系统的稳定性 常见判据
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n n si t si t A1i e A2 i e lim Ak t i 1 i 1
自由响应收敛于常值，系统稳定
2. 系统稳定条件
结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的
特征根。
如何判别？ 求出闭环极点？ 实验？ 思路：
①高阶难求 ②不必要
第六章
系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理： 外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开
→活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
自由响应收敛，系统稳定 2) 若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）
l i me
t sk t
n n si t si t A1i e A2 i e lim t i 1 i 1
自由响应发散，系统不稳定
2. 系统稳定条件
3) 若有特征根sk =±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点 位于[s]平面的左半平面
1 19 30 s4 1 11 0 s 3 1 ( 19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） s2 1 s 1 ( 30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 0 30 s 30 0 0
i 1
(
比较系数：
n a n 1 si , an i 1
i j i 1, j 2
s s )s
n
( 1)
n
s
i 1
n
i
an 3 an
i jk i 1, j 2 , k 3
s s s
i
n
j k
,
s s i j i j i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
二、Routh （劳斯）稳定判据
2. 系统稳定的充要条件
特征方程： D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
如果不稳定，可能导致严重后果
①特征方程→根的分布（避免求解）
②开环传递函数→闭环系统的稳定性
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
收敛（回复平衡位置）
发散（偏离越来越大）
2. 系统稳定条件
线性定常系统：
( n) ( n1) o(t ) a0 xo(t ) xi(t ) anxo (t ) an 1 xo (t ) a1 x
自由响应
强迫响应
n
xo( t ) A1i e
i 1
n
si t
A2 i e si t B( t )
n n si t si t jt lim A e A e A e 1i 2i k t i 1 i 1
简谐运动
自由响应等幅振动，系统临界稳定
4) 若有特征根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk =0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]
平面的左半平面
Ak e sk t Ak
sn a n 1 n 1 a a s 1 s 0 ( s s1 )(s s2 )( s sn ) an an an
n n n 1
s1,s2,…,sn：特征根
n 2 i j
因为
( s s1 )(s s2 )( s sn ) s ( si ) s
s n 1 a n 1 s n 2 A1 s n 3 B1 s s
2
D1 E1 F1
s1
0
Routh 判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定 的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正， 且值不为零。
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0
i 1
系统的初态引 起的自由响应
输入引起的 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
n n si t si t lim A e A e 1i 2i 0 t i 1 i 1
an 6 an 7 A4 B4
其中：
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 a a an an 5 A2 n1 n 4 a n 1 a a an an 7 A3 n 1 n 6 a n 1 A1
B1 B2 B3 A1a n 3 a n 1 A2 A1 A1a n 5 a n 1 A3 A1 A1a n 7 a n 1 A4 A1
→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→ 平衡位置 →（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启…… ① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果： ③ 增幅振荡 ① 减幅振荡 ② 等幅振荡 （收敛，稳定） （临界稳定） （发散，不稳定）
一、系统的稳定性与稳定条件
结论：
1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数）， 与输入无关 2. 不稳定现象的存在是由于反馈作用 3. 稳定性是指自由响应的收敛性 定义： 系统在初始状态作用下 输出 （响应） 无输入时的初态 输入引起的初态 系统稳定 系统不稳定
自由响应收敛于常值，系统稳定
2. 系统稳定条件
结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的
特征根。
如何判别？ 求出闭环极点？ 实验？ 思路：
①高阶难求 ②不必要
第六章
系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理： 外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开
→活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
自由响应收敛，系统稳定 2) 若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）
l i me
t sk t
n n si t si t A1i e A2 i e lim t i 1 i 1
自由响应发散，系统不稳定
2. 系统稳定条件
3) 若有特征根sk =±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点 位于[s]平面的左半平面
1 19 30 s4 1 11 0 s 3 1 ( 19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） s2 1 s 1 ( 30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 0 30 s 30 0 0
i 1
(
比较系数：
n a n 1 si , an i 1
i j i 1, j 2
s s )s
n
( 1)
n
s
i 1
n
i
an 3 an
i jk i 1, j 2 , k 3
s s s
i
n
j k
,
s s i j i j i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
二、Routh （劳斯）稳定判据
2. 系统稳定的充要条件
特征方程： D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
如果不稳定，可能导致严重后果
①特征方程→根的分布（避免求解）
②开环传递函数→闭环系统的稳定性
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
收敛（回复平衡位置）
发散（偏离越来越大）
2. 系统稳定条件
线性定常系统：
( n) ( n1) o(t ) a0 xo(t ) xi(t ) anxo (t ) an 1 xo (t ) a1 x
自由响应
强迫响应
n
xo( t ) A1i e
i 1
n
si t
A2 i e si t B( t )
n n si t si t jt lim A e A e A e 1i 2i k t i 1 i 1
简谐运动
自由响应等幅振动，系统临界稳定
4) 若有特征根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk =0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]
平面的左半平面
Ak e sk t Ak
sn a n 1 n 1 a a s 1 s 0 ( s s1 )(s s2 )( s sn ) an an an
n n n 1
s1,s2,…,sn：特征根
n 2 i j
因为
( s s1 )(s s2 )( s sn ) s ( si ) s
s n 1 a n 1 s n 2 A1 s n 3 B1 s s
2
D1 E1 F1
s1
0
Routh 判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定 的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正， 且值不为零。
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0
i 1
系统的初态引 起的自由响应
输入引起的 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
n n si t si t lim A e A e 1i 2i 0 t i 1 i 1
an 6 an 7 A4 B4
其中：
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 a a an an 5 A2 n1 n 4 a n 1 a a an an 7 A3 n 1 n 6 a n 1 A1
B1 B2 B3 A1a n 3 a n 1 A2 A1 A1a n 5 a n 1 A3 A1 A1a n 7 a n 1 A4 A1
→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→ 平衡位置 →（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启…… ① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果： ③ 增幅振荡 ① 减幅振荡 ② 等幅振荡 （收敛，稳定） （临界稳定） （发散，不稳定）
一、系统的稳定性与稳定条件
结论：
1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数）， 与输入无关 2. 不稳定现象的存在是由于反馈作用 3. 稳定性是指自由响应的收敛性 定义： 系统在初始状态作用下 输出 （响应） 无输入时的初态 输入引起的初态 系统稳定 系统不稳定