线性时不变系统的因果和稳定性

则：T[ax1 (n)]=aT[x1 (n)]=ay1 (n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b(a、b为常数）所代表的系统 不是线性系统。
证：设T[x1(n)]=ax1(n)+b T[x2(n)]=ax2(n)+b
则：T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b
a n ∴ h(n)= 0 n≥0 n<0
或h(n) = a nu (n)
差分方程
是一因果系统，若|a|<1，系统稳定。 问题：一个常系数线性差分方程一定是一个因果系统吗？
例：常系数线性差分方程： y(n)=ay(n-1)+x(n) 求h(n)。边界条件假设：y(0)=0。
解：可得n > 0时，y(n)=h(n)=0(设x(n)=δ(n)）
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=-a n u(-n-1),讨论其 因果性和稳定性。
（）、因果性 n<0时，h(n) ≠ 0，故为非因果系统。 1
（2）稳定性。
n＝－∞
∑
∞
h(n) =
n =−∞
∑
−1
1 a −1 n a = ∞
a >1 a ≤1
差分方程
线性常系数差分方程
1 由方程得：y (n − 1) = [ y (n) − x(n)] a
h(n) = 0，n > 0 1 h(0) = [h(1) − x(1)] = 0 a
差分方程
1 h(−1) = [h(0) − x(0)] = −a −1 a 1 h(−2) = [h(−1) − x(−1)] = −a −2 a
x(n) y(n)
b0
Z-1
-a1
模拟信号数字处理方法
xa (t )
（ a） 抽 样 器 原 理 ）
$ x a (t )
模拟信号数字处理方法
研究内容：信号被抽样后其频谱会有什么变化？在什么 条件下，可以从抽样数据信号中不失真地恢复出原来 的信号？ 理想抽样
冲激函数序列：δ T (t ) =
m =−∞
非因果系统
系统现在的输出还取决于未来的输入
线性移不变系统的因果性和稳定性
理解：
因果系统固然重要，但并不是所有有实际意义的系统 都是因果系统。
（1）、图像处理。变量不是时间，此时，因果性往往不是 根本性的限制。
（2）、非实时情况。待处理的数据事先记录下来。例如：
为了去除噪声的变化，保留总的缓慢的变化趋势，常作取平均。 1 N y(n)= ∑ x(n − k ) 2N+1 k =−∞
x1(n)
5 4 3 2 1 4 3 2 1
-4
0
4
n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y1(n)
5 3 1 3
1
-2
0
2 x2(n)=x1(n-2)
5 4 4 3 2
n
3 2 11-2046 n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y2(n)
5 3 1 3 1
-2
0
3
5
n
y1(n)
3 1 3 1
-2
0
2
n
m为任意整数
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b 是移不变系统
设m为任一固定整数。已知：T[x(n）]=ax(n)+b=y(n)
而： T[x(n-m)]=ax(n-m)+b
满足： T[x(n-m)]=y(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：y(n)=nx(n)，讨论该系统是否为移不变系统。
∞ m=-∞
∞
m =−∞
⇐ 满足比例性和可加性 ⇐ 满足移不变性
＝ ∑ x(m)h(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性 结论：
y ( n) = x ( n) * h( n)
x(n) LSI系 统 系 h(n) y(n)=x(n)*h(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 LSI系统性质
1、交换律
x(n) h1(n) h2(n) y(n)
x(n) h2(n) h1(n) y(n)
x(n) h1(n)*h2(n)
y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 3、分配律
x(n) *[h1 (n) + h2 (n)] = x(n) * h1 (n) + x(n) * h2 (n)
x(n) y(n)
=
x(n)
例：常系数线性差分方程： y (n) = ay (n − 1) + x(n) 边界条件：y (0) = 1。讨论它的移不变、线性问题。
（）、移不变问题 1
则：y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = a y1 (2)=ay1 (1)+x1 (2)=a 2 M
令x1 (n) = δ (n)，y1 (0) = 1
不是移不变的 （2）、线性性问题 x1(n)=δ(n) → y1(n)=a n u(n)
x2(n)=δ(n-1)→ y2(n)=a n u(n)+a n-1u(n-1)+a n u(-n-1)
差分方程
令x3 ( n) = x1 ( n) + x2 (n) = δ (n) + δ (n − 1)；y3 (0) = 1
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统输入与输出的关系
单位抽样响应
x ( n) =
∞
h(n)=T[δ(n)]
设系统输入序列x(n）输出序列y(n) ,
∑ x(m)δ (n − m) y (n) = T [ ∑ x( m)δ (n − m)]
m =−∞ ∞
=
m =−∞
∑ x(m)T [δ (n − m)]
=ax1(n)+ax2(n)+b=y(n)
显然： y(n) ≠ y1(n)+y2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
问题：为何系统的方程是一线性方程，而却不是 一线性系统？ y0(n)
x(n) 线性系统 ax(n) y(n)
线性系统部分： T[x(n)]=ax(n)
零输入响应[输入 x(n）＝0时的输出]是： y0(n)=b
差分方程
迭代法求解差分方程
差分方程在给定输入和给定边界（起始）条件下，可用迭代 的方法求系统的响应。如果输入是δ(n)这一特定情况，响应 就是单位抽样响应h(n)。如：利用δ (n)只在n = 0取值为1的特 点，可用迭代法求h(0)、h(1)、h(2)L h(n)。
例：常系数线性差分方程： y(n)-ay(n-1)=x(n) 求h(n)。设初始状态为：y(-1)=0。
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若： x(n) ≤ M < ∞
则： y(n) ≤ P < ∞
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
n =−∞
∑
∞
h( n) = P < ∞
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
y1 (n)=ay1 (n-1)+x1 (n)=a n
差分方程
1 同样利用：y (n − 1) = [ y (n) − x] a 递推求得：y1 (n) = 0，n ≤ −1
∴ y1 (n) = a nu (n)
令x2 (n) = δ (n − 1)，y2 (0) = 1
y2 (n) = a nu (n) + a n −1u (n − 1) + a nu (−n − 1)
探讨
y2 (n) = nδ (n − 1) = δ (n − 1)
该系统是有移变增量n的系统，若已知当前的输入是1，而不知 当前所在时刻，仍不能确定当前的输出是多少。
结论：系统有一个移变的增益，则系统一定是一个移变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性 深入讨论
例：考虑y(n)=x(2n)是否为移不变系统？
线性移不变系统的因果性和稳定性 2、移不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统。 即：若输入x(n）产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出 y(n-m)。输入移动多少位，输出也移动相同的位数。
若： T[x(n)]=y(n），则有：
T [ x(n − m)] = y (n − m)
差分方程
设x(n)=δ(n)，且y(-1)=h(-1)=0 有 y(n)=h(n)=0，n<0
h(0) = ah(−1) + δ (0) = 1
依次迭代：
h(1)=ah(0)+δ(n)=ah(0)=a h(2)=ah(1)+δ(n)=a a=a 2
M
h(n)=ah(n-1)+δ(n)=a n +0=a n
M
1 h(n) = h(n + 1) = −a n a
0 n≥0 或：h(n）=-a n u(-n-1) ∴ h( n) = n − a n < 0 它是非因果系统。 a < 1，系统稳定。
差分方程
结论：一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统， 依据边界条件假设不同。 问题：一个常系数线性差分方程一定代表一个LSI系统吗？
方法一： T[x(n)]=nx(n)=y(n)
T[x(n-m)]=nx(n-m)
而y(n-m)=(n-m)x(n-m)
显然：T[x(n-m)] ≠ y(n-m) 时变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性
方法二：寻找一个反例 x1(n)=δ(n)→ y1(n)=nδ(n)=0