线性系统的稳定性与稳定判据
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33-56 线性定常系统稳定性及劳斯稳定判据
c t 1 1 1
2
tr
d tp d
1 2
c(tp ) c() Mp c(tp ) 1 e c ( )
ts 1
d
(ln
1 1 ln ) 2 1
ess
e
n t
n
, t 0
0 0
s
1
34.6
s
0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
P83
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 7 10
5 7 2 33 5 5
s4 s3
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例9: 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K, )的范围; (2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。 解: (1) G( s)
Ka s ( s 2 20 s 100)
Ka 100
K
D( s) s3 20 s 2 100 s 100K 0
s s2 s1 s0
3
1 20
2000 100 K 20
100 100K
0
0 K 20 K 0
100K
(2)当 =2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当=2时，进行平移变换： s s 1
D( s) s 3 20 2 s 2 100s 100K 0
2
2 1 sin d t arctan
2
tr
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1 2
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ts 1
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(ln
1 1 ln ) 2 1
ess
e
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n
, t 0
0 0
s
1
34.6
s
0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
P83
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 7 10
5 7 2 33 5 5
s4 s3
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例9: 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K, )的范围; (2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。 解: (1) G( s)
Ka s ( s 2 20 s 100)
Ka 100
K
D( s) s3 20 s 2 100 s 100K 0
s s2 s1 s0
3
1 20
2000 100 K 20
100 100K
0
0 K 20 K 0
100K
(2)当 =2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当=2时，进行平移变换： s s 1
D( s) s 3 20 2 s 2 100s 100K 0
2
2 1 sin d t arctan
线性离散系统的稳定性判据
线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。
然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。
因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。
从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。
但因为s在指数中，代换运算不方便。
为此，必须引入另一种线性变换。
将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。
这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。
为此，可采用双线性变换方法开展判断。
双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。
此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。
这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。
另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。
通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。
此时可以采用下面劳斯判据。
劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。
若系数符号一样，建立劳斯行列表。
②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。
④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。
且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。
第六章 系统的稳定性
6.1 稳定性
1.稳定性的概念 只有稳定的系统才能正常工作。在设计一个系统时，首先要 保证其稳定；在分析一个已有的系统时，也首先要判定其是否 稳定。线性系统是否稳定，是系统本身的一个特性，而与系统 的输入量或扰动无关
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
6.1 稳定性
2.稳定的条件
a0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 1 j1 )( S 1 j1 )][( S 2 j 2 )( S 2 j 2 )] } 0
即a 0 {( S P1 )( S P2 ) [( S 2 2 1 S 1 1 )][( S 2 2 2 S 2 2 )] } 0
例1
已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517 S 2.3 10 4 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3 S2 S1 S
0
1 41.5 38.5
4
517 2.3 10 4
0 0
2.3 10
结论： (1)该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的； (2) 且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半 平面。
6.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
幅角原理的简单说明 设有辅助函数为 其零、极点在S平面上的分布如下图 所示，在 S平 面上作一封闭曲线Γs ， Γs不通过上述零、极点， 在封闭曲线Γs 上任取一点F(s1) , 其对应的辅助函数 的幅角应为
当解析点S1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数 的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲 线Γs 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向 转过2π弧度（一周）。
§6.5系统稳定性及其判定 《信号与系统》课件
1
ht 0 ht 0 ht 0
这表明 etht ht ,则响应 rt
r
t
h
et
d
r0
h
e
d
h
d
此式表明： 若
必要性得证。
ht
d
t无界，则
r0也无界
由H(s)的极点位置判断系统稳定性
1．稳定系统
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚 轴），则可满足
lim h(t) 0
t
系统是稳定的。
例如
1 , p0 s p
系统稳定；
1 s2 ps q
p 0, q 0 系统稳定；
2．不稳定系统
如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有 二阶（或以上）极点
lim h(t)
t
系统是不稳定系统。
3．临界稳定系统
如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。 t , h为(t)非零数值或等幅振荡。
定义（BIBO）
一个系统，如果对任意的有界输入，其零
状态响应也是有界的，则称该系统有界输入
有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系
统。。
对所有的激励信号e(t)
et Me
其响应r(t)满足
rt Mr
则称该系统是稳定的。式中，
M
e
,对可积条件）：
ht d t M
号与系统 信
§6.5 系统稳定性及其判定
1.系统的稳定性
2.系统稳定性判据
引言
某连续时间系统的系统函数
Hs 1 0.001
s1 s2
当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为
0.005 1
Rzs
第五章劳斯稳定性判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化， 去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
xi
s
n1
aj
n2 i (s ii ) i i
1
2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
S4
2
12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
8
24
上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
06-7-20 S 0
16
控制系统的稳定性分析
23
劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
xi
s
n1
aj
n2 i (s ii ) i i
1
2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
S4
2
12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
8
24
上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
06-7-20 S 0
16
控制系统的稳定性分析
23
劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；
机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)
（5.2.3）
武科大城市学院
机电学部
比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
武科大城市学院
机电学部
从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
武科大城市学院
机电学部
第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
武科大城市学院
机电学部
5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้
系统的稳定性常见判据
实验？ 如果不稳定，可能导致严重后果
思路：
①特征方程→根的分布（避免求解） ②开环传递函数→闭环系统的稳定性
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
s3
2 n
(
s
K
)
2
n s 2
2 n
s
K
2 n
特征方程：
D(s)
s3
2
ns2
2 n
s
K
2 n
0
即： D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所 34.6 7500 7500K 0
① 确定P
② 作G(j)H(j)的Nyquist图 ③ 运用判据
三、Nyquist 稳定判据
例1
三、Nyquist 稳定判据
例2 G(s)H (s)
(T12 s2
K (Ta s 1)(Tb s 1)
2T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
P=1
开环不稳定， 闭环稳定
三、Nyquist 稳定判据
② LF包围原点的圈数 = LGH包围（－1，j0）点的圈数 N=Z-P
思路：
①特征方程→根的分布（避免求解） ②开环传递函数→闭环系统的稳定性
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
s3
2 n
(
s
K
)
2
n s 2
2 n
s
K
2 n
特征方程：
D(s)
s3
2
ns2
2 n
s
K
2 n
0
即： D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所 34.6 7500 7500K 0
① 确定P
② 作G(j)H(j)的Nyquist图 ③ 运用判据
三、Nyquist 稳定判据
例1
三、Nyquist 稳定判据
例2 G(s)H (s)
(T12 s2
K (Ta s 1)(Tb s 1)
2T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
P=1
开环不稳定， 闭环稳定
三、Nyquist 稳定判据
② LF包围原点的圈数 = LGH包围（－1，j0）点的圈数 N=Z-P
线性稳定性
i1
j 1
j
P3
P1
S平面
P2 P5
O 注意：稳定性与零点无关
Pn
P4
例. 试判断系统
C(S)
1
R(S) S 3 4S 2 5S 2
的稳定性。
解:
3 S
2 4S
5S
2
0
(S 1)(S2 3S 2) (S 1)2 (S 2) 0
• 系统稳定的定义，该系统是不 稳定的。
设系统特征方程为：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 ((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2
s6 1 3 5
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 77
斯 s3 0ε --88
表
s2 2ε +8 7ε
s1 -8(2ε +8) -7ε 2
D(s) a 0s 2 a1s1 .a 2 0
二阶系统
a0>0时
1 a1 0
2
a1 a0
0 a 2 a1a 2 0
a0>0时, a1>0, a2>0(全部系数数同号)
三阶系统
D(s) a 0s3 a1s2 .a 2s a 3 0 a0>0时
s2
e1
s1
f1
s0
g1
D(s) a 0s n a1s n1 ... a n1s a n 0
a2 a4 a6 … a3 a5 a7 … b2 b3 b4 …
c2 c3 c4 …
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dF ( s ) 8s 3 96 s 0 ds
1 24 23 2 48 46 s3行中为零的项，为简化计 1 12 算，各项除以8，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 24 46 121 1 s 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。 12 s 0 46
用导数方程的系数取代
s 3 3s 2 0
试应用判据判别实部为 正的特征根的个数。
s3 s2 s s
0
1 0
- 3 - 2
-3 2 0
改变一次
2
改变一次
有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
例：设系统特征方程为 ，s 46 0 s 5 2s 4 24 s 3 48 s 2 23
解: 列写劳 斯阵 :列 s s s s
4 3 2 1 0
1 2
23- 4 2
3 4 1 6 5 0
5 0
符号改变一次
14- 25 1
符号改变一次
s 5 Routh 阵列第一列符 号改 次 变 ,二
故有 两个实部 为正的根 。
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
例：设系统特征方程为 系统的稳定性。 ，试判别 s 4 2s 3 s 2 2 s 1 0
s5 s4 s3 s2
F (s) 2s 4 48s 2 46 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
1 1 1 2 2 0(用代替） 1 2 1 s 2 当ε→0时， ，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改 0 s 1
s4 s3 s2
2
2
0
例 设系统的特征方程为 解
4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号相反的实根或一些共 轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程，由该 方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零行的各项，然后继续按劳斯阵 的计算方法写出以下各行。
例1. 设有下列特征方程
s 4 2s3 3s2 4s 5 0 试用Routh判据判 别该 特征方程正 实 的 部根 个数 。
(S 1)(S
2
3S 2) (S 1) (S -1, S 3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负 有实 部 , 故系统稳定。
三．稳定判据
1.Routh稳定判据
系统的特征方程为
D(s) a n s a n -1s
必要条件:
n
n -1
... a 1s a 0 0
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；
（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同 的符号。 充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
劳斯阵列 s n a n a n -2 a n -4 a n -6 ...... n -1 s a n -1 a n -3 a n -5 a n -7 ...... n -2 s b1 b 2 b 3 ....... n -3 s c1 c 2 ...... ...... ...... a n1a n2 a n a n3 a n1a n4 a n a n5 b1 b2 a n1 a n1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1 b1a n3 a n1b2 b1a n5 a n1b3 c1 c2 b1 b1
t t
M 0 (S ) D( S )
lim c(t )
线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程度所有根均具有负实部， 或其特征根全部位于s平面的左半部。
C(S) 1 例. 试判断系统 3 的稳定性。 2 R(S) S 4S 5S 2 解 : S 3 4S2 5S 2 0
2. Routh判据的特殊情况（几点说明）
１、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项，不改变稳定性的结论。
2、对于不稳定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在复平面右侧特征根的
3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零，这时可以用一个有 限小的正数ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列 出劳斯阵以后，观察第一列数值，当ε→0时，含ε项的符号与上、下行符号进行比较， 若系数符号相反，就说明有符号改变。
C(S) Si
M 0 (S) D(S)
i 1
n
Ai S Si
(i 1,2,3,...n )为 D(S) 0的根 ,
Si t A e i i 1 n
则C (t )
Ai ( S S i ) S Si 若ReSi 0 则 lim c(t ) 0 若ReSi 0 则
§3-5 线性系统的稳定性与稳定判据
一．稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过 程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定， 简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随 时间推移而发散，则称其不稳定。
二．线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
设 系 统 的 运动 方程 为 D(P)C (t) M(P)R(t) M f ( P ) f ( t ) 取拉式 变换 后有 C (S )
M(S) D(S)
R( S )
M f (S) D( S )
F (S)
M0 ( S ) D( S )
令 R(S ) 0, F(S ) 0,则
解：（1）特征方程各项系数大于0 （2）列劳斯阵
劳斯阵中 辅助方程为
将辅助方程对 s 求导数，得导数方程
s 5 1 24 23 s3 行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行 ( s4 行)的各项组成 s 4 2 48 46 s3 0 0 0
F (s) 2s 4 48s 2 46 0