(完整版)【经典】常用的求导和定积分公式(完美)
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一．基本初等函数求导公式(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12) ，(13) (14)(15) (16)函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则（ 1）（ 2）（是常数）（ 3）（ 4）反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或二、基本积分表（ 1） kdx kx C （ k 是常数）（ 2）x dx x 1C , (u1)1（ 3）1dx ln | x | C xdx（ 4）arl tan x C21 x（ 5）dxarcsin x C 1 x2（ 6）cos xdx sin x C （ 7） sin xdx cos x C（ 8）1dx tan x C 2cos x（ 9）12 dx cot x Csin x（10） secx tan xdx secx C（ 11）cscx cot xdx cscx C（ 12）e x dx e x C（ 13）a x dx a x C ， (a 0, 且 a 1)ln a（ 14）shxdx chx C（ 15）chxdx shx C （16）（17）（18）（19）（20）a 21 2 dx1arc tanxCx a ax2 1 2 dx1ln |x a| Ca 2a x a1 dx arc sinxCa2 x2 a1 dx ln( x a2 x2 ) C a2 x2dxa2ln | x x2 a2 | C x2（ 21）tan xdx ln | cosx | C（ 22）cot xdx ln | sin x | C（ 23）secxdx ln | secx tan x | C（ 24）cscxdx ln | cscx cot x | C注： 1、从导数基本公式可得前 15 个积分公式， (16)-(24)式后几节证。
定积分求导求导公式
定积分求导求导公式定积分的求导公式是积分学中的重要内容之一、它们是一些特定函数的导数的规律表达。
下面我将详细介绍定积分求导的常见公式。
1.基本初等函数的导数公式：常数函数：$f(x)=C$的导数为$f'(x)=0$。
幂函数：$f(x) = x^n$ 的导数为 $f'(x) = nx^{n-1}$。
指数函数：$f(x) = a^x (a > 0, a \neq 1)$ 的导数为 $f'(x) = a^x\ln(a)$。
对数函数：$f(x) = \ln(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{1}{x}$。
三角函数：$f(x) = \sin(x)$ 的导数为 $f'(x) = \cos(x)$；$f(x) = \cos(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\sin(x)$；$f(x) = \tan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \sec^2(x)$。
反三角函数：$f(x) = \arcsin(x)$ 的导数为 $f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \arccos(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \arctan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。
2.基本公式和性质：定积分的线性性：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，则有$\frac{d}{dx}\left(\int_a^b (f(x)+g(x)) dx\right) =\frac{d}{dx}\left(\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx\right)$。
定积分的常数倍性：如果 $f(x)$ 可导，则有$\frac{d}{dx}\left(\int_a^b kf(x) dx\right) =k\frac{d}{dx}\left(\int_a^b f(x) dx\right)$。
【经典】常用的求导和定积分公式(完美)
.基本初等函数求导公式(1)(C) =0(2) （X ，）-七心⑶ (sin x) = cosx(4)(cosx) - -sinx (5)(tan x)二 sec x(6)(cot x)二- csc 2x⑺(secx) = secxtan x (8) (cscx) = - cscx cot x(9)(a xf-a xln a(10)(e x)—函数的和、差、积、商的求导法则= u （x ），v=v （x ）都可导，则反函数求导法则若函数x= Uy ）在某区间Iy 内可导、单调且（y^"0，则它的反函数y = f （x ）在对应区间Ix内也可导，且(11)DU(12)(ln x)二丄x ， (13) (arcsin x)，=( 1-x 2(14)(arccosx)" =1 - x(15)(arctan x)1 +x(arccot x)=(16)1 1 x 2(1)（U 士 V ）= u 士 V(2)（Cu ）'C 「（ C 是常数）(3)(uv) = u v uv(4)v 2少丄 dx 一 dxdy复合函数求导法则设y= f (u)，而U v (x)且f (u)及(x)都可导，则复合函数 y = f ［「(x)］的导数为、基本积分表(1)kdx=kx ・c ( k 是常数)(2)x'dx 二+ C, (u 」1)."1 1(3) dx = I n | x | C • x dx(4)= arl tan x C ‘1 +x 2(6) cosxdx =s in x C (7) sin xdx = -cosx C1(8) 厂dx = ta n x C ' cos x1(9) 厂 dx = - cot x C ' sin x(10)secxtanxdx^secx Cf (X )二 dy dy_du dx du dx 或 y\f (U)L (x)(5)(11) cscxcot xdx = - cscx C (12)e xdx =e xCx(13) a x dx— C , (a 0,且 a 厂1) In a(14) shxdx 二 chx C (15)chxdx = shx C1 x=—arc tan — C a a1 1 x —a(17)二 ------ 2 dx ln || C x -a 2a x+axdx 二 arc sin — C■ a 2-x 2a(19) J , 1 dx = ln(x + Ja 2 +x 2) + C ，Ja 2 +x 2 (20) J —dx = ln | x + J x 2 _a 2 | +C$ !2 2 1 1.x -a(21) tanxdx 二-ln |cosx | C (22) cotxdx=ln |sinx | C (23) secxdx = l n |secx tanx| C (24) cscxdx = l n|cscx-cotx| C注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
积分与求导公式最全
积分与求导公式最全一、求导公式求导是对函数进行微分运算，求函数的导数。
导数有一些基本的运算规则，下面是一些常用的求导公式。
1.常数函数的导数为0：如果f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：如果f(x)=x^n，其中n为常数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：如果f(x)=a^x，其中a为常数且a>0，则f'(x)=ln(a) * a^x。
4. 对数函数的导数：如果f(x)=ln(x)，其中x>0，则f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数：如果f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；如果f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；如果f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)。
6. 反三角函数的导数：如果f(x)=arcsin(x)，则f'(x)=1/√(1-x^2)；如果f(x)=arccos(x)，则f'(x)=-1/√(1-x^2)；如果f(x)=arctan(x)，则f'(x)=1/(1+x^2)。
7. 对数导数：如果f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，则f'(x)=1/(xln(a))。
8.基本四则运算法则：求导公式也满足基本的四则运算法则，例如：如果f(x)=u(x)+v(x)，则f'(x)=u'(x)+v'(x)。
二、积分公式积分是对函数进行求和运算，求解函数的原函数。
积分有一些基本的规则和公式，下面是一些常用的积分公式。
1. 常数函数的积分：∫(c)dx = cx + C，其中c为常数，C为积分常数。
2. 幂函数的积分：∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，C为积分常数。
3. 指数函数的积分：∫(e^x)dx = e^x + C，其中C为积分常数。
常用求导与定积分公式(完美)培训讲学
常用求导与定积分公式(完美)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan ='(6)x x 2csc )(cot -='(7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log =' (12)x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰（5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰ （19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
求导公式表、积分方法及泰勒公式
一、导数的四则运算法则()u v u v '''±=±()uv u v uv '''=+2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭二、基本导数公式⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()x xe e '=⑽()ln x x a a a'=⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a '=⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+ ⒄()1x '=⒅'=三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax bn ax bea e++=⋅ (3)()()ln n xx n aa a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+(7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x= ⑿()1logln x a d dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a =++⎰ 2211ln 2x a dx c x a a x a-=+-+⎰arcsinx c a =+ ln x c =++八、下列常用凑微分公式九、分部积分法公式⑴形如n axx e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin nx xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos nx xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan nx xdx ⎰，令arctan u x =，n dv x dx =形如ln nx xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos axe xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
求导与积分公式范文
求导与积分公式范文
1、求导公式
（1）求倒数的求导公式
对于一个函数f(x)，它的倒数函数可以表示为：
1/f(x)
该函数的导数为：
-f'(x)/[f(x)]2
（2）泰勒展开式的求导公式
泰勒展开式是利用多项式来近似一个函数，例如用f（x）=f（a）+f'（a）(x-a)+f''（a）/2!(x-a)^2+…来近似f（x）在点a附近的值。
其中，f（x）的导数为：
f'(x)=f'(a)+f''(a)(x-a)+f'''(a)/3!(x-a)^2+…
（3）e的复合函数的求导公式
e的复合函数的求导公式为：
f'(x)=e^f(x)*f'(x)
（4）对数函数的求导公式
对数函数y=ln(x)的求导公式为：
f'(x)=1/x
2、积分公式
（1）求和式的积分公式
对于一个求和式：
F(x)=∑f(x,k)
其积分公式为：
∫F(x)dx=∫f(x,k)dx
（2）联立方程的积分公式
联立方程可以表示为：
dy/dx=f(x,y)
其积分公式为：
∫dy/f(x,y)dx=∫dx
（3）e函数的积分公式
e函数的积分公式为：
∫e^f(x)dx=e^f(x)+C
（4）对数函数的积分公式
对数函数y=ln(x)的积分公式为：。
基本求导积分公式
基本求导积分公式求导积分是微积分中最基本的概念之一，它们可以帮助我们理解函数的性质和计算函数在特定区间的变化。
在本文中，我将为您介绍一些基本的求导和积分公式，并详细解释它们的推导和应用。
一、求导公式1.常数函数求导公式如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
因为常数函数没有变化率，所以它的导数永远为零。
2.幂函数求导公式如果 f(x)=x^n，其中 n 是实数，则有 f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到，也可以通过使用指数函数的导数公式来得到。
3.指数函数求导公式如果 f(x)=a^x，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。
4.对数函数求导公式如果 f(x)=log_a(x)，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) =1/(x * ln(a))。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。
5.三角函数求导公式(1) sin(x) 的导数是 cos(x)；(2) cos(x) 的导数是 -sin(x)；(3) tan(x) 的导数是 sec^2(x)，其中 sec(x) 是 secant 函数，其定义为 sec(x) = 1/cos(x)；(4) cot(x) 的导数是 -csc^2(x)，其中 csc(x) 是 cosecant 函数，其定义为 csc(x) = 1/sin(x)；(5) sec(x) 的导数是 sec(x) * tan(x)；(6) csc(x) 的导数是 -csc(x) * cot(x)。
6.反三角函数求导公式(1) arcsin(x) 的导数是1/√(1-x^2)；(2) arccos(x) 的导数是 -1/√(1-x^2)；(3) arctan(x) 的导数是 1/(1+x^2)；(4) arccot(x) 的导数是 -1/(1+x^2)；(5) arcsec(x) 的导数是 1/(，x，* √(x^2-1))；(6) arccsc(x) 的导数是 -1/(，x，* √(x^2-1))。
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一．基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C
(2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2
csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x
x '=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
'，
(13)
211)(arcsin x x -=
' (14)
211)(arccos x x --
=' (15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则
（1） v u v u '±'='±)(
（2） u C Cu '=')(（C 是常数）
（3）
v u v u uv '+'=')(
（4） 2
v v u v u v u '-'=
'
⎪⎭⎫ ⎝⎛
反函数求导法则
若函数
)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x
I 内也可导，且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为
dy dy du dx du dx =g
或()()y f u x ϕ'''=g
二、基本积分表
（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）
（2）1
,1
x x dx C μμ
μ+=
++⎰ (1)u ≠- （3）1
ln ||dx x C x =+⎰
（4）2
tan 1dx
arl x C x =++⎰ （5）
arcsin x C =+
（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰
（8）21
tan cos dx x C x =+⎰
（9）21
cot sin dx x C x =-+⎰
（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰
（12）x x e dx e C =+⎰
（13）ln x
x
a a dx C a
=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰
（16）2211tan x
dx arc C a x a a =++⎰ （17）2211ln ||2x a
dx C x a a x a -=+-+⎰
（18）
sin
x
arc C a
=+
（19）
ln(x C =++
（20）
ln |x C =++
（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰
注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：
2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2
x
x +=
，
21cos 2sin 2
x
x -=。
注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
小结：
1常用凑微分公式
x
u x
u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x
x f x
d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da
a f a dx a a f de
e f dx e e f x d x f dx x
x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a
dx b ax f x x x
x
x
x
x
x
x
x
arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)
(arcsin .11)
(arctan )(arctan 11
)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1
)(.5)()(..4)
(ln )(ln 1
)(ln .3)
0()()(1
)(.2)
0()
()(1)(.12
2
2
21
==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
≠=≠++=+⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
-μμ
μ
μμμμ法
分积元换一第换元公式
积分类型。