拉普拉斯变换410线性系统的稳定性
§3-5线性系统稳定性及稳定判据
K* 0
560- K* 0
14 0 K* 560 即 0 K 14
若要求闭环极点 s平在面上全部位s 于1垂线之,左 则令s s1 1,代入原特征方 ,得程
s13 11s12 15s1 ( K * 27) 0 相 应 的Ro uth表 为
s13 s12
s 11
s10 则解得
或其特征根全部位于s平面的左半部。
例. 试判断系统 C(S)
1
的稳定性。
R(S) S 3 4S 2 5S 2
解:
32 S 4S
5S 2 0
2
2
(S 1)(S 3S 2) (S 1) (S 2) 0
S1 -1, S2 -1, S3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负有实 部,
00 n 0 0
an-1 an-3 0 an an-2 0
0 0
0
00 00 00
0 0 a0 0 0 0 a1 0 0 0 a2 a0
例: 设系统的特征方程式为2s4 s3 3s2 5s10 0, 试用胡尔维茨判据
判断该系统的稳定性。
解: 1 50 0
2 3 10 0 4 0 1 5 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
s4
1
1
1
s3
2
2
s2 0(用代替） 1
当ε→0时s1， s0
2
2
， 该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改
1
2 2 0
例设系统的特征方程为 s3 3s 2 0
试应用判据判别实部为正的特征根的个数。
解
s3
1
-3
改变一次
s2 0
动力学系统中的稳定性分析方法和准则
动力学系统中的稳定性分析方法和准则动力学系统是研究物体或系统在时间变化中的行为和变化规律的学科。
在实际应用中，我们经常需要分析系统的稳定性，以便了解系统的演化趋势和预测未来的行为。
本文将介绍动力学系统中的稳定性分析方法和准则。
一、线性稳定性分析方法线性稳定性分析方法是一种常用的分析动力学系统稳定性的方法。
它基于线性化假设，即假设系统在某一点附近可以近似为线性系统。
线性稳定性分析方法的基本思想是通过研究线性系统的特征值来判断系统的稳定性。
线性稳定性分析方法中的一个重要工具是雅可比矩阵。
雅可比矩阵是一个方阵，其元素是系统的偏导数。
通过计算雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统在某一点的稳定性。
如果所有特征值的实部都小于零，那么系统在该点是稳定的。
二、非线性稳定性分析方法线性稳定性分析方法只适用于线性系统，而在实际应用中，我们经常遇到非线性系统。
非线性稳定性分析方法通过研究系统的相图来判断系统的稳定性。
相图是描述系统状态随时间变化的图形。
通过绘制相图，我们可以观察系统的稳定点、极限环等特征，从而判断系统的稳定性。
例如，如果相图中存在一个稳定点，那么系统在该点是稳定的。
非线性稳定性分析方法中的一个重要工具是李雅普诺夫函数。
李雅普诺夫函数是一个能够衡量系统状态随时间变化的函数。
通过研究李雅普诺夫函数的变化趋势，我们可以判断系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数随时间递减，那么系统是稳定的。
三、稳定性分析准则稳定性分析准则是判断系统稳定性的一些基本规则。
在动力学系统中，有许多经典的稳定性分析准则。
其中一个著名的稳定性分析准则是拉普拉斯稳定性准则。
拉普拉斯稳定性准则是基于拉普拉斯变换的方法，通过计算系统的传递函数来判断系统的稳定性。
如果系统的传递函数的所有极点都位于左半平面，那么系统是稳定的。
另一个常用的稳定性分析准则是Nyquist准则。
Nyquist准则是基于奈奎斯特曲线的方法，通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。
拉普拉斯终值定理使用条件
拉普拉斯终值定理使用条件拉普拉斯终值定理是控制工程中一种常用的稳态分析方法，主要用于计算线性时不变系统的稳态响应。
它提供了一个便捷的方式，可以通过求解系统的拉普拉斯变换，而不必直接求解系统的微分方程。
拉普拉斯终值定理适用于线性、时不变、因果系统，并且要求系统是稳定的。
以下将详细介绍拉普拉斯终值定理的使用条件和基本原理。
1.线性性：拉普拉斯终值定理只适用于线性系统。
线性系统是指输出和输入之间遵循线性关系的系统，即输出的线性组合等于输入的线性组合。
2.时不变性：时不变性是指系统的行为不随时间的推移而改变。
即系统需要满足输入信号的延时或提前相应相同的时间，才能认为系统是时不变的。
3.因果性：因果系统是指输出只依赖于当前时刻及之前的输入，而不依赖于未来的输入。
因此，拉普拉斯终值定理只适用于因果系统。
4.系统稳定性：系统稳定性是指系统在有界输入下的输出也是有界的。
拉普拉斯终值定理要求系统是稳定的，否则无法使用该定理进行稳态分析。
拉普拉斯终值定理的基本原理是通过利用拉普拉斯变换的技巧，将原始问题转化为解析函数的计算问题。
具体来说，先将系统的微分方程用拉普拉斯变换转化为代数方程，然后利用拉普拉斯变换表格查找变换后的解析函数，最后应用拉普拉斯终值定理计算系统的稳态响应。
y(t) = \lim_{s\to0}sY(s)其中，Y(s)为系统的拉普拉斯变换函数，y(t)为系统的稳态响应。
通过拉普拉斯终值定理，可以方便地计算出一些系统的具体参数，如稳态误差、稳态增益等。
此外，拉普拉斯终值定理可以推广到多变量系统和离散系统中，为控制工程提供了更广泛的应用。
需要注意的是，拉普拉斯终值定理只适用于稳态分析，即在系统达到稳定状态后的分析。
它不能提供关于系统的瞬态响应信息。
如果需要完整地了解系统的动态行为，还需要结合其他方法，如零极点分布等。
综上所述，拉普拉斯终值定理的使用条件包括线性性、时不变性、因果性和系统稳定性。
它为稳态分析提供了一种有效的方法，可以在一定的假设和条件下，通过拉普拉斯变换和终值定理计算线性时不变系统的稳态响应。
第四章 线性系统的稳定性
K H1 ( s ) = s( s + 1)( s + 10)
K取何值时系统为稳定系统。
＋
F(s)
X(s) H1(s) Yf(s)
－
解 令加法器的输出为X(s)， 则有
X ( s) = F ( s) − Y f ( s) Y f ( s ) = H1 ( s ) X ( s ) = H1 ( s )[ F ( s ) − Y f ( s )]
由式(4.8-20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为 (4.8-20) (4.8-21)
1 an cn −1 = − an −1 an −1 k = 10 − 11 1 an cn −3 = − an −1 an −1
an − 2 1 1 10 =− an −3 11 11 k
1 11 K 10 − 11 K
N ( s) H ( s) = D( s)
D ( s ) = an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0
稳定系统的极点应位于s平面的左半平面， 因此D(s)根的 实部应为负值。 它对应以下两种情况： (1) 实数根， 其因式为 (s+a) a>0 (2) 共轭复根， 其因式为 (s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2 =s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c 将D(s)分解后， 只有(s+a)、 (s2+bs+c)两种情况， 且a、 b、 c均为正值。 这两类因式相乘后， 得到的多项式系数必然为 正值， 并且系数为零值的可能性也受到了限制。 由此我们可 得到稳定系统与分母多项式 D(s)的系数关系：
线性系统的稳定性
-
1
传递函数为：
K1
(s)
n2 (s K1)
s
s3 2ns2 n2s K1n2
闭环系统特征方程为：
n2 s(s 2n )
C(s)
D(s) s3 2ns2 n2s K1n2
s3 2 0.2 86.6s2 86.62 s K186.62 s3 34.6s2 7500s 7500K1
一种代数判据，1895年由Hurwitz提出。
设系统特征方程为：
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
其系数行列式为：
a1 a3 a5 a7
a2n1
a0 a2 a4 a6
a2n2
0 a1 a3 a5
a2 n 3
Dn 0 a0 a2 a4
a2n4
0 0 a1 a3
a2n5
0000
例8：系统特征方式为 s4 2s3 8s2 4s 2 0
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解：系统特征方程式所有系数均大于0
D1 2 0 240
D3 1 8 2 40 0 024
所有奇数次赫尔维茨行列式均大于0 ，故系统稳定。
知识回顾 Knowledge
Review
祝您成功！
D(s1) 2(s1 1)3 10(s1 1)2 13(s1 1) 4 2s13 4s12 s1 1
列劳斯表：
s13
4
1
s12
4
1
s11
1 2
s10
1
劳斯第一列系数的符号变化了1次, 因此该方程中
有1个根在s＝－1（新的虚轴）的右边, 故系统稳定裕
量达不到－1。
3.5.6 赫尔维茨(Hurwitz)判据（补充）
自动控制原理线性系统的稳定性分析
ζ从0到1变化时的单位阶跃响应曲线如下图：
2.0
1.8
1.6
1.4
c(t)
1.2 1.0
0.8
0.6
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1 右移一位降两阶 2 行列式第一列不动 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等
s0 7ε
5 分母总是上一行第一个元素
6 一行可同乘以或同除以某正数
7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数
均大于零!
有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行
表 劳=0s4 1 7 6
s3 51 51
② 由零行的上一行构成
辅助方程:
s2+1=
斯 s2 61 61
2) 忽略偶极子的影响。
例 如 ： (s)
(s
10 5)(s2 1.5s
2)
5( s
10 1)(s2 1.5s
2)
'(s)
s2
2 1.5s
2
52 (s 0.75 j1.2)( s 07.5
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
第四章拉普拉斯变换
拉氏变换定义
如有界非周期信号 ; 有稳定幅度的周期信号 0;
随时间成正比增长的信号 0; 按指数eat 增长的信号 a。
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def
0
f (t )e st dt
2. 基本信号的单边拉氏变换 (1)阶跃函数
时间微分性质(续)
t 0 时， f t 0 ，且无原始储能， 若 f t 为有起因信号，即
即 f ( 0 ) f ( 0 ) 0 2 f ( t ) sF ( s ) f ( t ) s F ( s ), 则 ，
常用函数的拉氏变换表可查用。
3. 常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
1 阶跃函数 u (t ) , 0 1 s
L
L 2 冲激函数 (t )
1,
3 指数函数 e
at
1 , －a sa
L
常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
单边周期信号的拉氏变换(续)
（2）周期性脉冲的拉氏变换
f T ( t ) f 1 ( t ) f 1 ( t T ) f 1 ( t 2T )
FT ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e sT F1 ( s )e 2 sT F1 ( s )(1 e
S T 2
1 0
t
T 2
2 T
2 T sin t[u (t ) u (t )] T 2
信号加窗 第一周期
(1 e ) 2 2 S
LT
sT 2
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稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激 励信号的情况无关 。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确 定系统的稳定性。
如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶
（或以上）极点 lim h(t)
t
系统是不稳定系统。
3．临界稳定系统
如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。
t 为,非h(零t) 数值或等幅振荡。
X
4．系统稳定性的判据
时域： h(t) d t
从频域看要求H(s)的极点： ①右半平面不能有极点(稳定) ②虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。
X
X
二．定义（BIBO）
一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也 是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳 定的系统，简称稳定系统。
对所有的激励信号e(t)
其响应r(t)满足
et Me rt Mr
则称该系统是稳定的。式中， Me , Mr为有界正值。 稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）：
ht d t M M为有界正值。 X
三．由H(s)的极点位置判断系统稳定性
1．稳定系统
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚 轴），则可满足
系统是稳定的。
lim h(t) 0
t
例如 1 ,
s p
p0
系统稳定；
1 s 2 ps q
p 0, q 0 系统稳定。
X
2．不稳定系统
一．引言
某连续时间系统的系统函数
H s 1 0.001
s1 s2ຫໍສະໝຸດ 当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为
0.005 1
Rzs s
1
0.005 s
s
1
1
0.005 s2
rzs t 1 et 0.005 e2t ut
但t很大时，这个正指数项
超过其他项并随着t 的增
大而不断增大
X
……续