九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程根的判别式课件新版青岛版
++.一元二次方程根的判别式+++课件++++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
C.没有实数根
D.无法确定
2.(2024·上海期中)关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)-p2=0,判断它的根的情况是
方程有两个不相等的实数根
____________________________.
3.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)16y2+9=24y;
(2)5(x2+1)-7x=0;
没有
(3)Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)__________实数根.
对点小练
1.对于一元二次方程x2-2x-3=0,根的判别式b2-4ac中的b表示的数是( A )
A.-2
B.2
C.-3
D.3
2.(1)一元二次方程2x2-5x+3=0的根的情况为( B )
A.无实数根
B.有两个不等的实数根
(3)3(x2-1)=5x.
【解析】(1)16y2+9=24y的一般形式为16y2-24y+9=0,
Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0,
故此方程有两个相等的实数根.
(2)原方程5(x2+1)-7x=0化为一般形式为5x2-7x+5=0,
Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0,
2
2
原方程为- x + x- =0,即(3x-1) =0,解得:x1=x2= .
综上,当k=-2时,方程的根为- ;
当k= 时,方程的根为 .
【技法点拨】
根的判别式的三个作用
(1)判断方程根的情况:不解方程,根据b2-4ac的符号直接判断方程根的情况.
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
九年级数学《用函数观点看一元二次方程》课件
A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 D．－1＜x＜3
C．x＜－1或x＞3
3.二次函数的图象 y kx2 6x 3
的取值范围是【 】
与轴有交点，则
A. k 3 B k 3且k 0 C k 3 D k 3且k 0
4.下列命题：
①若 a b c ，0
②若 b a c
③若b 2a 3c
x
交
二
轴次
的函
交数 点与
点
两个交点 一个交点 没有交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
1、二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点横坐 标是（ A ） A：2和-3 B：-2和3 C：2和3 D：-2和3
2、已知实数s、t，且满足s2+s-2006=0， t2+t-2006=0，那么二次函数y=x2+x-2006的 图象大致是（ B ）
y x2 6x 9
y x2 x 1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
2.2个根,2个相等的根, 无实数根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
1.二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图4所示，则下列
说法不正确的是（ ）
A b2 4ac 0 B a 0
C c0
D
b 0 2a
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
苏科版数学九年级上册第5课时一元二次方程根的判别式同步课件
(1) 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根.
(2) 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
(3)当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
归纳总结
根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二次方程根的情况．
反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定b2-4ac的值的符号．
即有：
b2-4ac＜０
特别注意：当 b2 －4ac＜0 时没有实数根．
b b 2 4ac
（4）代入求根公式： x
2a
（5）写出方程的解：x1=？、x2=？．
情景引入
问题：老师写了3个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，
大家都才解第一个方程呢，小华突然站起来说出每个方程解的
情况，你想知道他是如何判断的吗？
= 3，
2×1
∴ x1 = x2 = 3.
（3）∵ a=2,b=-2,c=1，
b2-4ac=(-2) 2-4×2×1=-4＜0,
∴ 这个方程没有实数根.
；(3)
2x2－2x＋1＝0．
探 索 思 考
1.视察上述方程的根的情况，
方程(1)有
两个不相等的 实数根，此时b2-4ac ＞ 0；
方程(2)有
两个相等的
解：原方程化为16y2－24y＋9＝0.
∵a＝16，b＝-24，c＝9，∴b2－4ac＝(-24)2－4×16×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
(3)5(x2＋1)－7x＝0.
解：原方程化为5x2－7x＋5＝0.
∵a＝5，b＝-7，c＝5，
∴ b2－4ac＝(-7)2－4×5×5＝49－100＝-51<0，
方程(3)
没有
一元二次方程的解法(第5课时一元二次方程根的判别式)(课件)九年级数学上册课件(苏科版)
是( C )
A. k≤－1
B. k≥－1
C. k＜－1
D. k＞－1
4. 若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是
(D ) A. m＜1
B. m＜1且m≠0 C. m≤1
D. m≤1且m≠0
当堂检测
5.在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若a与c异号，则方程( A )
第1章 · 一元二次方程
1.2 一元二次方程的解法
第5课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．熟练运用公式法求解一元二次方程； 2．理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
复习回顾
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的求根公式：
复习回顾
用公式法解方程的一般步骤是什么？
(2)(x＋2)2＝2x＋4；
当堂检测
11.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式
的值为1，求m的值及该方程的根. 解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)
=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1 =(m-1)2 ∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(舍去).
=-4<0， 方程没有实数根.
新知巩固
不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)9x2+12x+4=0；
(2) 5y2+1=8y.
解：b2-4ac
解：化简得 5y2-8y+1=0.
=122-4×9×4
b2－4ac
=0，
=52-4×(-8)×1
九年级上第03讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系讲义+练习
第3讲一元二次方程根的判别式及根与系数的关系概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、一元二次方程的根的判别式2、根与系数的关系教学目标1、使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2、使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．3、通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．4、使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．教学重点1、一元二次方程根的判别式的内容及应用．2、韦达定理的推导和灵活运用．3、已知方程求关于根的代数式的值 .教学难点1、用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．2、一元二次方程根的判别式的推导．3、利用根的判别式进行有关证明【知识导图】用公式法求出下列方程的解：(1)3x 2＋x －10＝0；(2)x 2－8x ＋16＝0；(3)2x 2－6x ＋5＝0． 引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．先讨论上述三个小题中b 2－4ac 的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，可将其变形为一元二次方程根的判别与及根于系数的关系根的判别有实数根无实数根韦达定理两根和两根积教学过程考点1 一元二次方程根的判别式 二、知识讲解一、导入(x+)2=∵a ≠0，∴4a 2＞0．由此可知b 2－4ac 的值直接影响着方程的根的情况． (1)当b 2－4ac ＞0时，方程右边是一个正数．12x x ==因此b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根 (2)当b 2－4ac ＝0时，方程右边是122bx x a==-,所以，一元二次方程有两个相等的实数根 (3) 当b 2-4ac<0时，方程右边是一个负数,而方程左边的(x+)2不可能是一个负数,因此方程没有实根.通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况可由b 2－4ac 来判定．故称b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用“△”来表示． ● 综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．● 提问1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ ● 新知讲解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为：考点2 根于系数之间的关系12x x ==12b x x a +=- 12cx x a=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么12b x x a +=-12cx x a= 我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的根与系数的关系． 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)变形为20b cx x a a++=，我们就可以将之写成20x px q ++=的形式，其中,b cp q a a== ● 得出结论：如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ． 由 x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q 可知p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， ∴方程x 2＋px ＋q ＝0， 即 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．这就是说，以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． ● 一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q.如果实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．考点3 利用根与系数的关系确定一元二次方程(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 已知两根求一元二次方程，其一般步骤是： ①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形： ①＋＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ③(x 1＋a)(x 2＋a)＝x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2； ④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.类型一 一元二次方程根的判别式一元二次方程的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根 【答案】D若关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k ＞1 C ．k ＜1 D ．k≤121x 22x 2x2x 20三 、例题精析例题2例题1考点4 一元二次方程根与系数的关系的应用【答案】D已知：关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有两个不相等的实数根。
九年级数学《一元二次方程组的解法》课件
练习：
1.解下列方程：
（1）x 16；
2
（2）x 0.81 0；
2
（3）y 2 144 0； （4） 9 x 2 4. 解：
（1）x 2 16
（2）由x 2 0.81 0得：
因为x是16的平方根， x 2 0.81 所以 因为x是0.81的平方根， x 4. 所以
所以 2 x 3= 5， 即x1 53 53 , x2 . 2 2
一元二次方程的解法
用公式法解一元二次方程
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0 (a≠0)
2
解: 把方程两边都除以 移项，得 配方，得
a
b c x x 0 a a
2
b c x x a a
2 b2 4ac （ 7 ） 4 1 （ 18 ） 121 >0
方程有两个不等的实数根 2 b b 4ac (7) 121 7 11 x 2a 2 1 2 即 ： x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值. 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 用配方法解一元二次方程
问题1 :什么叫做平方根？ 如果 x a ( a 0)，那么x叫做a的平方根.
2
问题2 :什么叫做开平方运算？ 求一个数平方根的运算叫做开平方运算.
2
问题3 :根据平方根的意义你能解方程 x 25吗？ 像这种用直接开平方求一元二次方程 解的方法叫做直接开平方法.
2Байду номын сангаас2
（3） x 4 25 0；（4） 2 x 3 5 0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9 ∴m＞ 8
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
9 ∴m= 8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 9 ∴m＜ 8 ∴(1)当m＞ 9 时，方程有两个不相等的实数根； 8 9 （2）当m= 时，方程有两个相等的实数根； 8 (3)当m＜ 9 时，方程没有实数根 8
可以发现b2－4ac的符号决定着方程是否有解 及解的个数。
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定
两个不相等的实数根 当b2－4ac＞0时，方程有___________________ 两个相等的实数根 当b2－4ac = 0时，方程有_________________ 没有实数根 当b2－4ac ＜ 0时，方程___________
方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（ A ）
A.没有实数根 B.可能有且仅有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
2.不解方程，判断方程根的情况： （1）x2+3x-1=0; （2）x2-6x+9=0; （3）2y2-3y+4=0
两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的判别式. 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
（4）x2+5= 2 5 x
两个相等的实数根
3.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求 这时方程的根. 解:方程有两个相等的实数根，所以（-k）²-4×1×4=0， 解得k=±4
当k=4时，求出x1=x2=2
当k=-4时，求出x1=x2=-2
一元二次方程的根的情况与系数的关系？ b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式.利用根的判别式可 以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过 来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方 程中未知字母的取值情况.
（2） 移项，得x2+4x-2=0 ∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）
=16+8=24＞0
∴该方程有两个不相等的实数根ห้องสมุดไป่ตู้
（3）移项，得4x2+3x+1=0 ∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0
∴该方程没有实数根
（4）∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16
【例4】已知关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3=0有两个不相
等的实数根，求k的取值范围.
解：∵方程有两个不相等的实数根
∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0，且k≠0 4k2+4k+1-4k2-12k＞0 -8k+1＞0
1 即k＜ ，且k≠0 8
1.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次
3 x ＋3 = 0
⑶ 2x2－2x＋1 = 0
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根 的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及 常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程 的解的情况呢？
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3 答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根 你能得出什么结论？
=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根
【例题】
【例2】m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3 （m+3）=0恒有两个不相等的实数根. 解： b 4ac m 1 4 3 m 3
2 2
m 2 10m 37 m 2 10m 52 52 37 m 5 12
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子
【例题】
【例1】不解方程，判断下列方程根的情况： （1）-x2+ 2 6 x-6=0 （2）x2+4x=2 （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0
解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0
∴该方程有两个相等的实数根
【跟踪训练】
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= -8 ，
所以方程的根的情况是 方程无实数根
.
2.下列方程中，没有实数根的方程是（ D ） A.x2=9 C.x(x+1)=1 是（ D ） A.b2-4ac＞0 C.b2-4ac≤0 B. b2-4ac＜0 D.b 2-4ac≥0 B.4x2=3(4x-1) D.2y2+6y+7=0
2
∵不论m取何实数，总有（m+5）2≥0 ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0 ∴不论m取何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
【例3】m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m21=0
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b2-4ac=[-（4m+1）]2-4×2（2m2-1）=8m+9 （1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0
4.5 一元二次方程根的判别式
1.了解根的判别式概念. 2.能判断数字系数的一元二次方程根的情况. 3.能根据一元二次方程根的情况求未知系数的取值 或取值范围．
1.一元二次方程的求根公式是什么？ 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是已知数， a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是
b b 2 4ac x 2a
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式， 进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值， 当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解； 当b2-4ac＜0时，方程无实数解(根)
3.用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－ 2