D2.2求导法则、高阶导数

d2y d dy d y ( y) 或 y ( ) 2 dx d x dx dx f x x f x f x lim x0 x
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
(e x ) e x 1 (ln x ) x
(a x ) a x ln a 1 (loga x ) x ln a
(arcsin x )
1
1 x2 1 (arctan x ) 1 x2
(arccos x )
1
1 x2 1 ( arccot x ) 1 x2
3.反函数的求导法则
如果函数 x f 1 ( y )在某区间 I y内单调、可导 且(f-1 ( y )) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 dy 1 f ( x) 1 .或 ( f ( y )) dx dx dy
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
i 1k 1 k i n n
二、复合函数的求导法则
定理 如果函数 u ( x )在点 x0可导 , 而y f ( u)
在点 u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 ).
内容小结
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
定理 如果函数 x f 1 ( y )在某区间 I y内单调、可导
且(f-1 ( y )) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间 I x内也可导 , 且有 1 dy 1 f ( x) 1 .或 ( f ( y )) dx dx dy
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1
n
n
( 2) [Cf ( x )] Cf ( x );
( 3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
i 1
n

f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i( x ) f k ( x );
例4. 设
1 , 解: y 1 x
y (1) 2
求
y 1 , 2 (1 x)
1 y 1 x
1 y (1 x) 2
1 2 , 3 (1 x)
n 1
,
类似可证:
y
(n )
(1)
(n 1)!
(1 x)
n
规定 0 ! = 1
(n) (n)
n
n
二 高阶导数举例
例1
设 y x ( R), 求 y . 1 解 y x 2 1 y ( x ) ( 1) x 3 2 y ( ( 1) x ) ( 1)( 2) x
四、小结
注意: [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x );
u( x ) u ( x ) [ ] . v( x ) v ( x )
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.
第四节 高阶导数
• 高阶导数概念 • 高阶导数举例
一 高阶导数概念 例 y sin x
求一次导数，则 y' cos x 再求导，则 再求导，则 再求导，则 称为一阶导数. 称为二阶导数. 称为三阶导数. 称为四阶导数.
y'' sin x y cos x
'''
y(4) sin x
二阶即二阶以上的导数称为高阶导数.
定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或 即
一般地 , 类似可证: 答案
(sin x) ( n ) sin( x n ) 2 (cos x) ( n ) cos( x n ) 2
的n阶导数？
问题： y sin 3x
y
(n)
3 sin( 3x n ) 2
n

例3. 设 解:
ye ,
ax
求
y (n ) .
第二节 函数的求导法则
• 一、函数和、差、积、商的求导法则 • 二、复合函数的求导法则 • 三、反函数的求导法则
• 四、小结
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
5. 高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 n! 1 (n) n (1) 如, ax (a x) n 1 n! 1 (n) ax (a x) n 1
或
对于函数 y f ( x) 二阶导数的表示法： y '' , f '' ( x), d y , d f ( x) 2 2
2 2
dx
dx
3
三阶导数的表示法：
d y d f ( x) y , f ( x), 3 , 3 dx dx
''' '''
3
N阶导数的表示法（n>3)
d y d f ( x) y , f ( x), n ,ห้องสมุดไป่ตู้n dx dx
4、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u ( x )在点 x0可导 , 而y f ( u)
在点 u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
u u v uv （3）( uv ) uv uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
推广 设 y f ( u), u (v ), v ( x ),
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
三、反函数的求导法则
(n )


y
( n)
( 1)( n 1) x
( n 1)
n
(n 1)
若 为自然数n, 则
y
( n)
( x ) n!,
n (n)
y
(n!) 0.
例2. 设
求
解:
y cos x sin( x ) 2
cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) y 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2
ae a x , y a 2 e a x , y a 3 e a x , , y
y
(n)
a e
n ax
特别有:
(e )
x (n)
e
x
(a )
x (n)
a (ln a)
x
n
注意: 求n 阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出n阶导数。