2017-2018(1)概率论与数理统计A卷参考答案

广州大学 2017- 2018 学年第 一 学期考试卷
参考解答与评分标准
课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试
一、选择题（每小题3分，总计15分）
1．三人各投一次球，设i A 表示“第i 人投中”(1,2,3)i =,则123A A A 表示（ C ）. （A ）三人都投中；
（B ）三人中至少有一人投中； （C ）三人至多有两人投中；
（D ）三人都没投中.
2．设随机事件,A B 满足0()1P A <<,()0P B >,且(/)(/)P B A P B A =,则必有( D ). (A)(/)(/)P A B P A B =； (B)(/)(/)P A B P A B ≠； (C)(/)(/)P A
B P B A =； (D)()()()P AB P A P B =.
3.设2~(5,3)X N ，且常数c 满足{}{}P X c P X c >=≤，则c =( D ). (A) 0； (B) 1； (C) 3； (D) 5.
4.设X 和Y 为两个随机变量，则( A )能得出X 和Y 独立.
(A) (,)()()X Y F x y F x F y = ； (B)()()()E XY E X E Y =； (C)()()()E X Y E X E Y +=+； (D)()()()D X Y D X D Y +=+. 5.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布为
已知随机事件{0}Y =与{1}X Y +=相互独立，则( D ). (A) 0.3,0.2a b ==； (B) 0.4,0.1a b ==； (C)0.2,0.3a b ==； (D) 0.1,0.4a b ==.
二、填空题（每空3分，总计15分）
1．设()0.28, P B =(/)0.6, (/)0.75P B A P A B ==，那么()P A B ⋃= 0.42 .
2．将一颗骰子连续掷三次，则恰好有两次出现“6”点的概率为5
72
.
3．从数1，2，3中任取一个数记为X ，再从1， ,X 中任取一个数记为Y ，则{2}P Y ==5
18
. 4．设随机变量~(,)U a b ξ，且4, 3E D ξξ==, 则{05}P ξ<≤=2
3
.
5．设连续型随机变量X 的分布函数为
50, 0,(),0,
x
x F x a e x -≤⎧=⎨->⎩ 则{1}P X >=5 e -.
三、（本题满分8分）
袋中标有不同号码的红、黑、黄球各2个，现随机从袋中有放回地抽取3次，每次取1个，求下列事件的概率： (1) A={三次未抽到红球}； (2) B={颜色不全相同}.
解：4448
()66627
P A ⋅⋅==
⋅⋅ ------------4分 33328
()169P B ⋅=-=
------------8分
四、（本题满分8分）
已知甲、乙两箱装有同种产品，甲箱装有10只，其中有6只一等品；乙箱装有6只，其中有3只一等品，今从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次，每次取一只，求:
(1) 第一次取到的是一等品的概率；
(2) 在第一次取到一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率. 解：（1）设i B 表示“第i 次取到一等品”（1,2i =），A 表示“从甲箱中抽取产品”， A 表示“从乙箱中抽取产品”
，则
1()2P A =，1()2P A =，1163
(|),(|)106P B A P B A ==， --------2分
由全概率公式
111()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+1613
0.5521026
=⨯+⨯=. ---------4分
（2） 12211()
(/)()
P B B P B B P B =
1651321621092650.4850.5533⨯⨯+⨯⨯=
=≈
---------8分
五、（本题满分10分）
求:(1) (2)21Y X =-的分布律.
解：（1）X 的分布函数0,2
0.420
()0.5,
010.6,121,2
x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪
=≤<⎨⎪≤
<⎪≥⎪⎩-----------5分 (2)21Y X =-的分布律为
分
六、（本题满分10分）
设某种电子产品的使用寿命X 的概率密度为
3()3, ,
(,)0, ,
x e x f x x ββββ--⎧>=⎨≤⎩
其中0β>为未知参数，又设 是来自X 的一组样本观察值，求参数β的最大似然估计值. 解：似然函数为
⎪⎩⎪⎨
⎧=>∑==--.
其它 ,),( ,1)(30n ,1,2,3 i x e i n ββn
i i x -----------4分 当 时，()0L β>，取对数得
1ln ()ln 33()
n
i i L n x ββ==--∑
-----------6分
因为
ln ()
30d L n d ββ
=>，所以()L β单调增加， -----------8分 由于β须满足
故当β取 中的最小值时，()L β取最大值，
所以β的最大似然估计值为 .-----------10分
设随机变量X 的概率密度为
;
01;();12;0;x x f x a x x 其它.<≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪⎩
求：
（1）常数a 的值；
（2）关于t 的方程22(1)50t X t X ++-+=有实根的概率； （3）()E X .
解：（1）由
()1f x dx +∞-∞
=⎰
，得
2
21
21
2
010113
()()12
222
x x xdx a x dx ax a +-=
+-=+-=⎰⎰， 故 2a = ---------4分
（2）由方程22(1)50t X t X ++-+=有实根,则有
2
4(1)4(5)4(4)(1)0X X X X ∆=+--=+-≥ 解得 1X ≥或4X ≤-. ---------6分
故所求概率为{1}{4}P X P X ≥+≤-2
1
(2)x dx =-⎰
2211
(2)22x x =-=
---------8分
（3） ()E X 1
2
2
1
(2)x dx x x dx =+-⎰⎰
331
22
0117
()313333x x x =
+-=+-=
---------12分
设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下:
求:（1）{}P X Y >；
（2）X ,Y 的边缘分布律； （3）Z X Y =+的概率分布.
解：（1） {}{1,1}{1,0}{2,1}P X Y P X Y P X Y P X Y >===-+==
+==-
{2,0}{2,1}P X Y P X Y +==+==
11112
48683=
+++=
-----------4分
（2）X 的边缘分布律
------------6分 Y
分
（3）Z X Y =+的概率分布
------------12分
某学校召开家长座谈会，前来参加家长会的家长人数是一个随机变量，已知一个学生无家长、有1个家长来参加会议的概率分别为0.2，0.8。

若学校共有900名学生，设来参加会议的各家长是相互独立且服从同一分布。

利用中心极限定理计算前来参加会议的家长人数在720与750之间的概率.
附表
22
()t x x e dt -
-∞
Φ=
解：设
k X 表示第k 个学生家长来参加会议的家长人数(1,2,900)k =，易知
记前来参加会议的家长人数为X ，则有 900
1
,k k X X ==∑ 从而~(900,0.8)X b ，
则()9000.8720,E X np ==⨯=
()(1)9000.8(10.8)144,D X np p =-=⨯⨯-= ----------3分
由中心极限定理知，
720
12X -= 近似服从(0,1)N ----------5分
故 (720750)P X ≤≤
720
{0 2.5}12
X P -=≤
≤ (2.5)(0)φφ≈- ------------8分 0.99380.5=-
0.4938= ------------10分。