离散系统稳定性分析

实验一 离散系统稳定性分析

实验学时：2 实验类型：常规 实验要求：必作

一、实验目的：

（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法； （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法；

（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法； （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法； （5）掌握用MATLAB 分析离散系统稳定性。 二、实验原理：

1、离散系统零极点图及零极点分析；

线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即

()()N

M

i

j

i j a

y n i b

x n j ==-=

-∑∑ （8-1）

其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。

将式（8-1）两边进行Z 变换的

00

()()()()

()

M

j

j

j N i i

i b

z

Y z B z H z X z A z a z

-=-==

=

=

∑∑ （8-2）

将式（8-2）因式分解后有：

11

()

()()

M

j

j N

i i z q

H z C

z p ==-=-

∏∏ （8-3） 其中C 为常数，(1,2,,)j q j M = 为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N = 为()H z 的N 个极点。

系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：

● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ●

离散系统的稳定性；

离散系统的频率特性；

1.1、零极点图的绘制

设离散系统的系统函数为

()()()

B z H z A z =

则系统的零极点可用MA TLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：

p=roots(A)

其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。如多项式为231()4

8

B z z z =+

+

，则求该多项式根的MA TLAB 命令为为：

A=[1 3/4 1/8]; P=roots(A)

运行结果为： P =

-0.5000

-0.2500

需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。

（1）()H z 按z 的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如

3

4

3

2

2()3221

z z

H z z z z z +=

++++

其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。

（2）()H z 按1z -的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则0z =的零点或极点就可能被漏掉。如

1

1

2

12()11124

z H z z

z

---+=

+

+

其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。

用roots()求得()H z 的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MA TLAB 实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。

function ljdt(A,B)

% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system

p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量

q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x;

%确定横坐标范围

clf

hold on

axis([-x x -y y])

%确定坐标轴显示范围

w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园

axis('square') plot([-x x],[0 0])

%画横坐标轴 plot([0 0],[-y y])

%画纵坐标轴

text(0.1,x,'jIm[z]')

text(y,1/10,'Re[z]')

plot(real(p),imag(p),'x')

%画极点

plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题 hold off

1.2、离散系统零极点分析

（1）离散系统零极点分布与系统稳定性 离散系统稳定的条件为：

时域条件：离散系统稳定的充要条件为()n h n ∞

=-∞

<∞

∑

，即系统单位样值响应绝对可和；

Z 域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数()H z 的所有极点均位于Z 平面的单位圆内。 对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MA TLAB 来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。

2、离散系统频率特性分析；

2.1、离散系统的频率响应()j H e

ω

对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：

0()sin()()x n A n u n ω=

则系统的稳态响应为：

()()sin[()]()j ss y n A H e

n u n ω

ωϕω=+

定义离散系统的频率响应为

()

()()

()j j j j z e

H e

H z H e

e

ω

ω

ω

ϕω===