离散时间系统状态稳定性及判别法

§ 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法

1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设

0(1)(),(0),0,1,2,

,x k Ax k x x k +===(5.17)

称=e Ax 0的e x 为(5.17)的平衡状态(点). 当A 奇异时, 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态(点)的稳定性

(1)稳定：∀>∃>0,0εδ,使当-

-<≥e x k x k (),0ε；

(2)渐近稳定：∃>0δ,

使当-

→∞

-=e k x k x lim ()0；

(3)全局渐近稳定：任意∈n

x 0R ,

都有→∞

-=e k x k x lim ()0；

(4)不稳定：∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使

->e x k x 10()ε

对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定. 3.稳定性判别

对定常系统(1)()x k Ax k +=

若0e x =稳定(渐近稳定)，则其它e x 也稳定(渐近稳定)；

若0e x =渐近稳定，则e x 必为一致全局渐近稳定；

简单介绍0e x =稳定性条件 设(5.17)的解

==k

x k A x k 0(),0,1,

2,

则渐近稳定

⇔→∞

→∞

-==k

k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),

⇔→∞

=k k A lim 0⇔-→∞

=k k TJ T

1

lim 0⇔→∞

=k

k J lim 0

⇔A 的所有特征值的模全小于1

⇔A的所有特征值都位于复平面上的单位圆内. 其中J为A的若当形.

如

11

......

k k

k

k

r r J J

J

J J

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

==⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

且再如

1122

11

1

10

0100

0000

k k k

k

k k

k k k

k

k

C C

J C

λλλ

λ

λλλ

λλ

--

-

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

==→

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎢⎥

⎣⎦

⇔A 的所有特征值的模全小于1

⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内.

例 设A 有互不相同特征值n 12,,

,λλλ, 则T , 使

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥⎢

⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣

⎦

k

k k

k

k n n A T T T T 11

2

-1-12

λλλλ

λλ 由此可得

→∞<=⇔==k

i i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,

,λλ

→∞

⇔=k

k A lim 0.

定理5.12 系统为(5.17)的稳定性判定如下：

(i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全小于1或等于1,

且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的； (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1. 对一般非线性系统

+==x k F x k k (1)(()),0,1,

2,

(5.18)

在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有

定理5.13 对(5.18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足 (i) V x k (())为正定；

(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定； (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((()). 则=e x 0全局渐近稳定的.

若无(iii), 则=e x 0是渐近稳定的；

再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅是稳定的. 定理用于定常系统(5.17), 即得

定理5.14 线性定常离散(5.17)的=e x 0为渐近稳定

⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程

-=-T

A PA P Q

有唯一正定解P . 证只证充分性,

即已有对∀Q > 0, -=-T

A PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k k

k V x x Px (), 则有

+++=-=-T T k k k k k k

k V x V x V x x Px x Px 111()()()∆

=-=-T T

T k

k k

k x A PA P x x Qx (),

显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定.

例5.6 设

⎡⎤

+=⎢⎥

⎣⎦

a x k x k

b 0(1)()0 试分析稳定的条件.

解 选Q = I , 则有-=-T

A PA P I , 即 -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211

1221

2221

2200100001