2024届安徽省怀宁中学高二上数学期末统考模拟试题含解析

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安徽高二高中数学期末考试带答案解析

安徽高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则-（）A．B．C．D．2.下列命题中为真命题的是（）A．若B．直线为异面直线的充要条件是直线不相交C．“是“直线与直线互相垂直”的充要条件D．若命题，则命题的否定为：3.已知i为虚数单位, 若复数i，i，则=( )A．i B．i C．i D．i4.4、=( )A．B．C．D．5.按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是A．7B．6C．5D．46.圆上的点到直线的距离最大值是（）A． 2B． 1+C．D．1+.7.某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是( )A．6B．8C．10D．128.函数满足，则的值为（）A．B．C．D．9.对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数，都有，则的值是（）A．B．C．D．10.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（）A．B．C．D．4二、填空题1.设是等差数列｛｝的前n项和，已知=3，=11，则等于_________________2.求函数的单调递增区间为________________3.4.设函数是定义在R上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则其中所有正确命题的序号是_____________。

① 2是函数的周期；②函数在上是减函数，在上是增函数；③函数的最大值是1，最小值是0；④当时，。

5.设函数(其中)，是的小数点后第位数字，则的值为。

三、解答题1.（本题满分12分）已知△的三个内角、、所对的边分别为、、.，且.（1）求的大小；（2）若.求.2.（本小题满分12分）已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB．BC的中点，（1）证明：PF⊥FD；（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．3.（本小题满分12分）一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．4.（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求函数在（1, ）的切线方程（Ⅱ）求函数的极值（Ⅲ）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的陪伴切线．已知两点，试求弦的陪伴切线的方程；5.（本小题满分13分）已知圆C：过点A（3，1），且过点P（4，4）的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F．（1）求切线PF的方程；（2）若抛物线E的焦点为F,顶点在原点，求抛物线E的方程。

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

高二数学（答案在最后）满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线20x y ++=的倾斜角为（）A.45°B.60°C.135°D.150°【答案】C 【解析】【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率1k =-，利用tan k α=即可算出所求的倾斜角大小．【详解】根据题意：202x y y x ++=⇔=--，所以该直线的斜率为1-，设该直线的倾斜角为α，且0180α︒≤<︒，可得tan 1135αα=-⇔=︒．故选：C2.在空间直角坐标系中，已知点()0,0,1A ，()1,2,3B ，(),,2C m n ，若向量AB与向量BC 共线，则m 的值为（）A.0B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.【详解】根据题意：()1,2,2AB = ，()1,2,1BC m n =---，AB 与BC共线，所以()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= ，可得12λ=-，12m =．故选：B3.已知等差数列{}n a 满足1356a a a ++=，则24a a +=（）A.10B.8C.6D.4【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用等差数的性质即可求出结果.【详解】由1356a a a ++=，得到336a =，即32a =，所以24324a a a +==，故选：D.4.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b =，1AA c =，点M 为四边形11BCC B 的中心点，则AM = （）A.111222a b c ++B.1122a b c++C.111222a b c +- D.1122a b c-- 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果.【详解】根据题意，1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++，又BC AC AB=-，所以1111111222222AM AB BB AC c =++=++ ，故选：A.5.已知双曲线222:14y x C b-=的渐近线方程为250x =，则该双曲线的焦点坐标分别为（）A.()3,0，()3,0- B.()0,3，()0,3-C.()1,0，()1,0- D.()0,1，()0,1-【答案】B 【解析】【分析】由渐近线、,,a b c 的关系以及焦点的概念即可求解.【详解】已知双曲线222:14y x C b -=的渐近线方程为220y x x by b=±⇔±=，对照250x =，可得25b =，所以2549c =+=，所以该双曲线的焦点坐标分别为()0,3，()0,3-．故选：B.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足21n n S a =-，则1224log T T =（）A.45B.50C.55D.60【答案】D 【解析】【分析】根据1nn n a S S -=-可得12n n a a -=，结合等比数列的定义可知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求出n a ，进而求出124T T 即可求解.【详解】根据题意：1121,21n n n n S a S a --=-=-，两式作差可得12n n a a -=，当1n =时，11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以()()44115601256128942,22n n T a a a a a a T -==⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以1224log 60T T =，故选：D ．7.已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线:21l y x =+与该抛物线交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为1M .若17||4MM =，则p =（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】先运用中位线定理，将17||4MM =转化得到,A B 两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到p 的值.【详解】根据题意，过点,A B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为11,A B ，所以1117||||2||2AA BB MM +==，所以72AF BF +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据定义可得121222p pAF BF x x x x p +=+++=++，联立()22122244210221y px p x p x x x y x ⎧=-⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩，1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=．故选：B .8.已知函数()[]f x x =表示不超过x 的最大整数，41n a n =-，[]2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则100S =（）A.673B.747C.769D.821【答案】A 【解析】【分析】用特殊值法，根据对数得运算对n b 进行分类，从而求出前100项的和.【详解】根据题意分析可得：[][]1212log log 31b a ===，[][]2222log log 72b a ===，[][]3232log log 113b a ===，[][]4242log log 153b a ===，584b b ~=，9165b b ~=，17326b b ~=，33647b b ~=，651008b b ~=，所以10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：A二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知向量()2,2,1a =-，(),,2b x y = ，则下列结论正确的是（）A.向量a关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1B.若a b ⊥，则20x y -+=C.若a b =，则225x y +=D.若a b ⊥ 且a b = ，则2x =-，1y =-【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的对称可判断A;根据空间向量垂直的坐标表示可判断B;根据空间向量模长的坐标表示可判断C;结合题意联立20x y -+=，225x y +=,计算即可判断D.【详解】对于选项A :根据题意可知向量()2,2,1a =-关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1,故A 正确；对于选项B :若a b ⊥，则2220a b x y ⋅=-+=，即10x y -+=，故B 错误；对于选项C :若a b = ，则225x y =⇔+=，故C 正确；对于选项D :若a b ⊥ 且a b = ，2210251x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩或12x y =⎧⎨=⎩，故D 错误．故选：AC.10.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上顶点为B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法正确的是（）A.若12BF BF ⊥，则a =B.若椭圆C 的离心率为2，则2a =C.当2a =时，过点1F 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最小值为12D.若直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为A ，112BF F A = ，则232a =【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 项，易得等腰直角三角形12BF F ,则1b c ==，即得；对于B 项，由离心率公式和222a b c =+易得；对于C 项，由椭圆中过焦点的最短弦长即通径22b a，易得；对于D 项，利用112BF F A = 表示出点A的坐标，代入椭圆方程计算即得.【详解】对于A 项，若12BF BF ⊥，因12BF BF =,可得1b c ==，则a =，故A 项正确；对于B 项，由222212a e a -==可解得：2a =，故B 项正确；对于C 项，2a =时，椭圆22:14x C y +=，因过点1F 的直线被椭圆C 所截的弦长的最小值为通径长，即22112b a =≠，故C 项错误；对于D 项，如图，因为()0,1B ，()1,0F c -，设点(,)A m n ，由112BF F A =可得(,1)2(,)c m c n --=+，解得：31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆222:1x C y a +=中，可得2291144c a +=，即229(1)344a a -=，解得：232a =，故D 项正确．故选：ABD .11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，238a a +=，现将数列{}n a 与数列{}1n S -的公共项从小到大排列可以得到新数列{}n b ，则下列说法正确的是（）A.21n a n =-B.21n S n =-C.10399b = D.数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1021【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件求出数列{}n a 的公差，易得通项n a 和前n 项和n S ，易于判断A,B 两项；对于新数列{}n b ，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C 项；对于D 项，因数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项易于裂项，故运用裂项相消法求和即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =，由231238a a a d +=+=解得：2d =，故12(1)21n a n n =+-=-，()21212n n n S n +-==，故A 项正确，B 项错误；将数列{}n a 列举出来为：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, 数列{}1n S -列举出来为：0,3,8,15,24,35,,故共同项依次有：3,15,35, ,即13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ ，故2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-，则1041001399b =⨯-=，C 项正确；因()()211111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭，其前10项和为11111111111011232352192122121⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．故D 项正确.故选：ACD.12.点A ，B 为圆22():21M x y -+=上的两点，点()1,P t -为直线:1l x =-上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.当0=t ，且AB 为圆的直径时，PAB 面积的最大值为3B.从点P 向圆M 引两条切线，切点分别为A ，B ，AB 的最小值为3C.A ，B 为圆M 上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得π3APB ∠=D.当()1,2P -，AB =时，PA PB +的最大值为1【答案】ABD 【解析】【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A ；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B ；由B 项可判定C 项；根据圆的弦长公式确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D.【详解】对A ：当0=t ，AB 为直径时，1122PAB A S PM h =⨯⨯ （其中A h 为点A 的纵坐标），所以当点A 为()2,1或()2,1-时，三角形PAB 的面积最大，()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯= ，所以A 正确；对B ：设APM θ∠=，AB 交PM 与点N ，由圆的切线性质Rt Rt BNP MNB ，则ABM APM θ∠=∠=，所以2cos AB θ=，θ越大，AB 越小，当点P 在()1,0-处时，θ最大，此时1sin 3θ=，cos 3θ=，3AB =，即min 3AB =，B 正确；对C ：当点P 在()1,0-处，且PA ，PB 为切线时，APB ∠最大，此时11sin 32APM ∠=<，即π6APM ∠<，π23APB APM ∠=∠<，所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设AB 的中点D ，则MD AB ⊥，221122MD r AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以点D 在以M 为圆心，12为半径的圆上，2PA PB PD += ，设小圆半径为1r ，则1max1132PDPM r =+=+，则PA PB +的最大值为2131+，D 正确．【点睛】思路点睛：选项D 中根据圆的弦长公式求出点D 轨迹为圆，问题转化为圆外一定点到圆上动点距离的最大值.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线1:1l y kx =+，()2:2l y k x =-，则直线1l ，2l 之间距离的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.【详解】由题意可知：直线1:1l y kx =+的斜率为k ，过定点()0,1A ；直线()2:2l y k x =-的斜率为k ，过定点()2,0B ；可知12l l //，所以两直线之间距离的最大值为5AB =.14.过点()3,1的直线l 被圆：22450x y x +--=所截得的弦长的最小值为______．【答案】【解析】【分析】首先分类讨论得圆心()2,0到直线l 的距离最大值，结合弦长公式即可求解.【详解】根据题意：直线l 过定点()3,1，判断可知点()3,1在圆22450x y x +--=内，而圆2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=，若直线l 斜率存在时，设:31l y kx k =-+，圆心()2,0到直线31y kx k =-+的距离为d =，所以()2221210d k k d -++-=，若1d =，则0k =，若0,1d d >≠，则()224410d ∆=--≥，解得01d <<或1d <≤，直线l斜率存在时，max d =，此时1k =-，若直线l 斜率不存在时，即:3l x =，圆心()2,0到直线3x =的距离为1d =，综上所述，圆心()2,0到直线l，所以所截的弦长的最小值为=故答案为：.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，直线:l y kx =与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线MP 、MQ 的斜率分别为MP k 、MQ k ，且3MP MQ k k ⋅=，若12MF F △的面积为，记直线1MF 、2MF 的斜率分别为1MF k 、2MF k ，则12MF MF k k +=______．【答案】【解析】【分析】首先联立22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，由韦达定理结合3MP MQ k k ⋅=得223b a =，进一步得双曲线方程，由12MF F △的面积为M 坐标，由斜率公式即可求解.【详解】设(),M M Mx y ，0Mx>，0M y >，根据题意，可得2c =，联立22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()2222220b a k x a b --=，222b k a <，所以2212122220,a b x x x x a k b+==-，所以()()()()222222222221212222212122222223M M MMP MQ MM M M Ma b b x b a k b a k k kx y kx a y k x x y b k x x a b k b x x x x x a x--+⋅==⎛⎫+-===--⎪⎭+--+ ⎝，又2224a b c +==，可得21a =，23b =，所以双曲线22:13y C x -=，12MF F △的面积为，可得122M M c y y ⨯⨯=⇔=代入双曲线C的方程可得M x =M的坐标为，所以12MF MF k k +==故答案为：16.已知抛物线22(0)y px p =>，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为60︒时，2BF =，O 为坐标原点，则OAB 面积的最小值为______．【答案】92【分析】结合题意求出p ,设直线3:2AB x my =+，结合韦达定理表示出OAB 面积，结合基本不等式即可求解.【详解】如图所示，分别过,A B 向准线作垂线，垂足分别为A '、B '，过B 作AA '的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为60︒时，结合题意易得2BF BB ='=，所以()cos601cos60BF p BF BF p ︒=-⇔+︒=，即3232p =⨯=，设()11,A x y ，()22,B x y ，满足2116y x =，2226y x =，设直线3:2AB x my =+，代入抛物线方程26y x =，可得2690y my --=，121269y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以()1219222OAB p S y y =⨯+≥=，当0m =时，三角形OAB 面积取最小值，此时最小值为92．故答案为：92．四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()1,2．（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足3b a =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当OAB 的面积最小时，求直线l 的方程．【答案】（1）350x y +-=或20x y -=（2）240x y +-=【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【小问1详解】根据题意：直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点()0,0时，设直线l 为13x y a a+=，将()1,2代入可得53n =，所以直线l 的方程为350x y +-=；当直线l 过原点()0,0时，直线l 的斜率为20210-=-，所以直线l 的方程为()221y x -=-即20x y -=．综上，直线l 的方程为350x y +-=或20x y -=；【小问2详解】设直线l 的方程为()21(0)y k x k -=-<，所以21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，所以()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k-=-时，2442OAB S k k =⇔=⇔=- ，2k =（舍），所以直线l 的方程为()()221y x -=--即240x y +-=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）()12326n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系易得21n a n =-，需要检验首项是否符合；（2）利用错位相减法求和即得.【小问1详解】根据题意：2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，两式相减即得：22(1)21n a n n n =--=-，因1n =时，11a =，满足上式，故21n a n =-；【小问2详解】()2212n n n n b a n ==-⋅，则12n n T b b b =+++ 21232(21)2,n n =⨯+⨯++-⨯ ，()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ，两式相减可得：()21122222212nn n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ，()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-故()12326n n T n +=-⨯+．19.如图，三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，PA PC ==（1）证明：AC BP ⊥；（2）若2PB =，点F 为PB 的中点，求平面ACF 与平面PBC 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，证明AC ⊥平面POB 即得；（2）先证明PO ⊥平面ABC ，建系后，求出相关点和空间向量的坐标，计算出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】如图，取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，又因为底面ABC 是边长为2的等边三角形，所以BO AC ⊥，又,,PO BO O PO BO ⋂=⊂平面POB ，可得AC ⊥平面POB ，又BP ⊂平面POB ，所以AC BP ⊥.【小问2详解】因为PA PC ==1AO =，所以1PO =，BO =，因为2PB =，由222PO BO PB +=可得：PO BO ⊥，又PO AC ⊥，,,BO AC O BO AC =⊂ 平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，如图，以,,OA OB OP分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1P，10,,22F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因()2,0,0AC =-，1(1,)22AF =- ，设平面ACF 的法向量()1,,n x y z = ，则112031022AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1y =，得z =0x =，则1(0,1,n =，又()1,0,1PC =--，()1PB =- ，设平面PBC 的法向量()2,,n x y z =，则220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1y =，得z =，x =2(n =.设平面ACF 与平面PBC 的夹角为θ，则12127cos 7n n n n θ⋅===⋅ ，故平面ACF 与平面PBC的夹角的余弦值为7．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，P 为椭圆C 上任意一点，点P 到1F距离的最大值为)21．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点1F 的两条不同的直线1l ，2l 关于x 轴对称，直线1l ，2l 与椭圆C 在x 轴上方分别交于M 、N 两点．直线MN 是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）是，()4,0-【解析】【分析】（1）根据题意列出,,a b c 的关系式运算得解；（2）设直线1l 的方程为()2y k x =+与椭圆方程联立得根与系数关系，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，利用MT NT k k =坐标化代入根与系数关系化简求得t 的值得解.【小问1详解】根据题意，2c e a ==，2a c +=+，解得a =2c =，又22224a b c b =+⇔=，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=；【小问2详解】根据题意可得：设直线1l 的方程为()2y k x =+，联立()()2222222128880184y k x k x k x k x y ⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，设直线1l 与椭圆C 的交点为()11,M x y ，()22,M x y '，可得：212221228128812k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，所以()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=，可得：()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k --+-+-=⇔+-=++24160412t t k --⇔=⇔=-+，所以直线MN 过定点()4,0-．21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ．（1）求1T ，2T 和n T ；（2）证明：1112222n n n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭．【答案】（1）1211113721n n T T T +===-，，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意计算出12,T T ，将条件12n n T a =-中的n a 变为1n n T T -，然后化简可得11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，计算可得n T ；（2）由（1）可得12121n n n a +-=-，采用放缩法可得1111222n n a +-<<，根据数列求和公式计算即可得证.【小问1详解】当1n =时，11111123T a T a =-⇔==，当2n =时，221222*********T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔=，∵数列{}n a 的前n 项积为n T ，满足()*12n n T a n =-∈N ，∴2n ≥时，121n n n T T T -=-，化为11121n n T T -=⨯+，变形为111121n n T T -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1n =时，114T+=，数列11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，∴11111142221n n n n n T T -+++=⨯=⇔=-，1n =时，113T =亦满足上式，即1121n n T +=-；【小问2详解】先证明左边：即证明111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，1121n n T +=-，又由12n n T a =-，解得12121n n n a +-=-，又11121211121222n n n n n n a +++--=>=--，所以123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，再证明右边：()121211212221n n n n n a +--=<=--，∴2n n S <．22.已知点()12,0F -，圆222:(2)10F x y -+=，点(),P x y 满足122PF PF -=，点(),P x y 的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆2F 交于M ，N 两点，设直线1F M ，1F N 的倾斜角分别为,αβ．（1）求曲线C 的方程；（2）求αβ-的值．【答案】（1）2213y x -=（2）π2【解析】【分析】（1）由双曲线定义即可求解.（2）分切线l 的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，结合韦达定理、数量积公式得()22112231m k F M F N k -+⋅=+ ，由l 与双曲线相切得,k m 关系，由此即可得解.【小问1详解】根据题意：()()122,0,2,0F F -，12122224PF PF a c F F -==<==满足双曲线定义，设曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，根据定义可得221a a =⇔=，242c c =⇔=，222b c a b =-⇔=，所以曲线C 的轨迹方程为2213y x -=；【小问2详解】根据题意：()12,0F -，()22,0F ，当l的斜率不存在时，:1l x =，此时()1,3M ，()1,3N -，110F M F N ⋅=，所以π2αβ-=；当l 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y，设直线:l y kx m =+，联立直线l 与圆2F 可得：()()12222222212242112460(2)1061km x x y kx m k k x km x m x y m x x k -⎧+=⎪=+⎧⎪+⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=-⎩⎪=⎪+⎩，()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>，()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++，所以代入韦达定理可知()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ，因为直线l 与曲线C 相切，联立()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩，()230k -≠，所以22Δ030k m =⇔--=，故得110F M F N ⋅= ，所以π2αβ-=．。

安徽省安庆市怀宁县第二中学2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省安庆市怀宁二中高二上数学期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知一个圆锥体积为，任取该圆锥的两条母线a ，b ，若a ，b 所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.2．设函数，则（）A.1B.5C.D.03．过点（-2，1）的直线中，被圆x 2+y 2-2x +4y =0截得的弦最长的直线的方程是（）A.x +y +1=0 B.x +y -1=0C.x -y +1=0D.x -y -1=04．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）A.B.C. D.5．圆关于直线对称圆的标准方程是（）的3ππ36π9π()ln 1f x x =+0(15)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆151312233422(1)(2)9x y ++-=0x y -=的A. B.C. D.6．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，圆锥PO 的轴截面PAE 是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）A. B.C.D.7．双曲线的渐近线的斜率是（）A.1 B.C. D.8．已知是等比数列，则（）A.数列是等差数列B.数列是等比数列C.数列是等差数列 D.数列是等比数列9．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为A. B.C.10．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC22(2)(1)9x y ++-=22(2)(1)3x y -++=22(2)(1)3x y ++-=22(2)(1)9x y -++=ABC PB PC →→⋅=32527292222x y -=±11-12{}n a {}2n a {}lg n a {}2na P Q ()()22311x y -+-=PQ PN +3451+23x边上，则△ABC 的周长是（）B.6D.1211．若数列为等比数列，且，，则（）A.8B.16C.32D.6412．已知长方体的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）A. B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试01(全解全析)(含答案)

2023-2024学年上学期期末模拟考试01高二数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线10x -=的倾斜角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x -=可化为y =所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则x =（）A.7-B.1-C.1D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，且//αβ，所以12//n n，即33==-，解得=1x -故选：B3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则4S =（）A ．7B ．12C ．15D ．31【答案】C【分析】设出公比，根据2a ，3a ，42a -成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】设公比为()0q q ≠，因为2a ，3a ，42a -成等差数列，所以32422a a a =+-，则222222q q ⨯=+-，解得：2q =或0（舍去）.因为22a =，所以11a =，故44121512S -==-.故选：C4．设R a ∈，则“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +-=平行的充要条件是212a a +=且5(1)6a a -+≠，解得1a =或12a =-．所以由充分必要条件的概念判断可知：“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的充分不必要条件，故选：A5．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC中点，则MN等于（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.6．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22860+-++=x y x y m 相内切，则1C 与2C 的公切线方程为（）A.3450x y --=B.3450x y -+=C.4350x y --=D.4350x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由两圆的位置关系得出m ，进而联立两圆方程得出公切线方程.【详解】圆1C ：221x y +=的圆心11(0,0),1O r =，圆2C ：22860+-++=x y x y m 可化为22(4)(3)25x y m -++=-，()25m <，则其圆心为2(4,3)O -，半径为2r =，因为圆1C 与圆2C 相内切，所以2121r O O -=，即216r ==，故11m =-.由2222186110x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，可得4350x y -+=，即1C 与2C 的公切线方程为4350x y -+=.故选：D7．已知数列{}n a 满足1112n n n n n a a a a ++--=，且21a =-，若816k a a =，则正整数k 为（）A ．13B ．12C ．11D ．10【答案】B 【分析】确定111112n n n a a -+-=，112a =-，利用累加法确定22n n a -=-，代入计算得到答案.【详解】1112n n n n n a a a a ++--=，故111112n n n a a -+-=，21a =-，故112a =-，212112111111111111112222n n n n n n n n a a a a a a a a -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+++-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故22n n a -=-，816k a a =，即261021622k --=-⨯=-，故210k -=，解得12k =.故选：B8．已知F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，若MN 等于PF 的最小值的3倍，则C 的离心率为（）A.13B.12C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得minPF a c =-，22b MN a=，再根据已知列式，结合椭圆a b c 、、的关系，求出离心率即可.【详解】F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，由椭圆的性质，可得minPFa c =-.过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，22b MN a∴=.MN 等于PF 的最小值的3倍，()223a b ac =∴-.椭圆中222a c b -=，()222233a c a ac ∴-=-，即22230c ac a -+=，则22222230c ac a a a a -+=.ce a=，22310e e ∴-+=，解得12e =或1e =（舍）.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线1C ：224348x y +=，2C ：2213yx -=，则（）A.1C 的长轴长为4B.2C 的渐近线方程为y =C.1C 与2C 的焦点坐标相同D.1C 与2C 的离心率互为倒数【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.【详解】曲线1C ：224348x y +=整理得2211216x y+=，则曲线1C 是焦点在y 轴上的椭圆，其中221116,12a b ==，所以2221114c a b =-=，离心率为1112142c e a ===故曲线1C 的长轴长128a =，故A 不正确；曲线2C ：2213y x -=是焦点在x 轴上的双曲线，其中22221,3a b ==，所以2222224c a b =+=，离心率为222221c e a ===，故与曲线1C 的焦点位置不同，故C 不正确；2C ：2213y x -=的渐近线方程为y =，故B 正确；又121212e e ⋅=⨯=，所以1C 与2C 的离心率互为倒数，故D 正确.故选：BD.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23240,0S S ><，则下列结论错误的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，13n =D ．1312a a >【答案】ABC【分析】由已知23240,0S S ><，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：120a >，12130a a +<，进而判断选项即可.【详解】因为{}n a 是等差数列，且23240,0S S ><，所以()12312232302a a a +=>，()()()1241241213242412022a a a a a a ++==+<，即12130a a +<，所以120a >，130a <，且1312a a >，所以B 错误，D 正确；因为13120d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列，所以A 错误；所以当12n =时，n S 取得最大值，所以C 错误.故选：ABC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，则下列结论正确的是（）A.点B 到直线11A CB.直线CF 到平面1AEC 的距离为3C.直线11A C 与平面1AEC 所成角的余弦值为6D.直线11A C 与直线1B F 所成角的余弦值为10【答案】ABD 【解析】【分析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，(2B ,2,0)，1(2A ,0,2)，1(0C ,2,2)，1(0A B = ,2,2)-，11(2A C =-,2,0)，则点B 到直线11A C 的距离为：21||d A B==A正确；(2A,0,0)，(2F,1,0)，(2E,1,2)，(0C,2,0)，(2CF=,1-,0)，(0AE=,1,2)，1(2AC=-,2,2)，(0AF=,1,0)，设平面1AEC的法向量(n x= ,y,)z，则1202220n AE y zn AC x y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x=，得(1n=,2,1)-，由于,E F分别为11,A B AB的中点，所以1//EF CC且1EF CC=，因此四边形1FCC E为平行四边形，故1//EC FC,又⊄FC平面1AEC,1EC⊂平面1AEC,所以//CF平面1AEC，∴直线CF到平面1AEC的距离为||||3AF ndn⋅===，故B正确；设直线11A C与平面1AEC所成角为θ，则1111||sin||||A C nA C nθ⋅==⋅C错误；1(2B,2,2)，1(0B F=,1-,2)-，设直线11A C与直线1B F所成角为θ，则111111||cos||||AC B FAC B Fθ⋅==⋅，故D正确．故选：ABD．12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有n a个球，从上往下n层球的总数为n S，则下列结论正确的是（）A.420S= B.1n n na a+-=C.()112n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1232023111120231012a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB 正误；利用累加法可求得C 正确；采用裂项相消法可求得D 正确.【详解】对于A ，123441361020S a a a a =+++=+++=，A 正确；对于B ，由每层球数变化规律可知：()11n n a a n n *+-=+∈N ，B 错误；对于C ，当2n ≥时，()()()()()11221111212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+-+⋅⋅⋅++=；当1n =时，11a =满足()12n n n a +=，()()12n n n a n *+∴=∈N ；()()1122n n n n n S S a n -+∴-==≥，C 正确；对于D ，()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，123202311111111112121223202320242024a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+++⋅⋅⋅+=⨯-++⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪⎝⎭⎝⎭20231012=，D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++ ，则xyz =______．【答案】1-【解析】【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+- ，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则n a =________．【答案】12n --【解析】【分析】先令1n =得到11a =-，再令2n ≥得到1121n n S a --=+，从而得到()122nn a n a -=≥为常数，得到数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，从而直接求得通项公式.【详解】令1n =，得11121a S a ==+，所以11a =-；令2n ≥，则1121n n S a --=+，两式相减得，1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，所以()122n n a a n -=≥，因为110a =-≠，所以0n a ≠，所以()122nn a n a -=≥为常数，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，所以11122n n n a --=-⨯=-.故答案为：12n --15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.16.如图，我们把由半椭圆()2210169y x x +=≤和半椭圆()22102516x y x +=>合成的曲线称作“果圆”．1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，则123F F F 的周长为______，直线y t =与“果圆”交于A ，B 两点，且AB 中点为M ，点M 的轨迹方程为______．【答案】①.8+②.()221016y x x +=>【解析】【分析】根据各半椭圆方程可得1F ，2F ，3F 的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点A ，B 的坐标，利用中点公式表示M ，消参即可得到点M ，得轨迹方程.【详解】由1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，可得(1F，(20,F ，()33,0F ，所以12F F =，134F F =，234F F =，故所求周长为448++=+；设(),M x y ，联立直线y t =与()2210169y xx +=≤，得x =-，即点A t ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线y t =与()22102516x yx +=>，得x =即点B t ⎫⎪⎭，且,A B 不重合，即4t ≠，又M 为AB 中点，所以1644242x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩，即x =0x >，整理可得22116yx +=，0x >，故答案为：8+，()221016y x x +=>.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知ABC D 的顶点坐标为(1,1)A -，(2,0)B ，(3,4)C .(1)求AB 边上的高CD 的长.(2)求ABC D 的面积.【答案】(1)10(2)13 2【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线的距离即可求解；（2）求出AB的长，用面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，直线AB的方程为：021012y x--=---，即320x y+-=.故点C到直线AB的距离即为AB边上的高CD的长，所以||CD=（2）因为||AB==所以ABCD的面积为：111313||||22102ABCS AB CD==创=.18.（12分）已知数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，数列{}n b的前n项和为n S，且111a b==，221a b=+，43a S=．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令()*,21,2nnna n kc kb n k=-⎧=∈⎨=⎩N，求数列{}n c的前12项和12T．【答案】（1）21na n=-，12nnb-=（2）2796【解析】【分析】（1）由数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据题意写出数列{}n c通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为()0q q >，由题意可得，()11211131a d b q a d b q q +=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩，即23d q q q d =⎧⎨+=⎩，所以220q q -=，因为0q >，所以2d q ==，所以()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=．【小问2详解】由（1）可得*121,21,2,2n n n n k c k n k--=-⎧=∈⎨=⎩N ，所以{}n c 的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．所以，()()1213112412T c c c c c c =+++++++ ()()13112412a a a b b b =+++++++ ()()62146616146627302796214⨯-⨯-=⨯+⨯+=+=-．19.（12分）已知直线20x y --=经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，且与C 交于A ，B两点．（1）求C 的方程；（2）求圆心在x 轴上，且过A ，B 两点的圆的方程．【答案】（1）28y x =；（2）()221096x y -+=.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.（2）根据给定条件，求出线段AB 的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.【小问1详解】依题意，抛物线C 的焦点(,0)2p F 在直线20x y --=上，则202p-=，解得4p =，所以C 的方程为28y x =．【小问2详解】由（1）知，抛物线C 的准线方程为2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，由2208x y y x --=⎧⎨=⎩消去y 得21240x x -+=，则1212x x +=，有12062x x x +==，0024y x =-=，即()6,4M ，因此线段AB 的中垂线方程为()46y x -=--，即10y x =-+，令0y =，得10x =，设所求圆的圆心为E ，则()10,0E ，又AB 过C 的焦点F ，则有12||||2216AB AF BF x x =+=+++=，设所求圆的半径为r ，则222222844962AB r ME ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭，故所求圆的方程为()221096x y -+=．20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-．（1）证明{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，2n n a =（2）332nn +-【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项112n n n d +=，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为22n n S a =-，当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以，当2n ≥时，12n n a a -=，又1122a a =-，解得12a =，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =【小问2详解】因为2nn a =，所以1211nn n n a a d n n +-==++，112n nn d +=，21211111123(1)222n n n T n d d d =+++=⨯+⨯+++⨯ ，231111123(1)2222n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ，所以231111111(1)22222n n n T n +=++++-+⨯ 211111(1)13112211222212n n n n n n -++-++=+-=---13322n n ++=-，所以332n nn T +=-21.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB上．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）当2BE EP =时，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到AC BC ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小问1详解】因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PC AC ⊥．因为2AB =，1AD CD ==，所以AC BC ==所以222AC BC AB +=，所以ACBC ⊥．又因为PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ．又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．【小问2详解】解法一：以点C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，)B，()A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()(),2,,2x y z x y z =---，即3x =，0y =，43z =，所以4,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．所以()CA =，4,0,33CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以04033x z =+=⎪⎩，取x =0y =，1z =-．所以平面ACE的一个法向量为()1n =-．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC的一个法向量为)CB =．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ==．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为223．解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0B -，()1,1,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()1,1,2,,2x y z x y z -+=---，即13x =，13y =-，43z =，所以114,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以()1,1,0CA =，114,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以01140333x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取3x =，则=3y -，32z =-．所以，平面ACE 的一个法向量为33,3,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()1,1,0CB =-．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ===．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为322.（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （1210F F<），上顶点为A ，12AF AF ⊥，且1F 到直线l ：50x -+=的距离为3．（1）求C 的方程；（2）与l 平行的一组直线与C 相交时，证明：这些直线被C 截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P 为C 上的动点，M ，N 为l 上的动点，且MN =，求PMN ∆面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）[]3,7．【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案；（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.【小问1详解】设()1 , 0F c -，()2 , 0F c，由题意得22235b c a b c c =⎧==+⎪⎪<⎩，解得1b c a ==⎧⎪⎨=⎪⎩，所以C 的方程为2212x y +=．【小问2详解】证明：设这组平行线的方程为0x m +=，与2212x y +=联立消去x ，得22420y m -+-=，则()()221620m ∆=-->，得22m -<<．设直线0x m +=被C 截得的线段的中点为(),B x y ，则1224y y y m +==，其中1y ，2y是方程22420y m -+-=的两个实数根．所以2mxm =-=-，消去m，得0x +=，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线0x =上．【小问3详解】由（2）知，l 与C 相离，当直线0x m +=与C相切时，()()221620m ∆=--=，解得2m =-或2m =．当2m =-时，直线与l的距离为1733d ==，此时1723PMN S =⨯=△，当2m =时，直线与l的距离为2d ==，此时132PMN S =⨯=△，。

安徽省2023-2024学年高二上学期阶段性检测数学试题含解析

安徽省2023—2024学年（上）高二冬季阶段性检测数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y =，且a b ∥，则x y -=（）A.3B.3- C.9D.9-【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量共线求解即可；【详解】因为a b ∥，所以1213x y-==，解得：6,3x y =-=-，所以3x y -=-.故选：B.2.已知直线l ()1220m y +--=的倾斜角为π3，则m =（）A.13B.1C.32D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据倾斜角求出直线斜率，利用斜率建立方程求解即可.【详解】因为直线l 的倾斜角为π3，所以直线l 的斜率为πtan 3=，()1220m y +--=的斜率为21m -，所以21m =-1m =.故选：B3.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c = ，则MB =（）A.1122a b c --B.1122a b c ++C.1122a b c--+ D.1122-++ a b c【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122MB AB AD AA =--，即可求解.【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112MB MB B B D B AA =+=-11111111()()22A B A D AA AB AD AA =--=--111112222AB AD AA a b c =--=-- ，故选：A.4.已知椭圆221169x y +=以及椭圆内一点(2,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A.329B.89C.932-D.98-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用点差法，列式计算即得.【详解】显然点(2,1)P 在椭圆221169x y+=内，设以P 为中点的弦端点1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，由22112222916144916144x y x y ⎧+=⎨+=⎩，得121212129()()16()()0x x x x y y y y +-++-=，即121236()32()0x x y y -+-=，所以直线AB 的斜率121298y y x x -=--.故选：D5.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，则直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为（）A.23B.33C.13D.63【答案】C 【解析】【分析】建立空间坐标系，利用空间向量法求解线面角，从而求解.【详解】由题意知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.设1AB =，则()1,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,1P ，()1,1,0C 从而()1,0,1PB =- ，()0,1,1PD =- ，()1,1,1PC =-，设平面PBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则·0·0PB n x z PD n y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，令1z =，则()1,1,1n = ，设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，则·1sin cos ,3PC n PC n PC nθ===，故C 项正确.故选：C.6.设R m ∈过定点A 的直线0x my m +-=和过定点B 的直线30mx y m --+=交于点P ，则2PA PB +的最大值为（）A.5B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出定点A B 、的坐标，然后根据两直线垂直关系找到222PA PB AB +=，然后根据直线与圆的位置关系求得2PA PB +的最值.【详解】由题意可得动直线0x my m +-=可化为()10x m y +-=，斜率11k m=-，过定点()0,1A ，直线30mx y m --+=可化为()130m x y --+=，斜率2=k m ，过定点()1,3B ，又因为121k k ×=-，故两直线垂直，所以222PA PB AB +=,即225,PA PB +==所以P 点轨迹为圆，结合圆与直线位置关系，设,,PA x PB y ==则有225,x y +=设2t PA PB =+，则有直线方程为()200,0x y t x y +-=≥≥，当直线与圆相切时，20x y t +-=取得最值，根据点到直线的距离d ==，解得：5t =.故选：A.7.已知圆221x y +=与坐标轴的交点为,,,A B C D ，点P 为椭圆22143x y +=上一点，若8PA PB PC PD +++=，则点P 到x 轴的距离为（）A.3B.7C.5D.13【答案】B 【解析】【分析】根据题意，不妨设(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)A B C D --，得到点,A B 恰为椭圆的左右焦点，得出24PA PB a +==，得到4PC PD +=，结合椭圆的定义，得到点P 在以,C D 为焦点的椭圆上，求得点P 的轨迹方程为22143y x +=，联立方程组，即可求解.【详解】由圆221x y +=与坐标轴的交点为,,,A B C D ，不妨设(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)A B C D --，又由椭圆22143x y +=，可得2,a b ==，则1c ==，所以,A B 恰为椭圆的左右焦点，可得24PA PB a +==，因为8PA PB PC PD +++=，可得4PC PD +=，所以42PC PD CD +=>=，所以点P 在以,C D 为焦点的椭圆上，且1124,21a c ==，可得112,1a c ==，则1b ==P 为椭圆22143y x +=，联立方程组2222143143x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2127y =，可得7y =，所以点P 到x轴的距离为7.故选：B.8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则三棱锥1P A BD -的外接球的表面积为（）A.9πB.10πC.11πD.12π【答案】C 【解析】【分析】首先证明1AP ⊥平面11BB D D ，然后在三角形BDP 中，利用正弦定理求得三角形BDP 的外接圆半径r ，所以三棱锥1P A BD -的外接圆半径R =，最后利用球的表面积公式可得答案.【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，又P 是11B D 的中点，所以111A P B D ⊥，又平面1111A B C D ⊥平面11BB D D ，1A P ⊂平面1111D C B A ，平面1111A B C D 平面1111BB D D B D =，所以1AP ⊥平面11BB D D ，所以在三角形BDP中，BP DP ===，所以sin 3PBD ∠==，所以由正弦定理得：三角形BDP的外接圆半径1322r ==，所以三棱锥1P A BD-的外接圆半径2R ==，所以三棱锥1P A BD-的外接球表面积为224π4π11π2R ⎛== ⎝⎭，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1l ：10x my +-=，2l ：()2330m x y -++=，则下列说法正确的是（）A.直线1l 在x 轴上的截距为1B.直线2l 在y 轴上的截距为1C.若12l l ∥，则1m =-或3m =D.若12l l ⊥，则12m =【答案】AD 【解析】【分析】根据截距的定义和直线的平行，垂直逐项判断；【详解】选项A ：令0y =，代入直线1l ，解得：1x =，选项正确；选项B ：令0x =，代入直线2l ，解得：1y =-，选项错误；选项C ：直线12,l l 的法向量分别为()1,m ，()2,3m -，因为12l l ∥，所以直线的法向量也平行，即：()23m m -=，解得：1m =-或3m =，当1m =-时，12,l l 重合，舍去，故3m =选项错误；选项D ：12l l ⊥，所以直线的法向量也垂直，即()1230m m ⨯-+=，解得：12m =，选项正确；故选：AD.10.已知直线():30R l mx y m m --+=∈及圆()()22:243C x y -+-=，则（）A.直线l 过定点B.直线l 截圆C 所得弦长最小值为2C.存在m ，使得直线l 与圆C 相切D.存在m ，使得圆C 关于直线l 对称【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，整理后得到方程组，求出直线所过定点；B 选项，求出圆心和半径，得到当l CM ⊥时，直线l 截圆C 所得弦长最短，由垂径定理求出弦长最小值；C 选项，求出点()1,3M 在圆C 内，故C 错误；D 选项，当直线l 过圆心C 时，满足题意，代入计算即可.【详解】A 选项，由()():30130l mx y m m x y --+=⇒-+-=，得1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点为()1,3，故A 正确；B 选项，由圆的标准方程可得圆心为()2,4C ，半径r =，直线l 过的定点为()1,3M ，当l CM ⊥时，直线l 截圆C 所得弦长最短，因为CM =则最短弦长为2=，故B 正确；C 选项，()()2212343-+-<，故点()1,3M 在圆C 内，所以直线l 与圆C 一定相交，故C 错误；D 选项，当直线l 过圆心C 时，满足题意，此时2430m m --+=，解得1m =，故D 正确.故选：ABD.11.已知O 为坐标原点，F 为抛物线E ：22y x =的焦点，过点()2,0P 的直线交E 于,A B 两点，直线OD AB ⊥于D ，则（）A.90AOB ∠=︒B.FA FB +的最小值为4C.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相离D.存在定点Q ，使得DQ 为定值【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项：设出直线AB 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理结合平面向量数量积的坐标运算即可判断；对于B 选项：利用抛物线的焦半径即可判断；对于C 选项：比较半径2AB 与AB 的中点到准线的距离即可判断；对于D 选项：结合题意可知直线AB 经过定点()2,0P ，利用圆的相关知识，即可找到定点Q ,从而计算出DQ 为定值.【详解】对于A 选项：若直线AB 与x 轴重合，此时，直线AB 与抛物线E 只有一个公共点，不合乎题意，故可设直线AB 为2x my =+，且()()1122,,,A x y B x y ,联立222x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2240y my --=，显然24160m ∆=+>，所以12122,4y y m y y +==-，所以()()()212121211424,224,x x m y y m x x my my +=++=+=++=所以()1212440OA OB x x y y ⋅=+=+-=,所以90AOB ∠=︒，故A 正确；对于B 选项：21212111241522FA FB x x x x m +=+++=++=++≥，故FA FB +的最小值为5，故B 错误；对于C 选项：设AB 的中点为N ,则1212,,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭结合韦达定理()22,N m m +，所以N 到准线的距离为2215222d m m =++=+.而AB =所以2ABd =<，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相离,故C 正确；对于D 选项：因为直线AB 恒过定点()2,0P ，又直线OD AB ⊥于D ,所以D 在以OP 为直径的圆上,OP 的中点()1,0Q 则为圆心，所以112DQ OP ==,故存在定点Q ，使得DQ 为定值,故D 正确.故选：ACD.12.已知在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6BC =，13AA =，P 为矩形1111D C B A 内（含边界）一动点，设二面角P AD C --为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=．则（）A.P 在矩形1111D C B A 内的轨迹是抛物线的一部分B.三棱锥11P A BC -体积的最小值是83C.PBD.存在唯一一点P ，满足1PB PC =【答案】ABC 【解析】【分析】作PO ⊥平面ABCD ，分析O 点的轨迹即可判断选项A ，在平面中分析建系，求出三棱锥11P A BC -体积的最小的点P 坐标，即可判断选项B ，结合抛物线的性质即可判断选项C ，结合选项C ，建立空间直角坐标系，利用向量的模即可判断选项D.【详解】如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，再作OE AD ⊥，垂足为E ，因为AD ⊂平面ABCD ，PO AD ⊥，,,PO OE O PO OE ⋂=⊂平面POE ，则AD ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以AD PE ⊥，连接,PE PB ，则PEO α=∠，PBO β=∠，因为αβ=，所以PEO PBO ∠=∠，所以EO BO =，由抛物线定义可知，O 的轨迹为抛物线一部分，所以P 的轨迹为抛物线一部分，A 正确；当点P 到线段11A C 距离最短时，三角形11PA C 面积最小，三棱锥11B PA C -体积最小，建立如图所示直角坐标系，则()()111,0,1,6A C -，直线11A C 的方程为330x y -+=，抛物线方程为24y x =，则)02y y =≤≤，设与11A C 平行且与抛物线有一个交点直线为30x y c -+=，则联立30x y c y -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，得30x c -=，则4120c -=，13c =，联立1303x y y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩得12,93P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以P 到直线11A C的最短距离为15=，因为11A C ==所以1111118332153P A BC B A PC V V --==⨯⨯=，B 正确；因为222PB PO OB =+，所以PB 最小时，OB 最小，且OB 最小为1，所以PB=C 正确；结合上述，建立空间直角坐标系如图，则()()()101,0,3,1,6,0,,B C P x ，PB =1PC =，令1PB PC =，解得0164x=>，所以不存在点P ，满足1PB PC =，D 错.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题属于圆锥曲线、空间几何体、空间向量的综合性题目，属于中档题，常用方法有：（1）数形结合的数学思想；（2）动点轨迹的转化；（3）三棱锥体积最值的转化等.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点()1,1-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍的直线的方程为_________________．【答案】y x =-或1122y x =-+【解析】【分析】根据题意设直线方程为()11y k x -=+，求截距，列式求解即可.【详解】由题意可知：直线斜率存在且不为0，设直线方程为()11y k x -=+，令0x =，解得1y k =+；令0y =，解得1k x k+=-；可得()121+-=+k k k ，解得1k =-或12k =-，所以直线方程为y x =-或1122y x =-+.故答案为：y x =-或1122y x =-+.14.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过C 上一点M 向y 轴作垂线交另一支于N 点，若12MN F F =，且12MF NF ⊥，则C 的离心率为_____________．【答案】1+##1【解析】【分析】由题意可知：12MNF F 为正方形，结合通径列式求解即可.【详解】由题意可知：12MN F F =，且12//MN F F ，结合对称性可知12MNF F 为矩形，且12MF NF ⊥，则12MNF F 为正方形，可得2222-==b c a c a a，整理得2210e e --=，解得1e =+或1e =（舍去）.故答案为:1+.15.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足1112A E EC = ，点F 在平面1BC D 内，则1A F EF +的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】在正方体中找到点1A 关于平面1BC D 的对称点，利用几何关系求1A F EF +的最小值.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，棱长为3，1112A E EC = ，所以()2,1,3E ，()13,0,3A ，()0,3,0C ，()10,3,3C ，()3,3,0B ，设直线1AC 与平面1BC D 的交点为H ，由正方体性质可知，111,A C BD A C BC ⊥⊥，1BD BC B = ，BD ⊂平面1BC D ，1BC ⊂平面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D ，所以()13,0,3A 在平面1BC D 的投影为H ，且()1,2,1H ，则()13,0,3A 关于平面1BC D 的对称点即点()13,0,3A 关于()1,2,1H 的对称点，设为G ，则为()1,4,1G --，所以1A F EF +的最小值为GE ，为=.【点睛】16.已知椭圆221169x y +=，过原点O 作两条互相垂直的射线交椭圆于A 、B 两点，则弦长AB 的取值范围为_____________．【答案】24,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】对直线OA 、OB 的斜率是否同时存在进行分类讨论，当直线OA 、OB 分别与两坐标轴重合时，直接求出AB 的值；当直线OA 、OB 的斜率都存在时，设直线()0y kx k =≠，求出AB 关于k 的表达式，利用二次函数的基本性质可求得AB 的取值范围.【详解】当直线OA 、OB分别与两坐标轴重合时，5AB ===；当直线OA 、OB 的斜率都存在时，设直线()0y kx k =≠，联立22916144y kx x y =⎧⎨+=⎩，可得22144169x k =+，所以，()()222222214411169k OA x y k x k +=+=+=+，同理可得()22222114411441169169k k OB k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，所以，()()()()()222222222221441144136001169169169916k k k AB OA OB k k k k +++=+=+=++++()()()22222236001360077161791716911k k k k k +==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⋅++-+⎣⎦⎣⎦ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0k ≠，则211k +>，令()270,71t k =∈+，令()()()227625169714424f t t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为函数()f t 在70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在7,72⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，又因为762524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()07144f f ==，则()6251444f t <≤，此时，()23600576,2525AB f t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则24,55AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.综上所述，AB 的取值范围是24,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：24,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，AC 边所在直线的方程为20x y --=，AC 边上的中线所在直线的方程为20x y +-=．（1）求C 点的坐标；（2）求ABC 的外接圆方程．【答案】（1）()4,2（2）223100x y x y +---=．【解析】【分析】（1）由,AB AC 直线方程联立求交点A ，由,AC AC 边上的中线联立求得AC 的中点M ，进而由中点坐标公式得C 点坐标；（2）联立,AB AC 边上的中线得B 点坐标，设出圆的一般方程，由,,A B C 三点坐标代入待定系数即得.【小问1详解】由36020x y x y --=⎧⎨--=⎩，得02x y =⎧⎨=-⎩，所以A 点的坐标为()0,2-，由2020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得20x y =⎧⎨=⎩，即边AC 的中点为()2,0M ，所以C 与A 关于点M 对称，设()00,C x y ，则00022202x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得0042x y =⎧⎨=⎩，所以C 点的坐标为()4,2．【小问2详解】由36020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=-⎩，故B 点的坐标为()3,1-，设ABC 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，且2240D E F +->，则103042020420D E F E F D E F +-+=⎧⎪-+=⎨⎪+++=⎩，得1310D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则所求圆的方程为223100x y x y +---=．18.如图，在圆锥DO 中，D 为圆锥顶点，AB 为圆锥底面的直径，O 为底面圆的圆心，C 为底面圆周上一点，四边形OAED 为矩形．（1）求证：平面BCD ⊥平面ACE ；（2）若2AE =1AC =，3BC =，求平面ADE 和平面CDE 夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）2211．【解析】【分析】（1）首先证明BC ⊥平面ACE ，然后证明平面BCD ⊥平面ACE ；（2）构建空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面ADE 和平面CDE 夹角的余弦值；【小问1详解】∵AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，∴BC ⊥AC ．∵四边形OAED 为矩形，OD ⊥平面ABC ，∴AE//OD ，AE ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，又∵AE AC A = ，AE ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴BC ⊥平面ACE ．又BC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ACE ．【小问2详解】以C 为坐标原点，AC ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，过点C 且与OD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()1,0,0A -，13,222D ⎛-- ⎝⎭，(2E -，(2AE = ，13,,022ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(2CE =- ．设平面ADE 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100AE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1112013022z x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，得13x =)13,1,0n = ．设平面CDE 的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200CE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222013022x x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令21y =，得23x =，262z =，所以263,1,2n =⎭，所以12121222cos ,111122n n n n n n ⋅<>==⋅ ，所以平面ADE 和平面CDE 夹角的余弦值为22211．19.已知过点()2,2E 且互相垂直的两条直线1l ，2l ，其中1l 与x 轴交于点G ，2l 与y 轴交于点H .（1）求GH 的中点M 的轨迹方程；（2）已知圆C ：()2213x y ++=，在（1）的轨迹上任取一点P ，过P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，求四边形PACB 面积的最小值及此时点P 的坐标.【答案】19.20x y +-=20.min 2S =，31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设点M 的坐标，根据几何关系得EM OM =，代入距离公式化简即可求解；（2）根据四边形的对称性及勾股定理把面积问题转为PA 的最小值问题，利用切线长公式及点到直线距离公式求出最小值，联立直线方程即可求解点的坐标.【小问1详解】如图，设(),M x y ，则()2,0G x ，()0,2H y ，连接EM ，OM .因为12l l ⊥，所以EM OM ==，化简即得点M 的轨迹方程为20x y +-=；【小问2详解】如图，由（1）知点M 的轨迹方程为2y x =-+，则四边形PACB 的面积23PAC S S ==，因为PAC △为直角三角形，所以223PA PC =-，当PC 最小时，切线长PA 最小，显然当PC 垂直于直线2y x =-+时，min 0123222PC --==，所以2min min 632PA PC =-=，所以四边形PACB 的面积最小值为min 163223222S =⨯=.此时，1PC k =，又()0,1C -，所以直线PC ：1y x =-，联立12y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.20.已知点()2,0A ，)2,0B ，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是1．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0F 作相互垂直的两条直线1l 和2l ，且1l 与E 交于C ，D 两点，2l 与E 交于G 、H 两点，求CD GH ．【答案】（1）22122x y -=（x ≠（2）1CD GH=．【解析】【分析】（1）设点坐标，然后根据斜率之积求解出点M 的轨迹方程；（2）设出直线方程1l ：，2x ty =+，2l ：12x y t=-+，0t ≠，联立方程组，然后根据韦达定理求解CD ，GH ，从而求解出1CD GH=.【小问1详解】设(),M x y ，x ≠∵AM k =，BM k =，1AM BM k k ⋅=，1=，整理得222x y -=（x ≠．即点M 的轨迹E 的方程为22122x y -=（x ≠．【小问2详解】当1l 和2l 中一条直线垂直于x 轴时，另一条直线为x 轴，此时不符合题意．当直线1l 和2l 的斜率存在且不为0时，如图，设1l ：，2x ty =+，2l ：12x y t=-+，0t ≠．1l 与E 的方程联立得2222x ty x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()221420t y ty -++=，因为1l 与E 交于两点，故1t ≠±，此时()()22216412810t t t ∆=--⨯=+>，设()11,C x y ，()22,D x y ，则12241t y y t-+=-，12221=-y y t ，所以)212211t CD y t +=-==-，同理)2222111111t tGH t t⎫+⎪+⎝⎭==--，所以1CD GH=．21.如图，在三棱锥-P ABC 中，APB △为等腰直角三角形，π2APB ∠=，AB =π4BAC ∠=，且平面PAB ⊥平面ABC ，AC PC ⊥．（1）求AC 的长；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．【答案】（1）1;（2）3．【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABC ，然后可得AC ⊥平面POC ，再结合条件计算即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAC 的法向量，并利用线面角公式进行计算即可.【小问1详解】APB 为等腰直角三角形，且π2APB ∠=，过点P 作PO AB ⊥于O ，则O 为AB 的中点，AB = ,OA ∴=，连接OC ．平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO AC ∴⊥,又AC PC ⊥，PO PC P = ，PO ⊂平面POC ，PC ⊂平面POC ，AC ∴⊥平面POC ，又OC ⊂平面POC ，AC OC ∴⊥,又π4BAC ∠=，1AC ∴=．【小问2详解】以O 为坐标原点，过点O 作AC 的平行线为x 轴，,OC OP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(P ，()1,1,0A -，()1,1,0B -，()0,1,0C ，∴(1,1,PB =- ，()1,0,0CA =-，(0,CP =-．设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由n CA n CP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，得00n CA n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取y =，得()n = ．设直线PB 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,3PB n PB n PB n θ⋅====⋅ ．故直线PB 与平面PAC所成角的正弦值为3．22.已知圆1F：(2224x y ++=，点M 为圆1F上任意一点，)2F ，2MF 的中垂线交1MF 于点E ．（1）求点E 的轨迹方程．（2）设点()3,0T ，过点T 的动直线交E 的轨迹于P ，Q 两点，在E 的轨迹上是否存在一点A ，使得直线AP 的斜率和直线AQ 的斜率之和为定值？若存在，求出A 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=（2）存在，()2,1±．【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义得到2a =,,a b c 关系即可；（2）设PQ 的方程为3x my =+，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算并化简得()()()()20000022200261243623AP AQ x y m x m y x k k x m x +-+-+=-+-，则得到定点坐标.【小问1详解】由题可知2EF EM =，121112EF EF EF EM MF F F +=+===，所以E 点在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，设该椭圆的方程为22221x y a b+=（0a b >>），半焦距为c （0c >），由2a =a =2c =c =所以b =．故点E 的轨迹方程为22163x y +=．【小问2详解】设()00,A x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 不与x 轴重合时，设PQ 的方程为3x my =+，联立方程得221633x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222630m y my +++=，则12262m y y m +=-+，12232y y m =+，224240m ∆=->，得21m >．()()()()()()01020102010201020102AP AQ y y x x x x y y y y y y k k x x x x x x x x --+----+=+=----()()()()00012120122012012223x y y x x my y x y y x x x x x x -+++-+=-++()()()()20000022200261243623x y m x m y x x m x +-+-=-+-．若AP AQ k k +为常数，则06120x -=，得02x =，可得01y =±．当()2,1A 时，2AP AQ k k +=-；当()2,1A -时，2AP AQ k k =+．当直线PQ 与x轴重合时，此时可取()),P Q，当()2,1A时，2AP AQ k k +==-；当()2,1A -时，2AP AQ k k +==．则上述结论也成立．所以存在满足题意的点A ，此时点A 的坐标为()2,1±．【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设线法并联立椭圆方程得到韦达定理式，然后计算并化简()()()()20000022200261243623AP AQ x y m x m y x k k x m x +-+-+=-+-，根据分式的性质得到定点坐标，最后不忘讨论斜率为0的情况.。

2024届安徽省安庆市怀宁中学数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届安徽省安庆市怀宁中学数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图是函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>一个周期的图象，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++(6)f +的值等于A ．2B ．22C ．22+D ．22．设函数()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减．若()0.32a f =，(2)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．在ABC ∆中，30B ∠=，3AB =2AC =，则ABC ∆的面积是（） A 3B ．3C 33D ．334．若变量x ，y 满足约束条件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值是 A ．48 B ．30 C ．24 D ．165．若tan （4πα-）＝2，则sin 2α＝（）A ．45-B ．35-C ．35D ．456．已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,2,3U M N ===则U C M N ⋂= ( ) A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3,47．已知幂函数()f x 过点(2,2)，则(9)f 的值为( ) A ．13B ．1C ．3D ．68．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π9．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120 km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A ．30辆B ．1700辆C ．170辆D ．300辆10．长方体1111ABCD A B C D -，AB 1=，AD 2=，1AA 3=，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为( )A ．14B 192C 13D ．13二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

安徽省怀宁中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)

安徽省怀宁中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题 1.设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（） A ．12B ．1C ．32D ．22.若a R ∈，则“2a =”是“2)10()(a a -=-”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3.已知0a >且1a ≠,如图所示的程序框图的输出值[4,)y ∈+∞,则实数a 的取值范围为( )A.(1,2]B.1(,1]2C.(1,2)D.[2,)+∞4.设m n 、是两条不同的直线，α是平面，m n 、不在α内，下列结论中错误的是（） A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥ B ．m α⊥，n α⊥，则//m n C ．m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．m n ⊥，//n α，则m α⊥5.利用数学归纳法证明(11111122n N n n n n*+++⋯+<∈++，且2)n ≥时，第二步由k 到1k +时不等式左端的变化是( ) A ．增加了121k +这一项B ．增加了121k +和122k +两项 C ．增加了121k +和122k +两项，同时减少了1k这一项D ．以上都不对6.在四面体O ABC -中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =( ) A.111244a b c -+ B ．1122a b c -+ C.111244a b c ++D.111424a b c ++ 7.已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞8.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则224b a+的最小值为（）A B ．1CD ．29.过点()引直线l 与曲线y =,A B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥值时，直线l 的斜率等于（）AB ．C ．D10.已知抛物线2:8C y x =的焦为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|||AK AF =，则AFK △的面积为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．3211.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0.若12θθ=，则动点P 的轨迹为（）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关原点的对称点为B,F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A. 1⎤⎥⎣⎦B. ⎤⎥⎣⎦C. ⎣⎦D. ⎣⎦二、填空题13.某产品的广告投入x （万元）与销售额y （万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x （万元）与相应的销售额y （万元）的几组对应数据如表所示：y 关于x 的线性回归方程为20.75y x =+，则表中a 的值为_______.14.ABCD 为长方形，2AB =1BC =,O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为_____________.15.在双曲线22221x y a b-=上有一点12P F F ，，分别为该双曲线的左、右焦点，1290F PF ∠=︒，12F PF △的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是____________.16.在菱形ABCD 中，π3A =，AB =ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，二面角P BD C --的大小为2π3，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为________. 三、解答题17.新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：h )的频率分布表.（2）求频率分布表中实数,,x y z 的值（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.18.已知经过圆2221:C x y r +=上点00(,)x y 的切线方程是200x x y y r +=.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点00(,)x y 的切线方程；（2）已知椭圆22:16x E y +=，P 为直线3x =上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A B ､，求证：直线AB 过定点.19.如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .(1)求证：BM AD ⊥；(2)求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值. 20.已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ．（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M N 、两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值.21.如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，DE =，DE BF >，120ABC ∠=︒.(1)当BF 长为多少时，平面AEF ⊥平面CEF ? (2)在(1)的条件下，求二面角E AC F --的余弦值.22.已知动点C 是椭圆221(1):x y a a +=>Ω上的任意一点，AB 是圆229(2)4:x y G +-=的一条直径(A B ，是端点)，CA CB ⋅的最大值是314. (1)求椭圆Ω的方程；(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点12,F F ，过点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆Ω于P Q ，两点. 在线段2OF 上是否存在点(),0M m ，使得以MP MQ ，为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1.答案：B 解析：1i i 1i 1(1)i 11i 222a a a a a a +-++++-++==∴=+ 2.答案：A 解析： 3.答案：A 解析： 4.答案：D解析：对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，又n α⊄，//n α∴，故C 正确；对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂，而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误．故选：D ． 5.答案：C 解析： 6.答案：C 解析： 7.答案：C 解析： 8.答案：D 解析： 9.答案：A 解析： 10.答案：B 解析： 11.答案：B 解析： 12.答案：A解析：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接,,,AF AN AF BF 所以：四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2,AF AN a ABF α+=∠=，则：ANF α∠=．所以：22cos 2sin a c c αα=+，利用211π2sin cos 4c e a ααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以：5πππ1242α≤+≤则：11π24α≤≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 即：椭圆离心率e的取值范围为1⎤⎥⎣⎦ 故选：A ．13.答案：9 解析： 14.答案：π14- 解析： 15.答案：5 解析： 16.答案：112π 解析：17.答案：解：（1）设该校高二学生的总数为n ，由题意5015050660540n -=+，解得=600n ，所以该校高二学生总数为600人. （2）由题意0.2050z=，解得10z =， 50(57128)8x z =-++++=， 0.1650xy ==. （3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A ，记5高二学生中女生为1a ，2a ，男生为1b ，2b ，3b ，从中任选3人有以下情况： 121,,a a b ；122,,a a b ；123,,a a b ；112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ；123,,b b b ，共10种情况，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A 包含的基本事件有6个，分别为：112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ，故63()105P A ==，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为35. 解析：18.答案：（1）类比上述性质知：切线方程为00221x x y y a b +=.（2）①设切点为1222(,),(,)A x y B x y ，点(3,)P t ，由（1）的结论的AP 直线方程：1116x x y y +=，BP 直线方程：2216x xy y +=，通过点(3,)P t ，∴有1122316316x y t x y t ⨯⎧+⨯=⎪⎪⎨⨯⎪+⨯=⎪⎩， ∴AB ，满足方程：12x ty +=， ∴直线AB 恒过点：102xy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，即直线AB 恒过点(2,0).解析：19.答案：（1）ABM △中，2,AB AM BM ===AM BM ∴⊥又平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ⋂平面ABCM AM = 且BM ⊆平面ABCMBM ∴⊥平面ADM又AD ⊆平面ADMAD BM ∴⊥（2）32 解析：20.答案：（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ，所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()23x t y =++，联立()2234x t y y x⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=，21632480t t ∆=++>，124y y t +=，12812y y t =--，则1212122212122222111144y y y y k k y y x x ----⋅=⋅=⋅----()1212161622481284y y y y t t ===-+++--++，故12k k ⋅为定值2-. 解析：21.答案：解 (1)连接BD 交AC 于点O ，则AC BD ⊥. 取EF 的中点G ，连接OG ，则//OG DE . ∵DE ⊥平面ABCD ，∴OG ⊥平面ABCD . ∴OG AC BD ，，两两垂直.以AC BD OG ，，所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设(0BF m m =<<.由题意，易求((0,(0,1,)A C E F m -.则(3,AE =--，(3,1,)AF m =-，(3,CE =-，(3,1,)CF m =，设平面AEF ，平面CEF 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z ==，，，，，. 则1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴11111100y y mz ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得1111z x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取1xm =+1(n m =+.同理可求2(n m =+--. 若平面AEF ⊥平面CEF ，则12·0n n =，∴(2)120m ++--=，解得m m = (舍)，故当BF AEF ⊥平面CEF .(2)当m时，(AE =--，(AC=-，(0,2,EF =，(AF =-，(3,1,CF =，则0,0EF AF EF CF ⋅=⋅=，所以EF AF EF CF ⊥⊥，，且AF CF F ⋂=，所以EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的一个法向量为(0,2,EF =. 设平面AEC 的一个法向量为()n x y z =，，，则 0n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴00y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得0y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令z，n =.从而cos ,||||6n EF nEF n EF ⋅==⋅><=故所求的二面角E AC F --. 解析：22.答案：解 (1)设点C 的坐标为()x y ，，则221x y a+=，连接CG ，由,CA CG GA CB CG GB CG GA =+=+=-，又()0,2G ，可得()222222997(2)1(2)(1)4444CA CB CG GA x y a y y a y y a ⋅=-=+--=-+--=---++，其中,1[]1y ∈-．因为1a >，故当4121y a=≤--，即13a <≤时，取1y =-，得CA CB ⋅有最大值727(1)444a a --+++=，与条件矛盾；当4121y a =>--，即3a >时，CA CB ⋅的最大值是74116441a a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-，由条件得74116314414a a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=-，即27100a a +=-，解得5a =或2a = (舍去)．综上所述，椭圆Ω的方程是2215x y +=.(2)设点1122()()P x y Q x y ，，，，PQ 的中点坐标为00()x y ，，则满足222212121,155x x y y +=+=，两式相减，整理得021*********x y y x x x x y y y -+=-=--+，从而直线PQ 的方程为()00005x y y x x y -=--，又右焦点2F 的坐标是()2,0，将点2F 的坐标代入PQ 的方程得()000025x y x y -=--，因为直线l 与x 轴不垂直，故22000250x x y -=>，从而002x <<.假设在线段2OF 上存在点()(),002M m m <<，使得以MP MQ ，为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ 的垂直平分线必过点M ，而线段PQ 的垂直平分线方程是()00005y y y x x x -=-，将点(),0M m 代入得()00005y y m x x -=-，得045m x =，从而80,5m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含解析)

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．直线的倾斜角为( )A.45°B.60°C.135°D.150°2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则m 的值为( )3．已知等差数列满足，则( )A.10B.8C.6D.44．如图，三棱柱中，，，，点M 为四边形的中心点，则( )B.D.5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为( )A.， B.， C.， D.，6．已知数列的前n项和为，前n 项积为，满足，则( )A.45B.50C.55D.607．已知点F 为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A ,B 两点，点M 为的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若20x y ++=()0,0,1A ()1,2,3B (),,2C m n ABBC{}n a 1356a a a ++=24a a +=111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =11BCC B AM =1122b c ++ 1122a b c++1122b c +-1122a b c--222:14y x C b -=20x =()3,0()3,0-()0,3()0,3-()1,0()1,0-()0,1()0,1-{}n a n S n T 21n n S a =-1224log T T =22(0)y px p =>:21l y x =+AB 1M 1||MM =( )A.2B.3C.4D.58．已知函数表示不超过x 的最大整数，，，数列的前n 项和为，则( )A.673B.747C.769D.821二、多项选择题9．在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是( )A.向量关于平面的对称向量的坐标为B.若，则D.若，10．已知椭圆的上顶点为B ，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是( )A.若，则C.当时，过点D.若直线与椭圆C 的另一个交点为A ，，则11．已知等差数列的前n 项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是( )A. B. C. D.数列的前10项和为12．点A ,B 为圆上的两点，点为直线上的一个动点p =()[]f x x =41n a n =-[]2log n n b a ={}n b n S 100S =Oxyz ()2,2,1a =-(),,2b x y = a Ozx ()2,2,1a b ⊥ 20x y -+=225x y +=a b ⊥ 2x =-1y =-222:1(1)x C y a a +=>1F 2F 12BF BF ⊥a =2=2a =F 1BF 112BF F A = 232a ={}n a n S 11a =238a a +={}n a {}1n S -{}n b 21n a n =-21n S n =-10399b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭102122():21M x y -+=()1,P t -:1l x =-，则下列说法正确的是( )A.当，且为圆直径时，面积的最大值为3B.从点向圆C.A ,B 为圆M上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得D.当三、填空题13．已知直线，，则直线，之间距离的最大值为______.14．过点的直线l 被圆：所截得的弦长的最小值为______.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为、的斜率分别为、，则______.16．已知抛物线，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于A ,B两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为，O 为坐标原点，则面积的最小值为______.四、解答题17．已知直线l 过点.（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点，当的面积最小时，求直线l 的方程.18．已知数列的前n 项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.19．如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，的0t =AB PAB △P M π3APB ∠=(1,2P -+1+1:1l y kx =+()2:2l y k x =-1l 2l ()3,122450x y x +--=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F :l y kx =MP MQ MP k MQ k 3MP MQ k k ⋅=12MF F △1MF 2MF 1MF k 2MF k 12MF MF k k +=22(0)y px p =>602OAB △()1,23b a =OAB △{}n a n S 2n S n ={}n a 2n n n b a ={}n b n T P ABC -ABC PA PC ==（1）证明：；（2）若，点F 为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆C 上任意一点，点P 到距离的最大值为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点的两条不同的直线，关于x 轴对称，直线，与椭圆C 在x轴上方分别交于M 、N 两点.直线是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由.21．已知数列的前n 项和为，前n 项积为，满足.（1）求，和；22．已知点，圆，点，点的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆交于M ，N 两点，设直线，的倾斜角分别为,.（1）求曲线C 的方程；AC BP ⊥2PB =PB ACF PBC 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 1F )21+1F 1l 2l 1l 2l MN {}n a n S n T ()*12n n T a n =-∈N 1T 2T n T 11122n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭()12,0F -222:(2)10F x y -+=(,P x y 2(),P x y 2F 1F M 1F N αβ参考答案1．答案：C解析：根据题意：，所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，可得.故选：C 2．答案：B解析：根据题意：，，与共线，所以，可得故选：B 3．答案：D解析：由，得到，即，所以，故选：D.4．答案：A解析：根据题意，，又，所以，故选：A.5．答案：B解析：已知双曲线的渐近线方程为，对照202x y y x ++=⇔=--1-α0180α︒≤<︒tan 1135αα=-⇔=︒()1,2,2AB = ()1,2,1BC m n =---AB BC()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= λ==1356a a a ++=336a =32a =24324a a a +==1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++BC AC AB =-1111111222222AM AB BB AC a b c =++=++ 222:14y x C b -=220y x x by b =±⇔±=，可得，所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，.故选：B.6．答案：D解析：根据题意：，，两式作差可得，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D.7．答案：B解析：根据题意，过点A ,B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，所以设，，，联立.故选：B.20x =25b =2549c =+=()0,3()0,3-21n n S a =-1121n n S a --=-12n n a a -=1n =11a ={}n a 2n n a -=()()44156056128922a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅==1224log 60T T =1A 1B 111||||2||AA BB MM +==()11,A x y ()22,B x y 121222p px x x x p +++=++()221224421021y px x p x x x y x ⎧=⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=8．答案：A解析：根据题意分析可得：，，，，，，，，，所以.故选：A 9．答案：AC解析：对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A 正确；对于选项B:若，则，即，故B 错误；，故C 正确；对于选项D:若或，故D 错误.故选：AC.10．答案：ABD解析：对于A 项，若，则对于B项，由可解得：，故B 项正确；对于C 项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆C 所截的弦长的最小[][]1212log log 31b a ===[][]2222log log 72b a ===[][]3232log log 113b a ===[][]4242log log 153b a ===584b b ~=9165b b ~=17326b b ~=33647b b ~=651008b b ~=10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()2,2,1a =-Ozx ()2,2,1a b ⊥ 2220a b x y ⋅=-+= 10x y -+=225x y =⇔+=a b ⊥ 2210251x y x x y y -+==-⎧⇒⎨+==-⎩12x y =⎧⎨=⎩1BF BF ⊥1c ==a =22221e a a -==2a =2a =22:14x C y +=1F 1=≠对于D 项，如图，因为，，设点，由可得，解得：，代入椭圆，故选：ABD.11．答案：ACD解析：设等差数列的公差为d ，，由解得：，故，，故A 项正确，B 项错误；将数列列举出来为：数列列举出来为：故共同项依次有：,即，故，则，C 项正确；，故选：ACD.12．答案：ABD解析：对A ：当，为直径时，为点A 的纵坐标），所以当点A 为或时，三角形面积最大，的()0,1B ()1,0F c -(,)A m n 112BF F A =(,1)2(,)c m c n --=+31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222:x C y a +=114==2={}n a 11a =231238a a a d +=+=2d =12(1)21n a n n =+-=-()21212n n n S n +-=={}n a 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, {}1n S -0,3,8,15,24,35,,3,15,35, 13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ 2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-1041001399b =⨯-=()()21111141212122121n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭11111111111323521921221⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0t =AB 1122PAB S PM =⨯△A ()2,1()2,1-PAB，所以A 正确；对B ：设，交与点N ，由圆的切线性质，则，，当点P 在处时，最大，此时对C ：当点在处，且，为切线时，最大，此时所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设的中点D，则设小圆半径为，D 正确.()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯=△APM θ∠=AB PM Rt Rt BNP MNB :△△ABM APM θ∠=∠=2cos θθ()1,0-θsin θ=θ==P ()1,0-PA PB APB ∠1sin 3APM ∠=<APM <2APB APM =∠<AB MD ⊥=+r 1PM r =+=+ +1+解析：由题意可知：直线的斜率为k ，过定点；直线的斜率为k ，过定点；可知14．答案：判断可知点在圆内，而圆，若直线l 斜率存在时，设，圆心到直线的距离为，若，则，若,，则，解得或直线l 斜率存在时，，若直线l 斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为，综上所述，圆心所以所截的弦长的最小值为故答案为：15．答案：解析：1:1l y kx =+()0,1A ()2:2l y k x =-()2,0B 1//l l ()3,122450x y x +--=2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=:31l y kx k =-+()2,031y kx k =-+d )2221210d k k d -++-=1d =0k =0d >1d ≠()224410d ∆=--≥01d <<1d <≤max d =1=-:3l x =()2,03x =1d =(2,0=设，，，根据题意，可得，联立，化简得，所以,所以，又，可得，，所以双曲线，的面积为代入双曲线C 的方程可得，所以故答案为：.解析：如图所示，分别过A ,B 向准线作垂线，垂足分别为、，过B 作的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为，，即，(),M M M x y 0M x >0M y >2c =22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222220b a k x a b --=2k <120x x +=12x x =()()()()222222222222222121222222212123M M M MP MQ M M M MM k kx y kx y k x x y b k a b b x k x x b x x x x x a a k b a a b a k b x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭--+⋅====-=--++2224a b c +==21a =23b =22:13y C x -=12MF F △2M M c y y ⨯=⇔=M x =12MF MF k k +==A 'B 'AA '602()601cos 60p BF BF p ︒=-⇔+︒=3232p =⨯=设，，满足，，设直线，代入抛物线方程，可得，，所以，当时，三角形.17．答案：（1）或；（2）解析：（1）根据题意：直线l 在y轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点，将代入可得所以直线l 的方程为；当直线l 过原点，所以直线l 的方程为即.综上，直线l 的方程为或；（2）设直线l 的方程为，所以，，()11,A x y ()22,B x y 2116y x =2226y x =3:2AB x my =+26y x =2690y my --=121269y y my y +=⎧⎨=-⎩()1219222OAB p S y y =⨯+≥△0m =350x y +-=20x y -=240x y +-=(0,013ya =()1,2n =350x y +-=(0,02=()221y x -=-20x y -=350x y +-=20x y -=()21(0)y k x k -=-<21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2B k -所以，当且仅当，（舍），所以直线l 的方程为即.18．答案：（1）；（2）解析：（1）根据题意：，当时，，两式相减即得：，因时，，满足上式，故；（2），则，，两式相减可得：，故.19．答案：（1）证明见解析；如图，取的中点O ，连接，，因为，所以，又因为底面是边长为2的等边三角形，()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△k -=2442OAB k k =⇔=⇔=-△2k =()()221y x -=--240x y +-=21n a n =-()12326n n T n +=-⨯+2n S n =2n ≥21(1)n S n -=-22(1)21n a n n n =--=-1n =11a =21n a n =-()2212n n n n b a n ==-⋅2121232(21)2,n n n T b b b n =+++=⨯+⨯++-⨯ ()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ()21122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-()12326n n T n +=-⨯+AC PO BO PA PC =PO AC ⊥ABC所以，又,平面，可得平面，又平面，所以.（2）因为，所以，因为，由可得：，又，,平面，所以平面，如图，以，，分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，因，，设平面的法向量，则，取，得，则，又，，设平面的法向量，则取，得.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面.BO AC ⊥PO BO O = ,PO BO ⊂POB AC ⊥POB BP ⊂POB AC BP ⊥PA PC ==1AO =1PO =BO =2PB =222PO BO PB +=PO BO ⊥PO AC ⊥BO AC O = ,BO AC ⊂ABC PO ⊥ABC OA OB OP()1,0,0A ()B ()1,0,0C -()0,0,1P 12F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0AC =- 1(2AF =-ACF ()1,,n x y z = 1120102AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 1y =z =0x =1(0,1,n =()1,0,1PC =--()1PB =- PBC ()2,,n x y z = 220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =z ==2(=ACF PBC θ1212cos n n n n θ⋅===⋅ ACF PBC；（2）是，解析：（1）根据题意，，解得，又，；（2）根据题意可得：设直线的方程为，联立，设直线与椭圆C 的交点为，，可得：由对称性可知：，直线的方程为，设直线与x 轴交点为，所以，可得：，所以直线过定点.的214y +=()4,0-c e a ==2c +=+a =2=22224a b c b =+⇔=214y +=1l ()2y k x =+()()2222222128880184y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩1l ()11,M x y ()22,M x y '1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()22,N x y -2l ()2y k x =-+MN (),0T t ()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k--+-+-=⇔+-=++24160412t t k--⇔=⇔=-+MN ()4,0-21．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）当时，当时，数列的前n 项积为，满足，时，，，数列是首项为4，公比为2的等比数列，时，（2）先证明左边：即证明，又由，解得又所以，1T =217=n T =1n =111112T a T a =-⇔==2n =2212222312127T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔= {}n a n T ()*12n n T a n =-∈N ∴2n ≥1n T =112n T -=⨯+11121n T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n =14=11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭∴1111422n n n n T T -++=⨯=⇔=1n =1T =n =111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭n T =12n n T a =-n a =11212112122n n n n n a ++--=>=--123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-再证明右边：22．答案：（1）；根据题意：，，，根据定义可得，，所以曲线C 的轨迹方程为；（2）根据题意：，，当l 的斜率不存在时，，此时，，，当l 的斜率存在时，设，，()1212121221n n n n n a +--=<=--∴n S <2213y x -=()12,0F -(22,0F 12224a c F =<==221(0,0)y a b b-=>>221a a =⇔=242c c =⇔=222b c a b =-⇔=2213y x -=()12,0F -()22,0F :1l x =()1,3M ()1,3N -110F M F N ⋅=β=()11,M x y ()22,N x y设直线，联立直线l 与圆可得：，，所以代入韦达定理可知，因为直线l 与曲线C 相切，联立，，所以，故得，:l y kx m =+2F ()()1222221212460(2)10x x y kx m k x km x m x y x x ⎧+⎪=+⎧⎪⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩()230k -≠22Δ030k m =⇔--=110F M F N ⋅=β=。

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20．（12 分）已知椭圆 C： x2 a2
y2 b2
1a
b 0
短轴长为 2，且点 M
2, 2
3 2
在
C
上
的（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 F1 、 F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交椭圆 C 与 A、B 两点，若 ABF1 的面积是 6 ，求直线 l 的方 2
__________
14．如图，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，则折纸后异面直线 AB ， CD 所成的角为___________.
15．已知数列{an}满足 an+2=an+1－an（n∈N*），且 a1= 2，a2= 3，则 a2022 的值为_________.
16．设正方形 ABCD 的边长是 2 ，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点 A 的距离大于 2 的概率是_____
当在 ABC 中， sin A sin B 2Rsin A 2Rsin B a b ，反之 a b 2Rsin A 2Rsin B sin A sin B ，故为充要条件，故 C 错；当 a 3时， loga 3 loga a ， loga 3 1 ， loga 9 2 ，充分条件，
则 A(0,0,0), D(0, 4,0),C(4, 4,0), P(0,0,6) ， E(0, 2,3) ， CE (4, 2,3) ， AD (0, 4,0)
设直线 EC 与平面 PAB 所成角为，又由题可知 AD 为平面 PAB 的一个法向量，则 sin cos CE, AD CE AD 2 4 2 29
3． (x 1)10 的二项展开式中，二项式系数最大的项是.5 D.5 和 7
4．设 A＝37＋ C72 ·35＋ C74 ·33＋ C76 ·3，B＝ C71 ·36＋ C73 ·34＋ C75 ·32＋1，则 A－B 的值为( )
A.128
B.129
C.47
D.0
a3
1 3
， a5
3，
所以 q2
a5 a3
3 1
9，
3
所以 a9 a5q4 3 92 243 ，
故选：D. 6、B 【解题分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义依次判断.
【题目详解】当 A 1, 2,3, B 4,5,6 时， 2 A, 2 A B ，非充分，故 A 错.
a b 当 c 0 不能推出 ac2 bc2 ，所以非充分， ac2 bc2 a b ，所以是必要条件，故 B 正确.
C. 4, 6
D. 2 5,6
10．已知圆 C 的圆心在直线 y 6x 上，且与直线 l : x y 1 0 相切于点 2,3 ，则圆 C 方程为（）
A. x 12 y 62 18 C. x 12 y 62 18
B. x2 y2 18
D. x 12 y 62 12
11．函数 f (x) x3 12x 在区间[3,1] 上的最小值是（）
失效费 y （单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 y 与 x 关系．请用相关系数加以说明；（精确到 0.01）
（2）求出 y 关于 x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用 8 年的失效费
参考公式：相关系数 r
A. 10
C. 15
B. 11 D. 18
12．圆 O1 : x2 y2 2x 0 与圆 O2 : x2 y2 4 y 0 的位置关系是（）
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知点 P 为椭圆 x2 y2 1 上的动点， EF 为圆 N : x2 ( y 1)2 1 的任意一条直径，则 PE PF 的最大值是 16 12
则直线 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为（）
A. 5 6 18
B. 2 29 29
C. 3 26 26
D. 2 30 15
9．已知直线 ax y a 2 0 与圆 x2 y2 4x 5 0 相交于 A ， B 两点，则 AB 的取值范围为（）
A. 3, 2 5
B. 4, 2 5
易知当 r＝5 时， C1r0 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第 6 项.
故选：A 4、A 【解题分析】先化简 A－B，发现其结果为二项式展开式，然后计算即可
【题目详解】A－B＝37－ C71 ·36＋ C72 ·35－ C73 ·34＋ C74 ·33－ C75 ·32＋ C76 ·3－1＝ 3 1 7 27 128
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）（１）求焦点在 x 轴上,虚轴长为 12，离心率为 5 的双曲线的标准方程； 4
（2）求经过点 P(2, 4) 的抛物线的标准方程； 18．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ， AC BC 1， AA1 2 .M 为侧棱 BB1 的中点，连接 A1M ， C1M ，CM.
故选 A. 【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的运用，关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式，然后
计算出结果，属于基础题
5、D
【解题分析】由已知条件求出公比 q 的平方，然后利用 a9 a5q4 即可求解.
【题目详解】解：设等比数列{an}的公比为 q ，
因为等比数列 {an } 满足
的 i1
i 1
22．（10 分）如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长为 3 ，底面边长为 2 ，点 M 为 BC 的中点，点 N 在直线 CC1 上，
且 MN AB1
（1）证明： MN 面 AB1M ；（2）求平面 ABB1A1 和平面 AMN 夹角的余弦值
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【解题分析】根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.
n
xi x
i 1
n
2
xi x
i 1
yi y
n
2
yi y
i 1
n
xi x yi y
线性回归方程 yˆ bˆx aˆ 中斜率和截距最小二乘估计计算公式： bˆ i1 n
2
xi x
， aˆ y bˆ x
i 1
7
7
2
参考数据： xi x yi y ， yi y 7.08 ， 198.24 14.10
2024 届安徽省怀宁中学高二上数学期末统考模拟试题
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
又圆 x2 y2 4x 5 0 的圆心为
则 AB 2r 6 ，此时直线过圆心 2, 0 ； max
当直线 ax y a 2 0 与直线 MN 垂直时， AB 取得最小值，此时 AB 2 r2 MN 2 2 9 5 4 .
故 AB 的取值范围为4,6.
故选： C .
10、C 【解题分析】设出圆心坐标，根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标，结合两点距离公式得半径，即可得圆方程
1．已知两条平行直线 l1 ： 3x 4y 6 0 与 l2 ： 3x By C 0 间的距离为 3，则 B C （）
A.25 或－5
B.25
C.5
D.21 或－9
2．在等比数列an中， a1 3， a4 24 ，则 a3 （）
A. 6
B. 6 或 6
C.12
D.12 或 12
【题目详解】因为直线 l1 ： 3x 4y 6 0 与 l2 ： 3x By C 0 平行，所以有 3 4 6 B 4,C 6 ，
3 B C 因为两条平行直线 l1 ： 3x 4y 6 0 与 l2 ： 3x By C 0 间距离为 3，
6C 所以 32 (4)2 3 6 C 15 C 21，或 C 9 ，当 C 21时， B C 4 21 25；当 C 9 时， B C 4 9 5，
故选：A 2、C
【解题分析】计算出等比数列 an 的公比，即可求得 a4 的值.
【题目详解】设等比数列
an
的公比为 q ，则 q3 a4 8 ，则 q
a1
2 ，所以， a3 a1q2 12 .
故选：C. 3、A 【解题分析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.
【题目详解】因为二项式 (x 1)10 展开式一共 11 项，其中中间项的二项式系数最大，
D.“ a 3”是“ loga 9 2 ”的充要条件
7．已知 a (2, 1,3),b (4,1,t) ，且 a b ，则实数 t 的值为（）
A. 3
B.3
C.4
D.6
8．已知在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PA 6，E 为棱 PD 的中点，
【题目详解】设圆心为 m,6m ，则圆心与点 2,3 的连线与直线 l 垂直，即 6m 3 1 1，
m2
则点 m 1，所以圆心为 1,6 ，半径 r 1 22 6 32 3 2 ，所以方程为 x 12 y 62 18 ，
故选：C 11、B
【解题分析】求出导函数 f (x) ，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值