求导法则及求导公式
求导法则及基本求导公式
求导法则及基本求导公式求导法则是微积分中的重要内容，用于求解函数的导数。
通过求导法则，我们可以将复杂的函数求导问题转化为简单的计算问题。
本文将介绍常见的求导法则及基本求导公式。
1.基本求导公式：（1）常数函数求导公式：如果f(x)=C（C是常数），那么f'(x)=0。
（2）幂函数求导公式：如果f(x) = x^n （n是实数），那么f'(x) = nx^(n-1)。
其中，对于n不等于1的情况，需要注意一点：如果n是一个整数，那么求导过程中，指数函数仍然满足乘法法则，即令n作为常数处理；如果n是一个实数但不是整数，那么求导过程中，必须使用指数函数的导数公式。
（3）指数函数和对数函数求导公式：（a）指数函数求导公式：如果f(x) = a^x （a>0，且不等于1），那么f'(x) = ln(a) * a^x。
（b）自然对数函数求导公式：如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
（4）三角函数求导公式：（a）正弦函数求导公式：如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) =cos(x)。
（b）余弦函数求导公式：如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
（c）正切函数求导公式：如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) =sec^2(x)。
2.求导法则：（1）和差法则：如果f(x)=g(x)+h(x)，那么f'(x)=g'(x)+h'(x)。
同样地，对于减法来说，如果f(x)=g(x)-h(x)，那么f'(x)=g'(x)-h'(x)。
（2）乘法法则：如果f(x)=g(x)*h(x)，那么f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
（3）除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/(h(x))^2（4）复合函数求导法则（链式法则）：如果f(x)=g(h(x))，那么f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
求导法则与求导公式
求导法则与求导公式求导法则是用来求导数的基本方法和公式，它是微积分的基础，被广泛应用于数学、物理等领域。
在求导过程中，有一些基本的法则和公式可以帮助我们简化计算。
一、基本求导法则1.常数法则：如果f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 变量法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.常数倍法则：如果f(x)=Cg(x)，其中g(x)可导且C为常数，则f'(x)=Cg'(x)。
4.加减法则：如果f(x)=g(x)±h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
5.乘法法则：如果f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)。
6.除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)可导且h(x)不等于0，则f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/h(x)^27.复合函数法则：如果f(x)=g(h(x))，其中g和h都是可导函数，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
8.反函数法则：如果f和g是互为反函数，则f'(x)=1/g'(f(x))。
二、常用的求导公式1. 幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)。
2.指数函数求导：(e^x)'=e^x。
3. 对数函数求导：(lnx)' = 1/x。
4. 三角函数求导：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x。
5. 反三角函数求导：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)。
求导法则与导数公式
f
11
x2 ，
( x0 )1
或 ，
dx
1
xdy (y 1y0, 1) ，dy
1 x2
dx x x0
arctan x
1
1 x2
，
arc cotx
1
1 x2
，
x (,
) ．
4. 复合函数的导数
指导思想：“由外向内， 逐层求导”
(1) 求导法则（链式法则）
Thm 3 设 u g( x) 在点 x 可导，而 y f (u) 在 在对应点 u g( x) 可导，则 y f (g(x)) 在点 x 可导，且
dt
求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a> 0) 在对应
4 的点处的切线方程．
a
o
r
6. 隐函数的导数
例 11 (1)
由显x函y 数 ex
e y 0 确定了隐函数 y 形如 y f ( x) 的函数．
f
(x)
，求
y ．
(2) 隐函数 由 F ( x, y) 0确定的函数 y y( x) ． 能显化， 不能显化．
若函数 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
y f [1( x)]是由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成．
Thm 4
设有参数方程
x y
f
(t ), (t ),
t I ，若函数
x(t) ， y f (t) 在区间I 上均可导且 (t)0 ，
又 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
d ln f ( x)
dx
Thm 若函数 y f ( x) 在 x 可导 ，且 f (x)0 ，则
d ln f ( x) f ( x) ， 即 ln f ( x) f ( x) ．
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数的概念：数理化中的导数的定义是：数轴上导数是从一个点开始的一条直线（即“导数”),且直线（不经过一根直线）在此导数上连续时，其导数以指数形式递减。
函数的导数基本法则：一个函数的导数等于它的导数和它的不等式倒数之和的整数倍的导数之和之和。
如果某一点的导数等于（零点）或大于（或等于）一个点的导数，则这个点在该点的导数与零点或零点成正比；一个点为零点时的导数在零点的导数为零点；一个方向的导数等于一个方向导数的小数乘以该方向上每一个点导数）的值除以它所处方向（点坐标）的度数乘以所求数得出此数之积。
导数之比表示为导数与零点相差多少个单位而变化）程度就是零点（或区间）或百分比）。
如果用(2)表示导数可以利用任意一个导数除以整条线所形成的数位（数据点）即可得出被求数集或一个导数（或导数）。
下面将为大家介绍求导数所用到的基本法则和公式：由导数可以得导数）为(1-0)^4/2 (k>2. m)=1个点导数等于零点是求函数导数所用之地（或时间单位）在一个方向上与任意时刻导数相同，则求值之比等于零点导数与零点之间总有一个基点是零。
因此导数即为零点或区间（任意位置）时被求得的导数之积。
根据求导公式可以得出: a= f (a+ b)/2* x+ k. x= b→ r是一个区间上导数x与 u的差之和与它在其中一个零点所对应的位阻值之间的关系式为——导数x= t/1、求导数的方法有很多，求解时只要用到一些常见的代数方法即可。
求解的方法有很多，首先要知道哪几种方法是最有效，哪几种方法是最容易出错的方法。
这就要求我们平时要多思考，总结规律，及时纠正。
2、对我们学习比较重要的知识点要会看和会用！3、最常用就是把求解定理或函数与常数相关的基本定理或者公式记下来，并总结出来供大家参考。
从而能够把这些知识融会贯通于我们日常生活中，对于高中数学很重要。
而求解函数导数最基本的法则和公式就是这些。
最后再强调一下关于函数导数法，我认为是最简单的一种求解导数求导方法。
高数求导公式大全法则
高数求导公式大全法则
高数求导公式和法则如下：
1. 基本初等函数求导公式：
y=c y'=0
y=α^μ y'=μα^(μ-1)
y=a^x y'=a^x lna
y=e^x y'=e^x
y=loga,x y'=loga,e/x
y=lnx y'=1/x
y=sinx y'=cosx
2. 基本的求导法则：
求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。
两个函数的商的导函数也是一个分式：(子导乘母-子乘母导)除以母平方。
3. 链式法则：如果有复合函数，则用链式法则求导。
4. 导数的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率。
5. 导数的计算方法：计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
6. 导数在几何上的意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
希望对您有所帮助！如果您还有疑问，建议咨询数学专业人士。
求导法则与导数公式
求导法则与导数公式求导法则和导数公式是微积分中的重要工具，用于求取函数的导数。
在微积分的学习中，熟练掌握这些法则和公式对于解题和理解概念有着重要的作用。
下面将介绍一些常见的求导法则和导数公式。
1.基本导数公式-常数函数导数公式：如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
- 幂函数导数公式：如果f(x) = x^n, 其中n是实数，并且n不等于0，那么它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
2.利用基本导数公式求导的法则-常数乘以函数：如果f(x)是可导函数且c是一个常数，那么(c*f(x))'=c*f'(x)，即常数乘以函数的导数等于常数乘以函数导数。
-两个函数相加：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，即两个函数相加的导数等于两个函数的导数之和。
-两个函数相乘：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)，即两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
-一个函数除以另一个函数：如果f(x)和g(x)都是可导函数，并且g(x)不等于0，那么(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g(x)]^2，即一个函数除以另一个函数的导数等于分子的导数乘以分母再减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
3.特殊函数的导数公式- 正弦函数和余弦函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)和d(cos(x))/dx = -sin(x)。
- 指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x。
- 对数函数的导数：d(ln(x))/dx = 1/x。
- 反正弦函数的导数：d(arcsin(x))/dx = 1/√(1-x^2)。
基本导数四则运算法则与求导公式
基本导数四则运算法则与求导公式。
由于导数实质上就是一个求极限的过程，因此完全来源于极限的四则运算法则，同样存在导数的四则运算法则，列出如下，不过还是希望同学们自己进行推导从而更好地掌握极限法则和导数法则。
（1）')'('x c x c y ⋅=⋅=，其中c 为任意常数。
（2）)(')(')]'()(['x bv x au x bv x au y +=+=，其中a 和b 是任意常数。
（3）)(')()()(')]'()(['x v x u x v x u x v x u y +==。
（4）)()(')()()(']')()(['2x v x v x u x v x u x v x u y -==，（)0)(≠x v 。
直接从导数的定义出发，也就是运用求极限的方式，我们就可以计算得到三种基本初等函数的导数的表达式，即常数函数，正弦函数，对数函数，因为这无非就是一个求极限的过程。
从这三种基本初等函数的导数表达式，加上基本导数四则运算法则和函数之间本身的恒等变换关系，就可以得到所有初等函数的导数公式。
我们列出基本的求导公式如下，但是希望同学们能够自己动手，推导出这些基本求导公式来，而不是死记硬背，因为只有自己亲手推导出来的公式，才能真正熟练地，深刻地加以复合函数的求导法则。
由基本初等函数通过复合而得到复合函数，那么在这种复合过程当中，函数的导函数如何变化呢？这里有一个一般的对于复合函数的求导法则，就是所谓链式法则：两个函数y=f （u ），u=g （x ）可以通过复合构成一个复合函数，其中g 在x 点处可导，f 在相应的u=g （x ）点处可导，那么复合得到的函数y=f[g （x ）]在同样的x 点处也可导，并且导数等于：dx du du dy dx dy ⋅= 这个定理直接应用导数的定义，通过求极限就可以得到。
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§2 求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2⋅= )sin()(2ax x g = xxx f a log cos )(3=x x g arcsin )(3=x c x f sin )(4= x x g arccos )(4=一、导数的四则运算问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f .分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即)'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=±一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算）证明 令 )()()(x g x f x y +=。
时当0)()()()()()()]()([)]()([→∆'+'→∆-∆++∆-∆+=∆+-∆++∆+=∆∆x x g x f xx g x x g x x f x x f xx g x f x x g x x f x y问题2 设xa x x f ⋅=sin )(,则a a x a x x f xxln cos )'()'(sin )('⋅⋅=⋅=对吗？分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 定理2（积的导数）设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '⋅+⋅'='⋅（它导它不导,它不导它导,然后加起来）证明 令 )()()(x g x f x y ⋅=。
时当分子0)()()()()()()()()()())()()()(()()()()(→∆'⋅+⋅'→∆-∆++∆+⋅∆-∆+=∆+⋅+∆+⋅-∆⋅-∆+⋅∆+=∆∆x x g x f x g x f xx g x x g x f x x g x x f x x f x x g x f x x g x f xx g x f x x g x x f x y 推论1)(')()()()(')()()()(')())'()()((0000000000x w x v x u x w x v x u x w x v x u x x w x v x u ++=.推论2 若函数)(x v 在0x 知可导,C 为常数,则)('))'(cos(00x v C x x x ⋅==.问题3 设xa x f a xlog )(=,求)('x f .一般地,存如下商的运算法则：定理3（商的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则)()()()()()()(2x g x g x f x g x f x g x f '⋅-⋅'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡.证明 令)(1)(x g x y =。
时当0)()()()(1)()()(1)(112→∆'-→∆+⋅∆-∆+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆+⋅∆=∆∆x x g x g x g x x g x x g x x g x g x x g x x y )(1)()()(x g x f x g x f ⋅= 给出（3）. 推论 (1) )(])([x f c x f c '='. (2) ∑∑=='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i n i i x f x f 11)()(.(3))()()()(,)()(111x f x f x f x K x K x f n k k nk k n j i '=='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∏==.∆.利用导数的四则运算法则举例.例1 π+-+=x x x x f 95)(23,求)('x f ,)0('f . 例2 x x y ln cos =,求π=x y '. 例3 证明：1)'(----=n nnx x,+∈N n .例4 证明：x x 2sec )'(tan =,x x 2csc )'(cot =.例5 证明：x x x tan sec )'(sec =,x x x cot csc )'(csc -=.∆.利用导数的四则运算法则求导数举例：1． x x x f sin )(2+=; 2． x x x x f cos sin )(3+-=; 3． 22)(x x f =; 4． x x x f cos )(2=; 5．x x x x f 7sin )(+=; 6．x x x x x f cos )(32++=; 7．x tgx x x x x f +⋅=ln sin )(2; 8．xtgxx x f 3sin 5)(+=; 9．x x tgxxe y x ln 1sin 2++=. 二、反函数的导数问题1 设x x f arcsin )(=,求)('x f .定理4 设)(y x ϕ=在区间),(d c 上连续,严格上升,在),(0d c y ∈点可导,且0)(0≠'y ϕ, )(00y x ϕ=.则反函数)(x f y =在0x 点可导,且)]([1)(1)(000x f y x f ϕϕ'='='.注 若)(y x ϕ=在),(d c 可导,导数)0(0<>或,则反函数)(x f y =存在,且)()(1)]([1)(1)(x f y y x f y x f ='='='='ϕϕϕ .这里导数)0(0<>或可推出)(y ϕ严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成dy dx dxdy 1=.定理的证明 要证0)()(limx x x f x f x x --→存在,注意到这个比式是函数)()()(00y y y y y g ϕϕ--=与 )(x f y =的复合,由定理条件知)(10)0()(1lim )()()()(lim00000y y y y y y y x f x f y y y y ϕϕϕϕϕ'=--=--→→.再由反函数连续性,0x x →时,0y y →,由复合函数求极限定理得)(1)(lim )]([lim )()(lim 000000y y g x f g x x x f x f y y x x x x ϕ'===--→→→.例6)1,0(≠>=a a a y x,求y '. 解y x a log =,ax a xa y e yx a y y a a a x ln log )(log 1)(===='=',反过来,如果)('x a 已知,也可求y e a a y a x a x a x x a log ln 1log )(1)(log ==='='.例7 αx y =,求y '.解 xey ln α=,1ln -⋅=='ααααx x e xy .例8 x y arcsin =,求y '. 解 y x sin =,。
211)cos(arcsin 1arcsin )(sin 1)(arcsin x x xy y x -==='='例9 x y arccos =,求y '. 例10 x arctg y =,求y '.三、复合函数的导数问题1 设x x f 2sin )(=,求)('x f ;2）. 设)sin()(xa x f =,求)('x f ;3）. 设αx x f =)(,求)('x f .定理5 设)(0u f '与)(0x g '存在,)(00x g u =,则复合函数)]([)(x g f x F =在0x 点可导,且)()]([)(000x g x g f x F '⋅'='.注 若)(u f 的定义域包含)(x g u =的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数)]([)(x g f x F =在)(x g 的定义域上可导,且)()]([)(x g x g f x F '⋅'='（怀中抱月）或x u x u y y '⋅'=', dx du du dy dx dy ⋅=.定理的证明 定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠--=。
00000,)(,,)()()(u u u f u u u u u f u f u A )(u A 在0u 点连续,)()()(lim 000u f u A u A u u '==→.由恒等式,))(()()(00u u u A u f u f -=-,我们有00000)()()]([)]([)]([)()(x x x g x g x g A x x x g f x g f x x x F x F --⋅=--=--令0x x →,得 )()]([)(000x g x g f x F '⋅'='. 我们引进)(u A 是为了避免再直接写表达式00000)()()()()()(x x x g x g u u u f u f x x x F x F --⋅--=--中当0x x ≠时,可能会出现 0u u = 情况. 例1 21x y -=,求y '.解。