高中数学选修2-3 北师大版 可线性化的回归分析 同步练习(含答案)
【金版优课】高中数学北师大版选修2-3课时作业：3.1 回归分析 Word版含解析
选修2-3第三章§1课时作业48一、选择题1．[2013·北京通州一模]对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不正确的是()A．由样本数据得到的回归方程y＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)B．误差越小的模型，拟合的效果越好C．用相关系数r2来刻画变量间的相关程度，r2的值越小，说明模型的相关程度越高D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.9362，则变量y与x之间具有线性相关关系解析：r2的值越大，说明误差越小，也就是说模型的相关程度越高，故选C.答案：C2．[2014·烟台高二检测]甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：则试验结果体现A、)A．甲B．乙C．丙D．丁解析：由表可知，丁同学的相关系数r最大且残差平方和m最小，故丁同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性．答案：D3．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有()A．a与r符号相同B．a与r符号相反C．b与r符号相同D．b与r符号相反解析：根据b与r的计算公式可知，b与r符号相同．答案：C4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，因为点(72，42)在回归直线y ＝bx ＋a 上，且b 为9.4，所以42＝9.4×72＋a ，解得a ＝9.1，故回归方程为y ＝9.4x ＋9.1，令x ＝6得y ＝65.5，选B.答案：B 二、填空题5．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1481.b ＝1481－6×72×7179－6×(72)2≈－1.8182，a ＝71－(－1.8182)×72≈77.36，则销量每增加1000箱，单位成本下降__________元．解析：由上表可得，y ＝－1.8182x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.8182元．答案：1.81826．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．解析：由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y －5＝1.23(x －4)，即y ＝1.23x ＋0.08. 答案：y ＝1.23x ＋0.087．[2014·宁夏吴忠模拟]某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：4℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )，∴40＝－2×10＋a . ∴a ＝60.∴y ＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：68 三、解答题8．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：x ＝0，y ＝3.2，b ＝6.5，a ＝y －b x ＝3.2.由上述计算结果知，所求回归直线方程为 y －257＝b (x －2006)＋a ＝6.5(x －2006)＋3.2. 即y ＝6.5(x －2006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．9．[2013·重庆高考]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ＝bx ＋a .解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又∑i ＝1n x 2i －n x 2＝720－10×82＝80，∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2＝2480＝0.3， a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。
北师大版高中数学选修2-3回归分析同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作回归分析同步练习【选择题】1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系？（）A、角度和它的余弦值B、正方形边长和面积C、正n边形的边数和顶点角度之和D、人的年龄和身高2、变量y与x之间的回归直线方程（）A．表示y与x之间的函数关系B．表示y和x之间的不确定关系C．反映y和x之间真实关系的形式D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合3、若用水量x（吨）与某种产品的产量y的回归直线方程是ˆy=2x＋1250，若用水量为50kg时，预计的某种产品的产量是（）A．1350 kg B．大于 1350 kg C．小于1350kg D．以上都不对【填空题】4、对具有______________的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。
5、现有一个由身高预测体重的回归方程：体重预测值=4(磅/英寸)×身高－130磅．其中体重与身高分别以磅和英寸为单位．如果换算为公制（1英寸≈2.5cm，1磅≈0.45kg），回归方程应该为_____________________6、回归直线方式：a bx y+=ˆ中b =_____________________,a =____________________（其中：∑==ni ix n x 11）【解答题】7、为考虑广告费用x 与销售额y 之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用(千元) 1.0 4.0 6.0 10.0 14.0 销售额(千元)19.044.040.052.053.0（1）在同一张图上画散点图，直线ˆy(1)=24＋2.5x ，曲线ˆy (2)=602xx +；（2）比较所画直线与曲线，哪一条更能表现这组数据之间的关系？（3）分别计算用直线方程与曲线方程得到在5个x 点处的销售额预测值与实际值之间的误差，最后比较两个误差绝对值之和的大小。
8、下面是两个变量的一组数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y1491625364964请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程。
高中数学选修2-3 北师大版 回归分析 同步练习2(含答案)
1．1回归分析双基达标(限时20分钟)1．关于变量y与x之间的线性回归方程叙述正确的是()．A．表示y与x之间的一种确定性关系B．表示y与x之间的相关关系C．表示y与x之间的最真实的关系D．表示y与x之间真实关系的一种效果最好的拟合解析线性回归方程能最大可能地反映y与x之间的真实关系．答案 D2．散点图在回归分析过程中的作用是()．A．查找个体个数B．比较个体数据大小关系C．探究个体分类D．粗略判断变量是否线性相关答案 D3．设有一个回归方程为y＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时，则()．A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位解析斜率的估计值为－2.5，即x每增加1个单位时，y平均减少2.5个单位．答案 C4．用身高(cm)预报体重(kg)满足y＝－85.712＋0.849x，若要找到41.638 kg 的人，身高________是150 cm.(填“一定”、“不一定”)答案不一定5．某五星级饭店的入住率x(%)与每天每间客房的成本y(元)如下表：则y对x的线性回归方程是______________________．解析将已知数据代入回归系数方程可得b＝－35.03，a＝5 317，故y＝5 317－35.03x.答案y＝5 317－35.03x6．高二(3)班学生每周用于数学学习的时间x(单位：小时)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：解由散点图可得学习时间与学习成绩间具有线性相关关系，可以列出下表，并用科学计算器进行计算.b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝1nx2i－10x2＝545.4154.4≈3.53，a＝y－b x＝74.9－3.53×17.4≈13.5.因此可求得线性回归方程为y＝13.5＋3.53x.当x＝18时y＝13.5＋3.53×18＝77.故该同学预计可得77分．综合提高(限时25分钟)7．下列有关线性回归的说法，不正确的是()．A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在平面直角坐标系中，用描点的方法得到的，表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图C．线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程解析只有对两个变量具有线性相关性作出判断时，利用最小二乘法求出线性回归方程才有意义．答案 D8．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别都是s、t，那么下列说法正确的是()．A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．必有l1∥l2D．l1与l2必定重合解析每条回归直线都过点(x，y)，故l1与l2都过点(s，t)，即l1与l2有公共点(s，t)，故选A.答案 A9．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y^＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每对x的线性回归方程：y增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析由题意，知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．答案0.25410．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170。
高中数学北师大版选修2-3同步训练：(12)回归分析
（12）回归分析1、已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如表所示:若求得其线性回归方程为 6.5y x a =+，则预计广告费用为6万元时，销售额为（ ） A.42万元B.45万元C.48万元D.51万元2、若实数,x y 的取值如表，从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为 3.5 1.3y x =-，则m =（ ）A.15B.16C.16.2D.173、已知下表所示数据的回归直线方程为44y x =-,则实数a 的值为( ) x 2 3 4 5 6 y 3711a 21A. 16B. 18C. 20D. 224、若回归直线的方程为 1.52ˆyx =-+，则变量x 增加一个单位时 （ ） A.y 平均增加1．5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.y 平均减少1．5个单位D.y 平均减少2个单位5、已知x 与y 之间的一组数据如下表：则y 与x 的线性回归方程为y bx a =+必过点( )A.(2,2)B.(1,2)C.(1.5,0)D.(1.5,4)6、已知回归直线斜率的估计值为2.1，样本点的中心为()3,4,则回归直线方程为（ ） A. 2.1 5.4y x =-B. 2.1 2.3y x =-C. 2.1 2.3y x =+D. 2.3 2.1y x =-7、对具有线性相关关系的变量,x y ，测得一组数据如下表： x24568x 0 1 2 3 y1357根据上表，利用最小二乘法得它们的回归方程为10.5y x a =+，据此模型来预测当20x =时，y 的估计值为( ) A.210B.210.5C.211D.211.58、设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,)(1,2,,),i i x y i n =⋅⋅⋅,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71,y x =-,则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)x yC.若该大学某女生身高增加1cm ,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ,则可断定其体重必为58.79kg 9、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元10、某单位为了了解用电量y （千瓦时）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：4℃时，用电量的千瓦时数约为（ ）A ．72B ．70C ．68D ．6611、某数学老师身高176cm ,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm ,170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm .12、若回归直线方程的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是_____________.x (厘米)和体重y (公斤)数据如下表:8,则表格中空白处的值为__________ 14、某工厂对新研发的一种产品进行试销,得到如下数据表: 已知销量y 与单价x 具有线性相关关系,该工厂每件产品的成本为5.5元,请你利用所求的线性相关关系预测:要使得利润最大,单价应该定为_____________元. 附:线性回归方程ybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计计算公式:121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑,a y bx =-15、某城市理论预测2017年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）据此估计2022年该城市人口总数.附： 1221ˆni i i n ii x y nx y bx nx==-=-∑∑， ˆˆay bx =-. 参考数据： 051728311419132⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222220123430++++=.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析： 由题意得，0123425x ++++==，1015203035225y ++++==，将(),x y 代入线性回归方程 6.5y x a =+中，得9a =，即线性回归方程为 6.59y x =+.当6x =时，48y =.故选C.2答案及解析： 答案：D解析：由表格中的数据可得1234535x ++++==，278122555m m y +++++==， 由于回归直线过点(),x y ，所以，353.53 1.35m +⨯-=，解得17m =，故选：D.3答案及解析： 答案：B 解析：4答案及解析： 答案：C解析：由回归方程2 1.5ˆyx =-知,x 与y 负相关,即x 增加一个单位,y 平均减少1.5个单位.5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：B 解析：7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：D解析：由线性回归方程0.8585.71y x =-知,0.850,k =>所以y 与x 具有正的线性相关关系的,故选项A 正确;由回归直线方程恒过样本点的中心(,)x y 知,选项B 正确;若该大学某女生身高增加1cm ,则由0.8585.71y x =-知其体重约增加0.85kg ,因此C 选项正确;若该大学某女生身高为170cm ,则可预测或估计其体重为58.79kg ,并不一定为58.79kg ,因此选项D 不正确.故答案为D.9答案及解析： 答案：B解析：由表可计算4235742x +++==， 49263954424y +++==，∵点7,422⎛⎫ ⎪⎝⎭在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，且ˆb 为9.4， 所以7429.4ˆ2a =⨯+， 解得ˆ9.1a=， 故回归方程为9.4.1ˆ9y x =+， 令6x =，得ˆ65.5y=。
高中数学北师大版选修2-3学案：3.1.1 回归分析 1.2 相关系数 1.3 可线性化的回归分析 Word版含解析
§1回归分析1.1回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析1．了解回归分析的思想和方法．(重点)2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点)3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1回归分析阅读教材P73～P75，完成下列问题．设变量y对x的线性回归方程为y＝a＋bx，由最小二乘法知系数的计算公式为：b＝l xyl xx＝∑i＝1n(x i－x)(y i－y)∑i＝1n(x i－x)2＝∑i＝1nx i y i－n x y∑i＝1nx2i－n x2，a＝y－b x.教材整理2 相关系数阅读教材P 76～P 78，完成下列问题． 1．相关系数r 的计算假设两个随机变量的数据分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则变量间线性相关系数r ＝l xyl xx l yy＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －nx2∑i ＝1ny 2i －n y 2.2．相关系数r 与线性相关程度的关系(1)r 的取值范围为[－1,1]；(2)|r |值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越高； (3)|r |值越接近0，误差Q 越大，变量之间的线性相关程度越低． 3．相关性的分类(1)当r >0时，两个变量正相关； (2)当r <0时，两个变量负相关； (3)当r ＝0时，两个变量线性不相关．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个变量的相关系数r ＞0，则两个变量正相关．( ) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．( ) (3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理3 可线性化的回归分析 阅读教材P 79～P 82，完成下列问题．1．非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．2．非线性回归方程下列数据x，y符合哪一种函数模型()A.y＝2＋13x B．y＝2exC．y＝2e 1x D．y＝2＋ln x【解析】分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋ln x. 【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：[小组合作型]3-1-1i i①，对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()图3-1-1A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关(2)(2016·上饶高二检测)两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有()A．①②B．②③C．①③D．①②③(3)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是() A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【精彩点拨】可借助于线性相关概念及性质作出判断．【自主解答】(1)由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C.(2)根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故选C.(3)其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C.【答案】(1)C(2)C(3)C1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r 的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．[再练一题]1．下列两变量中具有相关关系的是()【导学号：62690052】A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D．球的半径与体积【解析】选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D中球的体积是43π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B 中人的身高与体重具有相关关系．【答案】 By (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：(1)(2)气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量．【精彩点拨】 (1)可利用公式求解； (2)把月平均气温代入回归方程求解．【自主解答】 (1)由散点图易判断y 与x 具有线性相关关系． x ＝(17＋13＋8＋2)÷4＝10， y ＝(24＋33＋40＋55)÷4＝38，∑4i ＝1x i y i ＝17×24＋13×33＋8×40＋2×55＝1 267，∑4i ＝1x 2i ＝526，b＝∑4i＝1x i y i－4x y ∑4i＝1x2i－4x2＝1 267－4×10×38526－4×102≈－2.01，a＝y－b x≈38－(－2.01)×10＝58.1，所以线性回归方程为y＝－2.0x＋58.1.(2)气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量为y＝－2.0 x＋58.1＝－2.0×6＋58.1≈46(件)．1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在作回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．4．回归直线必过样本点的中心点．[再练一题]2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力． 【解】 (1)如图：(2) ∑ 4i ＝1x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ∑ 4i ＝1x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344，b ＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a ＝y －b x ＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为y ＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程得当x ＝9时，y ＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.[探究共研型]探究1 【提示】 非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：探究2已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？①y＝32③y＝4x; ④y＝x2.【提示】观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×2x－1附近．所以模拟效果最好的为①.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(2)如果一名在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为多少？【精彩点拨】先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．【自主解答】(1)根据表中的数据画出散点图，如下：由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y，列表如下：^＝0.693＋0.020x，则有y 由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为z＝e0.693＋0.020x.(2)由(1)知，当x＝168时，y＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为57.57 kg.两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1e c2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围.[再练一题]3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如下表：【解】作出变量y与x之间的散点图如图所示．由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系．设y ＝k x ，令t ＝1x ，则y ＝kt .由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：作出y由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系．又t ＝1.55，y ＝7.2，∑i ＝15t i y i ＝94.25，∑i ＝15t 2i ＝21.312 5，b ＝∑i ＝15t i y i －5t y ∑i ＝15t 2i －5t 2＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4，a ＝y －b t ＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8， ∴y ＝4.134 4t ＋0.8.所以y 与x 的回归方程是y ＝4.134 4x ＋0.8. [构建·体系]1．下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【解析】函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③错误，④正确．【答案】 C2．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点()C．(2.5,4) D．(2.5,5)【解析】线性回归方程必过样本点的中心(x，y)，即(2.5,4)，故选C.【答案】 C3．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________.【导学号：62690053】【解析】由题意知x＝2，y＝3，b＝6.5，所以a＝y－b x＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y＝－10＋6.5x.【答案】y＝－10＋6.5x4．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：【解析】 x ＝3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋1010＝6.6.y ＝15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋4510＝31.5.∴r ＝∑ 10i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ 10i ＝1(x i －x )2∑ 10i ＝1(y i －y )2＝0.991 8.【答案】 0.991 85．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， ∵b ＝－20，a ＝y －b x ， ∴a ＝80＋20×8.5＝250， ∴回归直线方程为y ＝－20x ＋250.(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25， ∴该产品的单价应定为334元时，工厂获得的利润最大．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了考查两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ，对变量y 的观测数据的平均数都为t ，那么下列说法中正确的是( )A ．直线l 1和l 2都过点(s ，t )B ．直线l 1和l 2相交，但交点不一定是(s ，t )C ．直线l 1和l 2必平行D ．直线l 1和l 2必重合【解析】 线性回归方程y ＝bx ＋a 恒过点(x ，y )，故直线l 1和l 2都过点(s ，t )．【答案】 A2．已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )A ．一定是20.3%B ．在20.3%附近的可能性比较大C ．无任何参考数据D ．以上解释都无道理【解析】 将x ＝36代入回归方程得y ＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.【答案】 B3．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B ．线性相关系数可以是正的或负的 C ．回归模型中一定存在随机误差 D ．散点图表明确反映变量间的关系【解析】 用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故D 错误． 【答案】 D4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：( ) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)【解析】 代入检验，当x 取相应的值时，所得y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．【答案】 D5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元【解析】样本点的中心是(3.5,42)，则a＝y－b x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y＝65.5.【答案】 B二、填空题6．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法.【导学号：62690054】【解析】回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．【答案】相关7．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以(x，y)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限．【解析】∵r＜0时b＜0，∴大多数点落在第二、四象限．【答案】二、四8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.【解析】儿子和父亲的身高可列表如下：设线性回归方程y＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a＝y－b x ＝176－173＝3，故线性回归方程为y＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.【答案】185三、解答题9．(2016·包头高二检测)关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：如由资料可知y (1)线性回归方程：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＝y －b x －，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i－n (x )2(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【解】 (1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3， b ＝∑i ＝15x i y i －5x －y －∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23.于是a ＝y －bx ＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y ＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．10．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.【解】 画出散点图如图所示．x ＝16(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7， y ＝16(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，∑i ＝16xx i y i ＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1 910，∑i ＝16xx 2i ＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286，∑i ＝16xy 2i ＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172，由r ＝∑ hi ＝1x i y i－n x y ∑ ni ＝1x 2i －n x2∑ ni ＝1y 2i－n y 2，可得r ≈0.97.由于r 的值较大，所以x 与y 具有很强的线性相关关系．[能力提升]1．经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成绩(单位：分)近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如表：与直线x ＋18y ＝100的位置关系是( )A ．a ＋18b ＜100B ．a ＋18b ＞100C ．a ＋18b ＝100D ．a ＋18b 与100的大小无法确定【解析】 x ＝15(15＋16＋18＋19＋22)＝18， y ＝15(102＋98＋115＋115＋120)＝110， 所以样本数据的中心点为(18,110)， 所以110＝18b ＋a ，即点(a ，b )满足a ＋18b ＝110＞100. 【答案】 B2．已知x 与y 之间的几组数据如下表：a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A ．b >b ′，a >a ′B ．b >b ′，a <a ′C ．b <b ′，a >a ′D ．b <b ′，a <a ′【解析】 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2， a ′＝0－2×1＝－2. 求b ，a 时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b<b′，a>a′.【答案】 C3．(2016·江西吉安高二检测)已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且线性回归方程为y＝0.95x＋2.6，那么表格中的数据m的值为________.【解析】x＝0＋4＝2，y＝＋m4＝11.3＋m4，把(x－，y－)代入回归方程得11.3＋m4＝0.95×2＋2.6，解得m＝6.7.【答案】 6.74．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：散点图显示出证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋bx.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．【解】设u＝1x，则y≈a＋bu，得下表数据：进而可得n ＝10，u ≈0.060 4，y ＝3.21，∑i ＝110uu 2i －10u 2≈0.004 557 3，∑i ＝110u i y i －10u y ≈0.256 35，b ≈0.256 350.004 557 3≈56.25，a ＝y －b ·u ≈－0.187 5，所求的回归方程为y ＝－0.187 5＋56.25x .当x ＝30时，y ＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.。
2019-2020北师大版高中数学选修2-3练习：3.1回归分析.2 Word版含解析
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1
7×145.2≈20.74,������
7
∑ ������2������=2.595,
=1
������
7
∑ ������2������=3
=1
094.72,
�����
7
∑
=
1
xiyi=85.45.
85.45 - 7 × 0.543 × 20.74
∵b= 2.595 - 7 × 0.5432 ≈12.46,
1.2 相关系数
课后作业提升
1.下列变量具有线性相关关系的是( ) A.人的身高与视力 B.角的大小与所对的圆弧长 C.收入水平与纳税水平 D.人的年龄与身高 解析:其中 B 项为确定性关系且不是线性关系,A,D 项不具有线性关系. 答案:C 2.对于相关系数 r,下列说法正确的是( ) A.|r|越大,相关程度越低 B.|r|越小,相关程度越高 C.|r|越大,相关程度越低,|r|越小,相关程度越高 D.|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越高,|r|越接近于 0,相关程度越低 答案:D 3.对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图(1);对变量 u,v 有观测数据 (ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断( )
A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 解析:由这两个散点图可以判断,变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关. 答案:C 4.对于回归分析,下列说法错误的是( ) A.在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,则因变量不能由自变量唯一确定 B.线性相关系数可以是正的或负的 C.在回归分析中,如果 r=±1,说明 x 与 y 之间完全线性相关 D.样本相关系数 r 可以是任意实数 答案:D
(新)高中数学第三章统计案例1_3可线性化的回归分析知识导航北师大版选修2-3
1.3可线性化的回归分析自主整理1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的________________,从_____________中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的参数进行拟合.2.对于非线性回归模型一般可转化为_________________，从而得到相应的回归方程. 高手笔记1.幂函数曲线y=ax b.作变换μ=lny,v=lnx c=lna，得线性函数μ=c+bv.2.指数曲线y=ae bx.作变换μ=lny,c=lna,得线性函数μ=c+bx. 3.倒指数曲线y=ae bx.作变换μ=lny,c=lna,v=x1，得线性函数μ=c+bv. 4.对数函数y=a+blnx.作变换v=lnx ，得线性函数y=a+bv. 名师解惑如何根据原始数据求拟合函数? 剖析：（1）可先由原始数据作散点图. （2）对于一些函数模型的图形要熟悉.如:①幂函数y=ax b型的图象为:②指数曲线y=ae bx(3)倒指数曲线y=ae bx(4)对数曲线y=a+blnx（3）由散点图找出拟合函数的类型. （4）将非线性函数转化为线性函数.（5）求出回归方程. 讲练互动【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y 与月份x 之间满足函数关系模型为y=ae bx，确定这个函数解析式.分析：函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出. 解：设μ=lny，c=lna ，则μ=c+bx.∑=61i xi =21，∑=61i iμ=25.359 5，∑=61i xi 2=91，∑=61i iμ2=107.334，∑=61i iix μ=90.341 3，x =3.5，μ=4.226 58，b=226126115.369122658.45.363413.9066⨯-⨯⨯-=--∑∑==i ii ixxx x μμ=558412.1=0.09, c=μ-b x =4.226 58-0.09×3.5=3.911 58，∴μ=3.911 58+0.09x.∴y=e 3.911 58·e 0.09x.绿色通道:基础模型为指数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程.. 变式训练1.某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件，为了估测以后每个月的产量，可用函数y=ae bx来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，求模拟函数.∑=41i ix=10，∑=41i iμ=0.759 5，∑=41i ix2=30，∑=41i iμ2=0.201 2，∑=41i ixμi =2.411，x =2.5，μ=0.189 9，b=∑∑==⨯-⨯⨯-41224144iiiiixxxxμμ=25.24301899.05.24411.2⨯-⨯⨯-=551225.0=0.102 45，c=μ-b x=0.189 9-0.102 45×2.5=-0.066，∴μ=-0.066+0.102 45x.y=e-0.066·e0.102 45x.身高x/cm 60 70 80 90 100 110体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身高x/cm 120 130 140 150 160 170体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05(1)画出散点图.(2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.(3)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常?解：(1)作散点图.(2)从散点图可看出函数模型为y=ae bx型.设μ=lny，c=lna，则μ=c+bx.x 60 70 80 90 100 110 μ 1.813 2.067 2.301 6 2.497 2.709 4 2.862 x 120 130 140 150 160 170 μ 3.041 3.290 6 3.437 5 3.659 7 3.855 4 4.008 2 ∑=121ix i=1 380, ∑=121iμi=35.542 4, ∑=121ix i2=173 000, ∑=121ix iμi=4 369.249,x=115,μ=2.961 9,b==⨯-⨯⨯-=-⨯⨯-∑∑==22121212111512170009619.211512249.43691212xxxxiiiiiμμ14300873.281=0.0197,c=μ-b x=2.961 9-0.019 7×115=0.696 4,∴μ=0.696 4+0.019 7x,y=e0.6964·e0.019 7x.当x=175时,μ=4.143 9,∴y=eμ=e4.143 9=63.048.048.6378=1.237＞1.2,此男子偏胖.绿色通道:根据给出的数据,画出散点图,选择散点图所符合的函数模型再转化为线性关系解答.变式训练温度x/℃21 23 25 27 29 32 35产卵个数y/个7 11 21 24 66 115 325 求y与x之间的回归方程.解：（1）画出散点图.两变量符合指数函数y=ae bx.x 21 23 25 27 29 32 35 μ 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 ∑=71iix=192，∑=71iiμ=25.286，∑=712iix=5 414，∑=71iixμi=733.741，x=27.428 6，μ=3.612 3.b=27122714286.27754146123.34286.277741.73377⨯-⨯⨯-=--∑∑==iiiiixxxxμμ=0.272，c=μ-b x=-3.843，∴μ=3.843+0.272x.y=e-3.843·e0.272x.同步测控我夯基，我达标1.设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的关系为y=ce kx，其中c、k为常量，如果某游客从大气压为1.01×105Pa的海平面地区,到了海拔为2 400 m、大气压为0.90×105 Pa的一个高原地区,则k与c的取值分别是( )解析:将⎩⎨⎧==2400,0yx和⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=551090.0,1001.1yx分别代入y=ce kx,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-.10805.4,1001.155kc答案：A2.我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示.年份1990 1991 1992 1993 产值/亿元18 598.4 21 662.5 26651.9 34 560.5 年份1994 1995 1996 1997 产值/亿元46 670.0 57 494.9 66 850.5 73 142.7 年份1998 1999 2000产值/亿元76 967.1 80 422.8 89 404.0A.y=ae kxB.y=a+bxC.y=ax bD.y=ae xb解析：画出散点图观察，可用y=a+bx刻画国民生产总值发展变化的趋势.答案:Bx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3 A.y=2+13x B.y=2e x C.y=2e x1D.y=2+lnx解析：取x=1,2，…，10分别代入各解析式判断.答案:D4.指数曲线y=ae bx的图象为( )解析：∵y=a e bx，∴a＞0时y＞0，排除A、C,且x∈R，排除D,选B.答案:B5.倒指数曲线y=ae xb 的图象为( )解析:y=a xb e ，当a ＞0,b ＞0时，图象为A. 答案:A6.幂函数曲线y=x b,当b ＞1时的图象为( )解析:当b ＞1时,图象为A,当0＜b ＜1时为B,当b ＜0时为C,当b=1时为D. 答案:A7.x 、y 满足 x 0.2 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 y0.040.3611.41.92.53.23.984.82则x 、y 之间符合函数模型____________________________.解析:画出散点图,形如y=x b，其中b=2.答案:y=x 2x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 y0.260.350.510.711.11.412.05解析:画出散点图，形如y=a·e bx，其中a=2，b=1.答案：y=e xln2我综合，我发展x 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 4 5 y2096420.940.650.510.45解析:画出散点图，形如y=xb，其中b=2. 答案:y=x2 x 0.4 0.5 1 2 y 0.082 0.135 0.367 8 0.607 x 5 10 20 30 y0.818 70.904 80.9510.967 5则x 、y 满足函数关系是____________________________.解析：画出散点图,当x 无限大时，y 逐渐接近于1，符合函数模型y=ae bx. 其中a=1，b=-1. 答案：y=xe1-天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个612254995190（1）作出y 关于x 的散点图. （2）写出y 关于x 的模拟函数. 解:(1)作散点图.(2)由散点图知x 、y 之间满足函数关系为y=ae bx. x 1 2 3 4 5 6 μ1.791 82.484 93.218 93.891 84.553 95.247 0∑=61i ix=21,∑=61i iμ=21.188 3,∑=61i ix2=91,∑=61i ixμi =86.237,x =3.5,μ=3.531 4,b=∑∑==--61226166i i i iixx x x μμ=25.36915314.35.36237.86⨯-⨯⨯-=5.170776.12=0.69, c=μ-b x =3.531 4-0.69×3.5=1.115 9, ∴c =1.115 9+0.69x.∴y=e 1.115 9·e 0.69x.12.我国1950—1959年人口数据资料如下表:若y 与t 之间满足y=ae 关系，求函数解析式;若按此增长趋势估计大约在哪一年我国人口达到14亿？解：设μ=lny，c=lna,则μ=c+bt.∑=101i it=45,∑=101i iμ=110.167 0,∑=1012i it=285,∑=101iitμi =497.593 6,t =4.5,μ=11.016 7,b=2101221015.4102850167.115.4105936.4971010⨯-⨯⨯-=--∑∑==i i i iitt t t μμ=5.828421.1=0.0223,c=μ-b t =11.016 7-0.022 3×4.5=10.916 4,∴μ=10.916 4+0.022 3t. y=e 10.916 4+0.022 3t.令y=140 000万，则10.916 4+0.022 3t=ln140 000=11.849 4， ∴t=41.838 5.即大约在1950年后的第42年(即1992年)我国人口达到14亿,由此看来,计划生育是我国的基本国策.我创新，我超越13.在平炉炼钢中,由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含量不断下降.现测得含碳量求回归方程.分析:画出散点图观察样本点分布在一条指数函数曲线y=ae bx的周围,再应用换元转化为线性回归问题求解.则∑=111i it=66，∑=111i iz=6876，∑=1112i it=400.4，∑=111i izt i =32.778 2，t =6，z =0.619 6，b=211121111111tt zt tz i i i i i ∑∑==--=26114.4006196.06117782.32⨯-⨯⨯-=4.41178.8-=-1.845，c=z -b t =11.689， ∴z=-1.845t+11.689.∴y=e -1.845 t+11.689.。
2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测3.1回归分析(有答案)
2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测3.1回归分析一、选择题1.设某大学的女生体重y(单位:kg )与身高x(单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,)(1,2,,),i i x y i n =⋅⋅⋅,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71,y x =-,则下列结论中不正确的是( )A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)x yC.若该大学某女生身高增加1cm ,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ,则可断定其体重必为58.79kg 1.答案：D解析：由线性回归方程0.8585.71y x =-知,0.850,k =>所以y与x具有正的线性相关关系的,故选项A 正确;由回归直线方程恒过样本点的中心(,)x y 知,选项B 正确;若该大学某女生身高增加1cm ,则由0.8585.71y x =-知其体重约增加0.85kg ,因此C 选项正确;若该大学某女生身高为170cm ,则可预测或估计其体重为58.79kg ,并不一定为58.79kg ,因此选项D 不正确.故答案为D.2.两个相关变量满足如下关系:A.0.56997.4y x =+B.0.63231.2y x =-C.50.2501.4y x =+D.60.4400.7y x =+解析：利用公式有12210.56ni ii nii x ynx yb xnx ==-⋅=≈-∑∑, 997.4a y bx =-≈,所以回归直线方程为0.56997.4y x =+.3.四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y 与x 负相关且 2.34.4ˆ7623y x =-; ②y 与x 负相关且 3.476 5.6ˆ48yx =-+; ③y 与x 正相关且 5.43.4ˆ7893y x =+; ④y 与x 正相关且 4.326 4.5ˆ78yx =--. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.答案：D解析：由正负相关的定义知,①错,表达式表示的是正相关,④错,表达式表示的负相关,故①④一定错.选D.4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调査了该社区5根据上表可得回归直线方程y bx a =+,其中0.76,b a y bx ==-，据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元解析：由题意知：8.28.610.011.311.9105x ++++==，6.27.58.084.59.885y ++++==.又0.76,0.4b a ==∵∴，∴0.760.4y x =+，∴当15x =时，11.8y =. 5.对变量有观测数据(,)(1,2,,10),i i x y i =⋅⋅⋅得散点图①;对变量,u v 有观测数据(,)(1,2,,10)ui vi i =⋅⋅⋅,得散点图②,由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关,u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关,u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关,u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关,u 与v 负相关 5.答案：C 解析：由图(1)可知, y 随x 的增大而减小,各点呈下降趋势,变量x 与y 负相关, 由图(1)可知, v 随u 的增大而增大,各点呈上升趋势,变量u 与v 正相关, 二、填空题6.假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下若由资料可知对呈线性相关关系，且线性回归方程为ˆybx a =+，其中已知 1.23b =，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________． 6.答案：24.68解析：∵ 2.2 3.8 5.5 6.57234561.230.0855a y bx ++++++++=-=-⨯=，∴当20x =时， 1.23200.0824.68y =⨯+=，故答案为24.68．7.某药材公司与某枳壳种植合作社签订收购协议,根据协议,由该公司提供相关的种植技术标准和管理经验,并对标准园的枳壳成品按不低于当年市场价的价格进行订单式收购,形成“龙头企业+合作社+农户”的快速发展模式.该合作社对2016—2019年的收益情况进行了统计,得到如下所示的相关数据:=-,则by bx27.答案：14.6解析：由题表知， 2.5,34.5x y在回归直线2x y==.因为样本点的中心(,)=-y bx 上，所以ˆb=.=-，解得ˆ14.6b34.5 2.52三、解答题8.为助力湖北新冠疫情后的经济复苏,某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:(1)根据以上数据,求y关于x的线性回归方程;(2)若该产品成本是4元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润?(参考公式:回归方程,y bx a =+其中121()(),)()nii i nii xx y y b a y bx xx ==--==--∑∑。
北师大版高中数学选修2-3同步精练：1回归分析 Word版含解析
1．设有一个回归直线方程y＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时()．A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位2．y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必定过()．A．(0,0)B．(，0)C．(0，y)D．(，y)3．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是()．①劳动生产率为1000元时，工资为730元；②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1000元，则工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元．A．1B．2C．3D．44．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要()．A．6.5hB．5.5hC．3.5hD．0.5h5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()．A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反6．已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝______.7．对于n个复数z1，z2，…，z n，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，…，k n，使得k1z1＋k2z2＋…＋k z n＝0，就称z1，z2，…，z n线性相关．若要说明z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，那么可取{k1，k2 n，k3}＝______.(只要写出一组即可)8．已知x与y之间的一组数据：x 012 3y 1357则y与x的线性回归方程为y＝bx＋a必过点__________．9．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验．测得的数据如下.零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)求y对x的回归直线方程．(2)据此估计加工200个零件所用的时间是多少？10．某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应产量y(kg)的关系作了统计，得到数据如下：如果x 与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为32kg时水稻的产量大约是多少？(精确到0.01kg)x 15202530354045y 330345365405445450455参考答案1.答案：C解析：∵y ＝2－2.5x ，a ＝2，b ＝－2.5，∴变量x 增加一个单位时，y 平均减少2.5个单位． 2.答案：D解析：线性回归方程一定过样本中心(，y )． 3.答案：C解析：代入方程计算可判断①②④正确． 4.答案：A解析：当x ＝600，y ＝600×0.01＋0.5＝6.5(h)． 5.答案：A解析：因为b ＞0时，两变量正相关，此时，r ＞0；b ＜0时，两变量负相关，此时r ＜0. 6.答案：58.5 解析：因为＝15×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ＝1.5＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5. 7.答案：{2,4,3}解析：由k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)－2k 3＝0， 即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0， ∴1231220,20,k k k k k +-=⎧⎨-=⎩即k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.8.答案：(1.5,4)解析：回归直线方程必过点(，y )，又＝01234+++＝1.5，13574y +++=＝4，故y 与x 的线性回归方程必过点(1.5,4)．9.解：(1)列出下表，并用科学计算器进行计算．i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 68 75 81 89 95 102 108 115122x i y i 62013602250324044505700 7140864010350 12200＝55，y ＝91.7，1021ii x=∑＝38500，101i ii x y =∑＝55950设所求的回归直线方程为y ＝bx ＋A ．同时，利用上表可得b ＝10110222110 y55 950-105591.738 500-105510i ii ii x y x xx ==-⨯⨯=⨯-∑∑≈0.668， a ＝y －b ＝91.7－0.668×55＝54.96，即所求的回归直线方程为y ＝0.668x ＋54.96.(2)这个回归直线方程的意义是当x 增大1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x 增大而变化的部分．因此当x ＝200时，y 的估计值为 y ＝54.96＋0.668×200＝188.56≈189. 故加工200个零件时所用的时间约为189分． 10.解：列表如下：序号 x y x 2 xy 1 15 330 225 4950 2 20 345 400 6900 3 25 365 625 9125 4 30 405 900 12150 5 35 445 1225 15575 6 40 450 1600 18000 7 45 455 2025 20475 合计2102795700087175＝17×210＝30，17y =×2795≈399.3， b ＝287 175-730399.37 000-730⨯⨯⨯≈4.746， a ＝399.3－4.746×30＝256.92，∴y 对x 的回归直线方程为y ＝256.92＋4.746x . ∴当x ＝32时，y ＝256.92＋4.746×32≈408.79(kg)．答：回归直线方程为y ＝256.92＋4.746x ，当单位面积化肥用量为32kg 时，水稻的产量约为408.79kg.。
北师大版高中数学选修2-3可线性化的回归分析同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作可线性化的回归分析 同步练习【选择题】1、给定y 与x 的一组样本数据，求得相关系数r=-0.690，则（ ） A.y 与x 的线性相关性很强 B. y 与x 的相关性很强 C. y 与x 正线性相关 D. y 与x 负线性相关2、下列关系中是相关关系的是 （ ）A 、位移与速度、时间的关系B 、烧香的次数与成绩的关系C 、广告费支出与销售额的关系D 、物体的加速度与力的关系 【填空题】3、为考虑广告费用x 与销售额y 之间的关系，随机地抽取5家超市，得到如下表所示的数据；广告费用x(千克) 1.0 4.0 6.0 10.0 14.0 销售额y （千元） 19.0 42.0 46.0 52.0 53.0 现要使销售额达到10万元，则广告费用约为______________千克. 4、独立性检验常作的图形是______________和_________________. 【解答题】5、在彩色显影中，由经验可知，形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式)0(<=b Ae y xb 表示，现测得试验数据如下：i x0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10 i y 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37 i x0.380.430.140.200.47i y1.19 1.25 0.59 0.79 1.29试求y 对x 的回归方程.6、某种书每册的成本费Y 元与印刷册数x （千册）有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 Y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15检验每册书的成本费Y 与印刷册数的倒数x1之间是否具有线性相关关系，如有，求出Y 对x 的回归方程.参考答案1、D2、C3、31．856 44、三维柱形图，二维条形图5、解：由题意知，对于给定的公式)0(<=b Ae y xb 两边取自然对数，得.ln ln xbA y +=与线性回归方程相对照可以看出，只要取,ln ,ln ,1A a y v xu ===就有v =a +bu . 这是V 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ,题目中所给的数据由变量置换,ln ,1y v xu ==变为如下所示的数据.i u20.00 16.667 4.000 3.226 14.286 10.000i v -2.303 -1.966 0 0.113 -1.470 -0.994 i u 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128 i v0.1740.223-0.528-0.2360.255可以求得：r =0.998,由于,75.0998.0||>=r 可知，v u 与具有很强的线性相关关系.再求出b =-0.14,a =0.548, u v146.0548.0ˆ-=∴ 把v u 与置换回来可得.146.0548.0ˆln xy -=∴xxxeee e y146.0146.0548.0146.0548.073.1ˆ---=⋅==∴所以回归曲线方程为xe y146.073.1ˆ-=∴6、Y 对x 的回归方程为.120.1976.8ˆ+=xy。
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1.3 可线性化的回归分析
双基达标(限时20分钟)
1．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
则专家所选择的四归模型是下列四种模型中的哪一种()．
A．y＝b＋ax(a≠0) B．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
C．y＝a x(a>0且a≠1) D．y＝log a x(a>0且a≠1)
答案 A
2．下列数据x，y符合哪一种函数模型().
A.y＝2＋1
3x B．y＝2e
x
C．D．y＝2＋ln x
解析取x＝1,2，…，10分别代入各解析式判断．
答案 D
3．指数曲线y＝a e bx的图像为()．
解析∵y＝a e bx，∴a>0时y>0，排除A、C，且x∈R，排除D，选B.
答案 B
4．已知线性回归方程的斜率的估计值是0.5，样本点的中心为(4.5,5)，则线性回归方程是________________．
解析在回归方程中，已知b＝0.5，则a＝y－b·x＝2.75.
答案y＝2.75＋0.5x
5．对于回归方程y＝257＋4.75x，当x＝28时，y的估计值是____．解析当x＝28时，y＝257＋4.75×28＝390，∴y的估计值为390.
答案390
6．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数读数结果如下.
(1)
(2)求线性回归方程．
(3)根据(2)的结果，估计当x i为12 mg/L时的消光系数g i.
解(1)
(2)y＝－11.3＋36.95 x.
(3)当x i＝12时代入y＝－11.3＋36.95x，得y i＝432.
综合提高(限时25分钟)
7．为研究广告费用x与销售额y之间的关系，有人抽取了5家餐厅，得到的数据如下表：
在同一坐标系中画散点图，直线L：y＝24＋2.5x，曲线C：y＝60x
2＋x
，如图
所示．更能表现这组数据之间的关系的是()．
A．直线L
B．曲线C
C．直线L和曲线C都一样
D．无法确定
答案 B
8．观察下图中的4个散点图，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是
()．
A．①②B．①③
C．②③D．③④
解析在研究两个变量之间的关系时，可以根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．这种方法既直观又方便，因而对解决相关性检验问题比较常用．
答案 B
9．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，
回归方程是y＝－0.7x＋a，则a＝________.
解析x＝2.5，y＝3.5，b＝－0.7，
∴a＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.。