人教版数学九年级上册 24.1 圆的有关性质 同步训练习题(含答案)
人教版九年级上册24.1 圆的有关性质同步训练一、选择题1. 下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为 ()A.1B.2C.3D.42. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°3. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于()A．29°B．31°C．59°D．62°4. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝()A. 5B. 7C. 9D. 115. 如图，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有()A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条6. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠1＝45°，则∠2等于( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．40°7. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 38. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN 为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB 上升( )A ．1分米B ．4分米C ．3分米D ．1分米或7分米9. 2019·天水如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°10. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是()A．48°B．64°C．96°D．132°二、填空题11. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是.12. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.13. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了cm.14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝________．15. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 2018·曲靖如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝________°.18. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题19. 如图，在⊙O中，AB＝DE，BC＝EF.求证：AC＝DF.20. 如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆．若小正方形的面积为16 cm2，求该半圆的半径．21. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．22. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平行四边形．①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．人教版九年级上册24.1 圆的有关性质同步训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】A∵=，∴∠CAB=∠DAB=35°.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A.3. 【答案】B5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】D9. 【答案】C10. 【答案】C二、填空题11. 【答案】2∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.12. 【答案】50°13. 【答案】10或70由垂径定理得:BC=AB=30 cm.在Rt△OBC中，OC==40(cm).当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，圆心到水面距离==30(cm)，水面上升的高度为:40-30=10(cm).当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.故答案为10或70.14. 【答案】4－716. 【答案】317. 【答案】n18. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m ° 三、解答题19. 【答案】证明：∵AB ＝DE ，BC ＝EF ， ∴AB ︵＝DE ︵，BC ︵＝EF ︵， ∴AB ︵＋BC ︵＝DE ︵＋EF ︵， ∴AC ︵＝DF ︵，∴AC ＝DF .20. 【答案】解：如图，连接OA ，OB .根据正方形的面积公式可得小正方形的边长为4 cm. 设大正方形的边长为x cm ，则OD ＝12x cm.根据勾股定理，得OA 2＝OD 2＋AD 2，OB 2＝OC 2＋BC 2. 又∵OA ＝OB ，∴(12x )2＋x 2＝(12x ＋4)2＋42，解得x 1＝8，x 2＝－4(不符合题意，舍去)， ∴大正方形的边长为8 cm ，OD ＝4 cm ， ∴OA 2＝OD 2＋AD 2＝42＋82＝80， ∴OA ＝80＝4 5(cm)． 故该半圆的半径为4 5 cm.21. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG 都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE 的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)22. 【答案】52解：(1)60(2)①如图(a)．∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC.又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＝12∠BOD，∴12∠BOD＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝120°，∴∠BAD＝12∠BOD＝12×120°＝60°，∠OBC＝∠ODC＝180°－∠BOD＝180°－120°＝60°.又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠OBA＋∠ODA＝∠ABC＋∠ADC－(∠OBC＋∠ODC)＝180°－(60°＋60°)＝60°.②如图(b)所示，连接AO.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.。
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。
（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。
（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。
（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。
（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。
（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。
考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。
（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。
=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。
考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。
（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点4圆周角定理及其推论。
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。
①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。
①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。
关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。
①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。
人教版数学九年级上册 24.1 圆的有关性质 同步训练习题(含答案)
人教版九年级上册24.1 圆的有关性质同步训练一、选择题1. 下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为 ()A.1B.2C.3D.42. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°3. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于()A．29°B．31°C．59°D．62°4. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝()A. 5B. 7C. 9D. 115. 如图，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有()A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条6. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠1＝45°，则∠2等于( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．40°7. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 38. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN 为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB 上升( )A ．1分米B ．4分米C ．3分米D ．1分米或7分米9. 2019·天水如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°10. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是()A．48°B．64°C．96°D．132°二、填空题11. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O 的半径是.12. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.13. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了cm.14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝________．15. 如图，已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 2018·曲靖如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝________°.18. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题19. 如图，在⊙O中，AB＝DE，BC＝EF.求证：AC＝DF.20. 如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆．若小正方形的面积为16 cm2，求该半圆的半径．21. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．22. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平行四边形．①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．人教版九年级上册24.1 圆的有关性质同步训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】A∵=，∴∠CAB=∠DAB=35°.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A.3. 【答案】B4. 【答案】A5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】D9. 【答案】C10. 【答案】C二、填空题11. 【答案】2∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.12. 【答案】50°13. 【答案】10或70由垂径定理得:BC=AB=30 cm.在Rt△OBC中，OC==40(cm).当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，圆心到水面距离==30(cm)，水面上升的高度为:40-30=10(cm).当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.故答案为10或70.14. 【答案】 4－715. 【答案】816. 【答案】317. 【答案】n18. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m ° 三、解答题19. 【答案】证明：∵AB ＝DE ，BC ＝EF ， ∴AB ︵＝DE ︵，BC ︵＝EF ︵， ∴AB ︵＋BC ︵＝DE ︵＋EF ︵， ∴AC ︵＝DF ︵，∴AC ＝DF .20. 【答案】解：如图，连接OA ，OB .根据正方形的面积公式可得小正方形的边长为4 cm. 设大正方形的边长为x cm ，则OD ＝12x cm.根据勾股定理，得OA 2＝OD 2＋AD 2，OB 2＝OC 2＋BC 2. 又∵OA ＝OB ，∴(12x )2＋x 2＝(12x ＋4)2＋42，解得x 1＝8，x 2＝－4(不符合题意，舍去)， ∴大正方形的边长为8 cm ，OD ＝4 cm ， ∴OA 2＝OD 2＋AD 2＝42＋82＝80， ∴OA ＝80＝4 5(cm)．故该半圆的半径为4 5 cm.21. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG 都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE 的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)22. 【答案】52解：(1)60(2)①如图(a)．∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC.又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＝12∠BOD，∴12∠BOD＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝120°，∴∠BAD＝12∠BOD＝12×120°＝60°，∠OBC＝∠ODC＝180°－∠BOD＝180°－120°＝60°.又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠OBA＋∠ODA＝∠ABC＋∠ADC－(∠OBC＋∠ODC)＝180°－(60°＋60°)＝60°.word 版 初中数学11 /11②如图(b)所示，连接AO .∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB .∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∵∠OAB ＝∠OAD ＋∠BAD ， ∴∠OBA ＝∠ODA ＋∠BAD ＝∠ODA ＋60°.如图(c)，同理可得∠ODA ＝∠OBA ＋60°.。
人教版九年级数学上册 24.1圆的有关性质同步训练(含答案)
E ，满足 AEC 65 ，连接 AD ，则 BAD
度．
答案： 一、选择题
1．（2020•青岛）如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上， ＝ ，AC 交 BD 于点 G．若∠COD＝126°，则 ∠AGB 的度数为（ ）
A．99°
B．108°
解：∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD＝90°，
度数是（ ）
A．130°
B．140°
C．150°
解：由题意得到 OA＝OB＝OC＝OD，作出圆 O，如图所示，
∴四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
D．160°
6．（2020•眉山）如图，四边形 ABCD 的外接圆为 O ， BC CD ， DAC 35 ， ACD 45 ，则 ADB 的度数 为( )
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+ x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+ x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+ x）﹣（20°+ x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°， ∴20°＜∠CED＜40° 故选：C． 二、填空题
16．（2020•襄阳）在 O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA ，则弦 BC 所对的圆周角等于 60 或 120 ． 解：如图，
上任意一点．则
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
解：连接 OD、OE， ∵OC＝OA， ∴△OAC 是等腰三角形， ∵点 D 为弦 AC 的中点， ∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°， 设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°， ∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，
人教版初中数学九年级上册《24.1 圆的有关性质》同步练习卷(含答案解析
人教新版九年级上学期《24.1 圆的有关性质》同步练习卷一．选择题（共20小题）1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°2．如图，在⊙O中，弦的条数是（）A．2B．3C．4D．以上均不正确3．下列说法中正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦4．以下说法正确的个数有（）①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列说法中正确的是（）A．平分弦的直径一定垂直于弦B．长度相等的弧是等弧C．平行弦所夹的两条弧相等D．相等的圆心角所对的弦相等6．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD 7．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）A．2B．3C．4D．3.58．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸9．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm11．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（）A．2+1B．+1C．2D．312．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF 等于（）A．40°B．45°C．55°D．80°13．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=（）A．105°B．120°C．135°D．150°14．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°15．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A．120°B．100°C．80°D．60°18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AB的延长线上，=，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．100°B．50°C．130°D．65°20．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE=，AC=5，BE=3，则BD的长为（）A．B．C．5D．二．填空题（共20小题）21．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．22．点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=．23．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于．24．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA=．25．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．26．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为．27．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．28．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为cm．29．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则蔬菜大棚的高度CD=m．30．⊙O的半径为5，弦AB与弦CD相等，且AB⊥CD于H，若OH=3，则线段BH长为．31．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= cm．32．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是度．33．如图，已知在△ABC中，以AB为直径作半圆O，交BC的中点D，若∠BAC=50°，则的度数是度．34．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是．35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，AB=6，则BC的长是．36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=100°，则∠DCE的大小是．37．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，BD是⊙O的直径．若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB=°．38．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=120°，则∠BAD=．39．如图，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD=8，AE：EB=1：4，则弦AB=．40．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，已知CP=3，PD=4，AP=2，那么AB=．三．解答题（共20小题）41．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长．42．如图AB=3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．43．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB 于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？44．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．45．如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．46．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长．47．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．48．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？49．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．（2）求残片所在圆的面积．50．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC 之间的数量关系，并说明理由．51．如图，在⊙O中，AB=CD．求证：AD=BC．52．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．53．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若CD=2，AB=8，求半径的长．54．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC=6，则当CD=时，四边形EBCA是矩形．55．如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB=80°（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小；（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小．56．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD=3，求⊙O的半径．57．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．58．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，∠1=∠2，EC=BC．（1）若∠CBD=39°，求∠CAD的度数；（2）求证：BC=CD．59．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB=CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM=2，求AM•MB的值．60．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB=CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM=2，求AM•MB的值．人教新版九年级上学期《24.1 圆的有关性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°【分析】利用OB=DE，OB=OD得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可．【解答】解：连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，而OC=OD，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×84°=28°．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．2．如图，在⊙O中，弦的条数是（）A．2B．3C．4D．以上均不正确【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．【解答】解：如图，在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识．连接圆上任意两点的线段叫弦，理解弦的定义是解决本题的关键．3．下列说法中正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是圆中最长的弧D．直径是圆中最长的弦【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可．【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．B、错误．弧是圆上两点间的部分．C、错误．优弧大于半圆．D、正确．直径是圆中最长的弦．故选：D．【点评】本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型．4．以下说法正确的个数有（）①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据各小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：圆的任意一条直径的端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，故①正确；根据三角形角平分线的定义可知，三角形的角平分线是一条线段，故②错误；在一个三角形中至少有一个角不大于60°，故③正确；过圆内一点可以画无数条弦，故④正确；矩形的四个角都相等，都等于90°，而矩形不是正四边形，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是明确题意，正确的命题说出根据，错误的命题说出错误的原因或者举出反例．5．下列说法中正确的是（）A．平分弦的直径一定垂直于弦B．长度相等的弧是等弧C．平行弦所夹的两条弧相等D．相等的圆心角所对的弦相等【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、当两条弦都是直径时不成立，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；C、如图所示，两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．6．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD 【分析】根据垂径定理判断即可．【解答】解：连接DA，∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，∴CM=MD，∠CAB=∠DAB，∵2∠DAB=∠BOD，∴∠CAD=∠BOD，故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）A．2B．3C．4D．3.5【分析】连接OC构建Rt△COE．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC=5，CE=4；然后根据勾股定理求得OE=2；最后利用线段间的和差关系求得BE=OB﹣OE求得BE的长度即可．【解答】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OB=AB=5；又∵AB⊥CD于E，CD=8，∴CE=CD=4（垂径定理）；在Rt△COE中，OE=3（勾股定理），∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，即BE=2；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理．解题时，根据垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解是本题难点．8．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=8，OD=13，∴OC=5，又∵OB=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4﹣x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故选：B．【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（）A．2+1B．+1C．2D．3【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2，∴△PAB周长的最小值是2+1=3，故选：D．【点评】本题结合图形的性质，考查轴对称﹣﹣最短路线问题．其中求出∠BOC 的度数是解题的关键．12．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF 等于（）A．40°B．45°C．55°D．80°【分析】连接BF，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AFB，根据三角形的外角的性质计算．【解答】解：连接BF，∵的度数为30°，∴的度数为150°，∠AFB=15°，∵G是的三等分点，∴的度数为50°，∴∠GBF=25°，∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，故选：A．【点评】本题考查的是矩形的性质、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．13．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】连接AC，根据圆周角定理，由BC为半圆的直径，可证∠BAC=90°，又A为半圆弧的中点，可证AB=AC，即可得∠B=∠ACB=45°，根据圆内接四边形的对角互补得∠ADC=180°﹣45°=135°．【解答】解：连接AC，∵BC为半圆的直径，∴∠BAC=90°，又A为半圆弧的中点，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=180°﹣45°=135°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质和圆心角、弧的关系，利用直径所对的圆周角是直角，是在圆中构造直角三角形常用的方法．14．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠AOB，根据圆周角定理解答．【解答】解：∵OA=OB，∠ABO=40°，∴∠AOB=100°，∴∠C=∠AOB=50°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∴弧AC=弧AB （垂径定理），∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．故选：B．【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理．关键是将证明弧相等的问题转化为证明所对的圆心角相等．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A．120°B．100°C．80°D．60°【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠A=60°，再根据圆内接四边形的性质可得∠BCD的度数．【解答】解∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣60°=120°，故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC=∠EBC=65°，再根据AC=AD得出∠ACD=∠ADC=65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD=50°，再由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD=50°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=∠EBC=65°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=50°，∴∠DBC=∠CAD=50°，故选：A．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AB的延长线上，=，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．100°B．50°C．130°D．65°【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=∠CBE=50°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D=∠CBE=50°，∵=，∴DA=DC，∴∠DAC=∠DCA==65°，故选：D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．20．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE=，AC=5，BE=3，则BD的长为（）A．B．C．5D．【分析】根据题意求出EC，根据相交弦定理计算即可．【解答】解：EC=AC﹣AE=，由相交弦定理得，AE•EC=DE•BE，则DE==，∴BD=DE+BE=，故选：B．【点评】本题考查的是相交弦定理，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．二．填空题（共20小题）21．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有2个．【分析】以A为圆心，5cm长为半径作圆，与以AB为直径的圆交于2点，依此即可求解．【解答】解：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．故答案为：2．【点评】此题考查了圆的认识，关键是熟悉圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合的知识点．22．点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=70°．【分析】由∠AOB=40°，OA=OB知∠OAB=∠OBA=，代入计算可得．【解答】解：如图，∵∠AOB=40°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==70°，故答案为：70°．【点评】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的所有半径都相等及等腰三角形的性质．23．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．【分析】根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等；由此判断即可．【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；故答案为：半径．【点评】此题考查了半径的含义，注意基础知识的积累．24．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA=5．【分析】解一元二次方程求出AB、OC，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：x2﹣11x+24=0（x﹣3）（x﹣8）=0x﹣3=0，x﹣8=0，x1=3，x2=8，∵AB＞OC，∴AB=8，OC=3，∵OC⊥AB，∴AC=AB=4，由勾股定理得，OA==5，故答案为：5．【点评】本题考查的是垂径定理、一元二次方程的解法，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．25．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为16．【分析】根据题意求出OC，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理解答．【解答】解：如图，OA=16，则OC=8，根据勾股定理得，AC==8，∴弦AB=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．26．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为（2，0）．【分析】已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），则过A、B、C三点的圆的圆心，就是弦的垂直平分线的交点，故求得AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的交点即可．【解答】解：已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），如图：可设：AB的垂直平分线解析式为：y=kx+b，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：，解得：，所以AB的垂直平分线解析式是y=﹣x+2，设AC的垂直平分线解析式为x=m，把（2，2）代入解析式，可得：x=2，所以AC的垂直平分线解析式是x=2，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】此题考查垂径定理，圆心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是解决本题的关键．27．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为10﹣10cm．【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A=D1B1=30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H=C1H=30×sin60°=15，∴B1C1=30∴弓臂两端B1，C1的距离为30（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=，∴r=20，∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，在Rt△GB2D2中，GD2==10∴D1D2=10﹣10．故答案为30，10﹣10，【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．28．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为 2.5cm．【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4﹣x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故答案为：2.5【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．29．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则蔬菜大棚的高度CD=4m．【分析】由垂径定理，可得AD=AB，然后由勾股定理求得OD的长，继而求得中间柱CD的高度．【解答】解：∵CD是中间柱，即=，∴OC⊥AB，∴AD=BD=AB=×16=8（m），∵半径OA=10m，在Rt△AOD中，OD==6（m），∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4（m）．故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．30．⊙O的半径为5，弦AB与弦CD相等，且AB⊥CD于H，若OH=3，则线段BH长为1或7．【分析】分类讨论：过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，根据AB=CD，得出OE=OF，由勾股定理得出OE=3，再根据垂径定理和勾股定理得出BE，从而得出BH=BE ﹣HE；当A，B两点交换位置时，BH=BE+HE．【解答】解：①过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，∵AB=CD，∴OE=OF，∵OH=3，OA=5，∴OE=3，∴AE=BE=4，∴BH=BE﹣HE=4﹣3=1；②根据①得出BE=4，HE=3，∴BH=HE+BE=3+4=7．【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理以及勾股定理的内容是解题的关键．31．如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN= 2cm．【分析】根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可．根据角平分线性质得出CM=CN，代入求出即可．【解答】解：∵CM⊥OA，即OM⊥CD，由垂径定理得：CD=2CM=4cm，连接OC，∵C为弧AB的中点，∴弧AC=弧BC，∴∠AOC=∠BOC，∵CN⊥OB，CD⊥OA∴∠CMO=∠CNO∴∴△CMO≌△CNO∴CN=CM=2cm，故答案为：2．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM．32．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数之间的关系为2：3：4，则这三个扇形中圆心角最小的度数是80度．【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得圆心角的度数．【解答】解：∵周角的度数是360°，∴这三个扇形中圆心角最小的度数是，故答案为：80．【点评】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．33．如图，已知在△ABC中，以AB为直径作半圆O，交BC的中点D，若∠BAC=50°，则的度数是130度．【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=25°，即可得∠ABD=65°，继而求得∠AOD的度数，则可求得的度数．【解答】解：连接AD、OD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=25°，BD=DC，∴∠ABD=65°，∴∠AOD=130°∴的度数为130°；故答案为130．【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．34．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是35°．【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠B的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径，∴∠C=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵D是的中点，∴∠DAC=∠B=35°．故答案为：35°．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，AB=6，则BC的长是3．。
人教版九年级数学上册 24.1圆的有关 性质 同步检测题【含答案】
圆24.1 圆的有关性质同步检测题一．选择题（共13 小题）1．已知⊙O 的半径为2，A 为圆内一定点，AO＝1．P 为圆上一动点，以A P 为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG 的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D． 12．如图，AB，BC 是⊙O 的弦，∠B＝60°，点 O 在∠B 内，点 D 为AC上的动点，点 M，N，P分别是A D，D C，C B 的中点．若⊙O 的半径为2，则P N+MN 的长度的最大值是（）A．1+B．1+2C．2+2D．3．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，P 是半径O A 上的一动点，PC⊥AB 交⊙O 于点C，在半径O B 上取点Q，使得O Q＝CP，DQ⊥AB 交⊙O 于点D，点C，D 位于A B 两侧，连接C D 交A B 于点F，点P从点A出发沿A O 向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP 与△DFQ 的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大4．如图，在⊙O 中，弦A B＝6，点C是A B 所对优弧上一点，∠ABC＝120°，BC＝8，点P 为 AB 上方一点，记△PAB 的面积为 S1，△AOB 的面积为 S2，且 S1＝12S2，则 OP+PC的最小值为（）A ．BCD ．105．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D ，C 在⊙O 上，∠DOC ＝90°，AD ，BC ＝1，则⊙O的半径为（）A B ．2 C ．2D ．26．如图，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么（）A ． 2CD AB >B ．2CD AB <C ．=2CD ABD ．AB 与2CD 的大小关系无法比较 7．如图，BC 是⊙O 的直径，A ，D 是⊙O 上的两点，连接 A B ，AD ，BD ，若∠ADB ＝70°， 则∠ABC 的度数是（ ）A．20°B．70°C．30°D．90°8．如图，点A、B、C 是⊙O 上的点，OA＝AB，则∠C 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°9．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC上的点．若∠BOC ＝500，则∠D 的度数（）A．105°B．115°C．125°D．85°10．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，连结O A、OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D 的大小为（）A．50°B．60°C．80°D．120°11．如图，在⊙O 中∠O＝50°，则∠A 的度数为（）A．50°B．20°C．30°D．25°12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥OB 于E，且点E为半径O B 的中点，连结A C，则∠A 的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．60°13．如图，点A、B、C、D 在⊙O 上，OB∥CD．若∠A＝28°，则∠BOD 的大小为（）A．152°B．134°C．124°D．114°二．填空题（共9小题）14．如图，在⊙O 中，弦B C，DE 交于点P，延长B D，EC 交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若BDAD＝23，则D P 的长为．15．如图，△ABC 内接于半径为AB 为直径，点 M 是弧AC的中点，连结 BM交AC 于点E，AD 平分∠CAB 交B M 于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为B M 的中点时，BC 的长为．16．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．17．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD 的度数为70°，则她判断的依据是点．18．如图，⊙O 的半径为2，点A为⊙O 上一点，如果∠BAC＝60°，OD⊥弦B C 于点D，那么O D 的长是．19．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，点D 是弧AC上的中点，AC＝8，OA＝5，连接AD、BD，则△ABD 的面积是．20．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，以A B 为直径作圆交B C 于D，交A C 于E．若∠A＝84°，则弧AE的度数为．21．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，点B是弧A C 的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．22．如图，MN 为⊙O 的直径，MN＝10，AB 为⊙O 的弦，已知M N⊥AB 于点P，AB＝8，现要作⊙O 的另一条弦C D，使得C D＝6 且C D∥AB，则P C 的长度为．三．解答题（共3小题）23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是⊙O 上的点，且O D∥BC，AC 分别与B D、OD 相交于点E、F．（1）求证：点D为弧AC的中点；（2）若C B＝6，AB＝10，求D F 的长；（3）若⊙O 的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段A B 上任意一点，试求出P C+PD 的最小值．24．如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC，BC 的交点分别为D，E，且弧DE=弧BE（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求B D 的长．25．如图，AB 为半圆O的直径，CD 是半圆上两点，AC＝2BC，F 在B D 上且C F⊥CD，求证：AD＝2BF．。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章 圆的有关性质》同步练习带答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章圆的有关性质》同步练习带答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．圆有（）条对称轴．A．0条B．1条C．2条D．无数条2．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个3．下列语句中不正确的有（）①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤圆内接四边形的对角互补；⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等.A．5个B．4个C．3个D．2个4．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B的度数是（）A．15°B．40°C．75°D．35°5．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径为（）A．B．4 C．5 D．6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数为（）A．25°B．60°C．65°D．75°7．如图，A，B，C为上的三个点，若，则的度数是（）A．B．C．D．12°8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E，若∠C＝72°，则∠DOE的度数是（）A．30°B．35°C．36°D．40°二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知AB、CD是⊙O的两条弦，若，且AB＝2，则CD＝．10．在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为．11．如图，为的外接圆的直径，如果，那么．12．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，点E在AB的延长线上，BF是∠CBE的平分线，∠ADC=110°，则∠FBE= ．13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知：如图，OA、OB、OC是的三条半径，M、N分别为、的中点．求证：．15．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝6cm，EB＝2cm，∠BED＝30°，求弦CD的长．16．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF=2，EF=4，求线段AC长．17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO=∠D；（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．18．安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知安装集热管的支架AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，支架BF的长度为0.9m，且与屋面AB垂直，支架AE的长度为1.9m，且与铅垂线OD的夹角为35°，支架的支撑点A、B在屋面上的距离为 m.（1）求⊙O的半径；（2）求屋面AB与水平线AD的夹角．参考答案：1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．C 7．C 8．C 9．210．1cm或7cm11．40°12．55°13．214．证明：∵、为的半径∴∵M是中点，N是中点∴∵∴∴．15．解：过点O作OM⊥CD，连接OC，则CD＝2CM∵AE＝6cm，EB＝2cm∴AB＝8cm∴OC＝OB＝4cm∴OE＝4﹣2＝2cm∵∠CEA＝∠BED＝30°∴OM＝OE＝×2＝1 cm∴CM＝＝＝（cm）∴CD＝2cm．16．解：设OE=x，则OF=x﹣2由勾股定理得，OE2=OF2+EF2，即x2=（x﹣2）2+42解得，x=5∴OF=3∵AC∥OE，OD⊥AC∴OD⊥OE∵OA=OE，EF⊥AB∴△ADO≌△OFE∴AD=OF=3∵OD⊥AC∴AC=2AD=6．17．（1）证明：如图．∵OC=OB∴∠BCO=∠B．∵∠B=∠D∴∠BCO=∠D（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E∴CE= CD= ×4 =2在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2∴r2=（2 ）2+（r﹣2）2解得：r=3∴⊙O的半径为3．18．（1）解：设圆的半径是r，则OA＝1.9＋r，OB＝0.9＋r. 在Rt△OAB中，AB2＋OB2＝OA2∴( )2＋(0.9＋r)2＝(1.9＋r)2解得：r＝0.1∴⊙O的半径是0.1m（2）解：在Rt△OAB中，OB＝1，OA＝2.则∠AOB＝60°∴∠BOD＝60°－35°＝25°.在Rt△OBM与Rt△ADM中，∠D＝∠B＝90°，∠AMD＝∠OMB ∴∠BAD＝∠BOD＝25°.答：屋面AB与水平线AD的夹角是25°。
人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步测试题及答案一、选择题1．已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE=2，则⊙O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6⌢=CD⌢，∠COB=40°，则∠A的度数是（）3．如图，AB是⊙O的直径ADA．50°B．55°C．60°D．65°4．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=（）A．140°B．40°C．80°D．60°5．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．2米B．4米C．(6−2√5)米D．(6+2√5)米6．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD．若CD=8，OE=3，则BD的长为（）A．√10B．2√3C．√17D．2√57．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点OC⊥AB，垂足为D，若∠A=20°，则∠ABC=（）A．20°B．30°C．35°D．55°8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，已知∠ADC=60°，∠BDC=40°，则∠ACB=（）A．60°B．70°C．79°D．80°二、填空题9．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=40°，点D在⊙O上，连接CD，AD，则∠ADC=.10．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为cm．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=29°，则∠D=．12．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为.13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=．三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上∠ACD=30°，弦AD=4cm，求⊙O的直径．⌢=BC⌢，求∠ABC的度数．15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，△OAB是等边三角形AB16．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据⌢，桥的跨度（弧所对的弦长）AB=30m，设AB⌢该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB所在圆的圆心为O，OB，OC为半径，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m．（1）直接写出AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．̂的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．17．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF（1）求证：GE＝BE；（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．参考答案1．D2．C3．B4．C5．C6．D7．C8．D9．20°10．1611．61°12．414．解：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°．∵同弧所对的圆周角相等∴∠ABD=∠ACD=30°．∵AD=4∴AB=8．∴⊙O的直径为8cm15．解：∵△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°∴∠ADB=12∠AOB=30°∵AB⌢=BC⌢∴∠CDB=∠ADB=30°，∠ADC=60°∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠ABC=180°−∠ADC=120°．16．（1）AD=BD（2）解：设主桥拱半径为R∵AB=30，CD=5，OC⊥AB∴BD=12AB=12×30=15，OD=OC−CD=R−5在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB2=BD2+OD2即R2=152+(R−5)2解得R=25因此，这座石拱桥主桥拱半径约为25m．17．（1）证明：∵D是BF̂的中点∴∠ECG＝∠ECB∵CD⊥AB∴∠CEG＝∠CEB＝90°∴∠CGE＝∠CBE∴CG＝CB∵CE⊥BG（2）解：∵AG＝6，BG＝4 ∴AB＝6+4＝10AB＝5∴OC＝OB＝12∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1BG＝2 由（1）知GE＝BE＝12∴OE＝OG+GE＝1+2＝3∴CE＝√OC2−OE2＝4∵直径AB⊥CD∴CD＝2CE＝2×4＝8．。
2023—2024学年人教版数学九年级上册 24.1圆的有关性质同步练习 含答案
2023—2024学年人教版数学九年级上册24.1圆的有关性质同步练习（含答案）初中数学同步练习九年级上册24.1 圆的有关性质一、单选题1．如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．72．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点M，连接BC、AD，⊙AMD＝100°，⊙A＝30°，则⊙B＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°3．如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若⊙ABC ＝30°，则⊙ADC的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°4．如图，点A．B．C在⊙D上，⊙ABC=70°，则⊙ADC的度数为（）A．110° B．140° C．35° D．130°5．下列命题中，不正确的是（）A．垂直平分弦的直线经过圆心B．平分弦的直径一定垂直于弦C．平行弦所夹的两条弧相等D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧6．如图，⊙O的直径CD⊙AB，⊙AOC=60°，则⊙CDB=（）A．20° B．30° C．40° D．50°7．如图，在⊙O中，弦AC⊙半径OB，⊙BOC=48°，则⊙OAB的度数为() A．24° B．30° C．60° D．90°8．如图，⊙O的半径OD⊙弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB=4，CD=1，则EC的长为()A．B．C．D．4二、填空题9．如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊙CD，连接AD，BC，若⊙C=25°，则⊙D的度数为.10．如图，A、B、C是⊙O的圆周上三点，⊙ACB=40°，则⊙ABO等于度.11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙A＝100°，则⊙DCE的度数为；12．如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，⊙ADC = 144°，则⊙ABC =13．如图，⊙ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，⊙ACB=50°，点D是上一点，则⊙D=度．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，⊙CAD=35°，则⊙B+⊙E=.15．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，⊙B=70°，则⊙DAC=.16．如图，在中，A，B，C是O上三点，如果，弦，那么的半径长为．三、解答题17．如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点E，AE=CE，求证：BE=DE．18．如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．19．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为多少？20．如图，在中，AB是的直径，与AC交于点D，，求的度数.答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】65°10．【答案】5011．【答案】100°12．【答案】3613．【答案】4014．【答案】215°15．【答案】20°16．【答案】517．【答案】证明：⊙⊙A=⊙C，⊙D=⊙B ，AE=CE，⊙ ⊙AED⊙⊙CEB，⊙ BE=DE．18．【答案】解：⊙弧AC和弧BC相等，⊙⊙AOC=⊙BOC，又⊙OA="OB" M、N分别是OA、OB的中点⊙OM=ON，在⊙MOC和⊙NOC中，⊙⊙MOC⊙⊙NOC（SAS），⊙MC=NC．19．【答案】解：如图，连接AQ，由题意可知：⊙BPQ=45°，⊙AB是半圆O的直径，⊙⊙AQB=90°，又⊙⊙BAQ=⊙BPQ=45°，⊙⊙ABQ是等腰直角三角形，⊙BQ=AQ= .即，答案为.20．【答案】解：在⊙ABC中，⊙⊙B=60°，⊙C=75°，⊙⊙A=45°．⊙AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，⊙⊙BOD=2⊙A=90°。
人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质同步练习 附答案解析(二)
24.1圆的有关性质同步练习(二)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、下列结论正确的是（）.A. 过圆心的线段是直径B. 半圆是弧C. 弧是半圆D. 弦是直径2、如图，是的外接圆，，则的度数等于（）A.B.C.D.3、给出下列命题：垂直于弦的直线平分弦；平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦的直线必过圆心；弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，其中正确的命题有个.A.B.C.D.4、如图，是的直径，是垂直于的半径，过上的一点作弦，分别交和与点且，那么与的数量关系是（）A.B.C.D.5、下列命题正确的是（）A. 若两弧的度数相等，则两条弧是等弧B. 若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大C. 若弦长等于半径，则弦所对的劣弧的度数为D. 若两弦相等，则它们所对的弧相等6、如图，正方形内接于圆点，在弧上，( ).A.B.C.D.7、图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，若两只小虫同时出发，以相同的速度从点到点，甲虫沿、、、路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）A. 无法确定B. 甲、乙同时到C. 乙先到点D. 甲先到点8、如图，已知点平面直角坐标系内三点、、，经过点、、，则点的坐标为（）A.B.C.D.9、如图，是的外接圆的直径，为上一点，，垂足为，，，则的长为（）A.B.C.D.10、给定下列图形可以确定一个圆的是（）A. 已知圆心B. 已知半径C. 已知直径D. 三个点11、如图，在中，，，为上的任意一点，、、、是上的四个点，则的角度为（）A.B.C.D.12、如图，是的直径，，则的度数为（）A.B.C.D.13、如图，是的直径，，，则的度数是（）A.B.C.D.14、如图，在中，弦，于点，于点，若，，则的半径的长为（）A.B.C.D.15、已知如图，是的直径，弦于，，，则的直径为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，是的直径，点在上，，点在线段上运动，设，则的取值范围是____.17、如图，在四边形中，、、三点在以为圆心的圆周上，延长交于点。
人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质同步练习 附答案解析(一)
24.1圆的有关性质同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图：是的直径，为弦，且相交于点，则下列结论不成立的是（）.A.B.C.D.2、下列命题中，正确的是（）.A. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心B. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心C. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦D. 平分一条直径的弦垂直于这条直径3、经过圆内一点（不包括圆心），可以作直径的条数是（）A. 无数条B. 条C. 条D. 条4、以点为圆心，可以作几个圆（）A. 无数个B. 个C. 个D. 只能个5、下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆上任意一点有无数条弦，且这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的是（）A. 个B. 个C. 个D. 个6、下列说法，正确的是（）A. 过圆心的线段是直径B. 半圆是弧C. 弧是半圆D. 弦是直径7、如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则的长（）A.B.C.D.8、下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A. 个B. 个C. 个D. 个9、如图，在的内接五边形中，，则______．A.B.C.D.10、如图，、是的两条互相垂直的直径，点从点出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么与点运动的时间（单位：秒）的关系图是（）A.B.C.D.11、如图，将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心，点是优弧上一点，则的度数为（）A.B.C.D.12、如图，已知，，，则的度数为（）A.B.C.D.13、如图，四边形内接于，已知，则的大小是（）A.B.C.D.14、如图，是的直径，为弦，且相交于点，则下列结论中不成立的是（）A.B.C.D.15、已知的直径，是的弦，，且，垂足为，则的长为（）A. 或B. 或C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，点，，在上，，则．17、圆内接四边形中，，则（）度．18、如图，是的直径，点在上，，点在线段上运动，设，则的取值范围是____.19、小明不慎把玻璃打碎了其中四碎片如图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是第（）块.20、如图，边长为的菱形的两个顶点、恰好落在扇形的弧上．若，则弧的长度等于______（结果保留）．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、如图，是半圆的直径，是的中点，，则度.22、如图，在中，，，，点为延长线上的一点，且，为的外接圆．(1) 求的长．(2) 求的半径．23、如图，已知四边形内接于圆，对角线与相交于点，在上，，．(1) 若，求的度数．的度数为．(2) 求证：．24.1圆的有关性质同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、如图：是的直径，为弦，且相交于点，则下列结论不成立的是（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】解：在同侧，同弦所对的圆周角相等，成立；，根据垂径定理得，，成立；直径所对的圆周角为直角，成立；等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的倍，不成立故不成立.2、下列命题中，正确的是（）.A. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心B. 弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心C. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦D. 平分一条直径的弦垂直于这条直径【答案】A【解析】解：任何两条直径都互相平分，但不一定垂直，平分一条直径的弦垂直于这条直径，所以错误，平分一条弧的直线过圆心时才垂直于这条弧所对的弦，所以错误，弦的垂线有很多条，不一定要经过这条弦所在圆的圆心，故错误，在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故正确故答案为：在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.3、经过圆内一点（不包括圆心），可以作直径的条数是（）A. 无数条B. 条C. 条D. 条【答案】C【解析】解：过圆内的一点（非圆心）有且只有一条直径．4、以点为圆心，可以作几个圆（）A. 无数个B. 个C. 个D. 只能个【答案】A【解析】解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆．5、下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆上任意一点有无数条弦，且这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】解：① 因为直径的两个端点在圆上，直径是连接圆上这两个端点的线段．所以直径是弦是正确的；②弦是连接圆上两点的线段，如果过圆心就是直径，不过圆心就不是直径．所以弦是直径不正确；③过圆内一点是有无数多条弦，但这些弦不一定相等，其中过圆心的弦是最长的．所以③不正确；④直径是过圆心的弦，当然是圆中最长的弦．所以④正确．6、下列说法，正确的是（）A. 过圆心的线段是直径B. 半圆是弧C. 弧是半圆D. 弦是直径【答案】B【解析】解：弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的．过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．7、如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则的长（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：连接、，，，，则的长．8、下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】解：①过两点可以作无数个圆，正确；②经过三点一定可以作圆，错误，三点共线时不能作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，圆上的三点构成圆内接三角形，有无数个，正确的有个．9、如图，在的内接五边形中，，则______．A.B.C.D.【答案】B【解析】解：如答图，连接，和是圆内接四边形的对角，．又和是同圆中同弧所对的圆周角，且，．．10、如图，、是的两条互相垂直的直径，点从点出发，沿的路线匀速运动，设（单位：度），那么与点运动的时间（单位：秒）的关系图是（）A.B.C.D.【答案】C(1) 当点沿运动时，当点在点的位置时，，当点在点的位置时，，，由逐渐减小到；(2) 当点沿运动时，根据圆周角定理，可得；(3) 当点沿运动时，当点在点的位置时，，当点在点的位置时，，由逐渐增加到．故正确的图像为11、如图，将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心，点是优弧上一点，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】A作半径于，连结、，如图，将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心，，，，而，，，．12、如图，已知，，，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，，点、、在以点为圆心，以的长为半径的圆上；，，，，而，．13、如图，四边形内接于，已知，则的大小是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：四边形是的内接四边形，，．．14、如图，是的直径，为弦，且相交于点，则下列结论中不成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，正确；，正确；，正确；，故“”错误．15、已知的直径，是的弦，，且，垂足为，则的长为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】解：连接，的直径，，，，，当点位置如图所示时，，，，，；当点位置如图所示时，同理可得，，，在中，．故的长为或．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，点，，在上，，则．【答案】70【解析】解：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．故答案是：．17、圆内接四边形中，，则（）度．【答案】【解析】解：设为，则为，为，四边形是圆内接四边形，，则，解得：，，．故答案为：．18、如图，是的直径，点在上，，点在线段上运动，设，则的取值范围是____.【答案】.【解析】解：当点和点重合时，，，已知，，当点从点运动到点时，点和重合，是直径，，的取值范围是.故正确答案应选：.19、小明不慎把玻璃打碎了其中四碎片如图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是第（）块.【答案】②【解析】解：因为第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任意做两条弦，作出这两弦的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长，故选第②块.20、如图，边长为的菱形的两个顶点、恰好落在扇形的弧上．若，则弧的长度等于______（结果保留）．【答案】【解析】解：菱形中，，又，，即是等边三角形．，弧的长是：．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、如图，是半圆的直径，是的中点，，则度.【解析】解：，且，，又知为直径，，，是的中点，，，.正确答案是：.22、如图，在中，，，，点为延长线上的一点，且，为的外接圆．(1) 求的长．【解析】解：过点作，垂足为，，在中，，，，，，在中，，，．(2) 求的半径．【解析】解：连接并延长到上一点，连接，由（1）得，在中，，，，，，解得：，的半径为．23、如图，已知四边形内接于圆，对角线与相交于点，在上，，．(1) 若，求的度数．的度数为．【解析】解：，，，又，，，，．(2) 求证：．【解析】证明：令，则，四边形是圆的内接四边形，，即，又，，，，，即．。