导数的概念与求导法则
导数的概念及求导法则
π
2
，切线平行于 y轴，
例 10. 求曲线y = x 在点(4 , 8 )处的切线和法线方程 切线斜率: 解: 切线斜率 K = y ′
x=4
3 x = 2
1 2 x=4
= 3
切线方程为: 切线方程为 y − 8 = 3 ( x − 4 ) 即: 3 x − y − 4 = 0
1 法线方程为: 法线方程为 y − 8 = − ( x − 4 ) 即: x + 3 y − 28 = 0 3
内有定义， 设函数 y = f ( x )在N ( x0 )内有定义， x0 + ∆x ∈ N ( x0 ) 如果极限
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 存在， 存在，则称函数 f在x 0 处可导，并称该极限值
为f在x 0 处的导数，记作
df ( x ) dy , y ′ ( x )或 导函数,记为 原来函数 f 的导函数 记为 f ′( x ), dx dx
即: f ′( x) = lim ∆y = lim f ( x + h) − f ( x) ∆x→0 ∆ x h→0 h
为常数)的导数 的导数. 例1. 求函数 f ( x ) = c ( c 为常数 的导数
导数 f ′ ( x 0 )也称为 f 在 x 0 的变化率
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = ∞ 时, 2.为方便起见， 当 lim 为方便起见， 为方便起见 ∆x ∆x→0
处的导数为无穷大. 也称 f 在点 x 0 处的导数为无穷大
3. 左导数 左导数:
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) 存在， 存在， 若左极限 lim− ∆x → 0 ∆x
导数的概念与函数的求导法则
Δx → 0
Δx
或 f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) .
h→0
h
注意: f ′( x0 ) = f ′( x) . x=x0 f ′( x0 ) ≠ [ f ( x0 )]′
注意 函数f ( x)在点 x0的导数f ′( x0 )是因变量 在点 x0处的变化率，它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度.
小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ′( x0 ) = a ⇔ f−′( x0 ) = f+′( x0 ) = a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导. 直接用定义;
⎪⎧ ⎨
x
sin
1 x
,
x ≠ 0,
⎪⎩ 0, x = 0
在x = 0处的连续性与可导性 .
解 ∵sin 1 是有界函数 , ∴ lim x sin 1 = 0
x
x→0
x
∵ f (0) = lim f ( x) = 0 ∴ f ( x)在x = 0处连续.
x→0
但在x = 0处有
Δy
=
(0 + Δx)sin 1 0 + Δx
注意 导数的几何意义与物理意义
（1）几何意义
y
f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ′( x0 ) = tanα , (α为倾角)o
y = f (x)
T
M
α
导数的定义及求导的运算法则
lim
x0
f (x) x
f (0)
(x 1) 1
lim
1.
x0
x
所以 f(0) f(0) 1，由定理 3.1.1 知，函数 f (x) 在点
x 0 处可导，并且 f (0) 1.
2023/4/22
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续解 当 x 0 时， f (x) ex , f (x) (ex ) ex;
lim y x x0 x
lim
x0
y x
lim x x0
f
(x0 ) 0 0,
即表明函数 y f (x) 在点 x0 点连续.
2023/4/22
37-13
注 1（逆否命题） 如果函数 y f (x) 在点 x0 处不连续，则 函数 y f (x) 在点 x0 处不可导.
lim f ( x) lim ( x x) ( x) 1;
x0
x0
x
当 x 0, f (0) 0,
y y x
o
x
f ' (0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
f
'
(0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
f (0) 不存在.
即
(|
x
|)
1 1
x0 .
x0
例
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
导数的求导
导数的求导一、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念，是函数在某一点处的变化率，也可以说是函数在该点处的切线斜率。
导数的定义是：对于函数f(x)，如果该函数在x=a处可导，则函数f(x)在x=a处的导数为：f''(a)=lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)其中，lim表示极限，x→a表示当自变量x无限接近a时，式子中括号内的差值也趋向于0。
这个式子可以理解为求出函数曲线上某一点处切线斜率的公式。
二、求导法则求导法则是用来计算各种复杂函数的导数的方法。
以下列举了常见的求导法则：1. 常数规则：如果y=c，则y''=0。
2. 幂次规则：如果y=x^n，则y''=nx^(n-1)。
3. 和差规则：如果y=u+v，则y''=u''+v''；如果y=u-v，则y''=u''-v''。
4. 积法则：如果y=uv，则y''=u''v+uv''。
5. 商法则：如果y=u/v，则y''=(u''v-uv'')/v^2。
6. 复合函数求导法则（链式法则）：如果有复合函数g(f(x))，其中g 和f都可导，则g(f(x))'' = g''(f(x))f''(x)。
7. 反函数求导法则：如果y=f(x)的反函数为x=f^-1(y)，则dx/dy=1/(dy/dx)。
三、常见函数的导数1. 常数函数：f(x)=c，则f''(x)=0。
2. 幂函数：f(x)=x^n，则f''(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x)=a^x（a>0，且a≠1），则f''(x)=a^xlna。
导数的概念、求导法则
链式法则可以用于求复合函数的导数，特别是当函数包含多个嵌 套函数时。
乘积法则
乘积法则
$(uv)' = u'v + uv'$
应用
乘积法则可以用于求两个函数的乘积的导数，例如$y = u(x)v(x)$的导数可以通 过乘积法则求得。
商的求导法则
商的求导法则
$(u/v)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
导数的概念、求导法则
目
CONTENCT
录
• 导数的概念 • 求导法则 • 导数的应用 • 导数与积分的关系
01
导数的概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的 斜率，表示函数在该点附近的小变化 量与自变量变化量之比，即函数在一 点的变化率。
导数表示的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在该点的 切线斜率。
详细描述
对于可导函数，其导数在几何上表示 该函数图像在某一点的切线斜率。这 个切线的斜率反映了函数值在该点的 变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数在物理中常用于描述物体的运动状态、速度、加速度等 。
详细描述
在物理中，导数常用于描述物体的运动状态，如速度和加速 度。例如，物体的瞬时速度可以通过位移函数的导数来描述 ，瞬时加速度可以通过速度函数的导数来描述。
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感谢聆听
应用
商的求导法则可以用于求两个函数的商的导数，例如$y = u(x)/v(x)$的导数可以 通过商的求导法则求得。
03
导数的应用
切线斜率
常用的基本求导法则与导数公式
常用的基本求导法则与导数公式在微积分中，求导是一项重要的基本操作。
通过求导，我们可以计算一个函数在给定点的斜率，求得函数的极值和拐点，以及解决各种实际问题。
本文将介绍一些常用的基本求导法则与导数公式，帮助大家更好地理解求导的过程与应用。
一、导数的定义导数描述的是一个函数在某点附近的变化率。
对于函数y = f(x)，其在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义为：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗二、常用的基本求导法则1. 常数法则若C为常数，则d(C)/dx = 0。
2. 幂函数法则对于函数y = x^n，其中n为任意实数，使用幂函数法则可以得到其导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)3. 四则运算法则对于两个可导函数f(x)和g(x)，使用四则运算法则可以得到它们的和、差、积和商的导数：若h(x) = f(x) ± g(x)，则h'(x) = f'(x) ± g'(x)若h(x) = f(x) * g(x)，则h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)若h(x) = f(x) / g(x)，则h'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)，其中g(x)≠04. 反函数法则若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且g(y)在y点可导，则有：d(g(y))/dy = 1 / f'(x)5. 复合函数法则若y = f(u)和u = g(x)是可导函数，则复合函数y = f(g(x))的导数为：(d(f(u))/du) * (d(g(x))/dx)6. 指数函数法则对于函数y = a^x，其中a为常数且a>0，使用指数函数法则可以得到其导数：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x三、导数公式1. 常见函数的导数公式- 常数函数导数为0- 幂函数导数为nx^(n-1)- 指数函数导数为a^x * ln(a)- 对数函数ln(x)的导数为1/x- 正弦函数sin(x)的导数为cos(x)- 余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)- 正切函数tan(x)的导数为sec^2(x)2. 反函数的导数公式若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且f'(x)和g'(y)均存在且不为0，则有以下关系：f'(x) = 1 / g'(y)3. 链式法则对于复合函数y = f(u)和u = g(x)，使用链式法则可以得到复合函数的导数：dy/dx = (df/du) * (du/dx)四、应用示例1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
导数的概念及计算
导数的概念及计算一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作y ′|x =x 0 ＝f ′(x 0) ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)值就是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).二.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.考向一 利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数2311(1)()y x x x x =++ （2） （3） ()234(21)x y x =+ (5)sin2xy e x -= 【举一反三】1．下列求导运算正确的是（ ）A ．(3x )′=x •3x−1B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）C ．(x 2+1x )′=2x +1x 2 D ．(x cosx)′=cosx−xsinx cos 2x2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9√x ； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n ⋅lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1x 3；考向二 复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =； （2）2()5log 21y x =+.（3）sin()eax b y +=；（提示：设e uy =，sin u v =，v ax b =+，x u v xy y u v ''''=⋅⋅）（4）2(πsin 2)3y x =+； 考向三 利用导数求值【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '= 。
导数的定义与求导法则
导数的定义与求导法则导数是微积分中非常重要的概念，它用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算导数时，我们可以使用导数的定义和求导法则来求解。
本文将详细介绍导数的定义和常用的求导法则。
一、导数的定义导数的定义是通过函数的极限来描述函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x_0处可导，则它的导数f'(x_0)的定义如下：f'(x_0) = lim(x→x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)上述定义可以理解为函数f(x)在点x_0处的切线斜率。
这个切线斜率可以帮助我们了解函数在该点附近的变化情况。
二、导数的求导法则为了方便计算导数，我们可以利用一些常用的求导法则。
下面是一些重要的求导法则：1. 常数法则：若C为常数，则(d/dx) C = 0，即常数的导数等于0。
2. 幂函数法则：若f(x) = x^n，其中n为常数，则(d/dx) x^n =n·x^(n-1)。
3. 指数函数法则：若f(x) = a^x，其中a为常数，则(d/dx) a^x =a^x·ln(a)。
4. 对数函数法则：若f(x) = log_a(x)，其中a为常数，则(d/dx)log_a(x) = 1/(x·ln(a))。
5. 基本初等函数法则：对于常见的基本初等函数，我们可以通过已知函数的导数来求解其他函数的导数，如常数函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
6. 和、差、积、商法则：对于多个函数之和、差、积、商，我们可以通过将其化简为基本初等函数的形式来计算导数。
7. 链式法则：对于复合函数，我们可以利用链式法则来求导。
设y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数为(dy/dx) =(dy/du) · (du/dx)。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的求导法则来进行计算。
三、导数的应用导数在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 函数的极值点：导数可以帮助我们判断函数的极大值和极小值点。