线性系统的稳定性

-
1
传递函数为：
K1
(s)
n2 (s K1)
s
s3 2ns2 n2s K1n2
闭环系统特征方程为：
n2 s(s 2n )
C(s)
D(s) s3 2ns2 n2s K1n2
s3 2 0.2 86.6s2 86.62 s K186.62 s3 34.6s2 7500s 7500K1
一种代数判据，1895年由Hurwitz提出。
设系统特征方程为：
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
其系数行列式为：
a1 a3 a5 a7
a2n1
a0 a2 a4 a6
a2n2
0 a1 a3 a5
a2 n 3
Dn 0 a0 a2 a4
a2n4
0 0 a1 a3
a2n5
0000
例8：系统特征方式为 s4 2s3 8s2 4s 2 0
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解：系统特征方程式所有系数均大于0
D1 2 0 240
D3 1 8 2 40 0 024
所有奇数次赫尔维茨行列式均大于0 ，故系统稳定。
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D(s1) 2(s1 1)3 10(s1 1)2 13(s1 1) 4 2s13 4s12 s1 1
列劳斯表：
s13
4
1
s12
4
1
s11
1 2
s10
1
劳斯第一列系数的符号变化了1次, 因此该方程中
有1个根在s＝－1（新的虚轴）的右边, 故系统稳定裕
量达不到－1。
3.5.6 赫尔维茨(Hurwitz)判据（补充）
中K1为积分器时间常数有关的待定参数。已知参数
＝0.2，n ＝86.6，试用劳斯稳定判据确定使闭
环系统稳定时K1的取值范围。如果要求闭环系统的
极点全部位于s＝－1垂线之左，问K1值范围又应取
多大？
R(s) E(s) 1
-
n2 s(s 2n )
C(s)
K1 s
R(s) E(s)
解：由图可得系统闭环
s0 K
D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
根据劳斯判据, 系统稳 定必须满足
K 0, 2 9K 0 7
因此, 使系统闭环稳定的 K的取值范围为
0 K 14 9
当K=14/9时, 系统处于临 界稳定状态。
注意：劳斯表中同一行元素同乘以或除以同一个正 数，由劳斯判据所得的结论不变。
a1b4 b1
,
f1
e1d2 d1e2 e1
an
劳斯判据： 劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系
统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的 数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次 数，等于特征方程正实部根的数目。
例 1：
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
线性系统的特性或状态是由线性微分方程来 描述的, 而微分方程的解通常就是系统输出 量的时间表达式, 它包含两个部分: 稳态分 量和瞬态分量。
研究系统的稳定性, 就是研究系统输出量中 瞬态分量的运动形式。 它完全取决于系统 的特征方程, 即齐次微分方程, 这个特征方 程反映了扰动消除之后输出量的运动情况。
极点位于S左半平面，系统稳定; 极点位于S右半平面，系统不稳定; 极点位于虚轴上，系统临界稳定.
jω
0
σ
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统 本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始 条件无关；只与极点有关，与零点无关。
线性定常系统稳定性判断方法：
1）有界输入，其输出也为有界的系统为稳定系统。 2）单位冲激响应满足绝对可积。 3）其极点均位于s左半平面，则系统为稳定系统。 4）对复杂高阶系统，利用劳斯稳定判据或赫尔维兹 稳定判据进行判定。（一种代数判据）
K
C(s)
-
s(s2 s 1)(s 2)
解： 系统的闭环传递函数为
C(s)
K
R(s) s(s2 s 1)(s 2) K
所以系统的特征方程为
D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
列劳斯表如下:
s4 1 3 K s3 3 2 0
s2 7 K 3 7 3K
s1 2 9K 7
设控制系统的特征方程式为
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
（1） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是： 控制系统特征方程的所有系数 ai (i=0, 1, 2, …, n)均为 正值，且特征方程式不缺项。
（2）列劳斯表。
劳斯表
sn a0 a2 a4 sn1 a1 a3 a5 sn2 b1 b2 b3 sn3 c1 c2 c3
稳定系统
不稳定系统
若线性控制系统在初始扰动的影响下，其 动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原 平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定； 反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程 随时间的推移而发散，则称系统不稳定。
3.5.2 线性系统稳定性的充要条件
线性系统的稳定性取决于系统本身的固有特 性，而与外界条件无关。
s13 31.6s12 7433.8s1 (7500K1 7466.4) 0 列劳斯表：
s13
1
7433.8
s12
31.6
7500K1 7466.4
s11
31.6 7433.8 (7500K1 7466.4) 31.6
s10
7500K1
令劳斯表第一列系数均大于0，则闭环系统的极点全 部位于s＝－1垂线之左，得：
5）利用根轨迹进行系统稳定性判定。（图解法） 6）利用奈氏稳定判据或对数频率特性进行系统稳定 性判定。 （图解法）
7）李亚普诺夫稳定性判据。
3.5.3 劳斯稳定判据
根据线性定常系统稳定性的充分必要条件, 可以 通过求取系统特征方程式的所有根, 并检查所有特征 根实部的符号来判断系统是否稳定。 但由于一般特征 方程式为高次代数方程, 因此要计算其特征根必须依 赖计算机进行数值计算。 采用劳斯稳定判据, 可以不 用求解方程, 只根据方程系数做简单的运算, 就可以确 定方程是否有(以及有几个)正实部的根, 从而判定系统 是否稳定。 以下是劳斯判据的具体内容。
0 K1 32.3
例6：已知系统的特征方程为： D(s) 2s3 10s2 13s 4 0
检验系统是否具有σ＝1的稳定裕量。 解：(1)首先判断原系统的稳定性：
列劳斯表：
s3
2
13
s2 10 4
s1 130 8 10
s0 4
由于该表第一列系数均大于0, 故原系统是稳定的。
(2)将 s s1 s1 1 代入原特征方程得：
s2 d1 d2 d3 s1 e1 e2 s0 f1
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
a6
b1
a1a2

a0a3 a1
,
a7 b4
b2
a1a4 a0a5 a1
,
b3
a1a6
a0a7 a1
,
c1
b1a3
a1b2 b1
,
c2
b1a5 a1b3 b1
,
c3
b1a7
解： 系统特征方程式的系数均大于零, 并且没有缺
项, 所以稳定的必要条件满足。列劳斯表
s4 1
3
5
s3 2
4
0
s2 1
5
s1 6
由于该表s0 第5一列系数的符号变化了两次, 因此该方
程中有两个根s右半平面, 故系统是不稳定的。
例 2：系统如图所示，确定使系统稳定的K的取
值范围。 R(s) E(s)
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解：系统特征方程式所有系数均大于0，且
D1 1 0
15
D2 2
7 0 3
15 0 D3 2 3 10
01 5
15 0 0 2 3 10 0 D4 0 1 5 0 0 2 3 10
因为二阶主子式小于0，所以系统不稳定。
在特征方程所有系数大于0的前提下，系统稳 定的充要条件式：所有奇数次赫尔维茨行列式均 大于0，或所有偶数次赫尔维茨行列式均大于0。
D(s) s4 2s3 3s2 6s 1 0
s4 1
3
1
s3 2
6
0
s2 0 1
s1 6 2
s0 1
其中 6 2 0
由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方
程中有两个根在s右半平面, 故系统是不稳定的。
2.在劳斯表的某一行中， 出现所有元均为零的 情况。
(1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 (2)再将上述辅助方程对s求导 (3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继 续完成劳斯表。
an
赫尔维茨判据：系统稳定的充要条件是在a0>0 的情况下，上述行列式的各阶主子式均大于0，否则 系统不稳定。即：
D1 a1 0
D2
a1 a0
a3 0 a2
a1 a3 a5 D3 a0 a2 a4 0
0 a1 a3
Dn 0
例7：系统特征方式为 2s4 s3 3s2 5s 10 0
线性定常系统稳定的充分必要条件是： 特征方程 式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, 即特征方 程的根均在复平面的左半平面。即闭环线性定常系统 稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在s平面的 左半部分。
对于s平面右半平面没有极点, 但虚轴上存在极点的 线性定常系统, 称之为临界稳定的, 该系统在扰动消除后 的响应通常是等幅振荡的。 在工程上, 临界稳定属于不 稳定, 因为参数的微小变化就会使极点具有正实部, 从而 导致系统不稳定。