Nyquist稳定判据
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第五章Nyquist稳定判据
a G( j a ) H ( j a ) 1
G( j a ) H ( j a ) 1, G( j a ) H ( j a ) 180 0
可求解出一对虚根 j a 。
此时，系统输出和输入的幅值比为1，相位差为-180°。
例5-6
开环传递函数如下： GH
• • •
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1 ）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定 的。 （ 2 ）当开环系统不稳定时，若有 P 个开环极点在 [s] 右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围 1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。 （-
s 0 : G( j j ) j ( A'点),
s 0 : G( j j ) j ( B'点）
A
D × C
GH
K G( s) H ( s) s(Ts 1)
B
G( e ) H ( e )
j
j
0
K
e (T e 1) 0
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时， 终点：ω→∞
G( j K 0.1K
分析 ：
G j ) 0
当 3时， 虚部为零。 3时， 虚部为负， 3时， 虚部为正。 K 把 3代入实部， 求出Re [G( j 2 3 28
奈魁斯特稳定判据总结
利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性 F(s)=1+G(s)H(s)
闭环特征多项式
第四章 稳定性分析——Nyquist 稳定性判据(4-2)
3
三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径
s j j 0 j 0 j j
顺时针方向包围整个 s 右半面。 由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点 处于 s 平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作 半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。
5
（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据
因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性 可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
j
j s平面
j1
R
F ( s ) 的极点
j0 j0
j1
j
4
2. 奈氏判据 设： F S 1 Gs H s ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。
(1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
i
z1
2) –Pj在Γs外， 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 2) –Pj在Γs内，
s p j 0
。
0
s1
z2 s
Re
s zi 2。(顺时针
)
s p j 2
三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径
s j j 0 j 0 j j
顺时针方向包围整个 s 右半面。 由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点 处于 s 平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作 半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。
5
（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据
因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性 可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
j
j s平面
j1
R
F ( s ) 的极点
j0 j0
j1
j
4
2. 奈氏判据 设： F S 1 Gs H s ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。
(1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
i
z1
2) –Pj在Γs外， 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 2) –Pj在Γs内，
s p j 0
。
0
s1
z2 s
Re
s zi 2。(顺时针
)
s p j 2
第五节 Nyquist稳定判据
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
解 绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。
已知 P 0
由图知 R ，则2
Z P R 0 (2) 2
所以按Nyquist判据判断该系统是不稳定的，其闭环系统在右半s平面上的极点数为 2。
利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传递系数K对闭环系统稳定性的影响。当K值 改变时，在任一频率下将引起幅频特性成比例地变化，而相频特性不受影响。对图5-
45，当频率ω＝3时，曲线与负实轴正好相交在（－2，j0）点，若传递系数K缩小一半，
即由5.2降为2.6时，曲线恰好通过（－1，j0）点，这是临界稳定状态；若K值进一步缩 小，当K＜2.6时，频率特性将从（－1，j0）点的右边穿过负实轴，整个频率特性曲线 将不再包围（－1，j0）点，这时闭环系统则是稳定的了。
Nyquist轨迹及其映射 为将映射定理与控制系统稳定性的分
析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Γ。 如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为∞ 的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一 圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。
Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一 条封闭曲线，称为Nyquist曲线。
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性 的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
解 绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。
已知 P 0
由图知 R ，则2
Z P R 0 (2) 2
所以按Nyquist判据判断该系统是不稳定的，其闭环系统在右半s平面上的极点数为 2。
利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传递系数K对闭环系统稳定性的影响。当K值 改变时，在任一频率下将引起幅频特性成比例地变化，而相频特性不受影响。对图5-
45，当频率ω＝3时，曲线与负实轴正好相交在（－2，j0）点，若传递系数K缩小一半，
即由5.2降为2.6时，曲线恰好通过（－1，j0）点，这是临界稳定状态；若K值进一步缩 小，当K＜2.6时，频率特性将从（－1，j0）点的右边穿过负实轴，整个频率特性曲线 将不再包围（－1，j0）点，这时闭环系统则是稳定的了。
Nyquist轨迹及其映射 为将映射定理与控制系统稳定性的分
析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Γ。 如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为∞ 的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一 圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。
Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一 条封闭曲线，称为Nyquist曲线。
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性 的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
5.5Nyquist稳定判据
由于F（jw）与 G（jw）H（jw）这两个矢量之间相差1，
所以可以直接用系统开环的Nyquist轨迹来判断稳定性。
4、总结：
Nyquist稳定判据（系统稳定的充要条件）
①系统开环稳定，G j H j Nyquist曲线 不包围 1, j 0 点，系统闭环后稳定。 ②若系统开环不稳定，有q个特征根都在S
N S S 2n S n S p1 S p2 0
2 2
① 1 A
稳 定 1 状 2 态 p p1 2
Im
不 稳 j j 定 1 Re 状 2 0 0 p p2 1 态
2
Im
B
Re
N j 2
:0
A 20 1 2 1 (2 ) 2 1 (5 ) 2
0 tg 1 tg 1 2 tg 1 5
A 0 20 A 0
0 0 270
四、“穿越”与系统稳定性的判 定 （1）
2
:0
称米哈伊洛夫稳定定理
二、Nyquist稳定判据
1、开环特征方程式与闭环特征方程式的关系
FS 1 GSHS
F
KNS 令 G SHS DS
S
D S KN DS
S
DB DK
S S
K1 S S1 S S 2 S S n K 2 S p1 S p2 S pn
2
③无论开环稳定或不稳定，若闭环不稳定， 则系统闭环后在右半平面根的个数为Z ,则
Z q 2 N q 2( N N )
N ：开环 Nyquist曲线在实轴 (,1) 段的正 穿越次数， N 负穿越次数。
5-3 Nyquist稳定判据
由于G(s)H(s)曲线的对称性，因此可以用系统的开环频率 特性曲线G(j)H(j)对(-1,j0)的包围情况来判断。
设特性曲线G(j)H(j)对(-1,j0)的逆时针包围次数为N 则R=2N（注意补充积分环节Nyquist围线上小1/4圆的象） 也可用G(j)H(j)曲线对(-∞, -1)实轴段的穿越计算N
3
5.3.1 预备知识
1. 幅角原理
s：复变量; F(s)：复变量s的有理函数
对于s平面上一条不通过F(s)任何奇点的连续封闭曲 线Γ，在F(s)平面必存在一条封闭曲线ΓF与之对应j
F
F(s)平面
F (s )
F
映射关系
4
( s z1 )( s z2 ) 设 F ( s) ( s p1 )( s p2 )
终点
A() 0
() 270
20
与实轴交点
52(10 4 2 ) j52 (9 2 ) G( j ) (4 2 ) (5 2 ) 2 4 2
(9 2 ) 0 0, 3
52(10 4 2 ) G(3 j ) (4 2 ) (5 2 ) 2 4 2
5
Im[F(s)] [F(s)]
F
F(s)
s沿Γ顺时针运动一周时
(s z1 ) (s p1 ) 2
(s z2 ) (s p2 ) 0
即ΓF不包围F(s)平面上的原点
F ( s) 0
6
幅角原理：设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和 P个极点，当s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平面 上，对应的闭合曲线ΓF逆时针包围原点的圈数
10 系统的稳定性分析Nyquist稳定判据
开环稳定时
根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当由0变化到时：
arg DB ( j ) n
2
2
从而：
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明，若系统开环稳定，则当由0变化到时， F(j) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。
注意到： F ( j) 1 G( j) H ( j) 即：
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im
-p
j 0
'
-p
Re
由图易知，当由0变化到时， D(j)逆时针旋转 90°，即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根，则当由0变化到时：
arg D ( j )
2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称
乃氏判据）和对数频率稳定判据。
Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；
7.4 乃奎斯特稳定性判据
根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当由0变化到时：
arg DB ( j ) n
2
2
从而：
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明，若系统开环稳定，则当由0变化到时， F(j) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。
注意到： F ( j) 1 G( j) H ( j) 即：
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im
-p
j 0
'
-p
Re
由图易知，当由0变化到时， D(j)逆时针旋转 90°，即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根，则当由0变化到时：
arg D ( j )
2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称
乃氏判据）和对数频率稳定判据。
Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；
7.4 乃奎斯特稳定性判据
机械工程控制基础课件第四节 Nyquist稳定判据
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
第四节 Nyquist稳定判据
主讲人 ：王 辉
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
一、Nyquist稳定判据优点： (1) 作图分析，计算量小，信息量大。
(2) 不但判稳定，也能给出稳定裕量。
(3) 可以用实验手段得到频率特性。
二、柯西复角定理：
对于复变函数
F ( s ) k( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
Gk ( j) 幅频特性
Gk
(
j
相频特性
)
D形围线在Gk(s)平面上的映射就是系统在Gk(s)平面上的 Nyquist图，也就是系统的开环幅相频率特性曲线。
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
F(s)平面上的原点即Gk(s)平面上的(－1，j0)点
S平面
j
j
D形围线
F(s)=1+Gk (s)
F平面 Im' Im GK 平面
（n>m） （n=m）
多数情况n>m，当s从0 ± j∞ 时，Gk(s) 0， F(s) = 1+Gk(s) 1
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
(3)开环频率特性Gk(jω )和Nyuist图
开环传递函数Gk(s)，令s = jω ，即开环频率特性Gk(jω )
当ω 由0 ∞ (负频部分无物理意义)
利用柯西复角原理判稳定的思路：
(1)使F(s)与系统传递函数相联系 (2)封闭曲线域为右半平面（或左半平面） (3)使封闭曲线为虚轴，与频率特性相联系
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
第六章 系统的稳定性
第四节 Nyquist稳定判据
主讲人 ：王 辉
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
一、Nyquist稳定判据优点： (1) 作图分析，计算量小，信息量大。
(2) 不但判稳定，也能给出稳定裕量。
(3) 可以用实验手段得到频率特性。
二、柯西复角定理：
对于复变函数
F ( s ) k( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
Gk ( j) 幅频特性
Gk
(
j
相频特性
)
D形围线在Gk(s)平面上的映射就是系统在Gk(s)平面上的 Nyquist图，也就是系统的开环幅相频率特性曲线。
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
F(s)平面上的原点即Gk(s)平面上的(－1，j0)点
S平面
j
j
D形围线
F(s)=1+Gk (s)
F平面 Im' Im GK 平面
（n>m） （n=m）
多数情况n>m，当s从0 ± j∞ 时，Gk(s) 0， F(s) = 1+Gk(s) 1
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
(3)开环频率特性Gk(jω )和Nyuist图
开环传递函数Gk(s)，令s = jω ，即开环频率特性Gk(jω )
当ω 由0 ∞ (负频部分无物理意义)
利用柯西复角原理判稳定的思路：
(1)使F(s)与系统传递函数相联系 (2)封闭曲线域为右半平面（或左半平面） (3)使封闭曲线为虚轴，与频率特性相联系
机械工程控制基础
第六章 系统的稳定性
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据
在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )
( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
奈奎斯特稳定判据09
s平面
F (s )平面
C 顺时针
s
示意图
C F 顺时针
在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切 形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围 线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否 包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数 的信息。
(0 45) (180 135) 90
现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。当变点s沿 CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线 CF 。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时 针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射 而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS 。
C S 顺时针
同理，对未被包围的极点也是一样，因子项 (s+0) 的幅角b在变点s沿CS绕行一周后的变 化也等于0°。 于是，映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF 绕行一周后的幅角变化也应等于0°。这表 明，围线CF此时不包围原点。
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1 -0.5 0 0.5 1
F (s) F (s2 ) F (s1 ) ( s2 zi ) ( s2 p j ) ( s1 zi ) ( s1 p j ) ( s2 zi ) ( s1 zi ) ( s2 p j ) ( s1 p j )
这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS顺时针绕 行一周时，因子(s+0)–1的幅角–b将变化360°。映射到 F(s)平面上，围线CF 应逆时针包围原点一次。 2
F (s )平面
C 顺时针
s
示意图
C F 顺时针
在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切 形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围 线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否 包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数 的信息。
(0 45) (180 135) 90
现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。当变点s沿 CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线 CF 。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时 针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射 而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS 。
C S 顺时针
同理，对未被包围的极点也是一样，因子项 (s+0) 的幅角b在变点s沿CS绕行一周后的变 化也等于0°。 于是，映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF 绕行一周后的幅角变化也应等于0°。这表 明，围线CF此时不包围原点。
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1 -0.5 0 0.5 1
F (s) F (s2 ) F (s1 ) ( s2 zi ) ( s2 p j ) ( s1 zi ) ( s1 p j ) ( s2 zi ) ( s1 zi ) ( s2 p j ) ( s1 p j )
这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS顺时针绕 行一周时，因子(s+0)–1的幅角–b将变化360°。映射到 F(s)平面上，围线CF 应逆时针包围原点一次。 2
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G0 ( s ) = G ( s ) H ( s ) G( s ) G( s ) M( s ) = = 1 + G ( s ) H ( s ) 1 + G0 ( s )
N 0 ( s ) D 0 ( s ) + N 0 ( s ) DC ( s ) 1 + G0 ( s ) = 1 + = = D0 ( s ) D0 ( s ) D0 ( s )
T01 ,T02 T4 , T5
jω j∞ 右
半 平 面
S平平 F平平
' Im Im G 平平 0
D形形形
F(s)=1+G0 (s)
σ
(-1,j0)
图
− j∞
上 原 D形围线 围(-1,j0)点N=m-n
F(s)=1+G0 (s)， S平面 ， 在G0(s)平面上 。
3.4，Nyquist稳定判据
柯西复角原理：对于复变函数F(s)=1+G0 (s)，当S平面 上沿D形围线顺时针变化一周，则在G0(s)平面上顺时 针包围(-1,j0)点N=m-n次。
∠G ( jω ) 由 00 → −1800
3.4，Nyquist稳定判据
负频部分 Im (与正频对称)
-1
ω = j∞
− j∞
0-
k
ω =0
Nyquist判据(已知N,n求m) n = 0 (由G0(s)表达式) 失端轨迹 （Nyquist图) N＝0 (由Nyquist图) 因为N ＝ m － n , 所以m = 0， 故系统稳定
其中：n为G0(s)在右半平面的极点，也是F(s)=1+G0 (s) 的极点。 m为F(s)=1+G0 (s)在右半平面的零点，也是系 统特征方程的极点。
3.4，Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据(在G0 (s)平面上) : 1，若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist 图不包围(-1,j0)点。 （N = m － n = 0) 2，闭环系统稳定的充要条件是 N = －n ( N = m － n = －n 所以 m = 0 )
多数情况，当s从0 ± j∞ 时, G0(s) 0, F(s) = 1+G0(s) 0
3.4，Nyquist稳定判据
N=m― n
DC(s)=0的根 闭环极点
D0(s和Nyuist图 开环传递函数G0(s)，令s = jω ，即开环频率特性G0(jω ) 当ω 由0
Im
G0 ( jω ) = G0 ( jω ) ∠G0 ( jω )
(1)特殊点
ω=0 G0 ( j 0 ) = k∠0 0 G0 ( j∞ ) = 0∠ − 180 0
0∠ − 180 0
ω = j∞
k∠0 0
ω =0
Re
ω→∞
(2)趋势
G ( jω ) 由 k →0
ω 由0 → ∞
单调递减 单调递减
DC(s) 闭环特征多项式
D0(s) 开环特征多项式
3.4，Nyquist稳定判据
(1) 沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为D形围线。
jω j∞
S平平
F平平
Im D形形形 F(s)=1+G0 (s)
σ
1
Re
− j∞ Nyquist图 (2)设F(s)=1+G0 (s)，s平面上的D形围线在F平面上映射的 有向闭曲线称为Nyquist图。 当s平面上顺时针沿D形围线连续变化一周时，F平 面上的Nyuist图顺时针包围原点N次。 n>m时
3.4，Nyquist稳定判据
利用柯西复角原理判稳定的思路： (1)使F(s)与系统传递函数相联系 (2)封闭曲线域为右半平面（或左半平面） (3)使封闭曲线为虚轴，与频率特性相联系
3.4，Nyquist稳定判据
2，D形围线和Nyquist图： + -
G(s) H(s)
开环传递函数 闭环传递函数 闭环传递函数分母
推论：若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不 稳定。 (N = m － n , 若N≥ 1，n不会为负值，则必有m ≥1)
3.4，Nyquist稳定判据
k 例3.15已知开环传递函数 G0 ( jω ) = ( T1 jω + 1 )( T2 jω + 1 )
判断系统稳定性
Nyquist图画法(示意图)
∞
G 0 ( jω )
幅频特性
(负频部分无物理意义)
r ( t ) = sin( ωt )
∠G0 ( jω ) 相频特性
y( t ) = G0 ( jω ) sin[ωt + ∠G0 ( jω )]
G0(jω )
3.4，Nyquist稳定判据
D形围线在G0(s)平面上的映射就是系统在G0(s)平面 上的Nyquist图，也就是系统的开环幅相频率特性曲线。 F(s)平面上的原点即G0(s)平面上的(－1，j0)点
T1 ,T2 ,T3 > T01 ,T02 > T4 ,T5
Im
ω=0 ω→∞
-1
G0 ( j 0 ) = k∠00 G0 ( j∞ ) = 0∠ − 2700
∞
k Re
ω =0
900 450 00
1 T
ω
Nyquist判据： N=0，n=0，所以m=0
450 450 450
ω
系统稳定
T1 ,T2 ,T3
3.4，Nyquist稳定判据
100 例3.16 G0 ( jω ) = ( jω + 1 )( 0.5 jω + 1 )( 0.2 jω + 1 ) 画Nyquist图：) ω = 0 (1 G0 ( j 0 ) = 100∠0 0 -7.9
Im 100 Re (2 )
ω=∞ G ( j∞ ) = 0∠ − 2700
ω
0 → ∞ 单调变化
与实轴有交点，为－7.9 (-1,j0) Nyquist判据： N＝2，n = 0 N = m－n， 故m = 2。
(分母有理化，按虚实部讨论)
k ↑ 不稳定
有两个极点在右半平面，系统不稳定。 k ↓ 可能稳定
3.4，Nyquist稳定判据 k ( T01 jω + 1 )( T01 jω + 1 ) 例3.17 G0 ( jω ) = ( T jω + 1 )( T jω + 1 )( T jω + 1 )( T jω + 1 )( T jω + 1 ) 1 2 3 4 5