线性系统的稳定性分析 图文
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自动控制原理__第3学时 线性系统的稳定性分析_
。 对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围 内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大 范围不稳定的情况。
线性控制系统
的定义如下：
若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过
渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则
称系统为稳定。反之，则为不稳定。
线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而 与输入信号无关。
1
1
s2 2
2
s1
0
0
s0 ：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征
方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数 根）。对此情况，可作如下处理：
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。
s4 1
3
2
s3 1 s2 2
1
2
F(s) = 2s2+ 2
的右边？
解：1) s3 2
13
s2 10
4
s1 12.2
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s0 4
2) 令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为 2s13+ 4s12 s1 1 = 0
第三讲 线性系统的时域分析法
第3学时
----控制系统的稳定性分析
3.5 线性系统的稳定性分析
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差
有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复
到初始平衡状态，则这种系统称为
；
如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小 于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡 状态，否则就可以导出，系统特征根都具有负实部的必要 条件为：
线性控制系统
的定义如下：
若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过
渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则
称系统为稳定。反之，则为不稳定。
线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而 与输入信号无关。
1
1
s2 2
2
s1
0
0
s0 ：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征
方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数 根）。对此情况，可作如下处理：
用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助 方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。
s4 1
3
2
s3 1 s2 2
1
2
F(s) = 2s2+ 2
的右边？
解：1) s3 2
13
s2 10
4
s1 12.2
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s0 4
2) 令 s = s1 1 坐标平移，得新特征方程为 2s13+ 4s12 s1 1 = 0
第三讲 线性系统的时域分析法
第3学时
----控制系统的稳定性分析
3.5 线性系统的稳定性分析
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差
有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复
到初始平衡状态，则这种系统称为
；
如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小 于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡 状态，否则就可以导出，系统特征根都具有负实部的必要 条件为：
线性稳定性分析
2
D. J. Bicout Linear Stability Analysis
Introduction
Linear Stability Analysis
Illustrative Examples
One Dimension (one variable): Linear Systems
Procedure for F (x ) = ax + b
D. J. Bicout Linear Stability Analysis
Introduction
Linear Stability Analysis
Illustrative Examples
Linear System
The Exponential
general solution of Eq.(1)
Linear Stability Analysis
Dominique J. Bicout
Biomath´ ematiques et Epid´ emiologies, EPSP - TIMC, UMR 5525, UJF - VetAgro Sup, Veterinary campus of Lyon. 69280 Marcy l’Etoile, France
3
case of λm = 0 =⇒ existence of an equilibrium vm = (vm,1 vm,2 , · · · , vm,n ) = fraction of the system in each dimension
D. J. Bicout Linear Stability Analysis
D. J. Bicout Linear Stability Analysis
线性系统的稳定性分析
将 0.2,n 86.6代入特征方程得
s3 34.6s2 7500s 7500K 0
由特征方程列劳斯表
s3
1
7500
s2 34.6
s1 346 7500 7500K
34.6
s0 7500K
7500K
要使系统稳定，必须满足
7500K 0
解不等式得
34.6 7500 7500K 0 34.6
3.线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环 系统特征方程的所有根都具有负实部。这个 结论好像也不新鲜。有意义吗？
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
号（正值）时，则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
2.物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
3.数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 ， (这t) 相当于系统在零平衡状态 下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞ 时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状 态，即
线性系统稳定性分析的MATLAB分析方法PPT课件
-11.9061 +38.1282i
第7页/共10页
• 1画波特图
MATL AB文本如下：
G=tf([1280 600],[1 24 1600 300 20]);
margin(G) 运行结果为： 50
Bode Diagram Gm = 29.4 dB (at 39.9 rad/sec) , Pm = 73.7 deg (at 0.899 rad/sec)
0.18 0.125 0.08 0.035 7
-8 -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
80
0.5
Real Axis
第4页/共10页
奈奎斯特图法判断系统稳定性
• 单位负反馈系统的开环传递函数为：
G(s)H (s)
s4
6s3
s2 13s2
9s
2
• MATLAB文本如下：
G=tf([1 2],[1 6 13 9 2]);
• 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
G(s)H (s)
k*(s 3) s(s2 2s 2)
• MATLAB文本如下： G=tf([1 3],[1 2 2 0]); rlocus(G) • 运行结果为：
第3页/共10页
Imaginary Axisຫໍສະໝຸດ 8 0.360.25
Root Locus
8
0.18 0.125 0.08 0.035 7
6 0.5
4
0.75 2
0
-2 0.75
-4 0.5
-6
6
5
4
3
2
System: G Gain: 4.05 1
Pole: -0.00046 + 2.46i
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• 1画波特图
MATL AB文本如下：
G=tf([1280 600],[1 24 1600 300 20]);
margin(G) 运行结果为： 50
Bode Diagram Gm = 29.4 dB (at 39.9 rad/sec) , Pm = 73.7 deg (at 0.899 rad/sec)
0.18 0.125 0.08 0.035 7
-8 -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
80
0.5
Real Axis
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奈奎斯特图法判断系统稳定性
• 单位负反馈系统的开环传递函数为：
G(s)H (s)
s4
6s3
s2 13s2
9s
2
• MATLAB文本如下：
G=tf([1 2],[1 6 13 9 2]);
• 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
G(s)H (s)
k*(s 3) s(s2 2s 2)
• MATLAB文本如下： G=tf([1 3],[1 2 2 0]); rlocus(G) • 运行结果为：
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Imaginary Axisຫໍສະໝຸດ 8 0.360.25
Root Locus
8
0.18 0.125 0.08 0.035 7
6 0.5
4
0.75 2
0
-2 0.75
-4 0.5
-6
6
5
4
3
2
System: G Gain: 4.05 1
Pole: -0.00046 + 2.46i
线性系统的稳定性分析优秀课件
limc(t) 0
t
即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是（渐 近）稳定。
C(s) R(s)
ba00ssmnba11ssmn11
...bm1sbm ...an1san
B(s) D(s)
K
B(s)
k
a0 (spi) [s(j jj)][s(j jj)]
i1
j1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。
C(s)
K
R(s) s(s2s1)(s2)K
D (s ) s4 3 s 3 3 s2 2 s K 0
控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时， 各 阶赫尔维茨行列式1、2、…、n均大于零。
1 2
a1 a3
a0 a2
0 n
a1
00
3
a5 a4 a3
0
n
0
一阶系统
0 0
a0>0时
a0>0时,
an1 0
an2 an
பைடு நூலகம்
D (s)a0sa10
1 a1 0
a1>0(全部系数数同号)
D (s)a0s2a1 s1 .a20
1 a1 0
2
a1 a0
a3 a2
a1a2a0a3
0
a1 a3 0 3 a0 a2 0 a22 0
0 a1 a3
a0>0时, a1>0, a2>0, a3>0(全部系数同号)
a1a2> a0 a3
四阶系统
D ( s ) a 0 s 4 a 1 s 3 .a 2 s 2 a 3 s a 4 0
(a)不稳定
临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的 平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡， 则系统处于临界稳定状态。
t
即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是（渐 近）稳定。
C(s) R(s)
ba00ssmnba11ssmn11
...bm1sbm ...an1san
B(s) D(s)
K
B(s)
k
a0 (spi) [s(j jj)][s(j jj)]
i1
j1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。
C(s)
K
R(s) s(s2s1)(s2)K
D (s ) s4 3 s 3 3 s2 2 s K 0
控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时， 各 阶赫尔维茨行列式1、2、…、n均大于零。
1 2
a1 a3
a0 a2
0 n
a1
00
3
a5 a4 a3
0
n
0
一阶系统
0 0
a0>0时
a0>0时,
an1 0
an2 an
பைடு நூலகம்
D (s)a0sa10
1 a1 0
a1>0(全部系数数同号)
D (s)a0s2a1 s1 .a20
1 a1 0
2
a1 a0
a3 a2
a1a2a0a3
0
a1 a3 0 3 a0 a2 0 a22 0
0 a1 a3
a0>0时, a1>0, a2>0, a3>0(全部系数同号)
a1a2> a0 a3
四阶系统
D ( s ) a 0 s 4 a 1 s 3 .a 2 s 2 a 3 s a 4 0
(a)不稳定
临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的 平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡， 则系统处于临界稳定状态。
自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
设系统处于某一平衡状态，若此系统在干 扰作用下离开了原来的平衡状态，那么，在扰 动消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这 就是系统的稳定性问题。
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
线性系统的稳定性分析ppt
03
时域仿真法
利用计算机仿真技术，对线性时变系统进行时域仿真。通过观察系统状
态变量的时域响应曲线，判断系统的稳定性。若系统状态变量最终趋于
零或稳定在某个固定值附近，则系统稳定。
PART 05
线性系统稳定性优化与控 制
系统稳定性优化方法
频域分析法
通过频率响应函数判断系 统稳定性，采用频域校正 方法如超前、滞后校正优 化系统性能。
根轨迹法
利用根轨迹图分析系统稳 定性，通过调整开环增益 或引入附加零点、极点改 善系统性能。
状态空间法
基于状态空间模型分析系 统稳定性，采用状态反馈 或输出反馈控制策略进行 系统优化。
控制器设计与实现
PID控制器
根据系统性能指标设计PID控制器 参数，实现闭环控制并优化系统 稳定性。
最优控制器
应用最优控制理论设计控制器，如 线性二次型调节器（LQR）或线性 二次型高斯控制（LQG），以实现 系统性能最优。
根轨迹法
01
02
03
根轨迹绘制
根据系统开环传递函数的 零点和极点，绘制根轨迹 图。
根轨迹分析
通过观察根轨迹的走向、 交点和与虚轴的相对位置， 判断系统在不同参数下的 稳定性。
根轨迹与系统性能
通过分析根轨迹与系统性 能指标（如超调量、调节 时间等）的关系，进一步 评估和优化系统性能。
PART 04
PART 03
线性时不变系统稳定性分 析方法
时域分析法
初始状态响应法
01
通过分析系统对初始状态的响应来判断稳定性，如系统的零输
入响应是否趋于零。
脉冲响应法
02
利用系统的脉冲响应函数，观察系统对脉冲输入的响应是否收
系统稳定性分析ppt课件
lim
t
xo
t
此时系统是不稳定的。
第六章 系统稳定性分析
若系统特征根具有重根时，只要满足Re[si]<0，有
lim
t
xo
t
0
系统就是稳定的。
系统稳定的充分必要条件是： 系统特征方程的根全部具有负实部。系统的特
征根就是系统闭环传递函数的极点，因此，系统 稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环传
递函数的极点全部位于[s]平面的左半平面。
2
0
第六章 系统稳定性分析
Im
1 GK j
ω＝＋∞ ω＝0
0
Re
（－1，j0）
ω
Im
GK j
ω＝＋∞ ω＝0
0
Re
ω
当ω从0变到＋∞时，F(jω)相角变化为0， 即F(jω)的Nyquist图不包围原点，则闭环系统稳 定。
由于F(jω)=1+GK(jω)，所以GK(jω)的 Nyquist图不包围（－1，j0）点，闭环系统稳定。
s2 6
16
0
号都为正，说明系统没 有右根，但是因为s3行 的各项系数全为零，说 明虚轴上有共轭虚根， 其根可解辅助方程
s1 8 / 3 0
2s4 12s2 16 0
s0 16 0
得s1,2 2 j，s3,4 2 j
由此可见，系统处于临界稳定状态。
第六章 系统稳定性分析
6.3 Nyquist稳定判据 利用系统开环Nyquist图，来判断系统闭环
若系统有一对共轭极点位于虚轴上或有一极点位 于原点，其余极点均位于[s]平面的左半平面，则 零输入响应趋于等幅振荡或恒定值，此时系统处 于临界稳定状态。临界稳定系统属于不稳定系统。
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? 对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
1) 此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件, 而非必要条件。
?
也就是说,若找到满足上述条件
的一个李雅普诺夫函数,则系统是一致渐近稳
定或大范围一致渐近稳定的。
?
但是,如果我们一时找不到这样
的李雅普诺夫函数,也并不意味着平衡态就不
是渐近稳定的。
?
此时,我们或者
1) V'(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不 稳定的;
2) 若V'(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的
x(t0)? 0, V'(x,t)在t>t0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不
稳定的。
□
V(x)
V'(x)
结论
? 下正定面(>将0) 前面讨论的负定李(<0雅) 普诺夫稳该定平衡性态的渐近判稳定定
? (1) 渐近稳定性定理
? 定理 设系统的状态方程为
? x'=f(x,t)
? 其中xe=0为其平衡态。
? 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满 足下述条件:
?
1) 若V'(x,t)为负定的,则该系统
在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;
?
2) 更进一步，若随着||x||→? ,
有V(x,t)→? ,那么该系统在原点处的平衡态是
?
继续寻找满足条
件的李雅普诺夫函数,或者
?
可利用后续定理
的结论来判别平衡态的渐近稳定性。
2) 对于渐近稳定的平衡态,满足条件的李雅普诺夫 函数总是存在的,但并不唯一。
3) 对于非线性系统,虽然具体的李雅普诺夫函数可 证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的,但 并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的;
? 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
? 李雅普诺夫第一法的基本结论是:
? 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值 都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且 系统的稳定性与高阶项R(x)无关。
线性系统的稳定性分析_图文.ppt
?李雅普诺夫第一法
? 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是:
? 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附 近进行线性化,
? 即在平衡态求其一次Taylor展开式,
? 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。
该平衡态不稳定
线性定常连续系统的稳定性分析
? 设线性定常连续系统的状态方程为 x'=Ax
这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡
态xe=0,即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳
? 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 达到最小值。
? 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 量,其储存的能量将越来越大。
? 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
?
对于线性系统,如果存在着渐近
稳定的平衡态,则它必是大范围渐近稳定的。
4) 此定理不仅适用于线性系统,同样适用于非线性 系统;既适用于定常系统,同样也适用于时变系统。
?
因此李雅普诺夫第二法是判别
平衡态稳定性的具有普遍性的方法。
5) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅 普诺夫函数的方法。
?
寻找李雅普诺夫函数的方法将
依具体的系统和状态方程而具体分析。
(2) 稳定性定理
? 定理 设系统的状态方程为x'=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若 存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:
1) V'(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的 平衡态是一致稳定的;
2) 更进一步,若V(x,t)的定义域? 为Rn,对任意的t0和 任意的x(t0)? 0,V'(x,t)在t>t0时不恒为零,那么
方正定法(>作0) 一(小对任结半意负非定零(?的0)初且始不状恒态为的0解 ) 该平衡态渐近稳定
正定(>0)
半负定(? 0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解 )
该平衡态稳定 但非渐近稳定
正定(>0)
正定(>0)
该平衡态不稳定
正定(>0)
半正定(? 0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解 )
?
该系统在原点处的平衡态是一
致渐近稳定的,否则将仅是一致稳定而非一致
渐近稳定。
?
此时,随着||x||→? ,有V(x,t)→? ,
则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大
范围一致渐近稳定的。 □
(3) 不稳定性定理
? 定理 设系统的状态方程为x'=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若 存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:
? 值得指出的区别是:
? 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。
? 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,而不能推广至时变系统。
? 李雅普诺夫第二法又称为直接法。
? 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。
大范围一致渐近稳定的。
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Байду номын сангаас
? 李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论 。
? 它不仅适用于线性系统,也适用于非线性系统;既适 用于定常系统,也适用于时变系统。
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因此，李雅普诺夫第二法是判
别系统稳定性的具有普遍性的方法。
? 李雅普诺夫稳定性理论对控制理论中其他分支理论 的发展也起着重要的作用,是进行现代系统分析和设计 的基础工具。
? 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具 有正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡 态的稳定性与高阶项R(x)无关。
? 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外, 其余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的 稳定性由高阶项R(x)决定。
? 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。