3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
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3.5劳斯稳定性及稳定判据
sn s n 1 s n 2 s n 3 s n4 s1 s0
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
3.5 线性定常系统的稳定性
显然这个系统处于临界(不)稳定状态。
五、劳斯判据的应用
1、判定系统的稳定性。如果系统不稳定， 则可知右根个数。
2、求取使系统稳定的参数取值范围。 例 3-8 系统结构图如图3-27所示，试求使系统
稳定时的K取值范围。
R(s) -
K
C(s)
s(0.1s 1)(0.25s 1)
图 3-27 控制系统
K-0.675>0
解得
0.675<K<4.8
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
sn
a0
a2
a4
a6
sn-1
a1
a3
a5
a7
sn-2
b1
b2
b3
b4
sn-3
c1
c2
c3
c4
……………
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
(a0 0)
… … … …
sn
a0
a2
a4
sn-1
k 1
l 1
式中，dl l
1
2 l
, l
仅当系统全部闭环极点都具有负的实部而 分布在左半s平面时，系统稳定。当系统有一个或一 个以上的正实根时，系统不稳定。如果系统的部分 特征根为纯虚根，位于平面的虚轴上，而其余特征 根均位于左半s平面时，系统临界稳定。
a1
a3
a5
sn-2
b1
b2
b3
sn-3
c1
c2
c3
…
…
…
…
s2
系统的稳定性和代数稳定判据
系统的稳定性和代数稳定判据系统的稳定性和代数稳定判据系统稳的定和代性稳数定判据系统的稳定性和代数稳定判据稳定性的本概基一、念统系稳定的性如一个果性定线常统在扰系作用消动后，失如一个果性定常线统系在扰作动用失消，能后恢够到复始的原衡状平态，能够复恢到始的平原衡态状，系即的零统输响入应是收的，则称敛统系是定的。
稳应收敛是的则，称统是系定的。
反之稳，若统不能恢系复到始的平原衡状，态反之若系，统能不复到原恢的平始衡态状，即系的零统入响应具输有幅震荡或等发性散，质即系统的零入输响具应等幅有荡或震发性质，散则称统是不稳系的。
定则称系统不是稳定的。
系统的稳定性和代数稳定判据二、线性统稳定系的充条件要设闭环系统的传函数C(s)递bmsm+m1bsm1 + +bs +b B(s)0 Φ1s( ) = = = nn 1(R) ans s+ n1sa++ a1 + as0D s()(m ≤ n )令p 系为特征统程) 方0= (Ds ,, , (i =i 12 n)而R( ) =s1 彼此等不干扰为理。
脉冲函数想：C ()s=k的根,B( ) s(Bs) R( s) =D( )s D (s)则αr js +β cji =∑ ∑ j +=1 (sσ j+j ωj ) (σs j jω j ) =i1 s pi[][]k+ 2 r=n ct() = ∑ i cei =1kpi t ∑+ej=1 rσ jt( A joc ωs j t+ B j s n i ω jt )(t≥ )0系统的稳定性和代数稳定判据式上明表：式表明上：1 当且。
仅系统当的征特根全具有负部部(和实均小。
当于且当系仅统特的征全部具有根实负部(),即征特的位根分布置在面平左半的时部，即征特根的置分布在S平面位的半左部时),零即特征根位置的分在布平的左面半时，才能成部此系时在扰动统消后能失恢复原来的平衡到态，状立此时，系统在扰消动失后能复到恢来的原衡状平态，系则统是稳的定统。
8讲3-5稳定判据
例3-7 单位负反馈系统的开环传递函数
G(s) = K s (0.1s + 1)(0.25s + 1)
.特征方程各项系数均大于零， 即
试求K的稳定域
解：
特征方程
ห้องสมุดไป่ตู้
S (0.1s + 1)(0.25s + 1) + k = 0
ai > 0
(i=0,1,2,….,4)
（ 1）
0.025 s 3 + 0.35 s 2 + s + k = 0
a1 a4 − a0 a5 a1 C a − a1C33 C a − a1C43 C24 = 13 5 C34 = 13 7 C13 C13
s1 s0
C1n
C1n +1 = an
例3-8 单位负反馈系统的开环传递函数
G(s) =
（ 1） （ 2） 解： （1） 开环增益K
特征方程
s 3 + 20ξ s 2 + 100s + K a = 0
2.古尔维茨行列式：
D1 = a1 > 0,
D2 = a1 a0 a3 1 = a2 2 5 = 1 × 3 − 2 × 5 = −7 < 0 3
ai > 0
D2 = a1 a0 a3 a2
(i=0,1,2,….,3)
K >0
（ 2）
= a1 a 2 − a 0 a 3 = 0.35 × 1 − 0.025 K > 0
反变换
c ( t ) = ∑ Ai 0e sit + ∑ B j e rj + ∑ Ci e sit
i =1 j =1 i =1
系统的稳定性和代数稳定判据
)
n2
(
s
2
2ll
l2)
j 1
l 1
n1
aj
j 1 s p j
n2
l 1
l
(s
lnl s2 2
) lnl 1 lnl s nl2
2 l
y2(t) n1 a je pjt n2 le lnlt cosnl
1l2t
n2
e lnlt
l
sin nl
1l2t
j 1
l 1
l 1
线性系统稳定的充要条件：
Tuesday, July 28,
2020
3
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 a1s a0
n1
(s
p
j
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Tuesday, July 28,
2020
2
稳定的充要条件和属性
设系统或元件的微分方程为：
y(n)(t) an1y(n1) (t) a0 y(t) bmx(m)(t) bm1x(m1)(t) b0x(t)
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面
的左半部。 Tuesday, July 28,
第五节稳定性和代数稳定判据 自动控制原理课件
s n 1 a n1 a n3 a n5
s n 2 b1
b2
b3
s n 3 c1
c2
c3
s n 4 d1
d2
d3
s1
f1
s0
g1
2020/9/30
时域分析法--稳定性和稳定判据
8
劳斯判据
s
0
s
n4
s
n3
s
n2
s
n 1
s
n
以下各项的计算式为：
an
a n2
an an2
b1
an1 an3 an1an2anan3
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1sa0
系统是稳定的。
0,sa0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2a1sa00,s1,2a12 a a 1 224a2a0
只有 a0,a1,a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
时域分析法--稳定性和稳定判据
11
劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列 系数符号改变的次数。
[例]：系统的特征方程为： s5 2 s4 s3 3 s2 4 s 5 0
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
第三章稳定性和代数稳定判据
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系 统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期 振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于
s n2 b1
b2
b3
s n3 c1
c2
c3
s n4 d1
d2
d3
s0 g1
劳斯阵的前两行由特征方程的系数 组成。
第一行为1，3，5，…项系数组成，
第二行为2，4，6，…项系数组成。
Sunday, April 12, 2020
8
劳斯判据
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
24
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Sunday, April 12, 2020
7
劳斯判据
二、 劳斯稳定性判据 （一）、劳斯判据
设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为：
由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列所有元素都为正。
sn an
an2 an4
s n1 an1 an3 an5
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Sunday, April 12, 2020
2
稳定的充要条件和属性
自动控制系统的代数稳定判据
s35s28s60
劳斯表为
s3 1 8
s2 5 6 s 1 34
5 s0 6
可以看出，第一列中各项符号没有改变，所以 没有根在S平面的右侧，系统是稳定的。
检查上述系统是否有1 1 裕量。
将 sz1代入原特征方程式，得
(z 1 )3 5 (z 1 )2 8 (z 1 ) 6 0
新的特征方程为 z32z2z20
3.5 自动控制系统的代数稳定判据
1、稳定的基本概念 定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离
了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够 逐渐恢复到原来的平衡状态（或达到新的平衡状 态），则称该系统是稳定的。否则，称该系统是不 稳定的。 注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只
取决于系统的结构和参数，与外作用无关。
注意：a0>0
劳斯判据给出了系统特征根分布的情况，而并 不能给出具体的特征根的值。
例3-4 系统的特征方程为
2 s 6 5 s 5 3 s 4 4 s 3 6 s 2 1 s 7 4 0
解：列劳斯表
s6
2
3
67
s5
5
4
14
s4
2 4 5 3 7
2
7
5
5
5
s3
18
7
11
s2
115
此判据被称为谢绪恺判据。 谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了计算量。
６. 参数对稳定性的影响
应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否稳 定，还可以方便地用于分析系统参数变化对系 统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数 范围。
例3-8 系统的闭环传递函数为。
W BsT 1s1T 2s K 1K T 3s1K K
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Sunday, July 14, 2013
稳 临 不 Re 定 界 稳 区 稳 定 定 区
5
充要条件说明
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结 构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极 点有关，与零点无关。
对于一阶系统， 1s a0 0, s 0 , 只要 a0 , a1 都大于零， a a1 系统是稳定的。 a1 a12 4a2 a0 a 2 对于二阶系统， 2 s a1s a0 0, s1, 2 2 a2 只有 a0 , a1 , a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负） 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
y(t ) y1(t ) y2 (t )
上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。 第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。 这项相当于系统齐次微分方程的解。
Sunday, July 14, 2013 3
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
c1b3 b1c3 d2 c1 c1b4 b1c4 d3 c1
10
c1b2 b1c2 d1 c1
Sunday, July 14, 2013
e 依次类推。可求得 i , fi , gi ,...(i 1,2,...)
劳斯判据例子
[例]：特征方程为： 3s3 a2 s 2 a1s a0 0 ，试判断稳定性。 a [解]：劳斯阵为： 3 s
an an 6 an 1 an 7 an 1an 6 an an 7 b3 an 1 an 1
Sunday, July 14, 2013
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
0
s n an s n 1 an 1 s n 2 b1 s n 3 c1 s n 4 d1 s 0 g1
1 2 0( ) 2 2 1
1 1 2 0 1 0 0 0 0 0
2 2
则 0 令
2
2
一列不全为正，系统不稳定， s右半平面有两个极点。
故第
2 ,2 1
2
2
Sunday, July 14, 2013
13
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等 而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大 小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚 轴的两对共轭复根。
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
9
劳斯判据
c1
an 1 b1 b1
an 3 b2 b1an 3 b2an 1 b1
n 1 n 2n 3 n 4n
s an s an 1 s b1 s c1 s d1 s g1
a3 a2 a2 a1 a3 a0 a2 a0 a1 a0 0 0
s2 s
1
s0
稳定的充要条件为： a3 , a2 , a1 , a0 均大于零
且a1a2 a3a0 0
Sunday, July 14, 2013
11
劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论： 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论； 劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列 系数符号改变的次数。 [例]：系统的特征方程为： s 5 2s 4 s 3 3s 2 4s 5 0
n 1 n 2n 3 n 4n
s an s an 1 s b1 s c1 s d1 s g1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
劳思阵的前两行由特征方程的系数 组成。
第一行为1，3，5，…项系数组成，
第二行为2，4，6，…项系数组成。
an 1 an 5 b1 b3 b1an 5 b3an 1 c2 b1 b1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
0
c3
an 1 b1 b1
an 7 b4 b1an 7 b4an 1 b1
( s n an 1s n 1 a1s a0 )Y ( s ) (bm s m bm 1s m 1 b1s b0 ) X ( s ) +系数取决于初始条件的多项式
bm s m bm1s m1 b1s b0 系数取决于初始条件的 多项式 Y ( s) n X ( s) s an 1s n 1 a1s a0 s n an 1s n 1 a1s a0
a
Sunday, July 14, 2013
6
劳斯判据
二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据 （一）、劳思判据 设线性系统的特征方程为 an s n an1s n1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为： 特征方程的全部系数为正值；
由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。
s5 s
4
1 2 0.5 9 32 9 5
1 3 1 .5 5 0 0
4 5 0 0 0 0
s3 s2 s
1
-1 1
3 0（ 2） 0 0（
9 32
）
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
s0
Sunday, July 14, 2013
n1
aj
n2
y2 (t ) a j e
j 1
n1
p jt
l e
l 1
n2
l nl t
cos nl 1 l t l e t sin nl 1 l 2 t
2
l nl
n2
l 1
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具 有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半部。
0
Sunday, July 14, 2013
7
sn s n 1
an an 1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
s n 2 b1 s n 3 c1 s n 4 d1 s1 s0
f1 g1
Sunday, July 14, 2013
s4 s3 s2 s1 s0
1 1 1 3
6 8 6 8 3 0 8 0
辅助方程为：s 6s 8 0 ， 求导得：4s 3 12s 0 ， s 3 3s 0 ，用1，3，0代 或 替全零行即可。
4 2
从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要 计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得： s1, 2 j 2 , s3, 4 j 2 (s 2 2)(s 2 4) 0 , 此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
Y2 ( s) 系数取决于初始条件的 多项式 系数取决于初始条件的 多项式 n n n 1 n s an 1s a1s a0 ( s p j ) ( s 2 2ll l2 l ( s l nl ) l nl 1 l 2 s pj s 2 2 l nl s nl 2 j 1 l 1
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离 开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Sunday, July 14, 2013 2
稳定的充要条件和属性
设系统或元件的微分方程为：
1 (s 2 4)(s 2 25)(s 2) s5 2s 4 24s3 48s 2 25s 50 例如:
2 (s 2 4)
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次数的。
第五节 系统的稳定性和代数 稳定判据
Sunday, July 14, 2013
1
稳定的充要条件和属性
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条 件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因 素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条 件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下 偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分 析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论 的基本任务之一。
y ( n ) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) a0 y (t ) bm x ( m) (t ) bm 1x ( m 1) (t ) b0 x(t )
式中：x(t)—输入，y(t)—输出 ai , (i 0 ~ n 1); b j , j 0 ~ m) 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）
Sunday, July 14, 2013
14
劳斯判据特殊情况
[例]： s 6 2s 5 8s 4 12s 3 20s 2 16s 16 0