2010模糊数学(A)

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模糊数学2运算分解定理

Question. 对于0<λ≤1, 求Aλ.
38
λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则 Aλ⊆Bλ
证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x) ⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
39
λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集，
,当u A
0,当u A
46
1-5. 分解定理
47
三大定理
分解定理表现定理扩张原理
48
1-5 分解定理
分解定理是把模糊集合论的问题化为经典集合论的问题来求解
模糊集合水平截集
经典集合
49
分解定理Ⅰ
分解定理Ⅰ：设A为论域X上的模糊子集， Aλ是A的λ截集，λ ∈[0，1]，则如下分解式成立：
[0,1]
A U H () [0,1]
54
分解定理Ⅲ的证明（2）
2)1 2 H (1) H (2 ) 证明：H (1) A1 A2 H (2 )
A1 A2是截集的性质
55
分解定理Ⅲ的证明（3）
3) A I H ( ) ( 0), A U H ( ) ( 1)
24
课内作业1-2
设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g C=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g 求A∩B, A∪B, (A∪B)c ∩C, (A
故上式 [ ] [ 0] A(x)

应用模糊数学

Φ⊆ A⊆Ω
（7）幂集：集合A的全体子集组成A的一个子集族，称为集合A的幂集。记为P（A）
(8)并集:设 A、 ∈ P ( X ) ,则 A U B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B} B 叫做A与B的并集,算符∨表示析取. (9)交集:设 A、 ∈ P ( X ),则 A I B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} B 叫做A与B的交集,算符∧表示合取.
若映射f : U → V是一个双射，则可以定义映射 f −1 : V → U，对∀v ∈ V有： f
−1
(v ) = u ⇔ f (u ) = v
f −1称为f的逆映射，这时称映射f是可逆的
关系
• • • • 直积关系关系的合成等价关系
特征函数
• 特征函数是用来研究集合的一种重要方法
• 集合之间的关系及集合的运算都可以用特征函数来描述，我们有：
• 当V=U时，把U×U的子集R叫做U上的关系。 • 它实质是U自身的元素之间的关系。 • U上的关系中最重要的是等价关系和序关系
• 集合U上的关系～称为等价关系，若它满足： • （1）自反律
∀a ∈ U , 有a ~ a;
• （2）对称律
a, b ∈ U，a ~ b ⇔ b ~ a
• （3）传递律 • a,b,c∈U，若a~b，且b~c，则有a~c • 若a~b，则称元素a与b等价，例如平面上的直线的平行关系，在全班学生集合上的同姓关系、同龄关系、同乡关系等。
映射
• 映射是数学中最基本的概念之一
• 由定义知，若f是满射时，则V中每一个元素都有原象，若f是单射时，则U中不同的元素有不同的象，即u1≠u2时，f(u1) ≠f(u2) • 例题 • 设X是全体整数集，Y是全体正整数集，设f： X→Y为：y=f(x)=︱x︱+1，显然f是X到Y的满射，但f不是单射

2010“高教社杯”全国大学生数学建模大赛A题论文

基于微元法的变位储油罐罐容表标定问题摘要加油站当地下储油罐发生一定程度变位时，需要重新标定其罐容表，优化“油位计量管理系统”，目的是得到地下储油罐内油量的真实值，所以研究该问题对加油站具有重要意义。

本文主要利用微元法建立积分模型，解决了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，得到了实验储油罐变位后罐容表新的标定值，实际储油罐变位后储油量与油位高度及变位参数之间的关系，以及实际储油罐变位后罐容表新的标定值。

问题一中，首先对纵向倾斜的小椭圆油罐进行分析，将油罐从罐中无油到加满油的过程分为7个部分来分析，分别是：（1）从罐中无油到将油加到刚好不接触油浮子；（2）从油开始接触油浮子到油灌满倾斜角但刚好不接触罐右侧壁；（3）从罐中油开始接触右侧壁到油灌到左侧壁中点水平线；（4）油从左侧壁中点灌到左侧壁终点水平线；（5）油从左侧壁终点灌到右侧壁中点水平线；（6）油从右侧壁中点灌到油浮子刚好显示油满；（7）从油浮子刚好显示油满到将油罐灌满。

分别分析这7个加油的过程，建立模型，用微元法求解每个部分罐中油体积的变化，根据体积的变化得到油面高度的变化，将变位后的油面高度与无变位时的油面高度作比较，分析得出变位对罐容表的影响。

最后由变位后油面的高度，用Matlab编程序得到变位后罐容表新的标定值。

问题二中，经过对实际储油罐的形状与倾斜及偏转角度情况的分析，我们利用割补法建立罐体变位后的数学模型，先分别分析储油罐只纵向倾斜和只横向偏转的情况，用h的函数关系式，再分析储油罐同时纵向倾微元法得到罐中油体积与变位后罐容表刻度斜和横向偏转的情况，我们将模型转变为先将储油罐横向偏转，然后在横向偏转的基础上再纵向倾斜，由所给的实际储油罐的数据，分别结合只进行纵向倾斜和只进行横向偏转的情况，用拟合的方法，利用Simpson公式，近似得到了倾斜角α=4.5230,偏转角β=1.220。

在α和β确定之后，罐内储油量与油位高度及倾斜角α、偏转角β的关系式即转化为油体积与油位高度的关系式，进而计算得到变位后油位间隔为10cm的罐容表新标定值。

2010数模试题与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010学年第二学期考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试时间： 120分钟学号姓名年级专业1、（满分10分）对下面这个众所周知的智力游戏，请按下列的要求写出该问题的状态转栘模型：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

将人、猫、鸡、米分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；故此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。

该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。

（1）写出该问题的所有允许状态集合；（3分）解：所有允许状态集合为：S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}及他们的5个反状态。

（2）写出该问题的所有允许决策集合；（3分）解：允许决策集合为：D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)}（3）写出该问题的状态转移率。

（4分）解：该问题的状态转移率为： sk+1 = s k + (-1) k d k 2、（满分16分）根据以下的不同假设，请写出相应人口问题的微分方程模型(不用求解)。

下设x （t ）表示t 时刻的人口数。

（1）假设人口的相对增长率（指dxx dt）是常数；（4分）解：模型为：dxkx dt=, 其中k 为常数。

（2）假定人口的相对增长率是关于当时人口数的线性减函数；（4分）解：模型为： dxdt= (r – s x)x ，其中r 与s 为常数，且s>0。

（3）假设人口的增长率与x m – x （t ）成正比，其中x m 表示人口的最大数量；（4分）解：模型为：)(x x k dtdxm -=，其中k 为常数。

模糊数学复习资料

2012/2013学年第1学期模糊数学课程考核试卷 A □、B □课程代码：22000320 任课教师：陆秋君考试形式：开卷□、闭卷□ 课程性质：必修□、选修□、考试□、考查□、通识□、专业□、指选□、跨选□ 适用年级/专业数学与应用数学学分/学时数 2/32 考试时间 120 分钟 ……………………………………………………………………………………………………… 学号姓名专业得分 1、设X=[0,1],A(x)=X,试求(A ∪A c )(x) , (A ∩A c)(x)。

2、已知： 2̃=0.41+12+0.73，3̃=0.52+13+0.64，而Z Z Z f →⨯:，2121*),(x x x x f ={},,,*⨯-+∈分别求出~~~~~~32,32,32⋅-+ 。

3、已知A 、B ∈R ，A (x )={1,x =10,x ≠1,B (x )={1,x ∈[−1,1]0,x ∈̅[−1,1] ，对于α∈[0,1] ,求A α÷B α。

4、设U 为无限域，A=⎰-Ux2ex,试求截集A 1e， A 1 ， A 0 。

5、 ○1设A ，B ∈T （U ），A ⊆B ，λ∈[0,1]，试证：A λ⊆B λ 。

○2设λ1，λ2∈[0，1]，λ1<λ2，试证：λ1A ⊆λ2B ○3○1设A ∈T （U ），证明：A=A Uλλλ]1,0[∈6、已知A的λ-截集分别为A0.1={u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8}, A0.2={u2,u3,u4,u6,u7,u8},A0.3={u2,u3,u6,u7,}, A0.9={u3,u6,u7,}，A1={u6}，试用分解定理求出A的模糊集。

7、设A,B∈f(x)，且A,B是凸fuzzy集，试证A∩B也是凸fuzzy集。

8、设论域U=｛2，1，7，6，9｝，A=0.12+0.31+0.57+0.96+19，分别计算其Hamming模糊度，Euclid模糊度，fuzzy熵。

2010年全国大学生数学建模竞赛A题储油罐的变位识别与罐容表标定模型

储油罐的变位识别与罐容表标定模型摘要本文针对油罐的变位识别和罐容表标定的具体问题，通过建立模型将储油分成无数个小微元，研究小微元的规律从而利用微积分的方法推导出，当纵向倾斜α角度和横向偏移β角度一定时，通过建立数学模型将储油罐中剩余油的体积与油位探针显示高度的函数关系表示出来，并制定罐容表标定值，主要应用了Matlab 进行求解。

对于问题一：研究罐体变位对灌容表的影响，首先利用了逼近法计算油罐未变位前的储油体积，在Matlab 中对实际与理论数据进行拟合利用误差分析公式真实值真实值理论值-=E ，求得其误差E 范围为034917.0E 014866.0≤≤，求储油罐中储油量时将油罐分成多部分考虑，利用微元思想和积分方法求得其储油量的体积与油位探针的读数h 及变位角α，β的函数关系()βα,,h f V =在此问中︒==1.4,0αβ时得出()0,1.4,︒=h f V ，求出其一定h 时的V 。

用模型求出的理论值与题目附表1中的实际值相比较，得出其误差%37.3%42.1≤≤E 。

并标出变位后间距为cm 1罐容表。

对于问题二，将储油罐分为5个区域分别进行讨论，考虑到在球冠处的体积表达式过于复杂，我们省略了球冠处的一小部分体积，进行了近似求解，得出了罐内储油量与油位高度以及变位参数之间的一般关系的数学模型。

在利用储油罐的实际测量值估计变位参数时，我们建立了最小二乘拟合模型，得到了最佳的变位参数为：纵向倾斜变位 2.16α=︒，横向偏转变位 4.50β=︒。

并据此对储油罐的罐容表进行了标定(见表2)。

在模型验证中，我们又采用蒙特卡洛模拟的方法对在问题二的模型中忽略的部分球冠体积进行了模拟计算。

得到用问题二模型中求出的总储油量与模拟得出的总储油量一致度达到了99%，误差非常小，验证了我们所建立的模型的合理性和准确性。

关键词：Matlab 数据拟合、微元法、最小二乘参数估计法、蒙特卡洛模拟一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

模糊集的基本概念

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。满射(surjection)： f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上（映上）。
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
确定性
数学不确定性
经典（精确）数学
随机性模糊性随机数学模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念集合的运算集合运算的性质映射与扩张集合的特征函数直积关系的概念关系的运算特征关系等价关系与划分偏序集格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A＝{1，2，„，n}，它含有n个元素,可以说这个集合的基数是n，记作 card A＝n
也可以记为｜A｜＝n，
空集的基数是即｜｜＝0．
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数），使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集，否则称A为无穷集。
• 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷集。
5. 映射与扩张
（1）映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合，若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应，则称f 映X入Y的映射。记号： f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )

补充知识-模糊推理

简单模糊推理
• 知识中只含有简单条件，且不带可信度因子的模糊推理称为简单模糊推理。 • 合成推理规则：对于知识 IF x is A THEN y is B 首先构造出A与B之间的模糊关系R，然后通过R与证据的合成求出结论。如果已知证据是 x is A’ 且A与A’可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取B’： B’=A’◦R 如果已知证据是 y is B’ 且B与B’可以模糊匹配，则通过下述合成运算求出A’： A’=R◦B’
贴近度： A∙B=(0.3∧0.2)∨(0.4∧0.5)∨(0.6∧0.6)∨(0.8∧0.7)=0.7 A⊙B=(0.3∨0.2)∧(0.4∨0.5)∧(0.6∨0.6)∧(0.8∨0.7)=0.3 (A,B)=1/2[A∙B+(1-A⊙B)]=1/2[0.7+(1-0.3)]=0.7
海明距离： d(A,B)=1/4×(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.6-0.6|+|0.8-0.7|)=0.075 (A,B)=1-d(A,B)=1-0.075=0.925
按这种方法，对δmatch(A,D)与δmatch(B,D)可以得到： 0.8/1+0.5/1+0.1/1+0.5/1+0.5/1+0.1/0+0.1/1+0.1/0+0.1/0 =0.8/1+0.1/0 由于μ1=0.8>μ0=0.1，所以得到： δmatch(A,D) ≥δmatch(B,D) 同理可得： δmatch(A,D) ≥δmatch(C,D) δmatch(B,D) ≥δmatch(C,D) 最后得到： δmatch(A,D) ≥δmatch(B,D)≥δmatch(C,D) 由此可知R1应该是首先被选用的知识。

PR1

( a ) = 0 .9
(b ) = 0 . 5
( c ) = 1 .0
说明：a比b更像正方形。说明：比更像正方形。更像正方形
第1章绪论 5
2010年10月 2010年10月7日星期四
④ 智能模式识别人工智能与模式识别相结合的产物，有二个分支：人工智能与模式识别相结合的产物，有二个分支： a) 与人工神经网络相结合：接近于生理性模拟，从而与人工神经网络相结合：接近于生理性模拟，达到对形象思维的模拟。达到对形象思维的模拟。 b) 基于知识的逻辑性推理：源于对人类逻辑思维的模基于知识的逻辑性推理：拟，是抽象思维的范畴。是抽象思维的范畴。 2、从实现方法来分：、从实现方法来分：有监督（有导师）识别： ① 有监督（有导师）识别：利用判别函数进行分类判别。需要有足够的先验知识。需要有足够的先验知识。无监督（无导师）识别： ② 无监督（无导师）识别：用于没有先验知识的情况下，采用聚类分析的方法。采用聚类分析的方法。
处理：输入与输出是同样的东西，性质不变。处理：输入与输出是同样的东西，性质不变。识别：输入的是事物，输出的是对它的分类、识别：输入的是事物，输出的是对它的分类、理解和描述。描述。
第1章绪论 2
2010年10月 2010年10月7日星期四
1.4 模式识别的方法
一、模试识别发展简介二十世纪五十年代开始、二十世纪五十年代开始、六十年代兴起并迅速发四大支柱。展，七十年代初奠定理论基础。四大支柱。二、模式识别分类 1、从理论上分类、 ① 统计模式识别以模式集在特征空间中分布的类概率密度函数为基础，对总体特征进行研究。基础，对总体特征进行研究。包括判决函数法和聚类分析法。分析法。

模糊数学考试题

模糊数学考试题一、选择题（每题1分，共30分）1. 模糊集合最早由哪位数学家引入？A. George KlirB. Lotfi ZadehC. Zadeh LotfiD. George Boole2. 模糊逻辑的基本操作是？A. 与、或、非B. 加、减、乘、除C. 并、交、差D. 集合的包含与被包含3. 模糊集合的隶属函数的取值范围是？A. [0,1]B. [0,∞)C. (0,1)D. (0,∞)4. 以下哪个是模糊推理的方法？A. BP神经网络B. 遗传算法C. 最大似然估计D. 模糊推理算法5. 模糊数学最初的应用领域是？A. 人工智能B. 控制理论C. 图像处理D. 统计学...二、填空题（每题2分，共20分）1. 模糊数学是基于（）集合理论的一种数学理论。

2. 模糊逻辑中，非真即（）。

3. 模糊集合的隶属函数可用（）函数来表示。

4. 模糊数学中，我们用模糊关系来描述（）。

5. 模糊数学最重要的应用之一是在（）理论中。

...三、问题解答题（每题15分，共60分）1. 简述模糊集合的定义和特点。

模糊集合是指在给定的范围内，每个元素都具有一定的隶属度，是介于完全属于和完全不属于之间的中间状态。

模糊集合的隶属度用隶属函数表示。

与传统集合不同，模糊集合的元素可以部分属于集合，这种模糊边界的概念反映了现实世界中存在的不确定性和模糊性。

2. 简述模糊逻辑的基本原理。

模糊逻辑是基于模糊集合理论的一种逻辑系统。

它以真值不再是二值（0或1）为基础，而是用模糊集合的隶属度来表示概率。

模糊逻辑中，逻辑运算包括模糊与、模糊或、模糊非等。

与传统逻辑相比，模糊逻辑更能应对真实世界中存在的不确定性和模糊性。

3. 简述模糊推理的基本方法。

模糊推理是根据给定的模糊规则和事实，通过运用模糊逻辑的方法进行推理推断。

模糊推理的基本方法包括模糊匹配、模糊推理和模糊控制。

其中，模糊匹配是将模糊规则中的条件与已知事实进行匹配；模糊推理是根据匹配的程度和隶属度进行推理；模糊控制是将推理的结果转化为对系统的控制动作。

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考试类型：开卷
太原理工大学模糊数学（博士生）(A) 试卷

适用专业： 2010级博士生考试日期： 2011.1.19 时间： 120 分钟共 5 页

一、填空（每题6分，共36分）
1. 已知6.05.09.01.0R 5.06.04.02.0S，则 SR= ；
4.04.0)(SR
c

。

2. 若},,,{dcbaX上的模糊集A的-截集为：4.008.04.0},{18.0}{XcbbA
则A= 。
3. 设论域},,,,{4321xxxxXX上的模糊集A、B 定义为:
321
/9.0/6.0/1.0xxxA
，21/3.0/1.0xxB4/8.0x, 则

BA
c
；
BA

L
S
。

4. 设},,{},,,,{3214321yyyYxxxxX。YXf: 定义为



422311,,)(xxxy
xxxy

xf
4321
/2.0/9.0/5.0/8.0xxxxA

则 )(Af= ； )( 7.0Af 。

5. 已知},,{321xxxX，,/4.0/6.0/7.0321xxxA ,/6.0/5.031xxB
则A、B格贴近度为：。

6. 设X={1,2,3,4}.P(X)上的关系R定义为: ARB当且仅当A与B所含元素的个数
相同，则R是一个等价关系，此时等价类[{1，2，3}]= 。

题号一二三四五六七八九总分
得分

学
院
系
专
业
班
级
姓
名
学
号

(
密
封
线
外
不
要
写
姓
名
、
学
号
、
班
级
、
密
封
线
内
不
准
答
题
，
违
者
按
零
分
计
)

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
密
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
封
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

…

线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
第 2 页共 5 页

二、（12分）设)(},,,,{4321XXFRxxxxX定义为









13.05.08.03.012.03.05.02.011.08.03.01.01R

1. 计算)(Rt；
2. 取5.0，利用)(Rt对X进行分类。
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三、（12分）已知)(RFA, 利用扩展原理给出计算A及||A的公式。若

2/3.01/2.00/1.01/4.02/5.0A, 求A
及||A。

四、（13分）概念及应用题
1.（7分）根据你的理解，写出下列对权重进行语言描述的隶属函数：一般、重要。
2.（6分）比较模糊数学中“隶属度”与概率论中“概率”的异同

学
院
系
专

业

班
级

姓
名
学
号