2018-2019学年北师大版数学九年级(上)第4章 解答题专项提升训练图形的相似(含答案)

解答题专项提升训练：图形的相似1．如图，△ABC∽△ADE，AB=AC．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）求BD：CE的值．【解答】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠DAE=∠BAC，，∴∠DAE+∠EAB=∠EAB+∠BAC，即∠DAB=∠EAC，∴△ABD∽△ACE；（2）解：由（1）得△ABD∽△ACE，所以BD：CE=AB：AC=1：2．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CF⊥AD于F，BE⊥CF交CF的延长线于E，求的值．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CF，∴∠ACD=∠E=90°，∠ACF=∠CBE，在△AFC和△CEB中，，∴△AFC≌△CEB（AAS），∴AF=CE，CF=BE，∵CF⊥AD，∠ACB=90°，∴△AFC∽△ACFD，∴CD：AC=CF：AF，∵D为BC的中点，∴CD=BD，AC=BC，∴AC=2CD，∴CF：AF=BE：AF=CD：AC=1：2．3．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，已知，E为AD的中点，延长BE交AC于F，求的值．【解答】解：过D作DG∥AC交BF于G，∵E是AD的中点，易证△AEF≌△DEG，∴EG=EF，∵DG∥AC，BD：DC=5：3，∴BG：GF=5：3，∴BE：EF=（5+1.5）：1.5=13：3．即的值是．4．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当AB=AC时，求证：AD=DE；（2）如图②，若D运动到BC边的延长线上，且AB=k•AC，AE=m，求线段AD的长（用含k，m的式子表示）．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：∵MN∥AC，∠BAC=90°，∴∠ABE+∠BAC=180°，∴∠ABE=90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴点A，B，E，D四点共圆，∴∠AED=∠ABC，∴△ABC∽△ADE，∴，∵AB=k•AC，∴，∴DE=k•AD，∵AD2+DE2=AE2，即AD2+（k•AD）2=m2，∴AD=．5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，求证：△BDE∽△CFD．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵∠EDC=∠B+∠E，即∠EDF+∠FDC=∠B+∠E，而∠EDF=∠B，∴∠FDC=∠E，∴△BDE∽△CFD．6．如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，点E是边BC的中点，连结DE，AE．（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连结AF，交DE于点G，连结EF，若∠DAG=∠FEG．①求证：△AGE∽△DGF；②求DF的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，∵∠C=60°，∴△CDB是等边三角形，∴DB=DC=AB=4，∵BE=EC，∴DE⊥BC，∴DE=BD•cos30°=2．（2）①∵∠DAG=∠FEG，∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF，∴=，∴=，∵∠AGE=∠DGF，∴△AGE∽△DGF，②∵△AGE∽△DGF，∴∠EAG=∠GDF=30°，∵∠GFE=∠ADG=90°，∴EF=AE==，在Rt△ECH中，CH=1，EH=，在Rt△EFHZ，FH==2，∴CF=2+1=3，∴DF=CD﹣CF=1．7．如图，已知△ABC中，四边形DEGF为正方形，D、E在线段AC、BC上，F、G在AB上，如果S△ADF=S△CDE=1，S△BEG=3，求△ABC的面积．【解答】解：过C作CH⊥AB于H，交DE于M，设AF=a，正方形DFGE的边长为b，CM=h，∴S△CDE=bh=1，S△AFD=ab=1，∴a=h，∴CH=h+b=a+b，∵S△BEG=BG•b=3，∴GB=3a，∴S△ABC=AB•CH=（a+b+3a）（a+b）=b2+5，∵ab=2，∴2a2+b2=b2，∴b=2a，∴bb=2，∴b2=4，∴S△ABC=b2+5=9．8．如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，点G在边AB上，△BDG与四边形ACDG 的周长相等，设AB=BC=10，AC=6．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）判断△BDG与△DFG是否相似，并说明理由．【解答】解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE=AB，DF=AC．又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，∴BG=AC+AG．∵BG=AB﹣AG，∴BG=8（2）BG=8，FG=BG﹣BF=3，∴FG=DF．∴∠FDG=∠FGD．又D、E分别为BC、AC的中点∴DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD．∴∠FDG=∠EDG．∴DG平分∠EDF（3）∴△BDG与△DFG不相似．△DFG的三边长分别为3、3、5，是等腰三角形，如果△BDG与△DFG相似，也是等腰三角形，BD=DG，△BDG的三边长分别为5、5、8．∵对应边的比不相等，∴△BDG与△DFG不相似．9．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AF平分∠BAC，求证：AC2=2AG•AF．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°=∠ABC，又∵∠FCE=∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴=，又∵∠ACF=∠BCE，∴△CAF∽△CBE；（2）∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF=∠CBE，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF，∴∠BAF=∠CBE，∴∠BAF+∠AFB=∠CBE+∠AFB=90°，即∠ABF=∠BGA=90°，∵∠BAG=∠BAF，∴△ABF∽△AGB，∴=，∴AB2=AG•AF，∵正方形ABCD中，AC2=2AB2，∴AC2=2AG•AF10．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQP=90°=∠ABC，在△APQ与△ABC中，∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，∴△AQP∽△ABC．（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，由（1）可知，△AQP∽△ABC，∴，即，解得：PB=，∴AP=AB﹣PB=3﹣=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A，∴BQ=AB，∴AB=BP，点B为线段AP中点，∴AP=2AB=2×3=6．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．11．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【解答】方法一：解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，∴即解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米．方法二：解：连接MN，并延长交CD于点F，设DF=xm，则MN∥AB，AB=MN=1.25m，MF=AC，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴∠EMA=∠MDF=45°∴DF=MF=AC=xm，DC=DF+AM=x+1.75m，∵MF∥AC∴==，即=，解得：x=4.375m，∴DC=4.375+1.75=6.125m≈6.1m，∴路灯高CD约为6.1米．12．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．13．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．（1）请你写出一对相似三角形，并加以证明；（2）当点P满足什么条件时，PD=3PQ，请证明你的结论．【解答】解：（1）△BPQ∽△CDP，证明：∵正方形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∵∠QPD=90°，∴∠QPB+∠BQP=90°，∠QPB+∠DPC=90°，∴∠DPC=∠PQB，∴△BPQ∽△CDP．（2）P为BC的三等分点时，PD=3PQ．证明：∵△BPQ∽△CDP∴，要使PD=3PQ，即∴即P为BC的三等分点时，PD=3PQ．14．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l 交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2t．则==，又∵AO=10，AB=20，∴==．∴=．又∵∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，∴AM=．在△APQ中，∠AQP=90°，∴AQ=AP•cos30°=2t，∴QM=AC﹣2AQ=20﹣4t．由AQ+QM=AM得：2t+20﹣4t=，解得t=．∴当t=时，点P、M、N在一直线上．②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．设l交AC于H．如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．∴MH=2NH．得20﹣4t﹣=2×，解得t=2．如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．∴MH=2PH，同理可得t=．故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=15时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【解答】解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴，当t=15时，OE=BE=15，OA=40，OB=30，∴，∴S△PEF=EF•OE=（平方单位）；（2）∵△BEF∽△BOA，∴，∴，整理，得t2﹣30t+240=0，∵△=302﹣4×1×240=﹣60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴，即，解得t=12；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴，即，解得．∴当t=12或时，△EOP与△BOA相似．。