福建省四地六校联考2017届高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年福建省四地六校联考高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合M={x|x﹣x2=0}，N={x|ln（1﹣x）＜0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（∞，1]2．已知等差数列{a n}前9项和为27，a10=8，则a99=（）A．100 B．99 C．98 D．973．已知，，c=log32，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞b＞c4．已知cos（θ+）=，﹣＜θ＜，则sin2θ的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．5．设数列{a n}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．若函数f（x）=tlnx与函数g（x）=x2﹣1在点（1，0）处有共同的切线l，则t的值是（）A．B．t=1 C．t=2 D．t=37．若非零向量与满足：，，，则=（）A．B．C．2 D．8．在△ABC中，若△ABC的面积为，，则=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣29．定义域为R的奇函数f（x）满足f（4﹣x）+f（x）=0，当﹣2＜x＜0时，f（x）=2x，则f（log220）=（）A．B．C．D．10．已知命题p：∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，命题q：实数x，y∈R，若x+y＞2，则x＞1或y＞1；若p∧q为假命题，则（）A．函数f（x）为R上增函数B．函数f（x）为R上减函数C．函数f（x）在R上单调性不确定 D．命题q为假命题11．函数的图象大致是（）A． B．C．D．12．已知函数f（x）=，满足条件：对于任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x1）=f（x2）．当成立时，则实数a+b=（）A．B．5 C．D．1二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）.13．定积分sinxdx=．14．设等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=10，则a1a2a3..a n的最大值为．15．如图，为测量山高l，选择A和另一座山的山顶|PA|为测量观测点．从△ABC 点测得MB=MC点的仰角∠MAN=75°，从A点测得C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=80m，则山高MN=（m）．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是奇函数③任意一个非零无理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a3，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前项n和，是否存在正整数n，使得S n＞40n+600？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．18．已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤），满足：最大值为2，其图象相邻两个最低点之间距离为π，且函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若向量=（f（x﹣），1），=（，﹣2cosx），，设函数，求函数g（x）的值域．19．记S n为数列{a n}的前项n和，已知a n＞0，（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项n和T n．20．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若BC=6，AC边上的中线BD的长为7，求△ABC的面积．21．设函数f（x）=e x﹣3﹣x﹣ax2．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥﹣2，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），曲线C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0；（Ⅱ）若g（x）=﹣|x+4|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．2016-2017学年福建省四地六校联考高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合M={x|x﹣x2=0}，N={x|ln（1﹣x）＜0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】先求出集合M、N中的范围，再求出其交集即可．【解答】解：M={x|x﹣x2=0}={0，1}，N={x|ln（1﹣x）＜0}={x|0＜1﹣x＜1}={x|0＜x＜1}，则M∪N=[0，1]，故选：A．2．已知等差数列{a n}前9项和为27，a10=8，则a99=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，利用方程组法求出首项和公差，进行求解即可．【解答】解：∵S9=27，a10=8，∴，即，得a1=﹣1，d=1，则a99=a1+98d=﹣1+98=97，故选：D3．已知，，c=log 32，则（ ）A ．b ＞a ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞c ＞aD ．a ＞b ＞c 【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，＞30=1，＜c=log 32＜log 33=1，∴b ＞c ＞a ． 故选：C ．4．已知cos （θ+）=，﹣＜θ＜，则sin2θ的值等于（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【考点】二倍角的正弦．【分析】首先利用诱导公式求出θ的正弦和余弦值，然后利用倍角公式求值．【解答】解：由已知cos （θ+）=，﹣＜θ＜，得到sinθ=，cosθ=，所以sin2θ=2sinθcosθ=2×=；故选A ．5．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，则“0＜q ＜1”是“{a n }为递减数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】充要条件．【分析】根据等比数列 的性质可判断：当a 1＜0时，“0＜q ＜1”“{a n }为递增数列”；{a n }为递减数列”，a 1＜0时，q ＞1，根据充分必要条件的定义可以判断答案． 【解答】解：∵数列{a n }是公比为q 的等比数列，则“0＜q ＜1”， ∴当a 1＜0时，“{a n }为递增数列”，又∵“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件，故选：D6．若函数f（x）=tlnx与函数g（x）=x2﹣1在点（1，0）处有共同的切线l，则t的值是（）A．B．t=1 C．t=2 D．t=3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分析知点（1，0）在函数g（x），f（x）图形上，首先求出g（x）在（1，0）处的切线方程，利用斜率相等即可求出t值；【解答】解：有题可知点（1，0）在函数g（x），f（x）图形上，∵g'（x）=2x，g'（1）=2，故在点（1，0）处的切线方程为：y=2（x﹣1）；∵f'（x）=；∴f'（1）=t=2；故选：C7．若非零向量与满足：，，，则=（）A．B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积与向量垂直以及模长的计算公式，即可求出对应的结果．【解答】解：非零向量与满足：，，∴+•=0，即•=﹣4；又，∴（2+）•=2•+=0，∴=﹣2•=8，∴=2．故选：D．8．在△ABC中，若△ABC的面积为，，则=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据三角形的面积公式与平面向量的数量积公式，即可求出正确的结果．【解答】解：△ABC的面积为，，所以acsinB=ac×=ac=2，所以ac=8；所以=||×||cos（π﹣B）=ca•（﹣cosB）=8×（﹣）=﹣4．故选：B．9．定义域为R的奇函数f（x）满足f（4﹣x）+f（x）=0，当﹣2＜x＜0时，f（x）=2x，则f（log220）=（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出函数的周期，化简所求的表达式，代入已知条件求解即可．【解答】解：定义域为R的奇函数f（x）满足f（4﹣x）+f（x）=0，可得f（x）=﹣f（4﹣x）=f（x﹣4），所以函数的周期为：4．当﹣2＜x＜0时，f（x）=2x，则f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣=﹣．故选：B．10．已知命题p：∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，命题q：实数x，y∈R，若x+y＞2，则x＞1或y＞1；若p∧q为假命题，则（）A．函数f（x）为R上增函数B．函数f（x）为R上减函数C．函数f（x）在R上单调性不确定 D．命题q为假命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合命题的真假，判断出q的真假即可．【解答】解：若p∧q为假命题，则p假或q假，而命题q：实数x，y∈R，若x+y＞2，则x＞1或y＞1，是真命题，故命题p是假命题，故：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0，故函数f（x）为R上减函数，故选：B．11．函数的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断当﹣1＜x＜1时，得到y＞0，即可判断．【解答】解：y=f（﹣x）===f（x），且定义域为{x|x≠±1}∴f（x）为偶函数，当﹣1＜x＜1时，cosx＞0，ln|x|＜0，∴y＞0，故选：D12．已知函数f（x）=，满足条件：对于任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x1）=f（x2）．当成立时，则实数a+b=（）A．B．5 C．D．1【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数，通过题意推出函数的单调性以及函数值的关系列出方程，求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=，若对于任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x1）=f（x2）．可知x＜0时，函数是减函数，并且x=0时，两部分的函数值相等．可得：a＜0，b=3，当时，=，解得：a=﹣，故实数a+b=，故选：A．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）.13．定积分sinxdx=1﹣cos1．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=﹣（cos1﹣cos0）=1﹣cos1，故答案为：1﹣cos1，14．设等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=10，则a1a2a3..a n的最大值为210．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式可得：a n．指数运算性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=20，a2+a4=10，∴，解得a1=16，q=．∴a n==25﹣n．则a1a2a3..a n=24+3+…+（5﹣n）==，当且仅当n=4或5时，a1a2a3..a n的最大值为210．故答案为：210．15．如图，为测量山高l，选择A和另一座山的山顶|PA|为测量观测点．从△ABC 点测得MB=MC点的仰角∠MAN=75°，从A点测得C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=80m，则山高MN=（m）．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM=80m，∠MAN=75°，从而可求得MN的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=80m，所以AC=160m．在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，由正弦定理得AM==80m．在RT△MNA中，AM=80m，∠MAN=75°，MN=80sin75°=，故答案为．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是奇函数③任意一个非零无理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为①④．（写出所有正确命题的序号）．【考点】分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f （x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形，即可判断．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，故②不正确；③由于非零无理数T，若x是有理数，则x+T是无理数；若x是无理数，则x+T 不确定，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的无理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R不恒成立，故③不正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为：①④．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a3，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前项n和，是否存在正整数n，使得S n＞40n+600？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，由…解得d=0或d=4，…故a n=2或a n=4n﹣2；…（2）当a n=2时，S n=2n…S n=2n＜40n+600．不存在正整数n，使得S n＞40n+600…当a n=4n﹣2时，…由2n2＞40n+600解得n＞30或n＜﹣10（舍去）此时存在正整数n使得S n＞40n+600．且n的最小值为31．…综上，当a n=2时，不存在正整数n，使得S n＞40n+600当a n=4n﹣2时，存在正整数n使得S n＞40n+600．且n的最小值为31．…18．已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤），满足：最大值为2，其图象相邻两个最低点之间距离为π，且函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若向量=（f（x﹣），1），=（，﹣2cosx），，设函数，求函数g（x）的值域．【考点】余弦函数的图象．【分析】（1）由题意求出A 、T 、ω、φ的值即得f （x ）的解析式；（2）根据f （x ）求出向量，利用平面向量的数量积写出g （x ），求函数g （x ）的最值即得函数的值域．【解答】解：（1）由题意可得，A=2，T=π，∴，…所以f （x ）=2cos （2x +φ），又∵函数f （x ）的图象关于点（，0）对称，∴，k ∈Z ，…∴φ=kπ+，k ∈Z ，又∵，∴φ=，…∴f （x ）=2cos （2x +）；…（2）∵f （x ）=2cos （2x +），∴；…∵=（f （x ﹣），1），，，∴=；…令t=cosx ，∵，则，…∴函数可化为，又∵t ∈[﹣，1]，∴当时，，当时，；∴函数g（x）的值域为．…19．记S n为数列{a n}的前项n和，已知a n＞0，（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项n和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用数列的通项公式与数列和的关系式，化简已知条件，推出数列是等差数列，然后求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）化简，利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）由得相减得即，（a n+1﹣a n）（a n+1+a n）﹣（a n+1+a n）=0因为a n＞0 解得a n+1﹣a n=1（n∈N*）故数列{a n}为等差数列，且公差d=1 …又a12﹣2S1=2﹣a1解得a1=2或a1=﹣1（舍去）a n=n+1 …，…=…20．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若BC=6，AC边上的中线BD的长为7，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）根据正弦定理、和差公式、即可得出．（Ⅱ）解法一：如图，延长BD至点E，使得DE=BD，连接AE，CE．由D为AC 的中点，可得四边形ABCE为平行四边形，在△BCE中，根据余弦定理，解得CE，即可得出△ABC的面积．解法二：因为BD是AC边上的中线，可得，，即，解得AB即可得出△ABC的面积．解法三：设AB=x，CD=DA=y．在△ABC中，根据余弦定理，可得x．在△BCD中，根据余弦定理可得y，在△ABD中，cos∠BDC=﹣cos∠BDA，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）根据正弦定理，由bcosC=（2a﹣c）cosB，可得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，…整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，所以sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB…因为sinA≠0，∴cosB=．（Ⅱ）解法一：如图，延长BD至点E，使得DE=BD，连接AE，CE．…因为D为AC的中点，所以四边形ABCE为平行四边形，…所以，BE=14．在△BCE中，根据余弦定理，得，…即即CE2+6CE﹣160=0，…解得CE=10，所以AB=CE=10．…所以△ABC的面积．…解法二：因为BD是AC边上的中线，所以，…所以，即．…所以，即+6﹣160=0，…解得，即AB=10．…所以△ABC的面积．…解法三：设AB=x，CD=DA=y．…在△ABC中，根据余弦定理，可得，即4y2=x2﹣6x+36…①．…在△BCD中，根据余弦定理可得，．…在△ABD中，同理可得，．…因为∠BDC+∠BDA=π，所以cos∠BDC=﹣cos∠BDA，所以y2+13=﹣（y2﹣x2+49），即2y2=x2﹣62…②．…由①②可得x2+6x﹣160=0，所以x=10，即AB=10．…所以△ABC的面积．…21．设函数f（x）=e x﹣3﹣x﹣ax2．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥﹣2，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=0时，求导数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，分类讨论，利用x≥0时，f（x）≥﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=e x﹣3﹣x，f′（x）=e x﹣1．…当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．…（Ⅱ）f′（x）=e x﹣1﹣2ax．由（Ⅰ）a=0时f（x）≥﹣2知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立，…故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，…当时，1﹣2a≥0，f′（x）≥0（x≥0），f（x）在R上是增函数，又f（0）=﹣2，于是当x≥0时，f（x）≥﹣2．符合题意．…当时，由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．所以f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，而f（0）=﹣2，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜﹣2 …综合得a的取值范围为．…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），曲线C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接由直线的参数方程消去参数t得到直线的普通方程；把等式ρ=6cosθ两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x2+y2得答案；（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义求得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程为：x+y﹣=0 …曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6x，即圆C的直角坐标方程为：（x﹣3）2+y2=9…（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆C的方程，化简得：t2+2t﹣5=0…所以，t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5＜0所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==…[不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0；（Ⅱ）若g（x）=﹣|x+4|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，求出各个范围内的x的范围取并集即可；（Ⅱ））问题转化为（|x﹣1|+|x+4|）min＜m，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：|x﹣1|＞1﹣x2，即x﹣1＞1﹣x2或x﹣1＜x2﹣1，解得：x＞1或x＜﹣2，或x＞1或x＜0，综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}；（Ⅱ）原不等式等价于|x﹣1|+|x+4|＜m的解集非空，令h（x）=|x﹣1|+|x+4|，即h（x）=（|x﹣1|+|x+4|）min＜m，所以即h（x）min=5，所以m＞5．2017年5月11日。