z πϕπ=-∈， 0πϕ-<<∴4πϕ=-∴()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭………………………………………4分 由2,42x k k Z πππ-=+∈，得382k x k Z ππ=+∈，， 所以()f x 对称轴方程为3,82k x k Z ππ=+∈，………..…………………………………6分（Ⅱ）列表： x 8π38π 58π 78π 98π24x π-0 2π π32π 2π()f x11-………………………………………………………………..…………………………………8分 作图：…………………12分21.解：（Ⅰ）因为cos ,sin OF CF θθ==33tan3DE OE π===，cos 3EF OF OE θ=-=-，…..………2分 所以(cos 3S EF CF θθ=⋅=23=sin cos 3θθθ-，(0,)3πθ∈…..……4分 （Ⅱ）23=sin cos S θθθ133sin 2cos 22663313(2cos 2)2θθθθ=+-=+33)366πθ=+-…..……………………………..……………………..……………………………8分 因为(0,)3πθ∈，所以52()666πππθ+∈， 所以当2=62ππθ+，即6πθ=时，矩形CDEF 的面积S 取得最大值36.…………………………12分22．解:（Ⅰ）()(2cos ,3sin 2)(cos ,1)f x a b x x x =⋅=-⋅22cos 32cos 232112sin(2)6x x x x x ==+=--π……………………………………4分令222()262k x k k z -+≤-≤+∈πππππ解得()63k x k k z -+≤≤+∈ππππ∴函数的单调递减区间为[,]()63k k k z -++∈ππππ…………………………………………6分（Ⅱ）()1f A =-12sin(2)16A ∴--=-π,即sin(2)16A -=π22()62A k k z ∴-=+∈πππ()3A k k z ∴=+∈ππ又0A <<πA ∴=π…..……………………………..……………………..……………..……………………..……………………………8分7a =∴由余弦定理得22222cos ()37a b c bc A b c bc =+-=+-=① ∵向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线， ∴2sin 3sin B C =由正弦定理得23b c =②由①②得3,2b c ==……………………………………………………………………………………………………………………10分1333232ABC S ∆∴=⨯⨯=12分。
河北省廊坊市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(PDF版)答案
廊坊市2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学试题参考答案评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照本评分细则，制订相应的评分标准。
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后级部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数。
选择题不给中间分。
一、选择题：（每小题4分，共48分）1.B2.A3.C4.D5.C6.C7.A8.D9.B 10.B 11.A 12.D二、填空题：（每小题4分，共16分）13. {}21<<-x x 14. 19 15. 16 16. 34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 三、解答题：（17、18题每小题8分，19、20、21、22题每小题10分，共56分）17. 解：（1）已知圆C ：22(1)9x y +-=的圆心为(0,1)C ， 直线过点P C 、，∴直线l的斜率为3， ┄┄┄┄┄┄2分直线l的方程为1,03y x x =+-=即． ┄┄┄┄┄┄4分（2）当直线l 的倾斜角为60︒直线l的方程为210y x y -=--=. ┄┄┄┄┄┄6分圆心(0,1)C 到直线l 的距离为1,圆的半径为3，∴弦AB的长为 ┄┄┄┄┄┄8分18.（1）证明：由正弦定理得sin (1cos )sin (1cos )3sin A B B A C +++=sin sin cos sin sin cos 3sin A A B B B A C ∴+++=sin sin sin()3sin A B A B C ∴+++= ┄┄┄┄┄┄2分sin sin sin 3sin ,sin sin 2sin A B C C A B C ∴++=+=即 ┄┄┄┄┄┄3分由正弦定理知2a+b =c ,所以,,a c b 成等差数列． ┄┄┄┄┄┄4分（2）解：由3C π=，2a b c +=及余弦定理得222()1222a b a b ab ++-=， ┄┄┄┄┄┄6分整理得2()0a b -=，即1a b=． ┄┄┄┄┄┄8分(本道题的第一问也可以用余弦定理证明，请阅卷老师酌情给分。
2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题带答案
2015—2016学年度高一下学期期末考试数学试题命题人：陈文科 考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．等差数列{}n a 中，若464=+a a ,则132a a -的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．设βα,为不重合的两个平面，n m ,为不重合的两条直线，则下列判断正确的是 ( ) A ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α 3．若两直线0343=++y x 与016=++my x 平行，则它们之间的距离为（ ）A ．21B ．25 C ．52 D ．552 4．在如图所示的长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ,G F E ,,分别是11,,CC AB DD 的中点，则异面直线E A 1与FG 所成角的余弦值是 ( )A ．515B ．22 C ．510D ．05．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 6．在空间直角坐标系中，点)2,3,2(),2,3,1(--B A ，则B A ,两点间的距离为 （ ） A ．14B ．5C ．31D ．257．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知4,6π==A b ，若三角形有两解，则边a 的取值范围为 （ ）A ．)6,0(B ．)6,1(C ．)6,3(D ．),3(+∞8．半径为1，圆心角为π32的扇形卷成一个圆锥，则它的体积为 ( ) A ．8122πB ．2722πC ．27π D ．3π 9．过点)2,4(P 作圆222=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，点O 为坐标原点，则AOB ∆的外接圆方程是 （ ） A ．()5)1(222=+++y xB ．()20)2(422=+++y xC ．()5)1(222=-+-y xD ．()20)2(422=-+-y x10．一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知圆4:22=+y x O 上到直线m y x l =+:的距离为1的点有且仅有2个，则m 的取值范围是（ ） A ．(),2()2,+∞-∞- B ．)23,2()2,23( -- C ．)23,23(- D ． )2,2(-12．已知圆1)1(:22=+-y x M ，设)25(),6,0(),,0(-≤≤-+t t B t A ，若圆M 是ABC ∆的内切圆，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．215B ．429C ．7D ．427 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上） 13．经过直线01:,05:21=--=-+y x l y x l 的交点且垂直于直线032=-+y x 的直线方程为 .正视图侧视图14．已知y x ,满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(0≤k )，若目标函数3z x y =+的最大值为8，则k 的值为 .15．已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，则222PC PB PA ++的最大值为 .16．已知正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，下列说法：①对角线C A '被平面BD A '和平面D C B ''三等分；②以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是61； ③正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积 之比为3:2:1；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积为3π； 则正确的是 . （写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设直线l 的方程为R a a y x a ∈=-+++,02)1(；（Ⅰ）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 与坐标轴围成三角形的面积为2，求实数a 的值.18．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为54cos ,4,,,=π=B A c b a ． （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）若2=c ，求ABC ∆的面积．19．（12分）如图1所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，E D ,分别是AC AB ,边上的点，AE AD =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABC ∆沿AF 折叠，得到如图2所示的三棱锥BCF A -，其中22=BC； （Ⅰ）证明：//DE 平面BCF ；（Ⅱ）证明：⊥CF 平面ABF ；（III ）当32=AD 时， 求三棱锥DEG F -的体积．20．（12分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元； （Ⅰ）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （Ⅱ）若400=a ，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？21．（12分）已知点))(,(*N n b a P n n n ∈都在直线22:+=x y l 上，1P 为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1； （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若)(n f =⎩⎨⎧)(b )(n 为偶数为奇数n n a n 问是否存在*N k ∈,使得2)(2)5(-=+k f k f 成立；若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由； （III ）求证：*21231221,2,52111N n n P P P P P P n∈≥<+⋅⋅⋅++.22．（12分）已知⎩⎨⎧+-≥≤+--+501810222a x y y x y xR y x ∈,，若由不等式组围成的区域为P ，设两曲线的交点为B A ,，)5,(a C 且P C ∈； （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0=a ，求ABC ∆的面积； （III ）求ABC ∆的面积的最大值.2015—2016学年度高一下学期期末考试数学答案一、选择题1~5 BDADC 6~10 BCACD 11~12 BA 二、填空题13. 012=+-y x 14. 88 15. 6- 16. ①③ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧≤-≥+-020)1(a a ∴1-≤a（Ⅱ）由题意知：1-≠a 令2,0-==a y x 令12,0+-==a a y y ∴212221=+--=a a a S ∴0=a ，或8=a 18.（Ⅰ）53sin ,054cos =∴>=B B )4c o s ()]4(cos[cos B B C +-=+-=πππ10254225322)sin 4sincos 4(cos-=⋅-⋅=--=B B ππ（Ⅱ）由（Ⅰ）知1027sin =C 由正弦定理知：C c A a sin sin = ∴ 725=a∴7353272521sin 21=⋅⋅⋅==B ac S19.（Ⅰ）在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC .在折叠后的三棱锥A -BCF 中也成立，∴DE ∥BC . ∵DE 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF . （Ⅱ）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥FC ，BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A -BCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2，∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .（III ）由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG .∴V F -DEG ＝V E -DFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝⎛⎭⎫13×32×13＝3324. 20.（Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a v v y 2411000，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v y 411000。
福建省宁德市2015—2016学年度高一第二学期期末考试数学试卷及答案
宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（A 卷）(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．第I 卷 （选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡．．．的相应位置填涂． 1．圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是 A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．内含2．已知半径为2，弧长为83π的扇形的圆心角为α，则sin α等于 A． BC ．12- D ．12 3．已知直线12:210,:(1)0l x ay l a x ay +-=+-=，若12//l l ，则实数a 的值为A ．32-B ．0C ．32- 或 04．用斜二侧法画水平放置的ABC ∆所示等腰直角A B C '''∆.已知点'O 是斜边B C ''且1A O ''=，则ABC ∆的BC 边上的高为A ．1B ．2C 5．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B A B ．1 C 或D ．1或1-6．在下列向量组中，可以把向量()4,1=a 表示出来的是A ．12(0,0),(3,2)==e eB ．12(1,2),(3,2)=-=-e eC ．12(6,4),(3,2)==e eD ．12(2,5),(2,5)=-=-e e7．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平行移动3π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平行移动6π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍，再向右平行移动6π个单位长度8．设,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列判断正确的是A ．若l m,m n ⊥⊥，则//l nB ．若,αββγ⊥⊥，则//αγC ．若,,m ααβ⊥⊥则//m βD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥9．设,,a b c 是平面内的非零向量，则下列结论正确的是A ．若a 与b 都是单位向量，则222()⋅=⋅a b a bB ．若=⋅⋅a b b c ，则=a cC ．若0⋅<a b ,则a 与b 的夹角是钝角D ．若//,//a b b c ，则//a c10．已知锐角,αβ满足3cos sin()5ααβ=-=-，则sin β的值为A B C D11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC AC ===，PA ,E F 分别是,PB BC 的中点，则EF 与平面PAB 所成的角等于A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒12．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体SABC 各顶点坐标分别是(1,1,2),(3,3,2),S A(3,3,0),(1,3,2)B C ，则该四面体外接球的表面积是A ．16πB ．12π C. D. 6π第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．已知向量(0,1),(1,),(1,2)m ==-=a b c ，且()//+a b c ，则m = .14．已知直线(2)0()a x y a a -+-=∈R 在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数a 的值等于 .15．某正方体切割后得到一个多面体的三视图如图所示（其中网格上小正方形的边长为1）则该多面体的体积为 .16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕ><<π）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3π-，则对于下列判断：①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与()()1212y f x x π35π=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是 ．（写出所有正确判断的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17．（本题满分10分）已知点(,3)A m 和(5,)B m -，直线AB 的斜率为3-． （Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 在直线0x y +=上，且APB ∠为直角，求点P 的坐标.P CA 18．（本题满分12分）如图，矩形ABCD 中，点P 为BC 中点，点Q 在边CD 上．（Ⅰ）若点Q 是CD 上靠近C 的三等分点，且PQ AB AD λμ=+，求λμ+的值． （Ⅱ）当6AB =，4AD =，且AQ BQ ⋅取最大值时，求向量PQ 的模．19. （本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，x 轴的非负半轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于,A B 两点．已知,A B 3，． （Ⅰ）求22sin sin cos sin cos 6cos αααααα+-的值；（Ⅱ）求αβ+的大小．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ， 90BAD ∠=︒，AD ， 22DC AB ==，E 为BC 中点．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（Ⅱ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ?若存在，求PFPC的值；若不存在，说明理由．21（本题满分12分）已知向量,cos sin ),(cos ,cos sin )x x x x x x =+=-a b ，函数()f x =⋅a b ， ()()cos212g x f x x π=-+.（Ⅰ）若函数()f x 在区间π(,)6m 上单调递减，求实数m 的取值范围;（Ⅱ）当函数()g x 取得最大值时，求sin 2x 的值.已知圆P过点(0,2),M N，且圆心P在直线:0Q-的直l x y-=上，过点(1,1)线交圆P于,A B分别做圆P的切线，记为A B两点，过点,,l l.12（Ⅰ）求圆P的方程；（Ⅱ）求证：直线,l l的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.12宁德市2015—2016学年度第二学期高一期末考试数学试题（A ）参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分．（3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11.B 12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3- 14． 0或1 15．128316．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本题满分10分)解法一：（Ⅰ）∵直线AB 的斜率3()35AB m k m --==--, ………………………………1分 ∴3m =，∴(3,3)A , ……………………………………………………3分 ∴直线AB 的方程为33(3)y x -=--即3120x y +-=.（或312y x =-+）…………………………………5分（Ⅱ）设(,)P a a -,由（Ⅰ）得(3,3)A ，B(5,3)-∴(3,3)PA a a =-+，(5,3)PB a a =--+………………………………6分 又APB ∠为直角∴(3)(5)(3)(3)0PA PB a a a a ⋅=--++-+= …………………………8分 ∴1a =或3a =,……………………………………………………………9分 ∴(1,1)P -或(3,3)P -. ………………………………………………10分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设(,)P a a -,由（Ⅰ）得(3,3)A ，B(5,3)-①当3a ≠且5a ≠时，直线,PA PB 的斜率存在，由已知得，33135PA PB a a k k a a ---+⋅=⋅=---， ………………………7分 1a ∴=，P(1,1)- …………………………………………………8分②当3a =时，直线PA 的斜率不存在，点(3,3)P -，此时APB ∠为直角 ③当5a =时直线PB 的斜率不存在，点(5,5)P -，此时APB ∠不是直角 ……………………………………………………………………9分 综上所述，P(1,1)-或P(3,3)-. ………………………………………10分解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）APB ∠为直角∴点P 在以AB 为直径的圆M 上， …………………………………6分又(4,0)M ，||AB =∴圆M 的方程为22(4)10x y -+=， …………………………………8分由22(4)10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩或3,3.x y =⎧⎨=-⎩∴P(1,1)-或P(3,3)-………………………………………………10分18．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）如图，以A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为,x y 轴,建立平面直角坐标系.设3,2AB a AD b ==，则(0,0),(3,0),(0,2),(3,),(2,2)A B a D b P a b Q a b ，…2分∴(3,0),(0,2),(,)AB a AD b PQ a b ===-, ………4分 又PQ AB AD λμ=+∴(,)(3,2)a b a b λμ-=∴31,21λμ=-= …………5分∴111326λμ+=-+=.……………………6分（Ⅱ）由已知得(0,0),(6,0)A B ………………………………………………7分设Q(,4)(06)m m ≤≤,则(,4)AQ m =，(6,4)BQ m =- ……………………8分∴22(6)44616(3)7AQ BQ m m m m m ⋅=-+⨯=-+=-+ …………………9分又06m ≤≤∴当0m =或6时，AQ BQ ⋅取到最大值. ……………10分当0m =时，Q(0,4)，(6,2)P ，所以||(6PQ =……11分当6m =时，Q(6,4)，(6,2)P ，所以||2PQ =. ……12分解法二：（Ⅰ）由题意得：PQ PC CQ =+ ………………………………………………………………2分1123BC CD =+………………………………………………………………3分 11()23AD AB =+- …………………………………………………………4分 又PQ AB AD λμ=+∴11,32λμ=-= ……………………………………………………………5分∴111326λμ+=-+= ……………………………………………………6分（Ⅱ）设(01)DQ k DC k =≤≤，则AQ AD DQ AD k DC AD k AB =+=+=+ ………………………………7分(1)BQ BC CQ AD k AB =+=+-………………………………………………8分又矩形ABCD 中，,,0AB DC AD BC AB AD ==⋅=∴()[(1)]AQ BQ AD k AB AD k AB ⋅=+⋅+-22(1)(21)AD k k AB k AB AD =+-+-⋅22||(1)||AD k k AB =+-2363616k k =-+ ………………………………9分又01k ≤≤∴当0k =或1时AQ BQ ⋅取到最大值…………………………10分当0k =时，DQ =0,所以210PQ = ……………………………………11分 当1k =时，DQ DC =,所以2PQ =. ……………………………………12分19．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）由题意得，A ………………………………………………1分 tan 7α∴= …………………………………………………………………3分222sin sin cos tan tan sin cos 6cos tan 6ααααααααα++∴=--…………………………………………5分 2775676+==- …………………………………………6分 （Ⅱ）由题意得，34(,)55B ，4tan 3β= ……………………………………………7分tan tan tan()1tan tan αβαβαβ+∴+=-⋅ ……………………………………………8分4734173+=-⨯……………………………………………………9分 1=- ………………………………………………………………10分又,αβ是锐角 0αβπ∴<+<, ……………………………………………11分34παβ∴+=……………………………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）由题意得，(,)1010A ………………………………………………1分sin α∴=………………………………………………………………2分cos α=………………………………………………………………… 3分222sin sin cos 56sin cos 6cos αααααα+∴=- ……………………………6分 （Ⅱ）由题意得，34(,)55B ，43sin ,cos 55ββ==………………………………………7分cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- …………………………………………8分3455== …………………………………………10分 又,αβ是锐角 0αβπ∴<+< ……………………………………………11分34παβ∴+=……………………………………………………………………12分 20．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）连接DB ，在Rt DAB ∆中，2DB ==， …………1分 又E 为BC 中点，2DC =DE BC ∴⊥ …………………………………………2分PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD , PD BC ∴⊥， ………………………………………3分PD DE D =， BC ∴⊥平面PDE ， …………4分又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE ……5分 （Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF .…………… 6分 证明如下：连接AC 交BD 于点O ，在平面PAC 中过点O 作//OF PA ，则交PC 于F ……7分 又OF ⊂平面BDF ，PA ⊄平面BDF ………………………………………8分 ∴PA ∥平面BDF ……………………………………………………………9分 四边形ABCD ， //AB CD ，22,DC AB ==∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………10分 ∵//OF PA ，∴12PF AO FC OC == ……………………………………………………11分 ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………………12分 解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）线段PC 上存在一点F ，且13PF PC =时，PA ∥平面BDF ………………6分 证明如下： 连接AC ，设ACDB O =，在线段PC 上取点F ，使13PF PC =,连接OF . …7分 //AB CD ，22,DC AB ==∴12AO AB OC DC == ………………………………………………………………8分 又113223PCPF FC PC == ∴,AO PFOC FC= …………………………………………………………………10分//PA OF ∴又OF ⊂平面BDF ，PA ⊄平面BDF ……………………………………11分∴PA ∥平面BDF ∴当13PF PC =时，PA ∥平面BDF …………………………………………12分 （说明：其它解法相应给分） 21．(本题满分12分)解：（Ⅰ）()cos (cos sin )(cos sin )f x x x x x x x =⋅++-a b = ……………1分222cos sin x x x +-2cos2x x + ………………………………………………3分12cos2)2x x =+ 2sin(2)6x π=+ …………………………………………………4分由3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，得2,63k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递减区间为π3π[π,π+]()63k k k +∈Z……………5分(说明：上述区间写成开区间，不扣分)由已知得π263m π<≤，即m 的取值范围为π2(,]63π………………………6分 （Ⅱ）()()cos22sin 2cos212g x f x x x x π=-+=+ …………………………………7分22)x x =)x ϕ=+ ……………………………………………………………8分（其中cos sin ϕϕ==） ……………………………………………9分当sin(2)1x ϕ+=，即22,2x k k πϕπ+=+∈Z 时，()y g x =取到最大值……10分此时22,2x k k πϕπ=-+∈Z ， ………………………………………………11分sin 2sin(2)cos 2x k πϕπϕ=-+===…………………………………12分 22．(本题满分12分)解法一：（Ⅰ）设圆P 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，则2222220(0)(2))(1)a b a b r a b r-=⎧⎪-+-=⎨⎪+-=⎩ ………………………………………………2分（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）解得20,4a b r ===, ………………………………………………3分 ∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分 （Ⅱ）设1122A(,),(,)x y B x y ，直线12,l l 的交点00(,)F x y若(,)E x y 为直线1l 上任意一点，则0AE OA ⋅=,得1111()()0x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y +=，……………5分 同理可得，在点B 处的圆P 的切线方程为222:4l x x y y += ………………6分 由直线12,l l 过点00(,)F x y∴10104x x y y +=,20204x x y y +=, ……………………………………8分 ∴点,A B 满足方程004x x y y +=即直线AB 的方程为004x x y y += ， ……………………………………10分 又直线AB 过点(1,1)Q -∴004x y -+=，即0040x y -+= ……………………………………………11分 ∴直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为40x y -+=. 12分解法二：（Ⅰ）设圆P 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则22222010022E F E F D E ⎧++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪-+=⎩………………………………………………2分 （说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）解得0,4D E F ===- ………………………………………………3分∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）设1122A(,),(,)x y B x y ，(,)E x y 为直线1l 上任意一点， 由0AE OA ⋅=,得1111()()0x x x y y y -+-=，∵22114,x y +=∴114x x y y +=，即A 处的圆P 的切线方程111:4l x x y y +=， 同理B 处的圆P 的切线方程分别为222:4l x x y y +=， ……………………6分 ①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =- 由2214x x y =-⎧⎨+=⎩得A(1,(1,B --∴在点,A B处的切线方程分别为，1:40l x -+=，2:40l x +=由4040x x ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩得40x y =-⎧⎨=⎩此时切线12,l l 的交点为(4,0)G -, ……………………………………………7分 当直线AB 的斜率为0时，直线AB 的方程为1y = 由2214y x y =⎧⎨+=⎩得1),(B∴在点,A B 处的圆P的切线方程140l y +-=，240l y -+= 此时切线12,l l 的交点为(0,4)H . ……………………………………………8分 ∴直线GH 的方程为40x y -+=. …………………………………………9分 ②当直线AB 的斜率存在时,直线AB 的方程为1(1)y k x -=+，即1y kx k =++，由11224,4,x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩且12210x y x y -≠,得21122121211244,44,y y x x y x y x x y x y x y -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ……………………10分∴212112212112444444y y x x x y x y x y x y x y ---+=-+--212112211221(44)(44)4()y y x x x y x y x y x y -+-+-=-212112211221()()()4y y x x x y x y x y x y -+-+-=⨯-212112211221()()[(1)(1)]4k x x x x x kx k x kx k x y x y -+-+++-++=⨯-21121221(1)()(1)()4k x x k x x x y x y +-++-=⨯-0=∴当直线AB 的斜率存在时, 直线12,l l 的交点坐标满足方程40x y -+=. 综上所述，直线12,l l 的交点都在直线同一条直线上，且该直线方程为40x y -+=. ………………………………………………………12分解法三：（Ⅰ）设圆E 的方程为222()()x a y b r -+-=弦MN 的中点3)2C又0MN k ==-分∴MN 的垂直平分线的方程：32y x -= 0y -=………………………………………………2分圆心P 是MN 的垂直平分线与直线l 的交点∴由00a b b -=⎧⎪-=，得00a b =⎧⎨=⎩，即圆心(0,0)P ……………………………3分又半径||2r PM ==∴圆P 的方程为224x y += ………………………………………………4分（Ⅱ）同解法一。
2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题带答案
2016年春季学期高一期末考试数学试卷(本试卷共三大题,满分150分,考试时间为120分钟)一、 选择题（12道题，每题5分，共60分）1、若集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,4}，则集合A ∪B 等于( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0} 2.若θ是第二象限的角,且4sin 5θ=,则cos θ=( )A. 15B. 15- C. 35D. 35-3. 设=-=-=(1,3),(2,4),(0,5)a b c 则-+3a b c =（ ）A. (3,-8)B.(-2,3)C.(2,3)D.(3,8) 4若已知=(4,2), =(6,x),且∥,则x=( )A.3B. 5C.1D.-1 5.－400°角的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 函数y=sin(3x+3π)+2的最小正周期为（ ）A. 2πB. 3πC. 3πD.23π7. 若向量a ＝(3,3)，b ＝(－3,2)，则|a ＋2b|＝( )8已知角α的终边过点P （－1-,2）,tan α的值为 ( )A ．－55 B ．2 C D ．129已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ）(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)120010若A 是第三象限的角,1cos()3A p -=,求2sin()A p+=（ ）A.13-B.23C.23-D. 1311在ABC △中，A B 边上的高等于13BC ,则cos B = （ ）（A （B （C （D ）-12设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 2πB. πC.23pD.2p二、 填空题（4道题，每题5分，共20分）13.=(4,2), =(6,x)若与相互垂直，则X= 14. sin 810°= 15.若tanA=12,求4c si os n 2s in o s c A A AA -+=16.函数的图像可由函数的图像得到。
2015-2016学年高一下学期期末联考数学试题(解析版)9
高一下学期期末联考数学试题一、选择题1．已知全集U Z =，集合{}3,1,0,1,2A =--， {}|21, B x x k k N ==-∈，则U A C B ⋂=（ ）A. {}0,1,2B. {}3,1,0--C. {}1,0,2-D. {}3,0,2- 【答案】D【解析】由题意可得，集合U C B 表示所有的整数除去正奇数组成的集合，则U A C B ⋂= {}3,0,2-. 本题选择D 选项.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =， 49S =，则6a =（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B【解析】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=2,S 4=9，∴112{ 43492a d a d +=⨯+=，解得131,22a d ==， ∴6315422a =+⨯=. 本题选择B 选项.3．已知4sin cos 3αα-=， 3,24ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则tan2α=（ ）A.8B. 48D. 4【答案】A【解析】由题意可得1612sin cos 9αα-=,∴72sin cos 9αα=-， ∵3,24ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴sin cos 3αα+===，∴sin αα==∴27sin22sin cos ,cos22cos 19ααααα==-=-=则sin2tan2cos2ααα==本题选择A 选项.4．下列各组数，可以是钝角三角形的长的是（ ）A. 6，7，8B. 7，8，10C. 2，6，7D. 5，12，13 【答案】C【解析】由余弦定理可得，当三边满足2220a b c +-<时，三角形可以是钝角三角形，结合所给的三角形边长可得2222670+-<.本题选择C 选项.点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 20B. 25C. 30D. 40 【答案】C【解析】由三视图可知，几何体是一个底面边长为3,4的直角三角形，高为5的三棱柱，则体积为1345302V =⨯⨯⨯=.本题选择C 选项.点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．6．已知两条不同直线,a b 与两个不同的平面,αβ，且b α⊥，给出下列命题： ①若//a α，则a b ⊥；②若a b ⊥，则//a α；③若b β⊥，则//αβ；④若αβ⊥，则//b β.其中正确的是（ ）A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③ 【答案】A【解析】根据线面垂直的性质可知①正确； ②中，当a ⊥b 时，也满足题意，该命题错误；③中，垂直与同一直线的两平面平行，命题正确； ④中，结论可能是b β⊂，该命题错误； 本题选择A 选项.7．已知变量,x y 满足0{440 x y x y x a-≥--≤≥，点(),x y 对应的区域的面积为2524，则22x y +的取值范围是（ ）A. 19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 19,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 132,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 117,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】做出不等式组表示的平面区域，很明显()()44,44,,,,33A a a B C a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知2524ABC S = ，即： ()1425442324a a a --⨯-=，且43a <，即2425336a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 44510,,3362a a a ->∴-== ， 此时111,2,,222A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则OA OB ====3>， 22x y +表示点(),P x y 到原点距离的平方， 则222211724x y OA ⎛⎫≤+≤= ⎪⎝⎭，即22x y +的取值范围是117,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦本题选择D 选项.点睛：若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．约束条件中含参数 由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值8．若动点()()1122,,,A x y B x y 分别在直线1:110l x y --=和2:10l x y --=上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（ ）A. 60x y --=B. 60x y ++=C. 60x y -+=D. 60x y +-= 【答案】A【解析】由题意知,M 点的轨迹为平行于直线l 1、l 2且到l 1、l 2距离相等的直线l ，故其方程为60x y --= . 本题选择A 选项.9．已知函数()()2211f x x a x =+-+，若对区间()2,+∞内的任意两个不等实数12,x x 都有()()1212110f x f x x x --->-，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】函数()()2211f x x a x =+-+,若对区间(2,+∞)内的任意两个不等实数x 1,x 2都有()()1212110f x f x x x --->-，即()()()()121211011f x f x x x --->---,x 1−1,x 2−1∈(1,+∞)，可得：f (x )在区间(1,+∞)上是增函数，二次函数的对称轴为： 212a x -=-，可得： 2112a --≤,解得12a -…. 本题选择C 选项.点睛：解决二次函数的图象问题有以下两种方法： (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．10．已知直线:430(0)l x y m m -+=<被圆22:2260C x y x y ++--=所截的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，则m 等于（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 【答案】B【解析】圆C : 222260x y x y ++--=的圆心C (−1,1),半径42r =∵直线l :4x −3y +m =0(m <0)被圆C : 222260x y x y ++--=所截的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，∴∠AOB =90°,∴4AB =， ∴圆心C (−1,1)到直线l :4x −3y +m =0(m <0)的距离：725m d -===，由m <0，解得m =−3. 故选：B.11．已知数列{}n a 中， 12a =，132n na a +-=，则数列{}n a 的前n 项和为（ ） A. 3233n n ⨯-- B. 5235n n ⨯-- C. 3253n n ⨯-- D.5255n n ⨯--【答案】B【解析】由递推关系可得123n n a a +=+，即()1323n n a a ++=+，则数列{}3n a +是首项为135a +=，公比为2的等比数列， 其通项公式为： 11352,523n n n n a a --+=⨯∴=⨯-， 分组求和可得数列{}n a 的前n 项和为5235n n ⨯--.本题选择B 选项.点睛：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 12．如图，树顶A 离地面4.8m ，树上另一点B 离地面2.4m ，的离地面1.6m 的C 处看此树，离此树多少m 时看,A B 的视角最大（ ）A. 2.2B. 2C. 1.8D. 1.6 【答案】D【解析】过C 作CH ⊥AB 于H ，设C H x =，则5t an AH ACH CH x∠==， 2tan BH BCH CH x∠==， ()23.20.8 2.43tan tan 3.20.8 1.621x x ACB ACH BCH x x x x -∴∠=∠-∠==≤+⨯+， 当且仅当21.6x x=，即 1.6x =时等号成立.二、填空题13．已知ABC ∆•3AB AC =- ，则A =__________．【答案】56π 【解析】由题意可得：1sin cos 32bc A bc A ==-，两式作比值可得：5tan 6A A π==. 14．若不等式()2210a a x ax +-+>对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)4,03⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，【解析】当0a =时，不等式成立，否则应有： ()()222{40a a a a a +>∆=--+>，解得： 0a >或43a <-，综上可得实数a 的取值范围是[)4,03⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，.15．已知直三棱柱ABC A B C '-''中， 2AB AC AA ==='， AB AC ⊥，则直三棱柱ABC A B C '-''的外接球的体积为__________．【答案】【解析】设'2,AB AC AA AB AC ===⊥，设外接球半径为r ，则()2234212,3,3r r V r π====。
2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案.doc
2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案一、 选择题BCBBB CAACB CB二、 填空题 13. 13 14. 231- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、 解答题17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆbx+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597, ……………2分 ∴ˆb =5593487767280736-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,第4组的频率为0.04×5=0.2,第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,第4组的2位同学为B 1,B 2,第5组的1位同学为C 1.则从六位同学中抽两位同学有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系， 设角(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6πϕ=-……………2分OP 每秒钟内所转过的角为52.606ππ⨯=……………4分 由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动， 故所求的函数关系式为4sin() 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin()26,66z t ππ=-+=……………9分得sin()1,66t ππ-= ,4,662t t πππ-==令得故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分 21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，……………4分又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=……………6分 （Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-因为……………8分且sin cos )04πθθθ-=->，sin cos 2θθ∴-=……………10分sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分1cos(2)1cos 2322.:()()221[cos(2)cos 2]2313(2cos 2)222)23x x f x x x x x x πωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ………………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω>∴==由题意可知的最小正周期为且即())3()122f x x f ππ∴=+∴=………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即min max 7[,0]|()|1,12()1()1,x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分max min 750,2126331sin(2)33)343(),()42x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤≤+≤==-因为所以所以所以即 …………………………………………………………………10分7147[1,].24m m -≤≤--即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。
2015-2016年河北省沧州市高一下学期期末数学试卷及答案
2015-2016学年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．12．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．3．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a2=2，a4﹣a3=4，则公比为（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lga＞lgb D．5．（5分）若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l与m的位置关系是（）A．l∥m B．l与m异面C．l与m相交D．l与m没有公共点6．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a7=a5+3，则a4=（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）下列说法正确的是（）A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的旋转体B．棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等C．顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正三棱锥D．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的旋转体8．（5分）轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（）A．35海里B．35海里C．35海里D．70海里9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[﹣5，]B．[﹣5，0）∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣5]∪[，+∞）D．[﹣5，0）∪（0，]10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．311．（5分）已知点P为线段y=2x，x∈[2，4]上任意一点，点Q为圆C：（x﹣3）2+（y+2）2=1上一动点，则线段|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，=，a n b n=1，则使b n＞63的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题:本大题共4小题。
2015-2016学年北京市海淀区高一第二学期期末数学试卷含解析
调查，并制作了频率分布直方图（如图） ，从图中数据可知 a＝ 0.035 ．现从上述年龄
在 20 岁到 50 岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取
30 人，则在 [20 ， 30）年龄
段抽取的人数应为 10 ．
【解答】 解：根据频率和为 1，得 10a＝ 1﹣（ 0.020+0.025+0.015+0.005 ）， 解得 a＝ 0.035； 又市民年龄在 20～ 50 岁的人数为 100×（ 1﹣ 0.020× 10﹣0.005× 10）＝ 75， 且在 [20， 30）年龄段内的人数是 100× 0.025× 10＝ 25， 则采用分层抽样的方法抽取 30 人，在 [20 ，30）年龄段抽取的人数应为
A ．45°
B ．105°
C． 15°或 105° D． 45°或 135°
8．（4 分）某校为了了解学生近视的情况， 对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，
每个年级都有 7 个班．如果某个年级的每个班的近视人数都不超过
5 人，则认定该年级
为“学生视力保护达标年级” ．这四个年级各班近视学生人数情况统计如表：
高一年级
中位数为 3，众数为 4
高二年级
平均值为 3，中位数为 4
从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是（
A ．初一年级
B ．初二年级
C．高一年级
） D ．高二年级
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【解答】 解：能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差：
平均数：与每一个数据有关，更能反映全体的信息； 方差：方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
D ．{ x|﹣ 3＜x＜ 1} 【解答】 解：不等式 x2+2x﹣ 3＜ 0 可化为（ x+3 ）（ x﹣1）＜ 0， 解得﹣ 3＜ x＜ 1，
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2015～2016学年度第二学期期末考试高一数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．参考公式：棱锥的体积公式：V棱锥13sh =，其中s 为棱锥的底面积，h 为高. 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知(1,1)A ，(2,2)B ，则直线AB 的斜率为 ． 2．在公差为2的等差数列}{n a 中，若21a =，则5a 的值是 ．3．若ABC ∆满足：60A =︒，75C =︒，BC =AC 的长度为 ． 4．已知π4αβ+=，且tan 2α=，则tan β的值是 ． 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 3 cm AB =， 4 cm BC =， 5 cm CA =，1 6 cm AA =，则四棱锥111A B BCC -的体积为 3cm ．6．在平面直角坐标系x O y 中，直线210x a y +-=和直线(21)10a x y --+=互相垂直，则实数a 的值是 ．7．已知正实数,a b 满足24a b +=，则ab 的最大值是 ．8．在平面直角坐标系x O y 中，(1,3)A ，(4,2)B ，若直线20ax y a --=与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．9．已知实数,x y 满足：11x y -≤+≤，11x y -≤-≤，则2x y +的最小值是 ． 10．如图，对于正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：①直线// AC 平面1111A B C D ②直线1// AC 直线1A B ③直线AC ⊥平面11DD B B ④直线1AC ⊥直线BD 其中正确结论的序号为 ．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知πsin()62bC a+=，则角A 的值是 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(2)(3)9x y -+-=，若过点(0,3)M 的直线与圆C 交于,P Q 两点（其中点P 在第二象限），且2PMO PQO ∠=∠，则点Q 的横坐标为 ．13．已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=()n N *∈，且120a a =，则1a 的最大值是 ．14．如图，边长为1a b ++（0,0a b >>）的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，直线:30l x by b ++=． （1）若直线l 与直线20x y -+=平行，求实数b 的值；（2）若1b =，(0,1)A ，点B 在直线l 上，已知AB 的中点在x 轴上，求点B 的坐标． 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c （a b c <<），已知2cos 2cos a C c A a c +=+．（1）若35c a =，求sin sin AB的值； （2）若2sin 0c A =，且8c a -=，求ABC ∆的面积S ．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ⊥，AB BC =，点M ，N 分别为PC ，AC 的中点．求证：（1）直线 //PA 平面BMN ；（2）平面PBC ⊥平面BMN ．18．（本题满分16分）如图，某隧道的截面图由矩形ABCD 和抛物线型拱顶DEC 组成（E 为拱顶DEC 的最高点），以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，已知拱顶DEC 的方程为2164y x =-+(44)x -≤≤．（1）求tan AEB ∠的值；（2）现欲在拱顶上某点P 处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB 的张角APB ∠最大，求此时点P 到AB 的距离．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为 (0)y kx k =>． （1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（ⅰ）若AB ≤，求实数k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ， 是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分）已知数列}{n a 的首项10a >，前n 项和为n S ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎭⎩是公差为12a的等差数列．（1）求62a a 的值； （2）数列}{nb 满足：1(1)2n a pn n n b b ++-=，其中,N*n p ∈． （ⅰ）若11p a ==，求数列}{n b 的前4k 项的和，N*k ∈；（ⅱ）当2p =时，对所有的正整数n ，都有1n n b b +>，证明：1112111222a a a b ---<<．2015～2016学年度第二学期期末考试高一数学参考答案一、填空题1．1； 2．7； 3 4．13-； 5．24； 6．23； 7．2； 8．(,3][1,)-∞-+∞ ； 9． 2-； 10．①③④； 11．π6； 12．1； 13．512 ； 14．2. 二、解答题15. 解：（1）∵直线l 与直线20x y -+=平行， ∴1(1)10b ⨯--⨯=，∴1b =-，经检验知，满足题意． ………………７分 （2）由题意可知：:30l x y ++=， 设00(,3)B x x --， 则AB 的中点为002(,)22x x --， ………………１０分 ∵AB 的中点在x 轴上，∴02x =-，∴(2,1)B --． ………………１４分 16. 解：（1）∵2cos 2cos a C c A a c +=+由正弦定理：2sin cos 2sin cos sin sin A C C A A C+=+∴sin sin 2sin()2sin(π)2sin A C A C B B +=+=-= ………………２分 ∵35c a =由正弦定理：3sin 5sin C A =， ………………４分∴82sin sin sin sin 3B A C A =+=，∴sin 3sin 4A B =． ………………7分（2）由2sin 0c A =得：sin C =，∵(0,π)C ∈，∴π3C =或2π3C = 当π3C =时， ∵a b c <<，∴A B C <<，此时πA B C ++<，舍去， ∴23C π=， ………………9分 由（1）可知：2a c b +=， 又∵8c a -=， ∴4,8b a c a =+=+，∴2222(8)(4)2(4)cos3a a a a a π+=++-⋅+， ∴6a =或4a =-（舍） ………………12分所以11sin 61022S ab C ==⨯⨯= ………………14分 17.（1）证明：∵点M ，N 分别为PC ，AC 的中点，∴//MN PA ， ………………2分 又∵PA ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，∴直线 //PA 平面BMN ． ………………6分 （2）证明：∵AB BC =，点N 为AC 中点， ∴BN AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BN ⊂平面ABC ，BN AC ⊥， ∴BN ⊥平面PAC ， ………………9分 ∵PC ⊂平面PAC ，∴PC BN ⊥， 由（1）可知：//MN PA ， ∵PA PC ⊥，∴PC MN ⊥，∵PC BN ⊥，PC MN ⊥，BN MN N = ，,BN MN 在平面BMN 内，∴PC ⊥平面BMN ， ………………12分 ∵PC ⊂平面PAC ，∴平面PBC ⊥平面BMN ． ………………14分18. （1）解：由题意：(0,6)E ，(4,0)B ， ∴2tan 3BO BEO EO ∠==， ∴222123tan tan 2251()3AEB BEO ⨯∠=∠==-， ………………5分 （2）（法1）设00(,)P x y ，026y ≤≤， 过P 作PH AB ⊥于H ，设,APH BPH αβ∠=∠=，则000044tan ,tan x x y y αβ+-==， ………………8分 ∴00222000088tan tan()1648y y APB y x y y αβ∠=+==---+00828()4y y =≤=+- ………………12分∵026y ≤≤，∴当且仅当0y =tan APB ∠最大，即APB ∠最大．答：位置P 对隧道底AB 的张角最大时P 到AB的距离为 ………………14分 （法2）设00(,)P x y ，026y ≤≤，∴22200000000(4,)(4,)1648PA PB x y x y x y y y ⋅=---⋅--=-+=-+ ，∴200||||cos 48PA PB AFB y y ⋅∠=-+ ，∴20048cos y y AFB PA PB-+∠=⋅ ………………8分∵011||||sin 822AFB S PA PB APB y ∆=⋅∠=⋅⋅ ，∴08sin y APB PA PB∠=⋅∴0200008sin 8tan 28cos 48()4y APB APB APB y y y y ∠∠====≤=∠-++- ………12分∵026y ≤≤，∴当且仅当0y =tan APB ∠最大，即APB ∠最大．答：位置P 对隧道底AB 的张角最大时P 到AB的距离为 ………………14分 19．（1）解：由题意，0k >，∴圆心C 到直线l的距离d =， ………………2分∵直线l 与圆C相切，∴1d ==，∴k =，∴直线:l y ． ………………4分 （2）解：由题意得：0AB <=≤，1d ≤<， ………………６分 由（1）可知：d =，1<，∴14k ≤<． ………………９分 （3）证明：1:(3)AM l y k x =-，与圆C 22:(4)1x y -+=联立， 得：2211(3)[(1)(35)]0x k x k -+-+=， ∴3M x =，2121351A k x k +=+，∴2112211352(,)11k k A k k +++， 同理可得：2222222532(,)11k k B k k +-++， ………………12分 ∵OA OB k k =，∴122212221222122211355311k k k k k k k k -++=++++，即1212(1)(35)0k k k k ++=， ∵121k k ≠-，∴2135k k =-， ………………14分 设00(,)P x y ，∴010020(3)(5)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩， ∴1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，∴12121212352(,)k k k k P k k k k ----，即1315(,)44kP ，∴1313141554k k k ==， ∴1213225k k k k +==，∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立． ………………16分 20. （1）解：由题意，1111(1)122n S S a n n a n +=+-⋅=， ∴1(1)2n n n S a +=， 当2n ≥时，1111(1)(1)22n n n n n n n a S S a a na -+-=-=-=，当1n =时，上式也成立，∴1n a na =，*n N ∈， ∵10a > ∴6121632a a a a ==． ………………3分 （2）（ⅰ）由题意：1(1)2n n n n b b ++-=，当N*k ∈时，4342432k k k b b ----=，4241422k k k b b ---+=，414412k k k b b ---=， ∴4243434341222k k k k k b b -----+=-=，4142424242232k k k k k b b ----+=+=⋅，∴43434241472k k k k k b b b b ----+++=⨯， ………………6分 ∴前4k 项的和4123456784342414()()()k k k k k T b b b b b b b b b b b b ---=++++++++++++154314(161)72727215k k --=⨯+⨯++⨯=． ………………8分 （ⅱ）证明：由题意得：1112(2)na a n n n b b ++==，令12a t =，(1,)t ∈+∞， ∴11()(1)(1)n n nn nb b t ++-=----， ∴112211112211()()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n b b b b b b b b ------=-+-++-+-------- 12111()[()()()]()11nn t t t t t b b t t--=--+-++--=-+-+ ，∴1()(1)11n nn t t b b t t=--+++， ………………11分 ∵1n n b b +>,N*n ∈，∴11111()(1)()(1)1111n n n nn n t t t t b b b b t t t t +++-=--+----++++ 12()(1)(1)011n nt t b t t t=---+->++，∴1(1)()(1)12(1)n nt t t b t t --->++，N*n ∈， ①当n 为偶数时，1(1)2(1)1n t t tb t t->+++，∵(1,)t ∈+∞，2(1)(1)(2)2(1)12(1)12n t t t t t t t t t t t t ---+≤+=++++，∴1(2)2t t b ->， ………………13分 ②当n 为奇数时，1(1)2(1)1n t t tb t t-<+++，∵(1,)t ∈+∞，1(1)(1)2(1)12(1)12n t t t t t t tt t t t --+≥+=++++， ∴12tb <， ………………15分高一数学试题 第 11 页 共 11 页 综上：1(2)22t t t b -<<，即1112111222a a a b ---<<． ………………16分。