(11.03)数学模型基本知识解析
数学模型复习知识点
内在规律，做出一些必要的简化假设，还用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2.数学模型的一般步骤：模型准备、模型假设、模型的构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
3.数学建模的过程描述：表述、求解、解释、验证几个阶段。
并且通过这些阶段阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实兑现的循环。
4.量纲其次原则：以若干物理量为基本量纲，运用物理学公式，对相关的物理问题求解，用数学公式表示一些物理量之间的关系时，公式等号两端必须有相同的量纲。
5.量纲分析：就是利用量纲其次原则建立的物理量之间的数学模型。
6.层次分析法的基本步骤：建立层次结构模型、构造成对比较矩阵、计算权向量并做一致性检验、计算组合权向量并做组合一致性检验。
7.模型的逼真性：即为根据客观事物的特性，作出能真实反映其内部机理，较直观模型的可行性：即根据内部机理的数量规律，通过对数据的测量和统计分析，按照一定准侧做出的与数据拟合最好的模型。
模型的逼真性和可行性相辅相成，只有相互依存，才能使模型构成的更好。
8.（效用函数）无差别曲线：描述甲对物品x和y的偏爱程度，如果占有x1数量的x和y1数量和占有x2的x和y2的y，对甲某来说是同样满足的话，称p2和p1对甲是无差别的。
9.无差别曲线的特点：无差别曲线有无数条、无差别曲线是下凸的、单调的、互不相交的。
10.对无差别曲线做下凸形状作如下解释：当人们占有的x较少时，人们宁愿用较多的△y 换取较少的△x，当人们占有较多的△x时，人们愿意用较多的△x换取较少的△y满足这种特性的曲线是下凸的。
11.数学规划模型属于多元函数的条件极值问题的范围，其决策变量个数n和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，数学规划是解决这类问题的有效方法。
分类：①线性规划②非线性规划③整数规划12.数学建模的重要意义：①在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
②在高新技术领域，数学模型几乎是必不可少的工具。
初中模型知识点总结
初中模型知识点总结一、数学模型1. 定义数学模型是利用数学语言和符号来描述现实世界中的问题的工具。
它包括数学模型的建立、求解和模型的应用。
2. 建模过程建立数学模型的过程包括：确定问题的数学描述、建立数学模型、求解模型、进行模型检验、进行模型的应用。
3. 常见的数学模型常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、离散型模型、连续型模型等。
4. 数学模型的应用数学模型的应用涉及到各个领域，如物理、化学、生物、经济等。
数学模型广泛应用于生产、科研、管理等各个领域。
5. 数学模型的建立建立数学模型的关键是确定问题的数学描述，选择合适的数学模型，进行模型的求解和检验，最后进行模型的应用。
二、物理模型1. 定义物理模型是对现实世界中物理现象的描述和理解的数学模型。
2. 物理模型的建立物理模型的建立包括：确定问题的物理描述、建立数学模型、进行模型的求解和验证。
3. 常见的物理模型常见的物理模型包括牛顿力学模型、电磁场模型、热力学模型等。
4. 物理模型的应用物理模型广泛应用于各种物理现象的描述和预测，如运动学问题、静力学问题、电磁场问题等。
建立物理模型的关键是确定问题的物理描述，选择合适的数学模型，进行模型的求解和验证，最后进行模型的应用。
三、化学模型1. 定义化学模型是对化学反应和化学现象的描述和理解的数学模型。
2. 化学模型的建立化学模型的建立包括：确定问题的化学描述、建立数学模型、进行模型的求解和验证。
3. 常见的化学模型常见的化学模型包括化学反应动力学模型、化学平衡模型、溶液动力学模型等。
4. 化学模型的应用化学模型广泛应用于化学反应和化学现象的描述和预测，如反应速率问题、化学平衡问题、溶解度问题等。
5. 化学模型的建立建立化学模型的关键是确定问题的化学描述，选择合适的数学模型，进行模型的求解和验证，最后进行模型的应用。
四、生物模型1. 定义生物模型是对生物现象和生物系统的描述和理解的数学模型。
2. 生物模型的建立生物模型的建立包括：确定问题的生物描述、建立数学模型、进行模型的求解和验证。
数学几何模型知识点总结
数学几何模型知识点总结数学几何模型是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的各种形状、结构及其相关性质。
几何模型不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用，比如建筑、工程、地图制作、计算机图形学等领域都离不开几何模型。
本文将对数学几何模型的相关知识点进行总结，包括基本概念、基本定理、重要定理及相关的应用。
一、基本概念1. 点、线、面：在数学几何模型中，点是几何图形的最基本元素，它没有大小和形状；线是由一系列相继连接的点构成的，它是一维几何图形；面是由一系列相连的线构成的，它是二维几何图形。
2. 平行线和垂直线：平行线是在同一平面上且永远不会相交的两条直线；垂直线是与另一条线相交且交点的两边分别为90度角的直线。
3. 角：角是由两条线或线段的交点及其相交示所围成的空间部分。
4. 多边形：多边形是由若干条线段相连而构成的封闭的平面图形，其中的每一条线段称为多边形的边，相邻两条边之间的夹角称为多边形的内角。
二、基本定理1. 锐角三角形的性质：锐角三角形的内角都小于90度，它的三边都小于直角三角形的三边之和。
2. 直角三角形的性质：直角三角形中，两条较短的边的平方和等于最长边的平方，这就是著名的勾股定理。
3. 钝角三角形的性质：钝角三角形中，其中一个角大于90度，它的两边之和小于第三边。
4. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180度。
5. 三角形外角定理：三角形的外角等于它相对的内角的补角。
三、重要定理1. 圆的性质：圆是平面上到一点距离恒定的图形，圆的面积和周长分别为πr²和2πr，其中r为圆的半径。
2. 圆周角定理：在圆中，若两条弧之间的夹角等于一个圆心角，则这两条弧所对的圆周角相等。
3. 相似三角形定理：若两个三角形中对应的角相等，则这两个三角形是相似的。
4. 三角形的边比定理：在一个三角形中，两边之比与其所对的两个角的正弦比相等。
5. 圆锥曲线的焦点定理：圆锥曲线是平面上一点到两个不同点的距离之比等于一个定值的轨迹，这个定值称为圆锥曲线的焦距。
数学模型简介
数学模型简介
数 学 建 模
2. 什么是数学建模 什么是数学建模?
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 数学建模 实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处 理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起 数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技 术进行求解．
CQUST
数学模型简介
数 学 建 模
CQUST
数学模型简介
数 学 建 模
实际问题
在实际过程中用 哪一种方法建模主要 是根据我们对研究对 象的了解程度和建模 目的来决定． 机理分析法建模 的具体步骤大致可见 右图．
用实际问题的实测数据等来 检验该数学模型
不符合实际 符合实际
抽象、简化、假设 确定变量、参数 建立数学模型并数学、数值地求 解、确定参数
CQUST
数学模型简介
交付使用，从而可产生经 济、社会效益
CQUST
数学模型简介
数 学 建 模
三、数学模型及其分类
数学模型的分类： 数学模型的分类： ◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几 何模型、优化模型、微分方程模型、网络模型、逻 辑模型等． ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、 城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、 社会模型等．
二、数学建模的一般方法和步骤
建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式， 但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征 特征： 特征 模型的可靠性 可靠性和模型的使用性。 使用性。 可靠性 使用性 建模的一般方法： 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果 机理分析 关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有 明确的物理或现实意义． 测试分析方法： 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统， 内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数 据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定 的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模 型．
数学模型概论
人工智能与数学建模结合
人工智能算法和数学建模将进一步结 合，利用机器学习和深度学习技术进 行模型优化和预测。
面临的挑战与问题
模型的可解释性
多尺度建模
随着深度学习等黑箱模型的普及，模型的 可解释性成为关注焦点，如何解释模型决 策过程是亟待解决的问题。
多尺度现象在许多领域中普遍存在，如何 建立多尺度模型以描述不同尺度间的相互 作用是挑战之一。
供需关系
通过建立数学模型分析市场供需关系， 预测商品价格和供求量，为企业制定 生产和销售策略提供依据。
社会领域
人口预测
利用数学模型预测人口数量和结构变化 ，为政府制定人口政策和规划提供依据 。
VS
社会网络分析
通过建立数学模型分析社会网络结构，研 究人际关系、信息传播等社会现象。
生物领域
生态平衡
数学模型在生态学中的应用，如种群动态、生态平衡等，用于研究生态系统的行为和演化。
模型验证与修正
总结词
模型验证是确保模型准确性和可靠性的重要 步骤，而修正则是在模型出现问题时的必要 措施。
详细描述
验证方法包括对比实验、历史数据拟合等， 通过对比实际数据和模型预测结果，可以评 估模型的精度和误差。当模型出现偏差或异 常时，需要进行修正，这可能涉及到参数调 整、变量替换或模型结构修改等。修正后的 模型需要重新验证以确保其准确性和适用性
控制问题
总结词
数学模型在控制问题中起到核心作用，通过建立控制 系统的数学模型，可以实现有效的控制和调节。
详细描述
控制问题是指通过一定的控制手段，使系统达到预期的 状态或性能指标。数学模型可以建立控制系统的动态方 程和性能指标，通过分析和设计控制算法，实现系统的 稳定性和性能优化。例如，在机械系统中，数学模型可 以描述机械的运动状态和受力情况，设计控制器使得机 械系统能够稳定运行并达到预期的运动轨迹。
高中数学模型总结归纳
高中数学模型总结归纳数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，我们可以对实际问题进行定量分析和预测。
在高中数学学习中，数学模型是一个重要的学习内容，它能够培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
下面将从线性规划、概率统计和微分方程三个方面总结归纳高中数学模型的相关知识。
一、线性规划模型线性规划模型是数学建模中常用的一种模型。
它通过建立一组线性方程和一个线性目标函数来描述实际问题，并求解最优解。
线性规划模型在经济、管理、交通等领域有广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以通过线性规划模型来确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
在运输问题中，可以利用线性规划模型来确定最佳的物流路径，以最大化运输效益或最小化运输成本。
二、概率统计模型概率统计模型是研究随机现象的数学模型。
它通过建立概率分布函数和统计模型来描述实际问题，并对随机变量进行分析和推断。
概率统计模型在风险评估、市场调查、医学研究等领域具有重要的应用价值。
例如，在风险评估中，可以利用概率统计模型来评估不同投资组合的风险和收益，以帮助投资者做出合理的决策。
在市场调查中，可以通过概率统计模型来分析市场需求和消费者行为，以指导企业的营销策略。
三、微分方程模型微分方程模型是描述变化过程的数学模型。
它通过建立微分方程和初始条件来描述实际问题，并求解方程得到解析解或数值解。
微分方程模型在物理、生物、环境等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以利用微分方程模型来描述物体的运动规律，求解方程可以得到物体的位置、速度和加速度等信息。
在生物学中，可以通过微分方程模型来描述生物种群的增长和衰退过程，以了解生态系统的变化和稳定性。
高中数学模型是数学在实际问题中的应用，通过建立数学模型，可以对实际问题进行定量分析和预测。
线性规划模型、概率统计模型和微分方程模型是数学建模中常用的三种模型。
通过学习和应用这些模型，可以培养学生的数学思维和解决实际问题的能力，提高数学学科的学习效果和实际应用能力。
高三数学模型知识点概括
高三数学模型知识点概括数学模型是一种抽象的数学工具，用来描述和解决各种实际问题。
在高中数学课程中，数学模型是一个重要的内容，而高三数学模型知识点则是指在高三阶段需要掌握和应用的数学模型相关的知识。
本文将概括高三数学模型的主要知识点，帮助同学们更好地理解和应用数学模型。
一、线性规划模型线性规划是一类常见的最优化问题，主要用于解决线性目标函数和线性约束条件下的最大值或最小值问题。
在高三数学中，我们需要掌握线性规划模型的建立和求解方法。
其中包括目标函数的确定、约束条件的建立、可行域的确定以及最优解的求解等。
二、函数模型函数模型是数学模型中常见的一种形式，用于描述输入和输出之间的关系。
在高三数学中，我们需要熟悉各种常见的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
掌握函数模型的特点和性质，能够帮助我们更好地分析和解决实际问题。
三、微分方程模型微分方程模型是描述变化率与变量之间关系的数学模型。
在高三数学中，我们需要了解常见的微分方程模型及其求解方法。
例如，一阶线性微分方程、一阶非线性微分方程、二阶线性齐次微分方程等。
通过掌握微分方程模型的建立和求解，我们能够解决各种实际问题，如变化率、增长与衰减等问题。
四、概率模型概率模型是用来描述随机事件发生的可能性的数学模型。
在高三数学中，我们需要掌握常见的概率模型及其应用。
例如，我们需要了解概率的基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件等。
同时，我们还需要了解概率计算的方法，如加法原理、乘法原理、全概率公式、贝叶斯公式等。
五、统计模型统计模型是用来描述数据分布和数据关系的数学模型。
在高三数学中，我们需要学习和应用常见的统计模型。
例如，我们需要了解描述数据分布的概念和方法，如频率分布、累积分布、均值、方差等。
同时，我们还需要了解描述数据关系的概念和方法，如相关系数、回归分析等。
六、图论模型图论模型是研究图结构及其特性的数学模型。
在高三数学中，我们需要学习和应用常见的图论模型。
第二章数学模型综述讲义
易解
简单
• 考虑主要变量，分析主要问题；
• 改变变量的性质：不重要的变量--------常量
连续变量--------线性
离散变量--------连续变量
• 改变变量的函数关系；
• 注意特征尺度。
3. 模型中应有可控变量（可操纵变量）
应该有一个或多个可控变量，否则不能付诸实用
二、建立模型的过程
• 数据的收集与分析 • 模型结构的选择
假定该系统因变量 y 与各项目、类目的反映间关系以线性模式表示。
m rj
yi
i ( j, k )b j,k i
i 1,2,, n
j 1 k 1
其中，b j,k 为常数， i 为随机误差。
应用最小二乘法原理寻求系数 b j,k 的估计值，即求 b j,k 使得
n
n
1
1
320 1 1 0 1
20 1 1 0 0
150 1 1 1 1
200 0 1 0 1
18003622000
1 0 1
150 128000
0 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 1
bbˆˆ12
三. 建模的几种方法
1. 图解建模法 2. 质量平衡法 3. 因次分析法 4. 概率统计法 5. 数量化理论预测法 6. 灰色系统建模法
1. 图解建模法
管道铺设情况
关键路法(Critical Path Method---CPM)
3. 因次分析法
① 自然界物理现象的规律，可以用完整的物 理公式来表示；
7
260
(270+270+240)/3=253 (270+250+240+230)/3=248
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• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
数学建模的具体应用
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的,忽略次要 的因素，作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 把求解和分析结果与实际现象、数 据比较，检验模型的合理性、适用性
91.6.7-9（非数学类）大学生数学建模竞赛，上海
92.4.3-6 第一届大学生数学建模竞赛，西安
92.11.27.-29 CSIAM举办，1992年全国大学生数学
建模竞赛，74所大学，314队
94年~ 由原国家教委及CSIAM联合举办
2010年1022所大学，9836队(甲组7374队，乙组
2462队)；一等奖261队（甲组210队，乙组51队)，
要用数学语言、方法去近似地刻画该实际问题，
而这种刻画的数学表 达式就是一个数学模型，其
过程就是数学建模。
2. 由来
七十年代末八十年代初，英国剑桥大学专门
为研究生开设数学建模课程，并开展牛 津大学与
工业界的合作活动OSGI（Oxford Study Group with
Industry）。差不多同时，美国及欧洲其他发达国
二等奖1111队（甲组907队，乙组204队)
四川省：
从92年开始参加。
2010年有47所高校，624个队； 获全国一等奖16项，二等奖45项;
获省一等奖64项，二等奖73项，二等奖84项。
曾获5次全国组织奖。
电子科大获2004年ICM杰出奖（Outstanding
winners ，5个国家的143队中选出4队）
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
1.2 什么是数学建模及数学建模的由来
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
1.5
•机理分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识，找出反映 内部机理的数量规律
将对象看作“黑箱”,通过对测量数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构,用测试分析确 定模型参数
家把数学建模 的内容引入研究生，本科生以及中学
生的教学计划中去，并于1983年开始举办二年一次 的数学建模和应用的教学国际会议 。
数学建模竞赛 美国（AMS）：
85年前，仅有一种竞赛：Putram数学竞赛
85年，MCM(Mathematical Competition in Modelling) 88年，MCM(Mathematical Contest in Modelling) 99年，ICM(Interdisciplinary Contest in Modeling) 我国： 89年开始组队参加美国MCM。92年12所大学，24 个 队； 90.12.7-9（数学类）大学生数学建模竞赛，上海
1.3 数学建模与其他数学分支的区别
数学建模与其他数学分支的区别： 学着用数学和学数学 数学建模与求解数学问题(problem solving)的区别： 求解数学问题的条件及需要解决的问题是确定的，
恰到好处； 而数学建模中题目的条件及需要解
决的问题都可能有许多不确定因素。
1.4
数学建模的重要意义
数学建模的基本方法
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用
模型假设
模型分析
模型构成
模型求解
模 型 准 备了解实际Fra bibliotek景搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
1.数学建模（Mathematical Modelling） 数学模型（Mathematical Model ）
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其
内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构。
数学建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
具体地说，是运用数学方法去解决实际问题，即
建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
1.2 什么是数学建模及数学建模的由来 1.3 数学建模与其他数学分支的区别 1.4 数学建模的重要意义 1.5 数学建模的方法和步骤
1.6 数学模型的特点和分类
1.7 数学建模教与学 1.8 CUMCM历年赛题的统计分析 1.9 数学建模竞赛的实践方法 1.10 建模示例
1.1
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证